Bac M1 2021, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2021 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, a examenului național de bacalaureat din 2021. Documentul poartă mențiunea „Model", fără număr de variantă, și a apărut în toamna anului 2020 — antetul lui poartă numele de atunci al ministerului, Ministerul Educației și Cercetării. Modelul are exact structura, punctajul și durata probei reale și este documentul prin care ministerul anunță, în fiecare an, ce tipuri de cerințe se vor da. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: proprietățile logaritmului și verificarea faptului că un număr este natural — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu o dreaptă orizontală, prin numărul de soluții al unei ecuații — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională: egalitatea a doi radicali și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul de submulțimi cu două elemente ale unei mulțimi, adică $C_n^2$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: mijlocul unui segment în limbaj vectorial și descompunerea după două laturi ale unui triunghi — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula unghiului dublu și rezolvarea unei ecuații pe un interval dat — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Determinanți cu parametri: determinantul de ordinul al treilea, factorizarea lui într-un produs de diferențe și o problemă de numere prime și progresii aritmetice — clasele a X-a – a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$: valorile unui polinom, divizibilitatea cu un polinom de gradul întâi și un argument de numărare pe mulțimea claselor de resturi — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă oblică și punct de extrem: derivarea unui raport cu exponențială, procedura în doi pași a asimptotei oblice și unicitatea rădăcinii unei ecuații transcendente — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și minorarea unui șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2021. Este cel mai greu subiect din lotul acestor ani, și se vede de la Subiectul I: cerința $5$ este pur vectorială, cu trei mijloace suprapuse, iar cerința $2$ cere formularea „două puncte distincte" tradusă corect în „ecuație cu două soluții reale distincte". Subiectul al II-lea urcă nivelul de două ori: problema 1 cere factorizarea unui determinant cu trei parametri și apoi un raționament de teoria numerelor (un produs de trei numere naturale nenule este prim doar dacă doi dintre factori sunt $1$), iar problema 2 lucrează în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, deci cu aritmetică modulo $3$. Subiectul al III-lea încheie cu două probleme în care rezultatul nu se calculează, ci se argumentează: unicitatea punctului de extrem, la problema 1, și divergența unui șir de integrale, la problema 2.

Notă de programă. Problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame cu coeficienți într-o mulțime de clase de resturi, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame". Dacă înveți pe programa nouă și dai examenul într-una dintre aceste sesiuni, capitolul îți este necesar; dacă nu, itemul $8$ se poate sări fără să pierzi nimic din restul probei.

Sesiunea 2021 a fost al doilea Bacalaureat ținut în condiții de pandemie, pe programa de examen aprobată prin ordin de ministru pentru acel an. Merită văzut contrastul dintre acest model, publicat în toamna anului 2020, și foaia dată efectiv în iunie 2021: modelul are un polinom în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ la Subiectul al II-lea, în timp ce proba din sesiunea iunie-iulie 2021 nu conține niciun item de polinoame — acolo, problema a doua este o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$. Variantele diferă însă de la o sesiune la alta, așa că diferența nu este, ea singură, o dovadă de programă restrânsă; este ce se vede din cele două documente, atât. Concluzia practică: modelul este mai greu decât proba reală a acelui an, deci este un antrenament bun, nu o predicție.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, unghiuri de forma $\frac{3\pi }{4}$ sau expresii de forma $4\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte cinci puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificarea condițiilor de existență; concluzia „graficele se intersectează" fără discriminantul calculat; determinantul factorizat „prin analogie", fără operațiile pe coloane scrise; unicitatea unui punct de extrem afirmată fără monotonia funcției ajutătoare; limita unui șir de integrale afirmată fără minorare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: $k{\log }_{a}u={\log }_a{u}^k$, ${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a(uv)$ și ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$, toate pentru $u,v>0$. Intersecția cu o dreaptă orizontală: graficul lui $f$ taie dreapta $y=k$ în atâtea puncte câte soluții reale distincte are ecuația $f(x)=k$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=\sqrt{v}\Rightarrow u=v$, cu condițiile $u\ge 0$ și $v\ge 0$, verificate la final. Combinatorică: numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k$, iar $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$. Vectori: dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, atunci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Trigonometrie: $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
• Determinanți: operațiile elementare pe coloane nu schimbă determinantul; scăzând prima coloană din celelalte apar factori comuni care se scot în fața determinantului. Forma $(b-a)(c-a)(c-b)$ este tiparul determinantului lui Vandermonde.
• Numere prime: dacă un produs de trei numere naturale nenule este număr prim, atunci doi dintre factori sunt egali cu $1$ — pentru că un număr prim are exact doi divizori naturali. Progresie aritmetică: trei numere $m$, $n$, $p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $n-m=p-n$.
• Polinoame în ${\mathbb{Z}}_3[X]$: în ${\mathbb{Z}}_3$ avem $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$, ${\hat{2}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^3=\hat{2}$, ${\hat{2}}^4=\hat{1}$ și $\hat{3}\hat{a}=\hat{0}$ pentru orice $\hat{a}$. Teorema lui Bézout: $f$ este divizibil cu $X-\alpha$ exact când $f(\alpha )=\hat{0}$; aici $X+\hat{2}=X-\hat{1}$, pentru că $-\hat{2}=\hat{1}$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; asimptota oblică spre $+\infty$ cere $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit. Un punct de extrem apare acolo unde derivata își schimbă semnul; unicitatea lui se demonstrează arătând că numărătorul derivatei este o funcție strict monotonă, deci se anulează o singură dată.
• Integrale: $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; monotonia integralei — dacă $\phi (x)\ge M$ pe $[a,b]$ cu $a<b$, atunci ${\int }_a^b\phi (x)dx\ge M(b-a)$; de aici se scot limitele infinite ale șirurilor de integrale.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x^2-x+2$ de la itemul $2$, polinomul $f$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x{e}^x}{e^x+2}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția obiectului la începutul fiecărei rezolvări.
• Literele $a$, $b$, $c$ sunt parametri reali la itemul $7$ și clase de resturi la itemul $8$ (unde doar $a$ și $b$ apar, în ${\mathbb{Z}}_3$); tot $a$ și $b$ sunt capetele intervalului de integrare la itemul $10$ c). Nu există nicio legătură între cele trei folosiri.
• Literele $M$, $N$, $P$ sunt puncte în plan la itemul $5$, iar $m$, $n$, $p$ sunt numere naturale la itemul $7$ c) — literele mici și cele mari denumesc obiecte diferite, chiar dacă se citesc la fel. Litera $n$ este, în plus, indicele șirului de integrale la itemul $10$ c) și numărul de elemente al unei mulțimi la itemul $4$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $N={\log }_{2}6-2{\log }_{2}3+{\log }_{2}24$ este natural.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x+2$. Arătați că dreapta de ecuație $y=2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-5}=\sqrt{3x-1}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi $A$, știind că mulțimea $A$ are exact $15$ submulțimi cu două elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$, $N$ și $P$ mijloacele segmentelor $BC$, $BM$, respectiv $CM$. Arătați că $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in (0,\pi )$, știind că $\sin 2x+2{\sin }^{2}x=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ bc& ac& ab\end{array}\right)$, unde $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0,1,2))=2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(a,b,c))=(b-a)(c-a)(c-b)$, pentru orice numere reale $a$, $b$ și $c$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $m$, $n$ și $p$ sunt numere naturale, cu $m<n<p$, astfel încât determinantul matricei $A(m,n,p)$ este număr prim, atunci numerele $m$, $n$ și $p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 8 (15 puncte)

În mulțimea ${\mathbb{Z}}_3[X]$, se consideră polinomul $f=X^4+a{X}^3+\hat{2}X+b$, unde $a,b\in {\mathbb{Z}}_3$.

a) (5 puncte) Pentru $a=\hat{1}$ și $b=\hat{2}$, arătați că $f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{2}\right)=\hat{2}$.

b) (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$, cu $a,b\in {\mathbb{Z}}_3$, pentru care polinomul $f$ este divizibil cu $X+\hat{2}$.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice $a,b\in {\mathbb{Z}}_3$, există $x,y\in {\mathbb{Z}}_3$, cu $x\ne y$, astfel încât $f(x)=f(y)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x{e}^x}{e^x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(e^x+2x+2)}{(e^x+2{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că dreapta de ecuație $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4x+5}dx=7$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(f^2(x)-4)dx=4\ln 2$.

c) (5 puncte) Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $0\le a<b$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_a^b{f}^n(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=+\infty$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului publicat pentru sesiunile din 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — proprietățile logaritmilor.

Coeficientul $2$ intră ca exponent sub logaritm, $2{\log }_{2}3={\log }_2{3}^2={\log }_{2}9$, iar suma și diferența de logaritmi se strâng într-un singur logaritm, al produsului împărțit la cât: $$N={\log }_{2}6-{\log }_{2}9+{\log }_{2}24={\log }_2\frac{6\cdot 24}{9}\text{(3 p)}.$$ Fracția se simplifică prin $9$: $\frac{144}{9}=16$, iar $16=2^4$, deci $$N={\log }_{2}16=4,\text{ care este numa˘r natural}\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, la fel de scurt: $6=2\cdot 3$ și $24=2^3\cdot 3$, deci $N=(1+{\log }_{2}3)-2{\log }_{2}3+(3+{\log }_{2}3)=4$ — termenii cu ${\log }_{2}3$ se reduc. Unde se greșește de obicei: se scrie $2{\log }_{2}3={\log }_{2}6$, adică se înmulțește argumentul cu $2$ în loc să fie ridicat la pătrat.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția unui grafic cu o dreaptă orizontală.

Un punct comun graficului și dreptei are ordonata $2$, deci abscisa lui verifică ecuația $f(x)=2$; numărul punctelor de intersecție este numărul soluțiilor reale distincte: $$f(x)=2⟺x^2-x+2=2⟺x^2-x=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația se rezolvă prin factorizare, $x(x-1)=0$, deci are soluțiile reale distincte $x=0$ și $x=1$; prin urmare dreapta $y=2$ intersectează graficul funcției $f$ în două puncte distincte, anume $(0,2)$ și $(1,2)$ (3 p).

(Al doilea drum, cel cerut de barem: ecuația $x^2-x=0$ are discriminantul $\Delta =1>0$, deci două soluții reale distincte — argument care merge și când rădăcinile nu sunt „frumoase". Unde se greșește de obicei: se scrie doar „$x=0$ sau $x=1$" fără să se spună că soluțiile sunt distincte, deși tocmai asta cere enunțul; sau se rezolvă $f(x)=0$ în loc de $f(x)=2$, adică se caută intersecția cu axa, nu cu dreapta dată.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională cu doi radicali.

Doi radicali de ordinul al doilea sunt egali exact când argumentele lor sunt egale (și nenegative), deci ecuația se ridică la pătrat direct: $$x^2-5=3x-1⟹x^2-3x-4=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =9+16=25$ și rădăcinile $x=-1$ și $x=4$; se verifică fiecare în condițiile de existență: $$x=-1\text{ nu convine, pentru ca˘ }3\cdot (-1)-1=-4<0;\mathbf{x}=4\text{ convine}\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $x=4$: $\sqrt{16-5}=\sqrt{11}$ și $\sqrt{12-1}=\sqrt{11}$ — egalitate. Observație: la $x=-1$ ambele argumente sunt negative, deci niciunul dintre radicali nu există; ridicarea la pătrat a produs o soluție străină, exact ce se așteaptă de la o transformare care nu este echivalentă. Unde se greșește de obicei: se acceptă amândouă rădăcinile, pentru că „ele verifică $x^2-5=3x-1$" — dar egalitatea argumentelor nu ajunge, radicalii trebuie să existe.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

O submulțime cu două elemente se formează alegând două elemente dintre cele $n$ ale mulțimii, fără să conteze ordinea, deci numărul lor este $C_n^2$: $$\text{mulțimea }A\text{ are }{C}_n^2\text{ submulțimi cu doua˘ elemente, unde }n\in \mathbb{N},n\ge 2,\text{ este numa˘rul de elemente ale lui }A\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea în $n$: $$C_n^2=15,\text{ deci }\frac{n(n-1)}{2}=15,\text{ adica˘ }{n}^2-n-30=0,\text{ de unde obținem ca˘ mulțimea }A\text{ are }6\text{ elemente}\text{(3 p)}.$$ (De ce se păstrează o singură rădăcină: $\Delta =1+120=121$, deci $n=\frac{1\pm 11}{2}$, adică $n=6$ sau $n=-5$; a doua nu este număr natural. Control: o mulțime cu șase elemente are $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$ perechi — de pildă cele $15$ meciuri dintr-un turneu de șase echipe, fiecare cu fiecare. Unde se greșește de obicei: se folosește $A_n^2=n(n-1)$, adică aranjamentele, în care ordinea contează — atunci ar ieși $n(n-1)=15$, fără soluție întreagă.)

Itemul 5. (5 p) — vectori într-un triunghi.

Regula mijlocului, scrisă cu originea în $A$: dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, atunci $$M\text{ mijlocul lui }BC⟹\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\text{(2 p)}.$$ Punctele $N$ și $P$ sunt mijloacele lui $BM$ și $CM$, deci $M$ este chiar mijlocul segmentului $NP$; aplicând aceeași regulă pentru triunghiul $ANP$ se obține concluzia: $$M\text{ mijlocul lui }NP⟹\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}),\text{ deci }\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\text{(3 p)}.$$ (Pasul pe care baremul îl afirmă fără să-l demonstreze — de ce este $M$ mijlocul lui $NP$: notând cu $\overrightarrow{u}$ vectorul de poziție al fiecărui punct față de $A$, avem $\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}}{2}$ și $\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}}{2}$, deci semisuma lor este $\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AM}}{4}=\frac{2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AM}}{4}=\overrightarrow{AM}$. Geometric: $N$ și $P$ sunt simetrice față de $M$, fiind mijloacele celor două jumătăți egale $BM$ și $CM$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, fără jumătate — aceea este diagonala paralelogramului, nu mediana.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică pe un interval dat.

Se folosește formula unghiului dublu, $\sin 2x=2\sin x\cos x$, iar apoi se dă factor comun: $$2\sin x\cos x+2{\sin }^{2}x=0⟺2\sin x(\cos x+\sin x)=0\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul $(0,\pi )$ avem $\sin x>0$, deci primul factor nu se anulează; rămâne $\cos x+\sin x=0$, adică $\mathrm{tg}x=-1$, iar singura valoare din interval este $$\text{cum }x\in (0,\pi ),\text{ obținem }\mathbf{x}=\frac{3\pi }{4}\text{(3 p)}.$$ (De ce se poate împărți la $\cos x$: dacă $\cos x$ ar fi zero, ar rezulta și $\sin x=0$, imposibil, pentru că suma pătratelor lor este $1$. Verificare: $\sin \frac{3\pi }{2}+2{\sin }^2\frac{3\pi }{4}=-1+2\cdot \frac{1}{2}=0$. Unde se greșește de obicei: se simplifică ecuația prin $\sin x$ fără să se spună de ce se poate — pe alt interval, unde $\sin x$ se anulează, s-ar pierde soluții; sau se dă răspunsul $x=-\frac{\pi }{4}$, care rezolvă $\mathrm{tg}x=-1$, dar nu este în intervalul cerut.)

Itemul 7. (15 p) — determinant de ordinul al treilea cu trei parametri.

a) (5 p) Se înlocuiesc $a=0$, $b=1$ și $c=2$ în cele trei linii; ultima linie devine $\left(\begin{array}{ccc}bc& ac& ab\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\end{array}\right)$: $$\begin{array}{rl}& A(0,1,2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0,1,2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 2& 0& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, dintre cei șase termeni doar doi sunt nenuli: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0,1,2))\\ & =0+0+4-2-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare cu formula de la subpunctul b): $(1-0)(2-0)(2-1)=1\cdot 2\cdot 1=2$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se calculează greșit ultima linie, punând $\left(\begin{array}{ccc}ab& ac& bc\end{array}\right)$ — ordinea din enunț este $bc$, $ac$, $ab$, adică fiecare element „lipsește" litera de deasupra lui.)

b) (5 p) Se scad prima coloană din a doua și din a treia; determinantul nu se schimbă, iar prima linie devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a,b,c))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ bc& ac& ab\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& b-a& c-a\\ bc& ac-bc& ab-bc\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Pe ultima linie se dau factori comuni, $ac-bc=-c(b-a)$ și $ab-bc=-b(c-a)$, apoi se scot $(b-a)$ din coloana a doua și $(c-a)$ din a treia: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a,b,c))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& b-a& c-a\\ bc& -c(b-a)& -b(c-a)\end{array}\right|\\ & =(b-a)(c-a)(c-b),\\ & \text{ pentru orice numere reale }a,b\text{ și }c\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Ultimul pas, în detaliu: după scoaterea factorilor rămâne $(b-a)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 1\\ bc& -c& -b\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(-b+c)$. Control pe două triplete: pentru $(1,2,3)$ formula dă $1\cdot 2\cdot 1=2$, iar calculul direct al determinantului dă tot $2$; pentru $(-2,5,7)$ formula dă $7\cdot 9\cdot 2=126$, la fel ca dezvoltarea directă. Unde se greșește de obicei: se scrie ultimul factor ca $(b-c)$ în loc de $(c-b)$ — semnul contează la subpunctul c), unde toți cei trei factori trebuie să fie pozitivi.)

c) (5 p) Din subpunctul b), determinantul este produsul a trei diferențe, iar ipoteza $m<n<p$ le face pe toate strict pozitive; în plus, cea mai mare dintre ele este $p-m$, fiind suma celorlalte două: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(m,n,p))\\ & =(n-m)(p-m)(p-n)\text{ și, cum }m,n\text{ și }p\text{ sunt numere naturale, cu }m\\ & <n<p,\text{ obținem }p-m>p-n>0\text{ și }p-m>n-m>0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un număr prim are exact doi divizori naturali, $1$ și el însuși, deci dintr-un produs de trei numere naturale nenule egal cu un număr prim, doi factori trebuie să fie egali cu $1$ — și anume cei mici: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{cum }\det (A(m,n,p))\text{ este numa˘r prim, obținem }p-n\\ & =n-m=1,\\ & \text{ deci numerele }m,n\text{ și }p\text{ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Consecință care merită observată: rația progresiei este $1$, iar determinantul este atunci $1\cdot 2\cdot 1=2$ — deci singurul număr prim care poate să apară este $2$. Control prin căutare directă: printre toate tripletele de numere naturale sub $14$ cu $m<n<p$, cele pentru care determinantul este prim sunt exact cele de forma $(k,k+1,k+2)$, iar determinantul este de fiecare dată $2$. Unde se greșește de obicei: se ia „doi factori egali cu $1$" fără să se spună CARE — dacă $p-m$ ar fi $1$, atunci $n-m$ și $p-n$ ar fi subunitare, imposibil pentru numere naturale nenule.)

Itemul 8. (15 p) — polinom cu coeficienți în ${\mathbb{Z}}_3$.

a) (5 p) Pentru $a=\hat{1}$ și $b=\hat{2}$ polinomul se scrie explicit, iar valorile se calculează înlocuind nedeterminata, cu aritmetică modulo $3$: $$\begin{array}{rl}f& =X^4+X^3+\hat{2}X+\hat{2},\text{ deci }f\left(\hat{0}\right)\\ & =\hat{2}\text{ și }f\left(\hat{2}\right)=\hat{0}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Adunând cele două valori în ${\mathbb{Z}}_3$: $$f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{2}\right)=\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}\text{(2 p)}.$$ (Cum se obține $f\left(\hat{2}\right)$: puterile lui $\hat{2}$ se repetă din doi în doi, ${\hat{2}}^2=\hat{4}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^3=\hat{2}$, ${\hat{2}}^4=\hat{1}$, deci $f\left(\hat{2}\right)=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}\cdot \hat{2}+\hat{2}=\hat{1}+\hat{2}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$. Control cu numere întregi: $2^4+2^3+2\cdot 2+2=16+8+4+2=30$, iar $30$ este divizibil cu $3$. Unde se greșește de obicei: se calculează în $\mathbb{Z}$ și se uită reducerea modulo $3$ la final.)

b) (5 p) Polinomul $X+\hat{2}$ se scrie $X-\hat{1}$, pentru că $-\hat{2}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$; prin teorema lui Bézout, divizibilitatea înseamnă anularea polinomului în $\hat{1}$: $$\begin{array}{rl}& f\text{ este divizibil cu }X+\hat{2}\\ & ⟺f\left(\hat{1}\right)\\ & =\hat{0},\text{ deci }a+b=\hat{0}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Într-adevăr, $f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+a+\hat{2}+b=a+b$, pentru că $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$. Rămâne de găsit perechile de clase cu suma nulă: $$\begin{array}{rl}& \text{cum }a,b\\ & \in {\mathbb{Z}}_3,\\ & \text{ perechile sunt }(\hat{0},\hat{0}),(\hat{1},\hat{2})\text{ și }(\hat{2},\hat{1})\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control pe una dintre perechi: pentru $a=\hat{1}$ și $b=\hat{2}$ am văzut la subpunctul a) că $f\left(\hat{2}\right)=\hat{0}$ — dar atenție, divizibilitatea cu $X+\hat{2}$ cere anularea în $\hat{1}$, nu în $\hat{2}$: $f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, deci perechea chiar convine. Unde se greșește de obicei: se caută anularea în $\hat{2}$, adică se citește $X+\hat{2}$ ca $X-\hat{2}$; opusul lui $\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$ este $\hat{1}$, nu $\hat{2}$.)

c) (5 p) Se adună cele trei valori posibile ale polinomului; toți termenii care conțin parametrii se grupează câte trei și se anulează, pentru că $\hat{3}\hat{a}=\hat{0}$ pentru orice clasă: $$\begin{array}{rl}& f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{2}\right)\\ & =\hat{2},\text{ pentru orice }a,b\in {\mathbb{Z}}_3\text{(3 p)}.\end{array}$$ Dacă cele trei valori ar fi distincte două câte două, ele ar fi, într-o ordine oarecare, chiar $\hat{0}$, $\hat{1}$ și $\hat{2}$ — singurele clase din ${\mathbb{Z}}_3$ —, iar suma lor ar fi $\hat{0}$: $$\begin{array}{rl}& \text{daca˘ }f\left(\hat{0}\right),f\left(\hat{1}\right)\text{ și }f\left(\hat{2}\right)\text{ ar fi distincte doua˘ caˆte doua˘, atunci }f\left(\hat{0}\right)+f\left(\hat{1}\right)+f\left(\hat{2}\right)\\ & =\hat{0}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{0},\text{ ceea ce este fals, deci pentru orice }a,b\\ & \in {\mathbb{Z}}_3\text{ exista˘ }x,y\in {\mathbb{Z}}_3,\text{ cu }x\ne y,\text{ astfel ıˆncaˆt }f(x)=f(y)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cum se face suma, în detaliu: $f\left(\hat{0}\right)=b$, $f\left(\hat{1}\right)=\hat{1}+a+\hat{2}+b=a+b$, iar $f\left(\hat{2}\right)=\hat{1}+\hat{2}a+\hat{1}+b=\hat{2}+\hat{2}a+b$; adunând, coeficientul lui $a$ este $\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$, cel al lui $b$ este $\hat{3}=\hat{0}$, și rămâne $\hat{2}$. Ideea de fond: o funcție de la o mulțime cu trei elemente la ea însăși este injectivă exact când este bijectivă, iar aici suma valorilor arată că bijecție nu poate fi. Control prin verificare exhaustivă: pentru toate cele nouă perechi $(a,b)$, mulțimea valorilor lui $f$ are cel mult două elemente. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea „pe cazuri", cu toate cele nouă perechi — merge, dar durează de zece ori mai mult decât argumentul de mai sus.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și punct de extrem.

a) (5 p) Se derivează raportul, cu $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x$ pentru numărător și $(e^x+2{)}^{\prime }=e^x$ pentru numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{(e^x+x{e}^x)(e^x+2)-x{e}^x\cdot e^x}{(e^x+2{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând numărătorul, termenii $x{e}^{2x}$ se reduc, iar din ce rămâne se dă factor comun $e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}+2e^x+2x{e}^x}{(e^x+2{)}^2}=\frac{e^x(e^x+2x+2)}{(e^x+2{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{e^2(e^2+6)}{(e^2+2{)}^2}\approx 1,1223$, iar raportul incremental $\frac{f(2,000001)-f(1,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $x{e}^x$ ca $e^x$, uitând regula produsului; sau se scrie $(e^x+2{)}^{\prime }=e^x+2$.)

b) (5 p) Se caută întâi panta; fracția $\frac{e^x}{e^x+2}$ tinde la $1$, pentru că numărătorul și numitorul sunt dominate de același termen: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{e^x+2}=1\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber; numărătorul se strânge și rămâne un raport în care exponențiala bate polinomul: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x{e}^x-x(e^x+2)}{e^x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x}{e^x+2}=0,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De ce $\frac{-2x}{e^x+2}\to 0$: exponențiala crește mai repede decât orice polinom, deci raportul dintre un polinom și $e^x$ tinde la zero. Control numeric: $f(300)-300\approx -3\cdot 10^{-128}$, practic zero. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ înaintea lui $m$, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$ — spre $-\infty$ funcția are asimptotă orizontală, $y=0$, deci capătul chiar contează.)

c) (5 p) În formula derivatei, factorii $e^x$ și $(e^x+2{)}^2$ sunt strict pozitivi, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul funcției ajutătoare $g(x)=e^x+2x+2$. Aceasta este sumă de funcții strict crescătoare, deci strict crescătoare ea însăși, și are limite opuse la capete: $$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=e^x+2x+2\text{ este strict cresca˘toare și, cum }g\text{ este continua˘},\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-\infty \text{ și }\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty ,\text{ exista˘ un unic numa˘r real }c,\text{ astfel ıˆncaˆt }g(c)=0\text{(3 p)}.$$ De o parte și de alta a lui $c$, derivata are semne diferite, deci acolo este singura schimbare de monotonie: $$f^{\prime }(x)<0,\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,c)\Rightarrow f\text{ este strict descresca˘toare pe }(-\infty ,c)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0,\text{ pentru orice }x\in (c,+\infty )\Rightarrow f\text{ este strict cresca˘toare pe }(c,+\infty )\text{ și, cum }f\text{ este continua˘, obținem ca˘ }f\text{ are un unic punct de extrem}\text{(2 p)}.$$ (Unde se află $c$: $g(-2)=e^{-2}-2<0$ și $g(-1)=e^{-1}>0$, deci $c\in (-2,-1)$; numeric, $c\approx -1,1572$. Valoarea minimului are o formă surprinzător de simplă: din $g(c)=0$ rezultă $e^c=-2c-2$, iar înlocuind în formula funcției, $f(c)=\frac{c(-2c-2)}{-2c-2+2}=\frac{c(-2c-2)}{-2c}=c+1\approx -0,1572$ — control numeric confirmat. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația $f^{\prime }(x)=0$ „explicit", ceea ce nu se poate — $e^x+2x+2=0$ nu are soluție exprimabilă cu funcții elementare; enunțul cere doar existența și unicitatea, nu valoarea.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: radicalul se reduce cu numitorul funcției, $${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4x+5}dx={\int }_0^{1}2(x+3)dx=(x^2+6x){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4x+5}dx=1+6-0-0=7\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1\ge 1>0$ — de aceea funcția $f$ este definită pe $\mathbb{R}$ întreg. Control numeric: integrala calculată numeric pe intervalul $[0,1]$ dă $7,000000$.)

b) (5 p) Se ridică $f$ la pătrat, se aduce totul la același numitor și se observă că numărătorul rămas este, până la un factor, derivata numitorului: $${\int }_0^1(f^2(x)-4)dx={\int }_0^1\frac{4(x+3{)}^2-4(x^2+4x+5)}{x^2+4x+5}dx=4{\int }_0^1\frac{2x+4}{x^2+4x+5}dx\text{(2 p)}.$$ Recunoscând forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=x^2+4x+5$, primitiva este logaritmul: $${\int }_0^1(f^2(x)-4)dx=4{\int }_0^1\frac{(x^2+4x+5{)}^{\prime }}{x^2+4x+5}dx=4\ln (x^2+4x+5){|}_0^1=4(\ln 10-\ln 5)=4\ln 2\text{(3 p)}.$$ (Cum se strânge numărătorul: $4(x+3{)}^2=4x^2+24x+36$, din care se scade $4x^2+16x+20$ și rămâne $8x+16=4(2x+4)$. Modulul din primitiva $\ln |u|$ dispare pentru că trinomul este strict pozitiv. Control numeric: $4\ln 2\approx 2,7726$, iar integrala calculată numeric pe intervalul $[0,1]$ dă $2,77259$.)

c) (5 p) Nu se calculează $I_n$ — se minorează. Din subpunctul b) știm cât este $f^2-4$, iar pe intervalul $[0,+\infty )$ numărătorul acelei fracții este pozitiv: $$\text{cum }{f}^2(x)-4=\frac{4(2x+4)}{x^2+4x+5}\ge 0\text{ și }f(x)\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty ),\text{ obținem }f(x)\ge 2,\text{ deci }{f}^n(x)\ge 2^n,\text{ pentru orice }x\in [0,+\infty )\text{ și orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitățile, iar integrala constantei $2^n$ pe $[a,b]$ este $2^n(b-a)$: $$\text{cum }0\le a<b,I_n={\int }_a^b{f}^n(x)dx\ge 2^n(b-a),\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{ și, cum }\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n=+\infty ,\text{ obținem ca˘ }\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=+\infty \text{(3 p)}.$$ (De ce din $f^2\ge 4$ și $f\ge 0$ rezultă $f\ge 2$: pe numerele nenegative, ridicarea la pătrat este strict crescătoare, deci inegalitatea se poate „radicaliza". Fără condiția $f\ge 0$ ar fi mers și $f\le -2$. Marginea $2$ este atinsă doar la limită, spre $-\infty$; pe $[0,+\infty )$ valorile sunt mai mari — de pildă $f(0)=\frac{6}{\sqrt{5}}\approx 2,683$. Control numeric pentru $a=0$ și $b=1$: $I_1\approx 2,602$, $I_2\approx 6,773$, $I_5\approx 119,629$ — creștere cel puțin geometrică, exact cum prezice minorarea. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al lui $I_n$, care nu se poate face; sau se folosește o margine inferioară subunitară, care nu duce nicăieri — cheia este că marginea trebuie să fie strict mai mare decât $1$.)