Bac M1 2021, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2021 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Media aritmetică a două numere conjugate: $\frac{a+b}{2}$, cu radicalii care se reduc — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: un punct aparține graficului când coordonatele lui verifică formula — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu radical: suma logaritmilor, condiții de existență și verificarea soluției — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Numărul submulțimilor: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: regula paralelogramului și coordonatele unui vector — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula unghiului dublu, $\sin 2A=2\sin A\cos A$, și valorile remarcabile — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu parametru: determinantul, criteriul de inversabilitate, matricea inversă și o inegalitate de tipul $a+\frac{1}{a}\ge 2$ — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție pe $\mathbb{R}$: calcul direct, determinarea parametrului dintr-o condiție și o ecuație polinomială obținută prin identificare — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie, număr de soluții: derivarea unui logaritm, factorizarea derivatei, intervalele de monotonie și numărarea soluțiilor cu ajutorul monotoniei și al limitelor — clasa a XI-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și integrala definită: simplificarea integrandului, panta asimptotei oblice a unei primitive, primitiva cu condiție inițială și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2021. Subiectul I este cel mai scurt cu putință: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, iar singura capcană reală este itemul $3$, unde radicalul de sub logaritm schimbă complet condițiile de existență. Subiectul al II-lea a mutat greutatea pe inversa unei matrice (problema $1$) — nu doar pe determinant — și pe o lege de compoziție cu parametru (problema $2$), unde parametrul trebuie tratat ca literă până la capăt. Subiectul al III-lea este cel care selectează: la problema $1$ se cere numărarea soluțiilor unei ecuații transcendente fără să le calculezi, iar la problema $2$ apar, în același subpunct, o primitivă cu condiție inițială și o integrare prin părți.

Notă de programă: sesiunile din 2020 și 2021 s-au dat pe programa de examen adaptată anilor pandemiei. Ce se poate verifica direct pe documentele oficiale: modelul publicat în toamna lui 2020 pentru sesiunea 2021 mai avea o problemă de polinoame, în timp ce niciuna dintre cele patru probe efective ale anului — simulare, sesiune specială, iunie-iulie, august — nu mai are: la toate, Subiectul al II-lea stă pe matrice, sisteme și legi de compoziție. (Profilul acesta s-a păstrat și în anii de după, deci schimbarea nu se explică numai prin restrângerea programei.) Pentru elevul de azi asta e o veste bună: întreaga materie a acestei probe este în programa în vigoare — legile de compoziție și integralele stau la noi în unitățile „Legi de compoziție" și „Primitive", iar matricele sunt materie de clasa a XI-a.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{1}{3}+\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția unei ecuații logaritmice dată fără verificarea condițiilor de existență; concluzia „matricea este inversabilă" fără calculul determinantului; monotonia scrisă fără semnul derivatei; „ecuația are două soluții" fără limitele la capete; primitiva scrisă fără folosirea condiției $G(0)=0$.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere reale: produsul conjugatelor, $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$; media aritmetică a două conjugate este chiar termenul liber. Funcții: un punct $A(x_0,y_0)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_0)=y_0$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, cu condițiile de existență $u>0$ și $v>0$ scrise separat. Submulțimi: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi. Vectori: regula paralelogramului, $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$ înseamnă că $MNQP$ este paralelogram. Trigonometrie: $\sin 2A=2\sin A\cos A$; într-un triunghi $\sin A\ne 0$, deci se poate simplifica prin el.
• Matrice: determinantul unei matrice cu multe zerouri se dezvoltă după linia sau coloana cea mai săracă; matricea $A$ este inversabilă exact când $\det A\ne 0$; pentru $a>0$ are loc $a+\frac{1}{a}\ge 2$, cu egalitate doar la $a=1$.
• Legi de compoziție: o lege dată prin formulă se aplică înlocuind literal cele două argumente; când în enunț apare „pentru orice $m$", coeficienții puterilor lui $m$ se anulează separat.
• Derivate: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; derivata se factorizează înainte de a-i citi semnul; o funcție continuă, strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$, cu $f(1)<0$ și limite $+\infty$ la ambele capete, taie axa exact de două ori.
• Primitive și integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^2+1}dx=\mathrm{arctg}u+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$; primitiva cu condiție inițială se scrie ca integrală cu capăt variabil, $G(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ nu înseamnă compunerea funcțiilor: el este numele legii de compoziție definite acolo pe mulțimea numerelor reale, $x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1)$. În această probă nu apare nicio compunere de funcții, deci nu există ambiguitate reală — dar reflexul „$\circ$ = compunere" trimite mulți elevi pe drum greșit.
• Litera $f$ denumește trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-3x+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=x^4-2-4\ln x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=1+\frac{2x}{x^4+1}$ de la itemul $10$. Litera $A$ denumește și ea trei obiecte: punctul $A(1,m)$ de la itemul $2$, unghiul $A$ al triunghiului de la itemul $6$ și matricea $A(a)$ de la itemul $7$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $m$ este necunoscută la itemul $2$ (ordonata unui punct) și parametru la itemul $8$ (parametrul legii de compoziție, cu $m>0$); litera $a$ este un număr concret la itemul $1$ ($a=2021-\sqrt{2}$) și parametru al matricei la itemul $7$, unde condiția $a\in (0,+\infty )$ este esențială: fără ea, ${\log }_{2}a$ nici n-ar exista.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați media aritmetică a numerelor reale $a=2021-\sqrt{2}$ și $b=2021+\sqrt{2}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+1$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,m)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(\sqrt{x}+3)+{\log }_3(\sqrt{x}-3)=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact $16$ submulțimi.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,0)$, $N(8,3)$ și $P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului $Q$, știind că $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ în care $\sin 2A\cdot \cos A=\sin A$. Arătați că $A=\frac{\pi }{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 1+{\log }_{2}a& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $a\in (0,+\infty )$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $a\in (0,+\infty )$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $a\in (0,+\infty )$, $\det (A(a)+(A(a){)}^{-1})\ge 8$, unde $(A(a){)}^{-1}$ este inversa matricei $A(a)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-m(x+y)+m(m+1)$, unde $m\in (0,+\infty )$.

a) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $2\circ 2=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $2\circ 1=5$, atunci $2\circ 5=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $\left(m{x}^3\right)\circ (-m{x}^2)=m$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2-4\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în intervalul $(0,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1+\frac{2x}{x^4+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x^4+1)f(x)dx=\frac{11}{5}$.

b) (5 puncte) Se consideră $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $f$. Știind că graficul funcției $F$ are asimptotă oblică spre $+\infty$, determinați panta acestei asimptote.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $G(0)=0$. Arătați că ${\int }_0^{1}xG(x)dx=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — media aritmetică a două numere conjugate.

Media aritmetică a două numere este semisuma lor, iar la adunare radicalii se reduc: $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{(2021-\sqrt{2})+(2021+\sqrt{2})}{2}\text{(3 p)}.$$ Rămâne $$m_a=\frac{2\cdot 2021}{2}=2021\text{(2 p)}.$$ (Control de bun-simț: media a două numere este întotdeauna între ele, iar $2021-\sqrt{2}\approx 2019,59$ și $2021+\sqrt{2}\approx 2022,41$ — cu $2021$ exact la mijloc. Unde se greșește de obicei: se calculează $\sqrt{2}$ cu aproximări și se pierde exactitatea, sau se confundă media aritmetică cu media geometrică $\sqrt{ab}=\sqrt{2021^2-2}$, care aici nu este un număr întreg.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții de gradul al doilea.

Un punct aparține graficului lui $f$ exact când coordonatele lui verifică formula funcției; pentru $A(1,m)$ asta înseamnă $f(1)=m$: $$f(1)=m⟺1^2-3\cdot 1+1=m\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculul din membrul stâng, $$m=1-3+1=-1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: punctul este $A(1,-1)$, iar $f(1)=-1$ — chiar vârful parabolei? Nu: vârful are abscisa $x_V=\frac{3}{2}$, deci $A$ este un punct oarecare al graficului. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $x$ cu $m$ în loc de $1$, adică se schimbă rolurile celor două coordonate. Regula e simplă: prima coordonată intră în formulă, a doua este rezultatul.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică cu radical.

Suma a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului, iar produsul este o diferență de pătrate: $${\log }_3\left(\right(\sqrt{x}+3\left)\right(\sqrt{x}-3\left)\right)=2,\text{ deci }(\sqrt{x}{)}^2-9=3^2\text{(3 p)}.$$ Cum $(\sqrt{x}{)}^2=x$, ecuația devine $x-9=9$, de unde $\mathbf{x}=18$, care convine (2 p).

(De ce convine: condițiile de existență cer $\sqrt{x}-3>0$, adică $x>9$; valoarea $18$ le respectă. Control: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4,243$, iar $(4,243+3)(4,243-3)\approx 7,243\cdot 1,243\approx 9$, deci logaritmul chiar este $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $x+3$ și $x-3$, uitând radicalul — atunci ecuația ar da $x^2=18$ și răspunsul ar fi cu totul altul. A doua capcană: se sare peste condiția $\sqrt{x}>3$; fără ea nu se poate spune „convine".)

Itemul 4. (5 p) — numărul submulțimilor unei mulțimi finite.

O mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi, pentru că fiecare element poate fi ales sau nu, independent de celelalte (3 p).

Condiția din enunț devine $$2^n=16=2^4,\text{ deci }\mathbf{n}=4\text{(2 p)}.$$ (Control: o mulțime cu patru elemente are $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1+4+6+4+1=16$ submulțimi — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se scrie $n^2=16$ în loc de $2^n=16$ și se răspunde $4$ „din întâmplare" — aici cele două ecuații dau același rezultat, dar la $32$ de submulțimi diferența se vede imediat.)

Itemul 5. (5 p) — regula paralelogramului în reper cartezian.

Egalitatea $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MQ}$ este chiar regula paralelogramului scrisă pentru vârful $M$: patrulaterul $MNQP$ este paralelogram, deci segmentele $MQ$ și $PN$ au același mijloc (3 p).

Din egalitatea vectorilor, coordonată cu coordonată: $\overrightarrow{MN}=(5,3)$ și $\overrightarrow{MP}=(3,3)$, deci $\overrightarrow{MQ}=(8,6)$; cum $M(3,0)$, coordonatele punctului $Q$ sunt $\mathbf{x}=11$ și $\mathbf{y}=6$ (2 p).

(Control pe mijlocuri: mijlocul lui $MQ$ este $\left(\frac{3+11}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(7,3)$, iar mijlocul lui $PN$ este $\left(\frac{6+8}{2},\frac{3+3}{2}\right)=(7,3)$ — chiar același, cum cere paralelogramul. Unde se greșește de obicei: se adună coordonatele punctelor $N$ și $P$ în loc să se adune vectorii, adică se uită scăderea originii $M$.)

Itemul 6. (5 p) — formula unghiului dublu într-un triunghi.

Se înlocuiește $\sin 2A=2\sin A\cos A$. Într-un triunghi, unghiul $A$ este strict între $0$ și $\pi$, deci $\sin A\ne 0$ și se poate simplifica prin el: $$\text{Iˆn }△ABC,2\sin A\cdot \cos A\cdot \cos A=\sin A,\text{ deci }{\cos }^{2}A=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Triunghiul fiind ascuțitunghic, $\cos A>0$, deci se ia doar rădăcina pozitivă: $$\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}},\text{ deci }\mathbf{A}=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $A=\frac{\pi }{4}$ avem $\sin 2A=\sin \frac{\pi }{2}=1$ și $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci membrul stâng este $\frac{\sqrt{2}}{2}$, exact $\sin \frac{\pi }{4}$. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $\sin A$ fără să se spună de ce este nenul, sau se păstrează și soluția $\cos A=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, adică $A=\frac{3\pi }{4}$ — respinsă aici tocmai pentru că triunghiul este ascuțitunghic.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și inversa ei.

a) (5 p) Pentru $a=1$ avem ${\log }_{2}1=0$, deci elementul din colțul din stânga jos devine $1+0=1$: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul scurt: matricea are prima linie $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$, deci determinantul se dezvoltă imediat după ea și rămâne $1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$. De reținut: coloana a doua a matricei $A(a)$ are un singur element nenul pentru orice valoare a parametrului — de acolo pornește și subpunctul b).)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă. Dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}\det (A(a))& =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 1+{\log }_{2}a& 0& 1\end{array}\right|\\ & =a,\text{ pentru orice }a\\ & \in (0,+\infty )\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cum $a\in (0,+\infty )$, avem $\det (A(a))=a\ne 0$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă pentru orice astfel de $a$ (2 p).

(Observă că elementul complicat, $1+{\log }_{2}a$, nu apare deloc în determinant: el stă pe poziția $(3,1)$, iar minorul lui conține linia a doua cu un singur element nenul pe coloana ștearsă. Unde se greșește de obicei: se scrie „este inversabilă pentru că nu are linii proporționale" — criteriul este determinantul nenul, nimic altceva. Control: la $a=1$ determinantul este $1$, exact valoarea de la subpunctul a).)

c) (5 p) O matrice de forma $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& a& 0\\ c& 0& 1\end{array}\right)$ se inversează prin identificare: pe diagonală apar inversele, iar elementul din colț își schimbă semnul. Cu $c=1+{\log }_{2}a$: $$\begin{array}{rl}(A(a){)}^{-1}& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{a}& 0\\ -1-{\log }_{2}a& 0& 1\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice }a\\ & \in (0,+\infty )\text{(2 p)}.\end{array}$$ Adunând element cu element, cele două valori din colțul din stânga jos se anulează, iar matricea sumă rămâne diagonală: $$\begin{array}{rl}& A(a)+(A(a){)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& a+\frac{1}{a}& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\\ & ⟹\det (A(a)+(A(a){)}^{-1})\\ & =4\left(a+\frac{1}{a}\right),\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \text{și, cum }a+\frac{1}{a}\\ & \ge 2\text{ pentru orice }a\\ & >0,\text{ obținem }\det (A(a)+(A(a){)}^{-1})\\ & \ge 8\text{(3 p)}.\end{array}$$ (De ce $a+\frac{1}{a}\ge 2$: inegalitatea este echivalentă cu $a^2-2a+1\ge 0$, adică $(a-1{)}^2\ge 0$ — adevărată mereu, cu egalitate doar la $a=1$. Control numeric: la $a=4$, suma este $4,25$ și determinantul $17$; la $a=1$, determinantul este exact $8$, deci marginea chiar se atinge. Unde se greșește de obicei: se verifică inegalitatea doar pe câteva valori, în loc să se demonstreze; sau se uită că determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonală, nu suma lor.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, cu parametru.

a) (5 p) Se înlocuiește întâi parametrul, apoi cele două argumente: $$\text{Pentru }m=1,x\circ y=xy-(x+y)+2,\text{ deci }2\circ 2=2\cdot 2-(2+2)+2=\text{(3 p)}$$ $$=4-4+2=2\text{(2 p)}.$$ (Observație utilă mai departe: pentru $m=1$ legea se scrie și $x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, iar $2\circ 2=1\cdot 1+1=2$ — același rezultat, pe un drum care se generalizează. Unde se greșește de obicei: se scrie $m(m+1)$ ca $m^2+1$ în loc de $m^2+m$.)

b) (5 p) Condiția din ipoteză este o ecuație în parametru: $$2\circ 1=5⟺2\cdot 1-m(2+1)+m(m+1)=5⟺m^2-2m-3=0$$ $$\text{și, cum }m\in (0,+\infty ),\text{ obținem }m=3\text{(3 p)}.$$ Cu parametrul aflat, se calculează direct compunerea cerută: $$2\circ 5=2\cdot 5-3(2+5)+3\cdot 4=10-21+12=1\text{(2 p)}.$$ (Ecuația $m^2-2m-3=0$ are rădăcinile $-1$ și $3$; prima este respinsă de condiția $m>0$ din enunț — motiv care trebuie scris, nu subînțeles. Unde se greșește de obicei: se calculează $2\circ 5$ cu parametrul lăsat literă și se obține o expresie în $m$, în loc de un număr.)

c) (5 p) Se aplică legea celor două argumente date, tratând parametrul ca literă: $$\left(m{x}^3\right)\circ (-m{x}^2)=-m^2{x}^5-m(m{x}^3-m{x}^2)+m^2+m=m⟺m^2(x^5+x^3-x^2-1)=0\text{(2 p)}.$$ Cum $m\in (0,+\infty )$, deci $m^2\ne 0$, rămâne ecuația în $x$, pe care o factorizăm grupând termenii doi câte doi: $$x^3(x^2+1)-x^2-1=0⟺(x^2+1)(x^3-1)=0,\text{ deci }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Factorul $x^2+1$ este strict pozitiv pentru orice număr real, deci nu aduce nicio soluție; rămâne $x^3=1$, care are o singură rădăcină reală. Verificare: pentru $x=1$ argumentele sunt $m$ și $-m$, iar $m\circ (-m)=-m^2-m(m-m)+m^2+m=m$, oricare ar fi $m>0$. Unde se greșește de obicei: se împarte prin $m^2$ fără să se spună că $m\ne 0$, sau se caută rădăcini complexe ale lui $x^3=1$ — enunțul cere un număr real.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și numărul soluțiilor unei ecuații.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, apoi se aduce la același numitor: $$f^{\prime }(x)=4x^3-\frac{4}{x}=\frac{4x^4-4}{x}=\text{(3 p)}$$ Numărătorul este o diferență de pătrate aplicată de două ori, $x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)$: $$=\frac{4(x^4-1)}{x}=\frac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$, formula factorizată dă $\frac{4\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2}=30$, iar $4\cdot 2^3-\frac{4}{2}=32-2=30$ — aceeași valoare; raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $30$. Unde se greșește de obicei: se derivează $4\ln x$ ca $\frac{4}{x}$ cu semn plus, uitând minusul din enunț.)

b) (5 p) Pe intervalul $(0,+\infty )$ toți factorii $4$, $x^2+1$, $x+1$ și $x$ sunt strict pozitivi, deci semnul derivatei este dat exclusiv de factorul $x-1$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in (0,1],\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1],$$ $$\text{și }{f}^{\prime }(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in [1,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $f(0,5)\approx 0,83$, $f(1)=-1$, $f(2)\approx 11,23$ — chiar coboară și apoi urcă, cu minimul în $x=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie tabelul de semn fără să se spună de ce ceilalți factori nu contează, sau se include în răspuns și intervalul $(-\infty ,0)$, care nu face parte din domeniu.)

c) (5 p) Se calculează limitele la capetele domeniului. În $0$ spre dreapta, $x^4\to 0$ și $-4\ln x\to +\infty$; la $+\infty$, termenul $x^4$ domină logaritmul: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{(2 p)}.$$ Valoarea în punctul de minim este $f(1)=1-2-4\ln 1=-1<0$. Cum $f$ este continuă pe $(0,+\infty )$, strict descrescătoare pe $(0,1)$ și strict crescătoare pe $(1,+\infty )$, ea taie axa exact o dată pe fiecare dintre cele două ramuri, deci ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în intervalul $(0,+\infty )$ (3 p).

(Aici stă toată dificultatea subpunctului: soluțiile nu se pot calcula, dar se pot număra. Rețeta este mereu aceeași — monotonie strictă pe fiecare ramură plus schimbare de semn între capete. Control numeric: soluțiile sunt aproximativ $0,631$ și $1,332$, ambele găsite prin înjumătățirea intervalului; $f(0,6)\approx 0,17$ și $f(0,7)\approx -0,33$, deci prima rădăcină este într-adevăr între ele. Unde se greșește de obicei: se spune „are două soluții pentru că derivata se anulează o dată" — asta ar da cel mult două, nu exact două; existența lor vine din limitele $+\infty$.)

Itemul 10. (15 p) — primitive și integrala definită.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $x^4+1$ desființează numitorul fracției, $${\int }_0^1(x^4+1)f(x)dx={\int }_0^1(x^4+1+2x)dx=\left(\frac{x^5}{5}+x+x^2\right){|}_0^1=\text{(3 p)}$$ Cu formula Leibniz–Newton, înlocuind capetele, $$=\frac{1}{5}+1+1=\frac{11}{5}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^4+1>0$ pentru orice număr real, deci nu se împarte niciodată la zero. Control numeric: $\frac{11}{5}=2,2$, iar integrala calculată numeric dă $2,20000$. Unde se greșește de obicei: se distribuie greșit, $(x^4+1)\left(1+\frac{2x}{x^4+1}\right)=x^4+1+2x$, nu $x^4+1+2x(x^4+1)$.)

b) (5 p) Panta asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul lui $F$ este $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{F(x)}{x}$, o nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$ care se rezolvă cu regula lui l'Hospital; derivata numărătorului este chiar $f$, pentru că $F$ este primitivă a lui $f$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{F(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{F^{\prime }(x)}{x^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2x}{x^4+1}\right)=1\text{(3 p)}.$$ Prin urmare, asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $F$ are panta egală cu 1 (2 p).

(De ce $\frac{2x}{x^4+1}\to 0$: numitorul crește ca $x^4$, numărătorul doar ca $x$. Control numeric: $f\left(10^8\right)=1+2\cdot 10^{-24}$, practic $1$. Unde se greșește de obicei: se încearcă scrierea explicită a lui $F$ — inutil, pentru că nu ea contează, ci doar limita lui $f$. A doua capcană: se confundă panta cu termenul liber al asimptotei; enunțul cere numai panta, care se calculează prima.)

c) (5 p) Primitiva cu condiția $G(0)=0$ se scrie ca integrală cu capăt variabil pornind chiar din $0$; al doilea termen are la numărător derivata lui $t^2$, deci dă un arctangent: $$G(x)={\int }_0^{x}f(t)dt={\int }_0^x\left(1+\frac{2t}{t^4+1}\right)dt=(t+\mathrm{arctg}(t^2\left)\right){|}_0^x=x+\mathrm{arctg}\left(x^2\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Se înmulțește cu $x$ și se integrează; al doilea termen cere integrare prin părți, cu ${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }=x$: $${\int }_0^{1}xG(x)dx={\int }_0^1(x^2+x\mathrm{arctg}(x^2\left)\right)dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1+\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(x^2{)}^{\prime }\mathrm{arctg}\right(x^2)dx=$$ $$=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{x}^2\mathrm{arctg}\left(x^2\right){|}_0^1-{\int }_0^1\frac{x^3}{x^4+1}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\ln (x^4+1){|}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\ln 2\text{(3 p)}.$$ (Ultima integrală este de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx$, cu $u=x^4+1$ și $u^{\prime }=4x^3$ — de aici factorul $\frac{1}{4}$. Control numeric: $\frac{1}{3}+\frac{\pi }{8}-\frac{\ln 2}{4}\approx 0,5527$, iar integrala calculată numeric dă $0,55275$. Unde se greșește de obicei: se scrie $G(x)=x+\mathrm{arctg}\left(x^2\right)+\mathcal{C}$ și se uită că tocmai condiția $G(0)=0$ fixează $\mathcal{C}=0$; a doua capcană este derivata din integrarea prin părți — se derivează $\mathrm{arctg}\left(x^2\right)$ ca $\frac{1}{x^4+1}$, uitând factorul $2x$ din interior.)