Bac M1 2021, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2021 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 2, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: puterile lui $i$ și dezvoltarea unui pătrat, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: suma a doi logaritmi de aceeași bază și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu divizibilitatea simultană cu $2$ și cu $5$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și dreapta paralelă printr-un punct dat — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangentele celor două unghiuri ascuțite sunt inverse una alteia — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice diagonale, scoaterea unui factor comun dintr-o matrice și semnul unui determinant care depinde de un parametru natural — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: o lege asociativă pe $\mathbb{R}$ scrisă cu modul, comportarea ei pe perechi ordonate și un produs de trei factori — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală, imaginea funcției: derivarea unui radical, limita unei diferențe cu radical prin amplificare cu conjugata, monotonia strictă și mulțimea valorilor — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și încadrarea unui șir de integrale între două margini — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2021. Subiectul I este scurt și fără calcul lung, dar aproape fiecare cerință are un pas care se pierde ușor: verificarea condițiilor de existență la ecuația logaritmică, numărarea corectă a cazurilor posibile la probabilități, precizarea faptului că paralelismul înseamnă pante egale. Subiectul al II-lea pune la problema 1 o matrice diagonală (cel mai comod determinant posibil) și abia la subpunctul c) cere un produs de matrice cu parametru; problema 2 este o lege de compoziție scrisă cu modul — o lege care, odată recunoscută, face subpunctul c) aproape imediat. Subiectul al III-lea este cel care separă notele mari: la problema 1 se cere lanțul derivată → asimptotă orizontală → mulțimea valorilor, iar la problema 2 apare un șir de integrale a cărui limită se obține prin încadrare, nu prin calculul lui $I_n$.

Sesiunea 2021 a fost al doilea Bacalaureat ținut în condiții de pandemie, pe programa de examen aprobată prin ordin de ministru pentru acel an. Ce se vede din foaia de examen, fără interpretare: la Subiectul al II-lea nu apare niciun item de polinoame — problema a doua este o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$ —, deși modelul publicat pentru aceeași sesiune, în toamna anului 2020, conținea un polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$. Variantele diferă însă de la o sesiune la alta, așa că absența unui capitol dintr-o singură foaie nu este, ea singură, o dovadă de programă restrânsă; este profilul acestei probe, atât. Consecința practică pentru elevul de azi este una singură: toată materia acestei probe se află în programa nouă a clasei a XII-a, deci nu ai nevoie de niciun capitol de supliment ca s-o rezolvi întreagă.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln \frac{9}{5}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte cinci puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția unei ecuații logaritmice dată fără cuvântul „convine"; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația unei drepte paralele scrisă fără să se spună că pantele sunt egale; concluzia „graficul are asimptotă" fără limita calculată; limita unui șir de integrale afirmată fără încadrarea care o justifică.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ se aplică neschimbat, apoi se înlocuiește $i^2$. Punct pe grafic: $M(x_0,y_0)\in G_f⟺f(x_0)=y_0$. Logaritmi: ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$, valabilă pentru $u>0$ și $v>0$; funcția logaritmică este injectivă, deci din ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ rezultă $u=v$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr, iar „divizibil cu $2$ și cu $5$" înseamnă „divizibil cu $10$". Panta prin două puncte: $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă; dreapta prin $P$ de pantă $m$ este $y-y_P=m(x-x_P)$. Triunghiul dreptunghic: $\mathrm{tg}$ unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.
• Matrice: determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală; un factor comun tuturor elementelor se scoate în fața matricei, iar la determinant el iese la puterea a treia, $\det (cA)=c^3\det A$ pentru matrice de ordinul al treilea.
• Legi de compoziție: o lege se studiază întâi citind-o — $\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$ este chiar cel mai mare dintre cele două numere. Asociativitatea, când e dată în enunț, permite scrierea unui produs de trei factori fără paranteze.
• Derivate și asimptote: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; asimptota orizontală spre $+\infty$ există exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ este finită, iar ecuația ei este $y=\ell$; o diferență de tipul $x-\sqrt{x^2+c}$ se calculează amplificând cu conjugata. Imaginea unei funcții continue și strict monotone pe un interval este intervalul dintre limitele de la capete.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; monotonia integralei — dacă $0\le \phi (x)\le M$ pe $[a,b]$, atunci $0\le {\int }_a^b\phi (x)dx\le M(b-a)$; de aici se scot limitele șirurilor de integrale, fără să calculezi vreo integrală.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2+ax-5$ de la itemul $2$, $f(x)=x-\sqrt{x^2+3}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ are patru roluri: coeficient necunoscut la itemul $2$, parametrul familiei de matrice la itemul $7$, unul dintre cele două numere comparate la itemul $8$ b), valoarea căutată la itemul $9$ c) și capătul din stânga al intervalului de integrare la itemul $10$ c). Nu există nicio legătură între ele.
• Litera $B$ este vârf de triunghi la itemul $6$ și matrice la itemul $7$ b). Tot așa, $A$ este vârf la itemul $6$ și numele familiei de matrice la itemul $7$.
• Litera $n$ este număr natural-parametru la itemul $7$ c) și indice de șir la itemul $10$ c) — în al doilea caz, $n$ este exponentul la care se ridică funcția, nu o valoare a variabilei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $(1+i{)}^2-2(1+i)+2=0$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax-5$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(1,2)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_4(x^2+1)={\log }_{4}x+{\log }_4(x+1)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $2$ și cu $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,4)$, $N(0,1)$ și $P(3,0)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $P$ și este paralelă cu dreapta $MN$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $C$. Arătați că $\mathrm{tg}B=\frac{1}{\mathrm{tg}A}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a+2& 0& -a\\ 0& 2& 0\\ 3a& 0& 2-3a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=8$.

b) (5 puncte) Determinați matricea $B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, știind că $aB=A(a)-2I_3$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $\det (A(n)\cdot A(-n))>0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 0=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a\le b$, atunci $a\ast b=b$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\ast (x^2+1)\ast (-2x)=10$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(x^2+x+3)f(x)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{2}g(x)dx=\ln \frac{9}{5}$, unde $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2x+1}{x}\cdot f(x)$.

c) (5 puncte) Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $0\le a<b$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_a^b{f}^n(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Pătratul se dezvoltă ca la orice binom, iar $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$(1+i{)}^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2\text{(3 p)}.$$ Termenii $+2i$ și $-2i$ se reduc, partea reală dă $1-2+2=1$, iar $i^2=-1$, deci $$(1+i{)}^2-2(1+i)+2=1-1=0\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, mai scurt: expresia este valoarea trinomului $t^2-2t+2$ în $t=1+i$, iar rădăcinile lui sunt exact $1\pm i$, pentru că $\Delta =4-8=-4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$ sau se uită dublul produs $2i$ din dezvoltarea pătratului.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, punct pe grafic.

Un punct aparține graficului unei funcții exact când coordonatele lui verifică formula funcției: abscisa intră în locul lui $x$, iar rezultatul trebuie să fie ordonata. Pentru $M(1,2)$: $$f(1)=2,\text{ adica˘ }{1}^2+a\cdot 1-5=2,\text{ deci }1+a-5=2\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi $a-4=2$ dă $\mathbf{a}=6$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=6$, $f(x)=x^2+6x-5$, iar $f(1)=1+6-5=2$ — chiar ordonata lui $M$. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește invers, $f(2)=1$, adică se confundă abscisa cu ordonata.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Suma a doi logaritmi de aceeași bază este logaritmul produsului, deci membrul drept se strânge într-un singur logaritm, iar funcția logaritmică fiind injectivă, argumentele trebuie să fie egale: $${\log }_4(x^2+1)={\log }_4(x(x+1)),\text{ deci }{x}^2+1=x^2+x\text{(3 p)}.$$ Termenii $x^2$ se reduc și rămâne $x=1$, valoare care convine, pentru că verifică toate condițiile de existență (2 p): $$x=1>0,x+1=2>0,{\log }_{4}2+{\log }_{4}1=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}={\log }_{4}2.$$ (Unde se greșește de obicei: se sare peste condițiile de existență. Ele nu sunt formalism — desfacerea ${\log }_4(x(x+1))={\log }_{4}x+{\log }_4(x+1)$ este adevărată numai pentru $x>0$; pe intervalul $x<-1$ produsul $x(x+1)$ este pozitiv, dar cei doi logaritmi din enunț nu există. A doua capcană: se „simplifică" logaritmii, ca și cum ${\log }_{4}u=u$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Un număr este divizibil și cu $2$, și cu $5$ exact atunci când este divizibil cu $10$, pentru că $2$ și $5$ sunt prime între ele. Numerele de două cifre divizibile cu $10$ sunt $10,20,30,\dots ,90$, adică $9$ cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(1 p)}.$$ (Acesta este singurul item al probei cu trei bucăți în baremul oficial, de $2$, $2$ și $1$; celelalte au două. Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră, sau se ia „divizibil cu $2$ și cu $5$" ca „divizibil cu $2$ sau cu $5$" — atunci ar fi $45+18-9=54$ de cazuri favorabile, cu totul altă probabilitate.)

Itemul 5. (5 p) — dreaptă paralelă cu o dreaptă dată, în reper cartezian.

Panta unei drepte prin două puncte este raportul dintre creșterea ordonatelor și creșterea absciselor. Pentru $M(3,4)$ și $N(0,1)$: $$m_{MN}=\frac{4-1}{3-0}=\frac{3}{3}=1,\text{ iar dreptele fiind paralele, }{m}_d=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $P(3,0)$ și are panta $1$, deci $y-y_P=m_d(x-x_P)$, adică $y-0=1\cdot (x-3)$: $$d:\mathbf{y}=\mathbf{x}-3\text{(2 p)}.$$ (Control: $P(3,0)$ verifică ecuația, pentru că $3-3=0$; iar $M$ și $N$ nu o verifică ($4\ne 0$ și $1\ne -3$), semn că $d$ este într-adevăr o altă dreaptă, paralelă cu $MN$. Unde se greșește de obicei: se scrie panta răsturnat, $\frac{x_M-x_N}{y_M-y_N}$, sau se pune condiția de perpendicularitate, $m_d=-\frac{1}{m_{MN}}$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept fiind în $C$, catetele sunt $AC$ și $BC$, iar ipotenuza este $AB$. Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, deci pentru unghiul $A$: $$\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}\text{(2 p)}.$$ Pentru unghiul $B$, rolurile catetelor se schimbă între ele — opusa lui $B$ este $AC$, alăturata lui $B$ este $BC$ — și se obține chiar inversul raportului de mai sus: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\frac{BC}{AC}}=\frac{1}{\mathrm{tg}\mathbf{A}}\text{(3 p)}.$$ (De ce are sens împărțirea: într-un triunghi dreptunghic catetele sunt strict pozitive, deci $\mathrm{tg}A\ne 0$. Control pe un caz particular: dacă $AC=3$ și $BC=4$, atunci $\mathrm{tg}A=\frac{4}{3}$ și $\mathrm{tg}B=\frac{3}{4}$ — produsul lor este $1$. Unde se greșește de obicei: se ia ipotenuza drept catetă, pentru că enunțul nu spune explicit care latură este ipotenuza; ea este întotdeauna cea opusă unghiului drept, aici $AB$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ toți termenii cu parametru dispar și rămâne o matrice diagonală: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =8+0+0-0-0-0=8\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Se putea și mai scurt: $A(0)=2I_3$, iar pentru matrice de ordinul al treilea $\det (cA)=c^3\det A$, deci $\det \left(2I_3\right)=2^3\cdot 1=8$. Reține forma $A(0)=2I_3$ — ea explică de ce la subpunctul b) se scade tocmai $2I_3$.)

b) (5 p) Se scade $2I_3$ din $A(a)$, element cu element; scăderea atinge numai diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& A(a)-2I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a+2& 0& -a\\ 0& 2& 0\\ 3a& 0& 2-3a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -a\\ 0& 0& 0\\ 3a& 0& -3a\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Toate elementele au factorul comun $a$, care se scoate în fața matricei: $$\begin{array}{rl}aB& =a\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 3& 0& -3\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a,\\ & \text{ deci }\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 3& 0& -3\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (De ce se poate „simplifica prin $a$", deși $a$ poate fi nul: egalitatea se cere pentru orice număr real $a$, deci în particular pentru un $a\ne 0$, unde împărțirea este permisă; matricea găsită astfel verifică apoi egalitatea și pentru $a=0$, când ambii membri sunt matricea nulă. Control: pentru $a=1$, $A(1)-2I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 3& 0& -3\end{array}\right)=1\cdot B$. Unde se greșește de obicei: se scade $2$ din toate elementele, nu doar de pe diagonală — dar $2I_3$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană"; linia și coloana a doua conțin un singur element nenul, așa că numai colțurile se schimbă: $$\begin{array}{rl}& A(n)\cdot A(-n)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}4+2n^2& 0& -2n^2\\ 0& 4& 0\\ 6n^2& 0& 4-6n^2\end{array}\right)\\ & ⟹\det (A(n)\cdot A(-n))\\ & =64(1-n^2)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul este strict pozitiv exact când $1-n^2>0$, adică $n^2<1$; singurul număr natural cu această proprietate este $\mathbf{n}=0$ (2 p).

(Determinantul se dezvoltă după linia a doua, care are un singur element nenul: $4[(4+2n^2)(4-6n^2)+2n^2\cdot 6n^2]=4[16-16n^2-12n^4+12n^4]=64(1-n^2)$. Al doilea drum, mai scurt și un control gratuit: determinantul unui produs este produsul determinanților, iar dezvoltarea după linia a doua dă $\det A(t)=2[(t+2)(2-3t)+3t^2]=2(4-4t)=8-8t$; deci $\det A(n)\cdot \det A(-n)=(8-8n)(8+8n)=64-64n^2$ — aceeași expresie. Unde se greșește de obicei: se rezolvă $n^2<1$ în $\mathbb{R}$ și se răspunde $n\in (-1,1)$, uitând că $n$ este cerut natural; sau se adaugă $n=1$, deși acolo determinantul este nul, nu strict pozitiv.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiție, $x=2$ și $y=0$: $$2\ast 0=\frac{1}{2}(2+0+|2-0|)\text{(3 p)}.$$ Modulul unui număr pozitiv este numărul însuși, $|2|=2$, deci $$2\ast 0=\frac{1}{2}(2+2)=\frac{4}{2}=2\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $|2-0|=-2$ sau se uită împărțirea la $2$ din fața parantezei.)

b) (5 p) Ipoteza $a\le b$ spune că diferența $a-b$ este negativă sau nulă, deci modulul ei este opusul: $$a\le b⟹|a-b|=b-a\text{(2 p)}.$$ Înlocuind în definiție, termenii $a$ și $-a$ se reduc: $$a\ast b=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|)=\frac{1}{2}(a+b+b-a)=\frac{1}{2}\cdot 2b=\mathbf{b},$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$ astfel încât $a\le b$ (3 p).

(Pasul pe care baremul oficial nu-l scrie, dar care merită scris o dată: subpunctul acesta arată, de fapt, că legea dă cel mai mare dintre cele două numere, $x\ast y=\max (x,y)$. Într-adevăr, dacă $x\le y$ atunci $x\ast y=y$, iar dacă $y\le x$ atunci, prin simetria formulei, $x\ast y=x$. Cu această citire, tot itemul devine transparent — și se vede și de ce legea este asociativă, cum spune enunțul: cel mai mare dintre trei numere nu depinde de ordinea în care le compari. Unde se greșește de obicei: se „scoate modulul" fără condiție, scriind $|a-b|=a-b$, ceea ce ar da $a\ast b=a$ — răspuns fals exact pe cazul din ipoteză.)

c) (5 p) Se compară pe rând factorii. Pentru orice număr real $x$ avem $x^2+1\ge 2x$ și $x^2+1\ge -2x$, pentru că $x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0$ și $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$. Legea fiind asociativă, produsul se poate calcula în orice ordine, iar la fiecare pas rămâne numărul mai mare: $$(2x)\ast (x^2+1)\ast (-2x)=(x^2+1)\ast (-2x)=(x^2+1),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $x^2+1=10$, adică $x^2=9$, deci $\mathbf{x}=-3$ sau $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Control: pentru $x=3$ factorii sunt $6$, $10$ și $-6$, iar cel mai mare este $10$; pentru $x=-3$ sunt $-6$, $10$ și $6$, cu același maxim. Unde se greșește de obicei: se calculează întâi $(2x)\ast (-2x)$, ceea ce este permis (legea e asociativă și simetrică), dar dă $|2x|$ și lungește calculul; sau se rezolvă $x^2=9$ păstrând o singură soluție.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și mulțimea valorilor.

a) (5 p) Al doilea termen este un radical compus, deci se derivează cu $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, cu $u(x)=x^2+3$ și $u^{\prime }(x)=2x$: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}\text{(3 p)}.$$ Se simplifică prin $2$ și se aduce la același numitor: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Funcția este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$ pentru că $x^2+3\ge 3>0$, deci radicalul nu se anulează niciodată. Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{2-1}{2}=0,5$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0,5$. Unde se greșește de obicei: se uită $u^{\prime }$ de la numărător, adică se scrie $\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}$.)

b) (5 p) Asimptota orizontală spre $+\infty$ cere limita funcției, nu panta. Diferența are forma $\infty -\infty$, așa că se amplifică cu conjugata: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+3})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-(x^2+3)}{x+\sqrt{x^2+3}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3}{x+\sqrt{x^2+3}}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Control numeric: $f(1000)=1000-\sqrt{1000003}\approx -0,0015$, foarte aproape de zero, și negativ — graficul se apropie de axa $Ox$ pe dedesubt. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $\infty -\infty =0$, fără amplificare; sau se caută asimptotă oblică, deși limita funcției este finită — orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc.)

c) (5 p) Monotonia. Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}>0$ pentru orice număr real $x$, pentru că numitorul este strict pozitiv, iar numărătorul la fel: $\sqrt{x^2+3}>\sqrt{x^2}=|x|\ge x$. Așadar $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (2 p).

Mulțimea valorilor. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind diferență de funcții elementare, iar limitele la capete sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty \text{și}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$ O funcție continuă și strict crescătoare pe un interval ia exact valorile dintre limitele de la capete, capetele nefiind atinse, deci imaginea lui $f$ este intervalul $(-\infty ,0)$. Ecuația $f(x)=a$ are soluție exact atunci când $\mathbf{a}\in (-\infty ,0)$ (3 p).

(De ce capătul $0$ este exclus: $f(x)=0$ ar însemna $x=\sqrt{x^2+3}$, adică $x^2=x^2+3$ — imposibil. Valoarea $0$ este limită, nu valoare atinsă. Unde se greșește de obicei: se scrie $a\in (-\infty ,0]$, incluzând limita, sau se răspunde „orice $a$ real", uitând că funcția este mărginită superior.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $x^2+x+3$ se reduce cu numitorul funcției, $$(x^2+x+3)f(x)=(x^2+x+3)\cdot \frac{x}{x^2+x+3}=x,\text{deci}{\int }_0^2(x^2+x+3)f(x)dx={\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^2(x^2+x+3)f(x)dx=\frac{4}{2}-\frac{0}{2}=2\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pe tot $\mathbb{R}$: trinomul $x^2+x+3$ are $\Delta =1-12=-11<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv peste tot — de aceea funcția $f$ este definită pe $\mathbb{R}$ întreg. Reține valoarea $\Delta =-11$: ea se folosește din nou la subpunctul c).)

b) (5 p) Se scrie întâi $g$ explicit; factorul $x$ de la numitorul primului factor se reduce cu $x$ de la numărătorul lui $f$, iar ce rămâne este exact derivata numitorului pe numitor: $$g(x)=\frac{2x+1}{x}\cdot \frac{x}{x^2+x+3}=\frac{2x+1}{x^2+x+3}=\frac{(x^2+x+3{)}^{\prime }}{x^2+x+3},\text{ deci }{\int }_1^{2}g(x)dx=\ln (x^2+x+3){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, $2^2+2+3=9$ și $1^2+1+3=5$, amândouă pozitive, deci modulul din primitivă nu mai are ce face: $${\int }_1^{2}g(x)dx=\ln 9-\ln 5=\ln \frac{9}{5}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $\ln \frac{9}{5}=\ln 1,8\approx 0,5878$, iar integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $0,58779$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{2x+1}{x^2+x+3}$ „pe bucăți", ca și cum s-ar putea rupe fracția după numărător; sau se scrie $\ln 9-\ln 5=\ln 4$, confundând diferența de logaritmi cu logaritmul diferenței.)

c) (5 p) Nu se calculează $I_n$ — se încadrează. Pe intervalul $[0,+\infty )$ funcția este nenegativă, iar marginea de sus se obține din $$\frac{x}{x^2+x+3}\le \frac{1}{2}⟺2x\le x^2+x+3⟺x^2-x+3\ge 0,$$ inegalitate adevărată pentru orice număr real $x$, pentru că $\Delta =1-12<0$. Deci $0\le f(x)\le \frac{1}{2}$ și, ridicând la puterea $n$, $$0\le f^n(x)\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )\text{ și orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Cum $0\le a<b$, intervalul de integrare este inclus în $[0,+\infty )$, iar integrala păstrează inegalitățile: $$0\le I_n={\int }_a^b{f}^n(x)dx\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n(b-a).$$ Șirul ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ este o progresie geometrică cu rația în $(0,1)$, deci tinde la zero; prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ (3 p).

(Marginea $\frac{1}{2}$ este generoasă — maximul real al lui $f$ pe $[0,+\infty )$ este $\frac{\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}\approx 0,224$ — dar orice margine strict subunitară duce la aceeași concluzie, iar $\frac{1}{2}$ se demonstrează în două rânduri. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al lui $I_n$, care nu se poate face; sau se scrie „$f^n\to 0$, deci integrala tinde la $0$" fără încadrare — trecerea la limită sub integrală nu este o regulă de liceu, iar aici nici nu e nevoie de ea. Control numeric pentru $a=0$ și $b=1$: $I_1\approx 0,1220$, $I_2\approx 0,0183$, $I_5\approx 0,000088$ — scădere mai rapidă decât cea geometrică prezisă de încadrare, deci încadrarea este într-adevăr valabilă.)