Bac M1 2020, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2020 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, a examenului de bacalaureat din sesiunea 2020. Modelul este documentul pe care ministerul îl dă în toamna anului școlar, ca elevii și profesorii să știe exact ce structură și ce nivel de dificultate să aștepte; el nu poartă număr de variantă — pe document scrie doar „Model" — și a fost întocmit în octombrie 2019, adică înainte de închiderea școlilor. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor, deci suma a trei termeni consecutivi este triplul lui — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(3)=f(f(3))$, calculat dinăuntru în afară — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: gruparea logaritmilor, condițiile de existență și respingerea rădăcinii negative — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor de două cifre distincte formate cu o mulțime dată de cifre, cu $0$ interzis pe prima poziție — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în triunghi: mijlocul unui segment scris vectorial, aplicat de două ori — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Teorema sinusurilor: suma unghiurilor unui triunghi și $\frac{AB}{\sin C}=2R$ — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice cu parametru, rang și sistem: determinantul, condiția ca rangul să fie doi, criteriul lui Cramer și o condiție pătratică pe soluție — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție pe $\mathbb{R}$: aducerea la forma $(x-c)(y-c)+c$, o ecuație cu produs de trei factori și o demonstrație de imposibilitate pe numere întregi — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, inegalitate între grafice: derivarea unui logaritm, dreapta paralelă cu o tangentă și transformarea unei inegalități între două funcții în semnul diferenței lor — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive, concavitate și un șir de integrale: simplificarea integrandului, semnul derivatei a doua și încadrarea unui șir de integrale pentru calculul limitei — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2020. Modelul este documentul care fixează așteptările pentru tot anul, iar acesta este vizibil mai greu decât media sesiunilor: Subiectul I este într-adevăr de rutină, dar Subiectul al II-lea cere rangul unei matrice (nu doar determinantul) și, la problema $2$, o demonstrație de imposibilitate pe numere întregi — un tip de raționament rar la bacalaureat. Subiectul al III-lea este cel care cerne: problema $1$, subpunctul c), ascunde în spatele a trei funcții și trei litere ($a$, $b$, $c$) exact funcția de la subpunctul a), iar problema $2$, subpunctul c), cere încadrarea unui șir de integrale, adică o inegalitate scrisă înainte de a integra.

Notă de programă: modelul acesta a fost întocmit în octombrie 2019, deci înainte de restrângerea programei de examen din anii pandemiei — se vede și în conținut: apar primitive, concavitate și un șir de integrale, adică materie din semestrul al doilea al clasei a XII-a. Pentru elevul de azi, întreaga materie a acestei probe este în programa în vigoare: legile de compoziție și integralele stau la noi în unitățile „Legi de compoziție", „Primitive" și „Integrala definită", iar matricele și sistemele sunt materie de clasa a XI-a. Subiectul al II-lea nu conține polinoame, deci nu ai nevoie de unitatea de supliment.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $55$ de minute pentru Subiectul al II-lea și $65$ de minute pentru Subiectul al III-lea, cel mai greu; ultimele $5$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau $-\frac{11}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rădăcina care nu respectă condițiile de existență, păstrată în răspuns; rangul declarat doi fără să se arate că există un minor de ordinul al doilea nenul; una dintre cele patru soluții pierdute la itemul $8$, subpunctul b); inegalitatea $b\ge c$ afirmată fără monotonia funcției-diferență; limita unui șir de integrale „calculată" fără încadrare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$, deci $a_1+a_2+a_3=3a_2$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(x)=f(f(x))$, dinăuntru în afară. Logaritmi: ${\log }_{2}u+{\log }_{2}v={\log }_2(uv)$, cu condițiile $u>0$ și $v>0$ verificate la final. Combinatorică: când $0$ face parte din mulțimea de cifre, prima poziție are cu o posibilitate mai puțin. Vectori: $M$ este mijlocul lui $AB$ exact când $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$, pentru orice punct $C$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$; în orice triunghi, $A+B+C=\pi$.
• Matrice și rang: rangul unei matrice de ordinul al treilea este $2$ exact când determinantul ei este nul, dar există un minor de ordinul al doilea nenul — ambele condiții se scriu. Un sistem liniar are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=xy-c(x+y)+c^2+c$ se scrie $(x-c)(y-c)+c$; atunci compunerea repetată devine produs, iar $x$ este simetricul lui $y$ exact când $(x-c)(y-c)=e-c$.
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă; o inegalitate $g(a)\ge h(a)$ se demonstrează studiind funcția-diferență $g-h$, nu cele două funcții separat. O primitivă $F$ este concavă pe un interval exact când $F^{\prime \prime }=f^{\prime }\le 0$ acolo.
• Șiruri de integrale: limita unui șir $I_n={\int }_a^b{x}^{n}f(x)dx$ nu se calculează, ci se încadrează: se mărginește integrandul cu o expresie ușor de integrat, apoi se trece la limită în inegalitatea obținută.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ are patru roluri: termenii progresiei aritmetice sunt $a_n$ la itemul $1$; la itemul $7$, $a$ este parametrul matricei și al sistemului; la itemul $9$, subpunctul c), $a$ este abscisa comună a două puncte; iar la itemul $4$, în rezolvare, cifrele se pot nota tot cu $a$. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2-6x+9$ la itemul $2$, $f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$ la itemul $10$.
• Litera $e$ apare la itemul $8$ și înseamnă acolo elementul neutru al legii de compoziție, nu numărul lui Euler; enunțul îi dă chiar valoarea, $e=\frac{3}{2}$. Semnul $\ast$ de la același item este numele legii, nu o înmulțire.
• La itemul $9$, subpunctul c), literele $b$ și $c$ sunt ordonatele a două puncte, $M(a,b)$ și $N(a,c)$ — nu coeficienți și nu constante de integrare. Toată cerința se reduce, după traducere, la inegalitatea $g(a)\ge h(a)$, adică la semnul funcției de la subpunctul a). Litera $\mathcal{C}$, cu care notăm constanta unei primitive, nu apare deloc în enunțul oficial.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este egală cu $30$. Determinați $a_2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+9$. Arătați că $(f\circ f)(3)=9$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-6)=6-{\log }_2(x+6)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{0,1,2,3,4,5\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $E$ mijlocul segmentului $BD$. Arătați că $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2\sqrt{3}$, $A=\frac{\pi }{4}$ și $B=\frac{5\pi }{12}$. Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ a& 4& 1\\ 1& -1& a\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+2y+z=4\\ ax+4y+z=6\\ x-y+az=1\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=0$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ are rangul 2.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{3}{4}$. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru $e=\frac{3}{2}$.

a) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $\frac{1}{x}\ast x\ast \frac{1}{x}=x\ast \frac{1}{x}\ast x$.

c) (5 puncte) Arătați că nu există numere întregi $x$ și $y$, astfel încât $x$ să fie simetricul lui $y$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-2{)}^2}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Se consideră numerele reale $a$, $b$ și $c$ astfel încât punctul $M(a,b)$ este situat pe graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-8\ln 2+8\ln x$ și punctul $N(a,c)$ este situat pe graficul funcției $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=8x-12$. Demonstrați că $b\ge c$, pentru orice $a\in [2,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x^2+4)f(x)dx=-\frac{11}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(-\infty ,0]$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră $I_n={\int }_1^2{x}^{n}f(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=-\infty$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru sesiunea 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Baremul oficial împarte în patru pași subpunctul b) al itemului 8 și în trei pași subpunctul c) al itemului 10 — de aceea blocurile lor de mai jos au mai multe linii punctate decât restul.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, orice termen este media aritmetică a vecinilor lui: $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}⟹2a_2=a_1+a_3\text{(3 p)}.$$ Suma primilor trei termeni devine astfel triplul termenului din mijloc: $$a_1+a_2+a_3=3a_2⟺30=3a_2⟺{\mathbf{a}}_2=10\text{(2 p)}.$$ (Control pe un exemplu: progresia $8,10,12$ are suma $30$ și termenul din mijloc $10$; la fel $0,10,20$ sau $10,10,10$ — rația nu se poate determina, dar nici nu e cerută. Unde se greșește de obicei: se încearcă scrierea celor trei termeni ca $a_1$, $a_1+r$, $a_1+2r$ și se ajunge la o ecuație cu două necunoscute; drumul prin media aritmetică ocolește complet rația.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară. Funcția este un pătrat perfect, $f(x)=(x-3{)}^2$, deci $$f(3)=3^2-6\cdot 3+9=0\text{(2 p)}.$$ Rezultatul intră ca argument în a doua aplicare: $$(f\circ f)(3)=f(f(3))=f(0)=0-0+9=9\text{(3 p)}.$$ (Observație care lămurește tot: $f(x)=(x-3{)}^2$, deci $3$ este singura rădăcină a funcției, iar $f(0)=9$ este chiar termenul liber. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(3)\cdot f(3)=0$ sau $2f(3)=0$ în loc de compunere — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs; capcana e cu atât mai mare aici, cu cât $f(3)=0$ și un răspuns greșit de $0$ pare „rotund".)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Se trece logaritmul din dreapta în stânga și se folosește ${\log }_{2}u+{\log }_{2}v={\log }_2(uv)$; produsul este o diferență de pătrate: $$(x-6)(x+6)=2^6⟹x^2-36=64⟹x^2-100=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația are două rădăcini, dar condițiile de existență cer $x-6>0$, adică $x>6$: $$x=-10,\text{ care nu convine};\mathbf{x}=10,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: ${\log }_2(10-6)={\log }_{2}4=2$, iar $6-{\log }_2(10+6)=6-{\log }_{2}16=6-4=2$ — chiar egale. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=-10$, deși acolo ambii logaritmi ar cere argumente negative; sau se scrie $6={\log }_{2}6$ în loc de $6={\log }_{2}64$. Reține: constanta care se mută sub logaritm devine putere a bazei, nu argument.)

Itemul 4. (5 p) — numere de două cifre distincte dintr-o mulțime dată.

Cifra zecilor nu poate fi $0$, deci se alege dintre elementele nenule ale mulțimii, adică dintre $1,2,3,4,5$: $$\text{cifra zecilor, fiind nenula˘, se poate alege ıˆn }5\text{ moduri}\text{(2 p)}.$$ Cifra unităților trebuie doar să fie diferită de cea a zecilor, iar $0$ este permis acolo, deci rămân tot cinci posibilități: $$\text{pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unita˘ților se poate alege ıˆn caˆte }5\text{ moduri},$$ $$\text{deci se pot forma }5\cdot 5=25\text{ de numere}\text{(3 p)}.$$ (Verificarea exhaustivă confirmă: pentru fiecare dintre cele cinci cifre nenule ale zecilor rămân cinci cifre disponibile pentru unități, din cele șase ale mulțimii — în total $25$ de numere. Unde se greșește de obicei: se numără $6\cdot 5=30$, uitând că $0$ nu poate sta pe prima poziție; sau se numără $5\cdot 6=30$, uitând condiția „cifre distincte". Enunțul le cere pe amândouă.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în triunghi.

Punctul $E$ este mijlocul lui $BD$, iar mijlocul unui segment văzut din vârful $C$ se scrie ca semisumă: $$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\text{(3 p)}.$$ Punctul $D$ este, la rândul lui, mijlocul lui $AC$, deci $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$; înlocuind și schimbând sensul ultimului vector: $$\text{cum }\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA},\text{ obținem }\overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathbf{CA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathbf{BC}}\text{(2 p)}.$$ (Ultimul pas este doar schimbarea sensului: $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$, deci $+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ — exact forma cerută de enunț. Control într-un reper concret: cu $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,6)$ ies $D(0,3)$ și $E(2,1,5)$, deci $\overrightarrow{CE}=(2,-4,5)$; membrul drept dă $\frac{1}{4}(0,-6)-\frac{1}{2}(-4,6)=(0,-1,5)+(2,-3)=(2,-4,5)$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, cu sensul inversat, sau se uită înlocuirea lui $\overrightarrow{CB}$ cu $-\overrightarrow{BC}$ și răspunsul iese cu semn greșit.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$, deci al treilea unghi se află prin scădere: $$C=\pi -(A+B)=\pi -\left(\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{12}\right)=\frac{\pi }{3}⟹\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Latura $AB$ este opusă unghiului $C$, deci teorema sinusurilor se scrie pentru perechea lor: $$\frac{AB}{\sin C}=2R⟹2R=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4⟹\mathbf{R}=2\text{(2 p)}.$$ (Calculul unghiului: $\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{12}=\frac{3\pi +5\pi }{12}=\frac{2\pi }{3}$, deci $C=\frac{\pi }{3}$, adică $60°$. Unde se greșește de obicei: se folosește unghiul $A$ cu latura $AB$ — asocierea corectă este latură cu unghiul opus, iar unghiul opus laturii $AB$ este $C$. A doua capcană: se scrie $\frac{AB}{\sin C}=R$ în loc de $2R$, iar raza iese dublă.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru, rang și sistemul asociat.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea are prima coloană formată din trei valori de $1$: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 4& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 4& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$=4+(-1)+2-4-(-1)-2=0\text{(3 p)}.$$ (Drumul de o secundă: prima și a treia coloană sunt identice, iar un determinant cu două coloane egale este nul — se putea răspunde fără niciun calcul. Merită scris ca observație, dar calculul complet este cel punctat. Control: formula generală de la subpunctul b), $2(a^2-1)$, dă în $a=1$ chiar $0$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă; scăzând prima linie din a doua rămâne linia $\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\end{array}\right)$, după care dezvoltarea este imediată: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =2(a^2-1),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Rangul $2$ înseamnă două lucruri deodată: determinantul se anulează, dar există un minor de ordinul al doilea nenul — și el se arată explicit: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 1\end{array}\right|\\ & =-2\\ & \ne 0,\text{ deci matricea }A(a)\text{ are rangul }2\\ & ⟺\det (A(a))=0,\end{array}$$ $$\text{de unde obținem }\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$ (Minorul ales, format din coloanele a doua și a treia și din primele două linii, nu conține parametrul, deci este nenul indiferent de valoarea lui $a$ — de asta funcționează argumentul. Unde se greșește de obicei: se scrie doar „rangul este $2$ când determinantul este nul", fără minorul nenul — atunci rangul ar putea fi și $1$ sau $0$. Control: la $a=1$ matricea are două coloane identice, dar liniile $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\end{array}\right)$ nu sunt proporționale, deci rangul este într-adevăr $2$.)

c) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când determinantul matricei lui este nenul, adică pentru $a$ diferit de $-1$ și de $1$. Scăzând prima ecuație din a doua rezultă $y_0=1$, apoi din celelalte două ecuații se obține $x_0=z_0$: $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul are soluție unica˘ }(x_0,y_0,z_0),\text{ deci }a\\ & \in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}\text{ și soluția sistemului este}\end{array}$$ $$\left(\frac{2}{a+1},1,\frac{2}{a+1}\right)\text{(3 p)}.$$ Se impune condiția din enunț: $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{2}{a+1}\right)}^2+1+{\left(\frac{2}{a+1}\right)}^2\\ & =3\text{ și, cum }a\\ & \in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\},\text{ obținem }\mathbf{a}=-3\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Rezolvarea condiției: $\frac{8}{(a+1{)}^2}=2$, deci $(a+1{)}^2=4$, adică $a+1=2$ sau $a+1=-2$; prima dă $a=1$, exclusă pentru că acolo sistemul nu are soluție unică, a doua dă $a=-3$. Control: pentru $a=-3$ soluția este $(-1,1,-1)$, iar $1+1+1=3$ — chiar condiția cerută; ea verifică și cele trei ecuații: $3+2-1=4$, $3+4-1=6$, $-1-1+3=1$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $a=1$, deși enunțul cere explicit soluție unică.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se desface parantezele din enunț și se pregătește gruparea: $$x\ast y=xy-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\text{(2 p)}$$ Se dă factor comun $y-\frac{1}{2}$ din primii doi termeni, respectiv din următorii doi: $$=x\left(y-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2},$$ $$\text{pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere înapoi: $\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=xy-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{3}{4}$ — chiar legea din enunț. De ce contează forma asta: notând $u=x-\frac{1}{2}$, legea devine simplă înmulțire, iar orice compunere repetată devine produs. Observă și că elementul neutru $e=\frac{3}{2}$ corespunde lui $u=1$, unitatea înmulțirii. Unde se greșește de obicei: se calculează $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$ ca $\frac{3}{4}$ și se oprește acolo, fără să scoată factorul comun.)

b) (5 p) Cu forma de la subpunctul a) și cu asociativitatea dată în enunț, ambii membri devin produse de trei paranteze; se trec toate într-un membru și se dă factor comun: $$\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$$ $$⟺\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x}-x\right)=0\text{(1 p)}.$$ Un produs este nul când unul dintre factori este nul; primul factor dă $$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=0⟹\mathbf{x}=2\text{(1 p)}.$$ Al doilea factor dă $$x-\frac{1}{2}=0⟹\mathbf{x}=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ Al treilea factor dă o ecuație de gradul al doilea: $$\frac{1}{x}-x=0⟹\mathbf{x}=-1\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Aici stă particularitatea itemului: baremul oficial îl împarte în patru linii, nu în două ca restul probei, pentru că fiecare dintre cele patru soluții se punctează. Cum se ajunge la factorul comun: notând $u=x-\frac{1}{2}$ și $v=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$, egalitatea este $v\cdot u\cdot v=u\cdot v\cdot u$, adică $uv(v-u)=0$, iar $v-u=\frac{1}{x}-x$. Verificare pe fiecare soluție, cu $x=2$: membrul stâng este $\frac{1}{2}\ast 2\ast \frac{1}{2}$, membrul drept $2\ast \frac{1}{2}\ast 2$ — amândoi dau $\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se împarte prin $\left(x-\frac{1}{2}\right)$ și se pierd două soluții din patru; sau se uită condiția „nenule" din enunț, care exclude $x=0$ — de altfel $\frac{1}{x}$ nici n-ar avea sens acolo.)

c) (5 p) Se presupune contrariul și se ajunge la o contradicție de paritate. „$x$ este simetricul lui $y$" înseamnă $x\ast y=e$: $$\text{presupunem ca˘ exista˘ }x\text{ și }y\text{ numere ıˆntregi, astfel ıˆncaˆt }x\text{ sa˘ fie simetricul lui }y,\text{ deci}$$ $$x\ast y=e,\text{ de unde obținem }\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Se scade $\frac{1}{2}$ și se înmulțește cu $4$, ca să dispară numitorii: $$\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)=1⟹(2x-1)(2y-1)=4,\text{ ceea ce nu convine, deoarece }x\text{ și }y$$ $$\text{sunt numere ıˆntregi și }4\text{ este numa˘r par}\text{(3 p)}.$$ (Argumentul complet: $2x-1$ și $2y-1$ sunt numere impare pentru orice $x$ și $y$ întregi, iar produsul a două numere impare este impar — deci nu poate fi $4$, care este par. Prin urmare presupunerea inițială este falsă. Control: căutarea exhaustivă a perechilor de întregi cu $(2x-1)(2y-1)=4$ nu găsește niciuna. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația în numere reale, se găsește $y=\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{2}$ și se conchide „există soluții" — enunțul cere numere întregi, iar acolo nu există.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și inegalitate între două grafice.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; constantele $12$ și $-8\ln 2$ dispar, iar $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=2x-8+\frac{8}{x}=\text{(3 p)}$$ Se aduce la același numitor și se recunoaște un pătrat perfect la numărător: $$=\frac{2x^2-8x+8}{x}=\frac{2(x-2{)}^2}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=5$, formula dă $\frac{2\cdot 9}{5}=3,6$, iar $2\cdot 5-8+\frac{8}{5}=3,6$; raportul incremental confirmă aceeași valoare. Consecință de reținut pentru subpunctele următoare: pe $(0,+\infty )$ derivata este nenegativă, pentru că numărătorul este un pătrat înmulțit cu $2$, iar numitorul este pozitiv — deci $f$ este crescătoare, și se anulează doar în $x=2$. Unde se greșește de obicei: se derivează $-8\ln 2$ ca $-\frac{8}{x}$, deși $\ln 2$ este o constantă, nu o funcție de $x$.)

b) (5 p) Două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar panta tangentei într-un punct al graficului este derivata în abscisa lui: $$\text{dreapta este paralela˘ cu tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul de abscisa˘ }x=2,\text{ deci are}$$ $$\text{panta egala˘ cu }{f}^{\prime }(2)\text{(2 p)}.$$ Din formula de la subpunctul a), $f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 0}{2}=0$, deci dreapta este orizontală și trece prin $A(3,3)$: $$\text{cum }{f}^{\prime }(2)=0,\text{ ecuația dreptei este }\mathbf{y}=3\text{(3 p)}.$$ (O dreaptă de pantă $0$ este orizontală, iar cea care trece prin $A(3,3)$ are ecuația $y=3$ — abscisa punctului nu intervine deloc. Control: $x=2$ este punctul în care $(x-2{)}^2$ se anulează, deci singurul în care tangenta la grafic este orizontală; acolo funcția are un punct de inflexiune cu tangentă orizontală, nu un extrem, pentru că derivata nu-și schimbă semnul. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația tangentei în loc de ecuația dreptei cerute, sau se răspunde $x=3$ — o dreaptă verticală, care n-ar avea pantă deloc.)

c) (5 p) Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe tot domeniul, iar $f(2)=4-16+8\ln 2+12-8\ln 2=0$: $$f^{\prime }(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in (0,+\infty )⟹f\text{ este cresca˘toare pe }(0,+\infty )\text{ și, cum }f(2)=0,$$ $$\text{obținem }f(a)\ge 0,\text{ pentru orice }a\in [2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Traducerea enunțului: $b=g(a)$ și $c=h(a)$, iar diferența celor două funcții este chiar $f$, pentru că $g(x)-h(x)=x^2-8\ln 2+8\ln x-8x+12=f(x)$: $$f(a)\ge 0⟹g(a)\ge h(a)⟹\mathbf{b}\ge \mathbf{c},\text{ pentru orice }a\in [2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Aici e toată ideea subpunctului: cele trei litere și cele două puncte ascund exact funcția de la subpunctul a). Ordonatele sunt $b=g(a)$ și $c=h(a)$ pentru că punctele au aceeași abscisă $a$; inegalitatea $b\ge c$ devine atunci „diferența $g-h$ este nenegativă", adică $f(a)\ge 0$. Control numeric: la $a=3$, $g(3)-h(3)=f(3)\approx 0,244>0$; la $a=10$, $f(10)\approx 44,9$; la $a=2$, exact $0$ — deci marginea se atinge și inegalitatea nu poate fi făcută strictă. Unde se greșește de obicei: se compară $g$ și $h$ studiindu-le monotonia separat, ceea ce nu decide nimic; drumul corect este semnul funcției-diferență.)

Itemul 10. (15 p) — primitive, concavitate și un șir de integrale.

a) (5 p) Factorul $x^2+4$ desființează numitorul fracției, iar integrala rămasă este imediată: $${\int }_0^1(x^2+4)f(x)dx={\int }_0^1(x^2-4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ Cu formula Leibniz–Newton, înlocuind capetele, $$=\frac{1}{3}-4=-\frac{11}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+4>0$ pentru orice număr real, deci nu se împarte niciodată la zero. Rezultatul negativ este de așteptat: pe $[0,1]$ avem $x^2-4<0$, deci integrandul este negativ pe tot intervalul. Control numeric: $-\frac{11}{3}\approx -3,6667$, iar integrala calculată numeric dă $-3,66667$. Unde se greșește de obicei: se uită capătul de jos — chiar dacă $\frac{0^3}{3}-0=0$, el se scrie.)

b) (5 p) O primitivă $F$ are $F^{\prime }=f$, deci derivata a doua a lui $F$ este derivata lui $f$; se derivează raportul: $$F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4},F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{16x}{(x^2+4{)}^2},x\in \mathbb{R},\text{ unde }F\text{ este o primitiva˘ a lui }f\text{(3 p)}.$$ Numitorul este un pătrat strict pozitiv, deci semnul derivatei a doua este dat de $x$: $$F^{\prime \prime }(x)\le 0,\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0],\text{ deci funcția }F\text{ este }\text{concava˘}\text{ pe }(-\infty ,0]\text{(2 p)}.$$ (Calculul derivatei: $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+4)-(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2+4{)}^2}=\frac{2x(x^2+4-x^2+4)}{(x^2+4{)}^2}=\frac{16x}{(x^2+4{)}^2}$. Control numeric: $f^{\prime }(-1)=-0,64$, iar raportul incremental al lui $f$ în $-1$ dă tot $-0,64$. De reținut: concavitatea unei primitive nu se citește din semnul lui $f$, ci din semnul lui $f^{\prime }$ — sunt lucruri diferite, iar aici $f$ este chiar negativă pe o parte din interval, ceea ce nu are nicio legătură cu concavitatea. Unde se greșește de obicei: se confundă „concavă" cu „descrescătoare", sau se derivează raportul fără regula câtului.)

c) (5 p) Limita nu se calculează, ci se încadrează. Pe intervalul $[1,2]$, factorul $x^2-4$ este negativ, iar numitorul este cel mult $8$, deci $\frac{1}{x^2+4}\ge \frac{1}{8}$; înmulțind o cantitate negativă cu un factor mai mare, rezultatul scade: $$x\in [1,2]⟹x^n(x^2-4)\le 0\text{ și }\frac{1}{x^2+4}\ge \frac{1}{8},\text{ deci }{x}^{n}f(x)\le \frac{1}{8}{x}^n(x^2-4)\text{(2 p)}.$$ Membrul drept se integrează imediat, termen cu termen: $$I_n\le {\int }_1^2\frac{1}{8}{x}^n(x^2-4)dx=\frac{1}{8}\left(\frac{x^{n+3}}{n+3}-\frac{4x^{n+1}}{n+1}\right){|}_1^2=\frac{1}{8}\left(-\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}-\frac{1}{n+3}+\frac{4}{n+1}\right)\text{(2 p)}.$$ Primul termen din paranteză bate toți ceilalți, pentru că exponențiala crește mai repede decât orice polinom: $$\text{cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}=+\infty ,\text{ obținem }\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=-\infty \text{(1 p)}.$$ (Detaliul calculului de la a doua linie: $\frac{2^{n+3}}{n+3}-\frac{4\cdot 2^{n+1}}{n+1}=2^{n+3}\left(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+1}\right)=-\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}$, iar din capătul de jos rămâne $-\frac{1}{n+3}+\frac{4}{n+1}$. Cei doi termeni mici tind la zero, deci toată paranteza tinde la $-\infty$. Baremul oficial împarte acest subpunct în trei pași, nu în doi — este singurul de acest fel din Subiectul al III-lea. Control numeric: $I_5\approx -1,58$, $I_{20}\approx -4,73\cdot 10^3$, $I_{60}\approx -6,19\cdot 10^{14}$ — chiar coboară spre $-\infty$, iar fiecare valoare respectă marginea de mai sus. Unde se greșește de obicei: se încearcă o primitivă explicită pentru $x^{n}f(x)$ — nu există una simplă; sau se scrie inegalitatea în sens greșit, uitând că înmulțirea unei cantități negative cu un factor mai mare o micșorează.)