Bac M1 2020, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2020 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2020 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Ce este „sesiunea specială". Este sesiunea organizată pentru elevii care, în perioada probelor obișnuite, participă la competiții internaționale — olimpiade recunoscute de minister sau concursuri sportive. Se ține de regulă în a doua jumătate a lunii mai, cu câteva săptămâni înaintea sesiunii principale. În 2020 însă lucrurile s-au inversat: din cauza pandemiei, sesiunea specială a fost decalată și ținută pe 7 iulie 2020, adică după sesiunea iunie-iulie. Subiectul se adresează aceleiași filiere teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare, și are exact aceeași structură și același punctaj ca subiectul sesiunii principale.

Anul 2020 a fost anul pandemiei. Școlile s-au închis pe 11 martie 2020, simularea națională a clasei a XII-a a fost anulată — singurul an fără simulare din 2014 încoace —, iar toate subiectele din 2020 au fost date pe o programă restrânsă, fără materia predată în semestrul al doilea al clasei a XII-a. Se vede și în proba de față: Subiectul al III-lea nu cere nicio arie și niciun volum de rotație, ci doar derivate, monotonie și integrale calculate cu formula Leibniz–Newton.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul sesiunii speciale 2020:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Radicali: raționalizarea numitorului cu conjugatul, $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)=f(f(1))$, pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: ecuația $C_n^2=10$ și rezolvarea ei în mulțimea numerelor naturale — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: punct egal depărtat de două puncte date și distanța până la origine — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ și o ecuație de gradul al doilea în $\cos x$ — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice, determinanți și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, forma factorizată a determinantului cu parametru și discuția unui sistem de tip Cramer — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, comutativitatea și rezolvarea ecuației $(x\ast x)\ast x=c$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă, monotonie: derivata unui radical, ecuația tangentei și numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$ citit din tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și criteriul cleștelui pe un interval simetric — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2020. Este o probă vizibil mai grea decât cea a sesiunii principale din același an, exact cum se cuvine unei sesiuni pentru olimpici. Subiectul I rămâne standard, dar Subiectul al II-lea cere, la problema 1, discuția completă a unui sistem cu parametru, cu două condiții suprapuse — determinant nenul și soluție cu toate componentele naturale —, iar la problema 2 o lege de compoziție care se comportă ca o „adunare deghizată" în logaritm. Subiectul al III-lea urcă și mai mult: subpunctul 1.c) cere tabloul de variație complet al unei funcții cu trei puncte critice, iar 2.c) o încadrare pe un interval simetric, unde puterea pară a lui $x$ face toată treaba. Cele mai multe puncte se pierd aici, la subpunctele c).

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toate capitolele acestei probe se află în programa actuală. Ce lipsește față de o probă de azi sunt aplicațiile integralei — aria unei suprafețe plane și volumul corpului de rotație —, scoase în 2020 din programa de examen din cauza pandemiei; ele se dau la sesiunile de acum, deci proba se folosește ca antrenament parțial.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, câte $60$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire — proba are două subpuncte c) lungi, deci timpul se mută spre partea a doua.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{31}{3}$ și $\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția $\cos x=0$ păstrată, deși intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ o exclude; condiția de soluție unică a sistemului scrisă fără determinantul nenul; valorile candidate ale parametrului acceptate fără verificarea efectivă a soluției; numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$ afirmat fără tabloul de variație; limita unui șir de integrale scrisă fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: raționalizarea cu conjugatul, $\frac{1}{u+v}=\frac{u-v}{u^2-v^2}$; aici $\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=9-8=1$, deci cele două numere sunt inverse unul altuia. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)=f(f(1))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații exponențiale: se aduce totul la aceeași bază, apoi $a^u=a^v\iff u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Combinări: $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Puncte egal depărtate: $AM=AN\iff A{M}^2=A{N}^2$; distanța de la $A(x_A,y_A)$ la origine este $\sqrt{x_A^2+y_A^2}$. Trigonometrie: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$.
• Matrice și sisteme: determinantul se aduce la formă factorizată prin operații pe linii și coloane, nu prin desfacerea completă; un sistem liniar cu $n$ ecuații și $n$ necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (sistem de tip Cramer).
• Legi de compoziție: ${\log }_2\left(2^x+2^y\right)$ este comutativă pentru că adunarea este comutativă; $x\ast x={\log }_2\left(2\cdot 2^x\right)=x+1$ — un caz de „legea aplicată de două ori" care se simplifică imediat.
• Derivate și monotonie: ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; numărul de soluții ale ecuației $f(x)=m$ se citește din tabloul de variație: pe fiecare interval de monotonie strictă există cel mult o soluție, și există exact una când $m$ se află între limitele funcției la capetele intervalului.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; forma canonică $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4$ dă direct minorarea numitorului; criteriul cleștelui pentru $I_n$: din $0\le g_n(x)\le h_n(x)$ pe $[a,b]$ rezultă $0\le {\int }_a^b{g}_n\le {\int }_a^b{h}_n$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ are trei roluri: numărul de calculat la itemul $1$ (despre care se cere să se arate că este natural), abscisa punctului $A$ la itemul $5$ și parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$ — unde la subpunctul c) i se cere, în plus, să fie număr natural.
• Litera $A$ denumește: mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,n\}$ de la itemul $4$, punctul $A(a,3)$ de la itemul $5$ și familia de matrice $A(a)$ de la itemul $7$.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x+1$ la itemul $2$, $f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}$ la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este necunoscută reală la itemii $3$, $6$ și $8$, variabilă a funcției la itemii $9$ și $10$, dar una dintre cele trei necunoscute ale sistemului la itemul $7$ — acolo ea vine la pachet cu $y$ și $z$, iar indicele $0$ din $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ marchează soluția, nu o valoare inițială.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $a=3+2\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Arătați că $(f\circ f)(1)=f(2)+2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{x^2}=3\cdot 3^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul natural nenul $n$, știind că mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,n\}$ are exact $10$ submulțimi cu două elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,0)$, $N(7,0)$ și $A(a,3)$, unde $a$ este număr real. Știind că $AM=AN$, arătați că segmentul $AO$ are lungimea egală cu $5$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru care $3\cos x-2=2\cos 2x$. Calculați $\cos x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2-a& a\\ a& 1& 1\\ a& 2a-5& a-2\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}x+(2-a)y+az=1\\ ax+y+z=2-a\\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(a))=(a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $a$ pentru care sistemul are soluție unică $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ și $x_0$, $y_0$, $z_0$ sunt numere naturale.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y={\log }_2\left(2^x+2^y\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 0=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$" este comutativă.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x\ast x)\ast x=3+{\log }_{2}3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x\left(2x^2-1\right)}{\sqrt{x^4-x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $m\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$, ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+2x+5}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}x\cdot \frac{1}{f(x)}dx=\frac{31}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$, unde $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)+\frac{1}{x^2+2x+5}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_{-1}^1{x}^{2n-1}f(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2020; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — raționalizarea unui numitor cu radical.

Fracția se aduce la formă fără radical la numitor, înmulțind sus și jos cu conjugatul $3-2\sqrt{2}$; la numitor apare o diferență de pătrate: $$a=3+2\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}=3+2\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este $1$, deci cei doi radicali se reduc: $$a=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6,\text{ care este numa˘r natural}\text{(2 p)}.$$ (Observația care scurtează totul: $\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=1$, deci $3-2\sqrt{2}$ este chiar inversul lui $3+2\sqrt{2}$ — de aceea suma din enunț este suma unui număr cu inversul lui, iar radicalii se anulează. Control numeric: $3+2\sqrt{2}\approx 5,82843$ și $\frac{1}{5,82843}\approx 0,17157$, iar suma dă $6,00000$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $3+2\sqrt{2}$ în loc de conjugat, sau se calculează ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8$ ca fiind $2\cdot 2=4$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară: întâi $f(1)=2\cdot 1+1=3$, apoi acest rezultat intră în locul lui $x$: $$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(3)=2\cdot 3+1=7\text{(3 p)}.$$ Membrul drept se calculează separat: $$f(2)=5,\text{ deci }f(2)+2=7=(f\circ f)(1)\text{(2 p)}.$$ (De ce nu e o coincidență: pentru $f(x)=2x+1$ avem $(f\circ f)(x)=4x+3$, iar $f(x+1)+2=2x+5$; la $x=1$ ambele dau $7$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)\cdot f(1)=9$ în loc de compunere — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Ambii membri se scriu ca puteri ale lui $3$: $9^{x^2}={\left(3^2\right)}^{x^2}=3^{2x^2}$ și $3\cdot 3^x=3^{x+1}$. Funcția exponențială fiind injectivă, exponenții se egalează: $$3^{2x^2}=3^{x+1}⟺2x^2=x+1\text{(2 p)}.$$ Rămâne o ecuație de gradul al doilea, cu discriminantul $\Delta =1+8=9$: $$2x^2-x-1=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-\frac{1}{2}\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=1$, $9^1=9$ și $3\cdot 3=9$; pentru $x=-\frac{1}{2}$, $9^{1/4}=\sqrt{3}$ și $3\cdot 3^{-1/2}=\sqrt{3}$. Amândouă convin — la ecuațiile exponențiale nu apar soluții străine, pentru că trecerea la exponenți este o echivalență. Unde se greșește de obicei: se scrie $9^{x^2}=3^{2x}$, adică se pierde pătratul din exponent; sau se uită factorul $3$ din membrul drept, care aduce termenul liber $+1$ la exponent.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică: numărul submulțimilor cu două elemente.

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este chiar combinarea de $n$ luate câte două: $$\text{numa˘rul submulțimilor cu doua˘ elemente ale mulțimii }A\text{ este }{C}_n^2\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea: $$\frac{n!}{2!(n-2)!}=10⟺\frac{n(n-1)}{2}=10⟺n^2-n-20=0$$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $\mathbf{n}=5$ (3 p).

(Ecuația are rădăcinile $5$ și $-4$; a doua se respinge pentru că numărul de elemente al unei mulțimi nu poate fi negativ — respingerea trebuie scrisă. Control: mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ are $C_5^2=10$ perechi, exact cât cere enunțul. Unde se greșește de obicei: se folosește $A_n^2=n(n-1)$, adică aranjamentele, care numără perechile ordonate — de două ori mai multe.)

Itemul 5. (5 p) — punct egal depărtat de două puncte date.

Punctele $M(1,0)$ și $N(7,0)$ sunt pe axa $Ox$, iar condiția $AM=AN$ spune că $A$ se află pe mediatoarea segmentului $MN$, adică pe verticala dusă prin mijlocul lui: $$AM=AN,\text{ deci }(a-1{)}^2+9=(a-7{)}^2+9⟺-2a+1=-14a+49⟺\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$ Cu abscisa aflată, distanța de la $A$ la origine se calculează direct: $$A(4,3),\text{ deci }AO=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ (Drumul scurt: mijlocul segmentului $MN$ are abscisa $\frac{1+7}{2}=4$, iar mediatoarea unui segment orizontal este verticala prin mijloc — deci $a=4$ se putea scrie direct. Control: $AM=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ și $AN=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ — egale. Triunghiul $AO{A}^{\prime }$, unde $A^{\prime }(4,0)$, este triunghiul dreptunghic $3$–$4$–$5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $AO=\sqrt{4^2-3^2}$, adică se scad pătratele, deși $AO$ este ipotenuza.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică de gradul al doilea în $\cos x$.

Se folosește formula unghiului dublu, $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, ca să rămână o singură funcție trigonometrică: $$3\cos x-2=4{\cos }^{2}x-2⟺4{\cos }^{2}x-3\cos x=0⟺\cos x(4\cos x-3)=0\text{(3 p)}.$$ Prima paranteză dă $\cos x=0$, valoare imposibilă pe intervalul deschis din enunț; rămâne a doua: $$\text{cum }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),\text{ obținem }\cos \mathbf{x}=\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$ (De ce se respinge $\cos x=0$: pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cosinusul este strict pozitiv, se anulează abia în $\frac{\pi }{2}$, capăt care nu aparține intervalului. Control: pentru $\cos x=\frac{3}{4}$ avem $\cos 2x=2\cdot \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}$, iar $3\cdot \frac{3}{4}-2=\frac{1}{4}=2\cdot \frac{1}{8}$ — egalitatea se închide. Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ fără să se înlocuiască ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, și rămân două funcții în ecuație.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește parametrul în fiecare element: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& -5& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& -5& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(0))\\ & =(-2)+0+0-0-(-5)-0\\ & =3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drum mai scurt: prima coloană are un singur element nenul, deci determinantul se dezvoltă după ea: $\det (A(0))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& -2\end{array}\right|=-2+5=3$. Aceeași valoare, și un control gratuit. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se pierde un semn minus dintre cele două grupe de produse.)

b) (5 p) Determinantul se aduce la formă factorizată prin operații pe linii și coloane, nu prin desfacere completă. Scădem prima linie din a doua — apare factorul comun $a-1$: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2-a& a\\ a-1& a-1& 1-a\\ a& 2a-5& a-2\end{array}\right|\\ & =(a-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 2-a& a\\ 1& 1& -1\\ a& 2a-5& a-2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Acum scădem prima coloană din a doua și o adunăm la a treia, ca linia a doua să devină $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$, apoi dezvoltăm după ea: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =(a-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1-a& a+1\\ 1& 0& 0\\ a& a-5& 2a-2\end{array}\right|\\ & =-(a-1)\left|\begin{array}{cc}1-a& a+1\\ a-5& 2a-2\end{array}\right|\\ & =(a-1)\left(3a^2-8a-3\right),\end{array}$$ iar trinomul are rădăcinile $3$ și $-\frac{1}{3}$, deci $\det (A(a))=(\mathbf{a}-1)(\mathbf{a}-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$ (3 p).

(Control numeric pe trei valori: la $a=0$ formula dă $(-1)(-3)(1)=3$ — exact valoarea calculată la subpunctul a); la $a=2$ dă $(1)(-1)(7)=-7$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 1\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$ dă tot $-7$; la $a=1$ ambele linii de sus devin egale, deci determinantul se anulează, cum prezice factorul $a-1$. Unde se greșește de obicei: se desface determinantul cu Sarrus și se ajunge la un polinom de gradul al treilea în $a$, pe care apoi nu se mai știe cum să-l descompună.)

c) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când matricea lui are determinantul nenul, deci trebuie eliminate rădăcinile găsite la subpunctul b). Apoi se folosește a doua ecuație a sistemului, care leagă direct necunoscutele de parametru: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{sistemul are soluție unica˘}\\ & ⟺\det (A(a))\ne 0,\text{ deci, pentru }a\\ & \in \mathbb{N},\text{ obținem }a\in \mathbb{N}\setminus \{1,3\}\end{array}$$ și, cum $x_0,y_0,z_0\in \mathbb{N}$ și $a{x}_0+y_0+z_0=2-a$, obținem $2-a\in \mathbb{N}$, adică $a\in \{0,2\}$ (3 p).

Rămân două valori de verificat efectiv: $$\begin{array}{rl}& \mathbf{a}=2,\text{care nu convine},\\ & \mathbf{a}=0,\text{care convine}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificarea, în întregime: pentru $a=0$ sistemul devine $x+2y=1$, $y+z=2$, $-5y-2z=-4$, cu soluția unică $\left(x_0,y_0,z_0\right)=(1,0,2)$ — toate trei numere naturale, deci $a=0$ convine. Pentru $a=2$ sistemul devine $x+2z=1$, $2x+y+z=0$, $2x-y=-4$, cu soluția $\left(-\frac{9}{7},\frac{10}{7},\frac{8}{7}\right)$ — nici măcar întregi, deci $a=2$ nu convine. Rădăcina $-\frac{1}{3}$ a determinantului nu se pune, pentru că $a$ este cerut natural. Unde se greșește de obicei: se opresc la lista $\{0,2\}$ și declară ambele valori bune, fără să rezolve sistemele — baremul cere exact acest ultim pas.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu logaritm în baza $2$.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiția legii, cu $x=y=0$, folosind $2^0=1$: $$0\ast 0={\log }_2\left(2^0+2^0\right)={\log }_2(1+1)\text{(3 p)}.$$ Prin urmare, $$0\ast 0={\log }_{2}2=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2\left(2^0+2^0\right)=0+0$, adică se desface logaritmul unei sume ca sumă de logaritmi — regula $\log (uv)=\log u+\log v$ merge la produs, nu la sumă. Control: legea este bine definită pentru orice $x$ și $y$, pentru că $2^x+2^y>0$ întotdeauna.)

b) (5 p) Toată demonstrația stă în comutativitatea adunării numerelor reale, care se petrece sub logaritm: $$x\ast y={\log }_2\left(2^x+2^y\right)={\log }_2\left(2^y+2^x\right)\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este chiar definiția lui $y\ast x$, deci $$x\ast y=y\ast x,\text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)},$$ deci legea de compoziție „$\ast$" este comutativă. (Unde se greșește de obicei: se verifică pe o pereche de numere, de pildă $1\ast 2=2\ast 1$, și se declară legea comutativă — comutativitatea cere „pentru orice", deci demonstrația se face cu litere. Observație: legea este și asociativă, pentru că $\left(x\ast y\right)\ast z={\log }_2\left(2^x+2^y+2^z\right)$, expresie simetrică în toate trei — fapt care nu se cere aici, dar explică de ce subpunctul c) iese atât de curat.)

c) (5 p) Se calculează compunerea din interior spre exterior. Întâi $x\ast x$, unde cei doi termeni identici se adună: $$(x\ast x)\ast x={\log }_2\left(2^x+2^x\right)\ast x={\log }_2\left(2^{x+1}\right)\ast x=(x+1)\ast x={\log }_2\left(2^{x+1}+2^x\right)={\log }_2\left(2^x\cdot 3\right),$$ unde $x$ este număr real (3 p).

Egalând cu membrul drept și desfăcând logaritmul produsului: $${\log }_2\left(2^x\cdot 3\right)=3+{\log }_{2}3⟺x+{\log }_{2}3=3+{\log }_{2}3,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$ (Cheia calculului: $2^x+2^x=2\cdot 2^x=2^{x+1}$, deci $x\ast x=x+1$ — legea aplicată de două ori pe același număr adaugă exact $1$. Apoi $2^{x+1}+2^x=2^x(2+1)=3\cdot 2^x$. Control numeric: pentru $x=3$ avem $3\ast 3=4$ și $4\ast 3={\log }_2(16+8)={\log }_{2}24=3+{\log }_{2}3\approx 4,585$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_2\left(2^{x+1}+2^x\right)=(x+1)+x$, adică din nou logaritmul sumei desfăcut ca sumă.)

Itemul 9. (15 p) — derivata unui radical, tangentă și numărul de soluții.

a) (5 p) Se derivează cu formula ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, unde $u(x)=x^4-x^2+1$ și $u^{\prime }(x)=4x^3-2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{4x^3-2x}{2\sqrt{x^4-x^2+1}}\text{(3 p)}.$$ La numărător se dă factor comun $2x$, iar factorul $2$ se simplifică cu cel de la numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x\left(2x^2-1\right)}{2\sqrt{x^4-x^2+1}}=\frac{x\left(2x^2-1\right)}{\sqrt{x^4-x^2+1}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^4-x^2+1={\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ pentru orice $x$ — deci nici radicalul, nici numitorul derivatei nu creează probleme. Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 7}{\sqrt{13}}\approx 3,883$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $3,883$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $2$ de la numitorul formulei radicalului, sau se derivează ca și cum radicalul ar fi $\sqrt{x^4}-\sqrt{x^2}+1$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere două numere, calculate separat: $$f(1)=\sqrt{1-1+1}=1,f^{\prime }(1)=\frac{1\cdot (2-1)}{\sqrt{1}}=1\text{(2 p)}.$$ Cu ele, formula tangentei dă: $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1),\text{ adica˘ }y-1=1\cdot (x-1),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$ (Tangenta este chiar prima bisectoare. Control: punctul de tangență $(1,1)$ este pe dreaptă, iar panta $1$ se citește din $f^{\prime }(1)$. Control numeric al tangenței: $f(1,01)\approx 1,01020$, iar dreapta dă $1,01$ — diferența este $0,0002$, de ordinul pătratului lui $0,01$, exact cum se cuvine unei tangente. Unde se greșește de obicei: se scrie $y=f^{\prime }(1)\cdot x$, uitând termenul liber, sau se folosește $f^{\prime }(x)$ în loc de $f^{\prime }(1)$ ca pantă.)

c) (5 p) Se face tabloul de variație. Derivata se anulează unde se anulează numărătorul, iar limitele la capete sunt infinite: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-\frac{1}{\sqrt{2}},x=0\text{ sau }x=\frac{1}{\sqrt{2}},\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, $f$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ și pe $\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, $f$ este strict crescătoare pe $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ și pe $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty \right)$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (3 p).

Valorile în punctele critice încadrează parametrul $m$ pe fiecare dintre cele patru intervale de monotonie: $$\text{cum }f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}<m,f(0)=1>m\text{și}f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}<m,$$ obținem că, pentru orice $m\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$, ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale (2 p).

(Cum se citește: pe fiecare dintre cele patru intervale de monotonie strictă, funcția este continuă și trece de la o valoare mai mică decât $m$ la una mai mare (sau invers), deci ecuația are acolo exact o soluție — patru intervale, patru soluții. Valorile-cheie: $f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$, iar $f(0)=1$ — chiar capetele intervalului din enunț. Control numeric: pentru $m=0,93$, soluțiile sunt aproximativ $-0,916$, $-0,401$, $0,401$ și $0,916$ — patru, simetrice două câte două, pentru că $f$ este funcție pară. Unde se greșește de obicei: se calculează doar punctele critice și se declară „patru soluții", fără să se arate că $m$ stă între minimul local și maximul local — pentru $m>1$ ecuația are doar două soluții, iar pentru $m=1$ are trei.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale.

a) (5 p) Inversul funcției este $\frac{1}{f(x)}=\frac{x^2+2x+5}{x}$, deci înmulțirea cu $x$ șterge complet numitorul: $${\int }_1^{2}x\cdot \frac{1}{f(x)}dx={\int }_1^2\left(x^2+2x+5\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+5x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: $${\int }_1^{2}x\cdot \frac{1}{f(x)}dx=\frac{8}{3}+4+10-\frac{1}{3}-1-5=\frac{7}{3}+8=\frac{31}{3}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea prin $x$ este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[1,2]$ avem $x\ne 0$ — în zero, funcția $f$ se anulează, deci inversul ei nici n-ar exista. Control numeric: $\frac{31}{3}\approx 10,3333$, iar integrala calculată numeric dă $10,33333$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{f(x)}=\frac{x}{x^2+2x+5}$, adică se uită răsturnarea fracției.)

b) (5 p) Cele două fracții au același numitor, deci se adună într-una singură, iar la numărător apare, până la factorul $\frac{1}{2}$, derivata numitorului: ${\left(x^2+2x+5\right)}^{\prime }=2x+2$. $${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^1\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\left(x^2+2x+5\right)}^{\prime }}{x^2+2x+5}dx\text{(3 p)}.$$ Primitiva este logaritmul numitorului, strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci modulul nu este necesar: $${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+5\right){|}_0^1=\frac{1}{2}(\ln 8-\ln 5)=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}\text{(2 p)}.$$ (De ce numitorul e mereu pozitiv: $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4>0$ — forma canonică, folosită din nou la subpunctul c). Control numeric: $\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}\approx 0,23500$, iar integrala calculată numeric dă $0,235002$. Unde se greșește de obicei: se integrează separat cele două fracții, ceea ce duce la un $\mathrm{arctg}$ inutil — adunarea lor prealabilă face toată treaba.)

c) (5 p) Se scrie termenul general și se minorează numitorul cu forma canonică. Pe intervalul $[-1,1]$, puterea $x^{2n}$ este nenegativă, iar $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4$: $$x^{2n}\ge 0\text{ și }{x}^2+2x+5\ge 4⟹0\le \frac{x^{2n}}{x^2+2x+5}\le \frac{x^{2n}}{4},\text{ pentru orice }x\in [-1,1]\text{ și orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Se integrează încadrarea și se calculează majorantul: $$0\le {\int }_{-1}^1{x}^{2n-1}f(x)dx\le {\int }_{-1}^1\frac{x^{2n}}{4}dx\text{ și, cum }{\int }_{-1}^1\frac{x^{2n}}{4}dx=\frac{1}{2(2n+1)}\text{ și }\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2(2n+1)}=0,$$ obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ (3 p).

(Detaliul care face totul simplu: $x^{2n-1}f(x)=x^{2n-1}\cdot \frac{x}{x^2+2x+5}=\frac{x^{2n}}{x^2+2x+5}$ — exponentul impar se lipește de $x$-ul de la numărătorul lui $f$ și devine par, deci integrandul este nenegativ pe tot intervalul, inclusiv pe partea negativă. Calculul majorantului: ${\int }_{-1}^1\frac{x^{2n}}{4}dx=\frac{x^{2n+1}}{4(2n+1)}{|}_{-1}^1=\frac{2}{4(2n+1)}=\frac{1}{2(2n+1)}$. Control numeric: $I_1\approx 0,1288\le \frac{1}{6}$, $I_5\approx 0,0345\le \frac{1}{22}$ — încadrarea ține. Unde se greșește de obicei: se spune „integrandul este impar, deci integrala pe interval simetric este zero" — integrandul nu este impar, tocmai pentru că exponentul devine par după simplificare.)