Bac M1 2021, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2021 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a examenului de bacalaureat, ediția 2021, proba E. c), Matematică M_mate-info, dat elevilor de clasa a XII-a din toată țara în martie 2021. Spre deosebire de sesiunile propriu-zise, simularea nu poartă număr de variantă — pe document scrie doar „Simulare". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: relația $b_n^2=b_{n-2}\cdot b_{n+2}$ între termeni egal depărtați — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: coordonatele vârfului parabolei și apartenența lui la o dreaptă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: substituția $t=2^x$ și respingerea rădăcinii negative — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe tipare a numerelor de trei cifre cu exact două cifre egale — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori: mijlocul unui segment scris vectorial și suma a doi vectori opuși — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=2R$ și suma laturilor unui triunghi — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme de ecuații liniare: determinantul matricei sistemului, criteriul lui Cramer și discuția cazului degenerat, cu soluții depinzând de un parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu exponent logaritmic: calcul direct, determinarea elementului neutru și o ecuație obținută prin egalarea exponenților — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivata unui radical, tangentă, extrem: formula $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, panta tangentei, paralelism, și existența unui unic punct de extrem printr-o funcție ajutătoare — clasele a XI-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și integrale: recunoașterea unui integrand telescopic, monotonia unei primitive din semnul funcției și o integrală de tipul $\int F^2{F}^{\prime }$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2021. Subiectul I este clasic, dar itemul $4$ (numerele de trei cifre cu exact două cifre egale) și itemul $5$ (o identitate vectorială fără reper cartezian) sunt cerințe de raționament, nu de calcul. Subiectul al II-lea are un profil neobișnuit: problema $1$ cere discuția completă a unui sistem, inclusiv cazul în care determinantul se anulează, iar problema $2$ pune o lege de compoziție în care necunoscuta stă la exponent, sub logaritm. Subiectul al III-lea urmărește, la problema $1$, lanțul derivată → tangentă → extrem, cu un truc: semnul derivatei se studiază printr-o funcție ajutătoare, pentru că el nu se citește direct. La problema $2$, cele trei subpuncte sunt legate între ele — subpunctul c) folosește exact monotonia demonstrată la b).

Notă de programă: sesiunile din 2020 și 2021 s-au dat pe programa de examen adaptată anilor pandemiei. Ce se poate verifica direct pe documentele oficiale: modelul publicat în toamna lui 2020 pentru sesiunea 2021 mai avea o problemă de polinoame, în timp ce niciuna dintre cele patru probe efective ale anului — simulare, sesiune specială, iunie-iulie, august — nu mai are: la toate, Subiectul al II-lea stă pe matrice, sisteme și legi de compoziție. (Profilul acesta s-a păstrat și în anii de după, deci schimbarea nu se explică numai prin restrângerea programei.) Pentru elevul de azi asta e o veste bună: întreaga materie a acestei probe este în programa în vigoare — legile de compoziție și integralele stau la noi în unitățile „Legi de compoziție" și „Primitive", iar sistemele de ecuații sunt materie de clasa a XI-a.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $5$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele numerice sunt „curate": întregi, ${\log }_{2}3$, $\frac{\pi }{4}$ sau $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rădăcina negativă a unei ecuații exponențiale păstrată în răspuns; „sistemul are soluție unică" fără calculul determinantului; cazul $a=b$ sărit la itemul $7$; elementul neutru verificat doar într-o parte; concluzia „are un punct de extrem" fără schimbarea de semn a derivatei.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: orice termen la pătrat este produsul a doi termeni egal depărtați de el, $b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}$. Funcția de gradul al doilea: $x_V=-\frac{b}{2a}$, $y_V=f\left(x_V\right)$. Ecuații exponențiale: $4^x=(2^x{)}^2$ și $2^{x+1}=2\cdot 2^x$; după substituție se respinge întotdeauna rădăcina $\le 0$, pentru că $2^x>0$. Combinatorică: „exact două cifre egale" se numără pe cele trei tipare $\overline{aab}$, $\overline{aba}$, $\overline{baa}$, cu $a\ne b$. Vectori: $M$ este mijlocul lui $AB$ exact când $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$.
• Sisteme: un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (Cramer); când el se anulează, sistemul se rezolvă cu o necunoscută secundară, notată de obicei $\alpha$.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=(x-1{)}^{{\log }_3(y-1)}+1$ se citește prin substituția $u=x-1$: ea devine ridicare la putere. Elementul neutru se verifică în ambele părți: $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$.
• Derivate: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă; panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }\left(x_0\right)$; când semnul derivatei nu se citește direct, se studiază semnul numărătorului ei ca funcție separată.
• Integrale: $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$; dacă $F^{\prime }=f>0$ pe un interval, atunci $F$ este strict crescătoare acolo; ${\int }_a^b{F}^2(x)F^{\prime }(x)dx=\frac{F^3(x)}{3}{|}_a^b$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Literele $a$ și $b$ au trei roluri: termenii unei progresii geometrice se notează $b_n$ la itemul $1$; la itemul $7$, $a$ și $b$ sunt cei doi parametri ai sistemului; la itemul $10$, subpunctul c), $a$ și $b$ sunt capetele unui interval de integrare, cu $a<b$. La itemul $4$, în rezolvare, $a$ și $b$ denumesc cifre.
• Litera $f$ denumește două funcții diferite la Subiectul al III-lea: $f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}\right)$ la itemul $10$; la itemul $2$ mai apare o a treia, $f(x)=x^2-2x+m$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $e$ apare cu două înțelesuri: la itemul $9$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural (în $e^{2x}$), iar la itemul $8$, subpunctul b), este elementul neutru al legii de compoziție — și, la finalul rezolvării, se dovedește a fi numărul $4$. Semnul $\ast$ de la itemul $8$ nu are nicio legătură cu înmulțirea: el este numele legii definite acolo.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu $b_2=2$ și $b_4=4$. Determinați $b_6$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care vârful parabolei asociate funcției $f$ este situat pe dreapta $y=3x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-2^{x+1}-3=0$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.

Itemul 5 (5 puncte)

Segmentele $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ au același mijloc. Demonstrați că $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\vec{0}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Demonstrați că, în orice triunghi $ABC$, are loc relația $AB+AC+BC=2R(\sin A+\sin B+\sin C)$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+(a+1)y+(a+2)z=a\\ bx+(b+1)y+(b+2)z=b\\ y+z=1\end{array}$$ și matricea $$X(a,b)=\left(\begin{array}{ccc}a& a+1& a+2\\ b& b+1& b+2\\ 0& 1& 1\end{array}\right),$$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (X(0,1))=1$.

b) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $a$ și $b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă $(x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $y_0^2-z_0^2-2a{x}_0=3$, pentru orice număr real $a$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(2,+\infty )$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=(x-1{)}^{{\log }_3(y-1)}+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $5\ast 10=17$.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x\ast x=x\ast x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $x-\sqrt{3}y=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ are un unic punct de extrem.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(2f(x)+\frac{1}{x^2+3}\right)dx=\frac{\pi }{4}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă $F$ a funcției $f$ este strict crescătoare.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice numere reale $a$ și $b$, cu $a<b$, ${\int }_a^{b}f(x)F^2(x)dx>0$, pentru orice primitivă $F$ a funcției $f$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este produsul a doi termeni egal depărtați de el; pentru $b_4$, vecinii la distanță doi sunt $b_2$ și $b_6$: $$b_4^2=b_2\cdot b_6⟹4^2=2b_6\text{(3 p)}.$$ De aici $$b_6=\frac{16}{2}=8\text{(2 p)}.$$ (Drumul lung, tot corect: din $b_4=b_2{q}^2$ rezultă $q^2=2$, iar $b_6=b_4{q}^2=4\cdot 2=8$. Observă că rația însăși nu se poate determina — $q=\pm \sqrt{2}$ — dar $q^2$ da, și numai el este necesar. Unde se greșește de obicei: se caută $q$ cu tot cu semn și se pierde timp, sau se folosește formula progresiei aritmetice, $b_4=\frac{b_2+b_6}{2}$, care ar da $b_6=6$ — răspuns greșit.)

Itemul 2. (5 p) — vârful parabolei pe o dreaptă.

Coordonatele vârfului parabolei $y=x^2-2x+m$ sunt $x_V=-\frac{-2}{2}=1$ și $y_V=f(1)=1-2+m$: $$x_V=1,y_V=m-1,\text{ unde }V(x_V,y_V)\text{ este vaˆrful parabolei asociate funcției }f\text{(2 p)}.$$ Vârful este pe dreapta $y=3x$ exact când coordonatele lui o verifică: $$y_V=3x_V⟺m-1=3,\text{ deci }\mathbf{m}=4\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=4$, funcția este $f(x)=x^2-2x+4$, vârful este $V(1,3)$, iar $3=3\cdot 1$ — chiar pe dreaptă. Unde se greșește de obicei: se calculează $y_V$ cu formula $-\frac{\Delta }{4a}$ și se strecoară o greșeală de semn; înlocuirea directă $y_V=f\left(x_V\right)$ este mai sigură și dă același lucru.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu substituție.

Se scriu ambele puteri în funcție de $2^x$: $4^x=(2^x{)}^2$ și $2^{x+1}=2\cdot 2^x$. Trinomul în $2^x$ se descompune: $$2^{2x}-2\cdot 2^x-3=0⟹(2^x+1)(2^x-3)=0\text{(3 p)}.$$ Cum $2^x>0$ pentru orice număr real $x$, primul factor nu se poate anula; rămâne $2^x=3$, adică $$\mathbf{x}={\log }_{2}3\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: ${\log }_{2}3\approx 1,585$, iar $4^{1,585}-2^{2,585}-3\approx 9-6-3=0$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și „soluția" $2^x=-1$, care nu există; sau se scrie $2^{x+1}=2^x+2$, confundând înmulțirea exponențială cu adunarea. Rețeta de siguranță: notează $t=2^x$, rezolvă în $t$, apoi impune $t>0$.)

Itemul 4. (5 p) — numere de trei cifre cu exact două cifre egale.

Un număr de trei cifre are exact două cifre egale când cele două cifre egale ocupă una dintre cele trei perechi de poziții posibile: $$\text{numerele sunt de forma }\overline{aab},\overline{aba}\text{ sau }\overline{baa},\text{ unde }a\text{ și }b\text{ sunt cifre distincte}\text{(2 p)}.$$ La fiecare tipar, cifra care apare prima nu poate fi $0$ (are $9$ posibilități), iar cealaltă cifră trebuie doar să fie diferită de ea (tot $9$ posibilități, pentru că $0$ este permis pe pozițiile din interior): $$\text{sunt }9\cdot 9=81\text{ numere de forma }\overline{aab},81\text{ de forma }\overline{aba}\text{ și }81\text{ de forma }\overline{baa},$$ $$\text{deci numa˘rul cerut este }81\cdot 3=243\text{(3 p)}.$$ (Control pe alt drum: numerele de trei cifre sunt $900$; cele cu toate cifrele distincte sunt $9\cdot 9\cdot 8=648$; cele cu toate cifrele egale sunt $9$. Rămân $900-648-9=243$ — aceeași valoare. Numărarea exhaustivă pe calculator confirmă tot $243$. Unde se greșește de obicei: se numără $\overline{baa}$ cu $b$ oarecare, uitând că cifra sutelor nu are voie să fie $0$; sau se includ și numerele cu toate cifrele egale, care nu au „exact două" cifre egale.)

Itemul 5. (5 p) — identitate vectorială cu mijloc comun.

Fie $M$ mijlocul comun al celor două segmente. Mijlocul se scrie vectorial ca egalitate între cele două jumătăți: $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\text{ și }\overrightarrow{A^{\prime }M}=\overrightarrow{M{B}^{\prime }},\text{ unde }M\text{ este mijlocul segmentelor }AB,\text{ respectiv }{A}^{\prime }{B}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Se descompune fiecare vector prin punctul $M$ (relația lui Chasles) și se grupează perechile care se anulează: $$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{M{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{M{A}^{\prime }}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\text{(3 p)}.$$ (De ce se anulează perechile: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, pentru că cei doi vectori sunt egali; la fel, $\overrightarrow{M{B}^{\prime }}+\overrightarrow{M{A}^{\prime }}=\overrightarrow{M{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }M}=\vec{0}$. Control: pe hârtie milimetrică, cu $A(0,0)$, $B(4,2)$, deci $M(2,1)$, și $A^{\prime }(1,3)$, deci $B^{\prime }(3,-1)$, se obține $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(3,-1)$ și $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-3,1)$ — chiar opuși. Unde se greșește de obicei: se lucrează cu lungimi în loc de vectori și se scrie $A{B}^{\prime }=B{A}^{\prime }$, ceea ce este adevărat ca lungime, dar nu demonstrează nimic despre sumă.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor spune că raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același pentru toate cele trei laturi și este egal cu diametrul cercului circumscris: $$2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\text{(2 p)}.$$ Se scot laturile și se adună: $$BC=2R\sin A,AC=2R\sin B\text{ și }AB=2R\sin C$$ $$⟹AB+AC+BC=2R(\sin A+\sin B+\sin C)\text{(3 p)}.$$ (Atenție la asocierea corectă: latura $BC$ este opusă unghiului $A$, nu unghiului $B$ — de aici $BC=2R\sin A$. Control numeric: într-un triunghi echilateral cu latura $6$, raza este $R=2\sqrt{3}$, iar $2R(3\sin 60°)=4\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=18$, exact perimetrul. Unde se greșește de obicei: se scrie teorema cu $R$ în loc de $2R$, ceea ce ar înjumătăți rezultatul.)

Itemul 7. (15 p) — sistem de ecuații liniare cu doi parametri.

a) (5 p) Se înlocuiesc $a=0$ și $b=1$ în matricea din enunț: $$\begin{array}{rl}& X(0,1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (X(0,1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$=0+2+0-0-0-1=1\text{(3 p)}.$$ (Drumul scurt: prima coloană are un singur element nenul, deci determinantul se dezvoltă după ea și rămâne $-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-(1-2)=1$ — aceeași valoare, și un control gratuit. Unde se greșește de obicei: se scriu liniile matricei în ordinea din sistem, dar cu coeficienții nepotriviți; matricea are pe linia a treia $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\end{array}\right)$, coeficienții ecuației $y+z=1$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrii lăsați literă. Scăzând prima coloană din celelalte două, elementele devin foarte simple: $$\begin{array}{rl}& \det (X(a,b))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& a+1& a+2\\ b& b+1& b+2\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=b-a,\\ & \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(3 p)}.\end{array}$$ Matricea sistemului este chiar $X(a,b)$, deci, pentru $a\ne b$, $\det (X(a,b))\ne 0$ și, conform teoremei lui Cramer, sistemul de ecuații are soluție unică (2 p).

(Calculul pe scurt: $\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ b& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=a(1-2)-b(1-2)=b-a$. Control: la $a=0$ și $b=1$ iese $1$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se spune „are soluție unică pentru că are trei ecuații și trei necunoscute" — fals; criteriul este determinantul nenul.)

c) (5 p) Cazul $a\ne b$. Din a treia ecuație, $y+z=1$. Sistemul fiind cramerian, are o singură soluție, iar aceasta este $(0,2,-1)$: se verifică imediat, pentru că $(a+1)\cdot 2+(a+2)(-1)=a$ și analog pentru linia a doua. Atunci $$\begin{array}{rl}& y_0^2-z_0^2-2a{x}_0\\ & =2^2-(-1{)}^2-2a\cdot 0\\ & =3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cazul $a=b$. Primele două ecuații coincid, deci sistemul are o infinitate de soluții, cu $x$ necunoscută secundară: $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul are soluțiile }(\alpha ,2+a\alpha ,-1-a\alpha ),\\ & \text{ unde }\alpha \\ & \in \mathbb{R},\text{ deci}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& y_0^2-z_0^2-2a{x}_0\\ & =(2+a\alpha {)}^2-(-1-a\alpha {)}^2-2a\alpha \\ & =4+4a\alpha +a^2{\alpha }^2-1-2a\alpha -a^2{\alpha }^2-2a\alpha \\ & =3,\end{array}$$ $$\text{pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ (Cheia demonstrației: expresia $y^2-z^2=(y-z)(y+z)$, iar $y+z=1$ din a treia ecuație, deci $y_0^2-z_0^2=y_0-z_0$. Cu $y_0=2+a\alpha$ și $z_0=-1-a\alpha$ iese $y_0-z_0=3+2a\alpha$, din care se scade exact $2a\alpha$ — de aceea rezultatul este mereu $3$. Unde se greșește de obicei: se tratează doar cazul $a\ne b$ și se pierde jumătate din punctaj; enunțul spune „dacă $(x_0,y_0,z_0)$ este soluție", adică orice soluție, inclusiv cele din cazul degenerat.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu exponent logaritmic.

a) (5 p) Se înlocuiesc argumentele în formulă, cu grijă la cele două scăderi de câte o unitate: $$5\ast 10=(5-1{)}^{{\log }_3(10-1)}+1=4^{{\log }_{3}9}+1=\text{(3 p)}$$ Cum ${\log }_{3}9=2$, rămâne $$=4^2+1=17\text{(2 p)}.$$ (Substituția care lămurește toată problema: cu $u=x-1$ și $v=y-1$, legea devine $u^{{\log }_{3}v}$, adică o ridicare la putere pe intervalul $(1,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se scrie $4^{{\log }_{3}10}$, uitând scăderea din exponent, sau se calculează ${\log }_{3}9$ ca $3$.)

b) (5 p) Elementul neutru $e$ trebuie să lase orice element neschimbat. Din condiția pe partea dreaptă: $$x\ast e=x⟺(x-1{)}^{{\log }_3(e-1)}+1=x⟺(x-1{)}^{{\log }_3(e-1)}=x-1,\text{ pentru orice }x\in M,$$ $$\text{de unde obținem }{\log }_3(e-1)=1,\text{ deci }\mathbf{e}=4\in M\text{(3 p)}.$$ Definiția elementului neutru cere două egalități, iar enunțul nu spune că legea ar fi comutativă — deci se verifică și cealaltă parte: $$4\ast x=3^{{\log }_3(x-1)}+1=x-1+1=x,\text{ pentru orice }x\in M,$$ $$\text{deci }e=4\text{ este elementul neutru al legii de compoziție din enunț}\text{(2 p)}.$$ (De ce ${\log }_3(e-1)=1$: o putere $(x-1{)}^t$ este egală cu $x-1$ pentru orice $x>2$ doar dacă exponentul este $1$ — baza variază, deci nu poate fi vorba de o coincidență numerică. Control: $4\ast 7=3^{{\log }_{3}6}+1=6+1=7$, iar $7\ast 4=6^{{\log }_{3}3}+1=6+1=7$. Unde se greșește de obicei: se verifică doar $x\ast e=x$ și se sare peste $e\ast x=x$. Legea aceasta chiar este comutativă — $(x-1{)}^{{\log }_3(y-1)}=(y-1{)}^{{\log }_3(x-1)}$, pentru că amândouă se scriu $e^{\ln (x-1)\ln (y-1)/\ln 3}$ — dar enunțul nu o afirmă, iar comutativitatea ar trebui atunci demonstrată; e mai scurt să faci direct a doua verificare. A doua capcană: se uită de verificat că $e=4$ chiar aparține mulțimii $M=(2,+\infty )$.)

c) (5 p) Se compun succesiv, folosind că exponenții se înmulțesc la ridicarea unei puteri la o putere. Notând $L={\log }_3(x-1)$: $$x\ast x=(x-1{)}^{{\log }_3(x-1)}+1,x\ast x\ast x=(x-1{)}^{({\log }_3(x-1){)}^2}+1,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Egalând cele două expresii: cum $x\in M$, avem $x-1>1$, deci funcția exponențială de bază $x-1$ este injectivă și exponenții trebuie să coincidă: $$(x-1{)}^{({\log }_3(x-1){)}^2}=(x-1{)}^{{\log }_3(x-1)}⟹({\log }_3(x-1){)}^2={\log }_3(x-1),$$ $$\text{deci }{\log }_3(x-1)=0\text{ sau }{\log }_3(x-1)=1\text{ și, cum }x>2,\text{ obținem }\mathbf{x}=4\text{(3 p)}.$$ (Cele două valori ale exponentului dau $x-1=1$, adică $x=2$, și $x-1=3$, adică $x=4$. Prima se respinge pentru că mulțimea $M=(2,+\infty )$ este deschisă în $2$ — un detaliu ușor de sărit. Verificare: pentru $x=4$, $4\ast 4=3^1+1=4$ și $4\ast 4\ast 4=4\ast 4=4$ — chiar egale, pentru că $4$ este elementul neutru găsit la b). Unde se greșește de obicei: se „simplifică" prin $x\ast x$ ca și cum legea ar avea inverse, sau se scrie $x\ast x\ast x=(x-1{)}^{3{\log }_3(x-1)}$, confundând ridicarea repetată la putere cu înmulțirea exponentului.)

Itemul 9. (15 p) — derivata unui radical, tangentă și punct de extrem.

a) (5 p) Se aplică formula $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, cu $u(x)=e^{2x}+x^4+2$ și $u^{\prime }(x)=2e^{2x}+4x^3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2e^{2x}+4x^3}{2\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}=\text{(3 p)}$$ Se dă factor comun $2$ la numărător și se simplifică: $$=\frac{2(e^{2x}+2x^3)}{2\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Funcția este bine definită pe tot $\mathbb{R}$ pentru că expresia de sub radical, $e^{2x}+x^4+2$, este strict pozitivă: primii doi termeni sunt nenegativi, iar al treilea este $2$. Control numeric: în $x=1$, formula dă $\frac{e^2+2}{\sqrt{e^2+3}}\approx \frac{9,389}{3,223}\approx 2,913$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă tot $2,913$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{2x}$ ca $e^{2x}$, uitând factorul $2$ din exponent.)

b) (5 p) Panta tangentei într-un punct al graficului este derivata calculată în abscisa punctului: $$\text{panta tangentei la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul de abscisa˘ }x=0\text{ este }{f}^{\prime }(0)=\frac{e^0+0}{\sqrt{e^0+0+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{(2 p)}.$$ Dreapta din enunț se scrie sub forma $y=mx+n$ împărțind prin $\sqrt{3}$: $$\text{dreapta de ecuație }x-\sqrt{3}y=0\text{ are panta egala˘ cu }\frac{1}{\sqrt{3}},$$ $$\text{deci tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul de abscisa˘ }x=0\text{ este paralela˘ cu ea}\text{(3 p)}.$$ (Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă — aici pantele coincid, iar dreptele sunt distincte, pentru că tangenta trece prin $(0,f(0))=(0,\sqrt{3})$, iar dreapta dată trece prin origine. Control numeric: $\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$, iar raportul incremental $\frac{f\left(10^{-6}\right)-f(-10^{-6})}{2\cdot 10^{-6}}$ dă tot $0,57735$ — chiar panta cerută. Unde se greșește de obicei: se citește panta dreptei $x-\sqrt{3}y=0$ ca $-\sqrt{3}$ sau ca $\sqrt{3}$, în loc să se izoleze corect $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este dat de numărătorul lui, pentru că numitorul este un radical strict pozitiv. Studiem deci funcția ajutătoare $g(x)=e^{2x}+2x^3$: $$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=e^{2x}+2x^3⟹g^{\prime }(x)=2e^{2x}+6x^2>0,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R},$$ $$\text{deci }g\text{ este strict cresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{ și, cum }\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$$ $$\text{și }g\text{ este continua˘, exista˘ un unic numa˘r real }c\text{ cu }g(c)=0\text{(2 p)}.$$ Semnul lui $g$, deci și al lui $f^{\prime }$, se schimbă o singură dată, chiar în $c$: $$f\text{ este continua˘ pe }\mathbb{R}\text{ și }{f}^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,c)\Rightarrow f\text{ este strict descresca˘toare pe }(-\infty ,c],$$ $$\text{iar }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (c,+\infty )\Rightarrow f\text{ este strict cresca˘toare pe }[c,+\infty ),$$ $$\text{deci }f\text{ are un }\text{unic punct de extrem}\text{(3 p)}.$$ (Punctul de extrem nu se poate calcula exact — este soluția ecuației transcendente $e^{2c}=-2c^3$ — dar existența și unicitatea lui se demonstrează complet fără el; numeric, $c\approx -0,550$. Aici e toată ideea subpunctului: se studiază semnul numărătorului derivatei ca funcție separată. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcinile lui $f^{\prime }$ rezolvând ecuația, se blochează și se pierde tot subpunctul. Un al doilea derapaj: se spune „derivata se anulează o singură dată, deci există un punct de extrem" — trebuie arătată și schimbarea de semn, altfel ar putea fi un punct de inflexiune.)

Itemul 10. (15 p) — primitive și integrale.

a) (5 p) Se desface parantezele: dublul lui $f$ readuce exact termenul care se adaugă, cu semn schimbat, deci cei doi termeni cu numitorul $x^2+3$ se reduc: $${\int }_0^1\left(2f(x)+\frac{1}{x^2+3}\right)dx={\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\text{(3 p)}$$ Cu formula Leibniz–Newton, $$=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ (De ce se reduce: $2f(x)=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}$, iar termenul adăugat este chiar $+\frac{1}{x^2+3}$. Control numeric: $\frac{\pi }{4}\approx 0,7854$, iar integrala calculată numeric dă $0,78540$. Unde se greșește de obicei: se integrează fiecare bucată separat și se ajunge la $\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}$ — corect, dar cu mult mai mult de lucru; capcana adevărată este să nu observi reducerea.)

b) (5 p) O primitivă este strict crescătoare când derivata ei — adică funcția însăși — este strict pozitivă. Se aduce $f$ la o singură fracție: $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ este o primitiva˘ a funcției }f⟹F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(x^2+3)-(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+3)}=\text{(3 p)}$$ La numărător rămâne constanta $2$, care se simplifică cu $\frac{1}{2}$: $$=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+3)}>0,\text{ pentru orice numa˘r real }x,$$ $$\text{deci funcția }F\text{ este strict cresca˘toare}\text{(2 p)}.$$ (Ambii factori de la numitor sunt sume de un pătrat și un număr pozitiv, deci strict pozitivi pentru orice $x$ real — de aceea concluzia ține pe tot $\mathbb{R}$, nu doar pe o porțiune. Control numeric: $f(0)=\frac{1}{3}$, $f(1)=\frac{1}{8}$, $f(10)\approx 9,6\cdot 10^{-5}$ — mereu pozitivă, deși scade repede. Unde se greșește de obicei: se spune „$F$ este crescătoare pentru că $f$ este descrescătoare" — nicio legătură; monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia lui.)

c) (5 p) Integrandul este de forma $F^2{F}^{\prime }$, pentru că $f=F^{\prime }$; primitiva lui este $\frac{F^3}{3}$: $${\int }_a^{b}f(x)F^2(x)dx={\int }_a^b{F}^2(x)F^{\prime }(x)dx=\frac{1}{3}{F}^3(x){|}_a^b=\frac{1}{3}(F^3(b)-F^3(a))\text{(3 p)}.$$ Rămâne de comparat cele două valori: $$\text{cum }F\text{ este strict cresca˘toare, obținem }F(a)<F(b),\text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{ cu }a<b,$$ $$\text{deci }{\int }_a^{b}f(x)F^2(x)dx>0\text{(2 p)}.$$ (Pasul pe care baremul oficial îl sare, iar noi îl scriem: din $F(a)<F(b)$ rezultă $F^3(a)<F^3(b)$ pentru că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$ — la pătrat afirmația ar fi falsă, la cub este adevărată, oricare ar fi semnele. Concluzia ține pentru orice primitivă $F$, nu doar pentru una anume, deși valoarea integralei se schimbă de la o primitivă la alta. Control numeric: cu primitiva care ia valoarea $0,31$ în origine și $[a,b]=[-1,2]$, integrala calculată numeric dă $0,0779>0$, iar formula $\frac{F^3(2)-F^3(-1)}{3}$ dă aceeași valoare. Există și un al doilea drum, la fel de corect: $f>0$ și $F^2\ge 0$, deci integrandul este nenegativ și se anulează cel mult într-un punct — $F$ fiind strict crescătoare, ea are cel mult o rădăcină — de unde integrala este strict pozitivă. Unde se greșește de obicei: se scrie doar „integrandul este pozitiv" fără să se spună de ce integrala nu poate fi zero, adică fără observația despre punctul de anulare.)