Bac M1 2021, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2021 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2021 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează în luna mai, înaintea sesiunii obișnuite, pentru elevii care participă la loturile naționale sau la competiții internaționale; subiectul este de aceeași factură cu al sesiunilor obișnuite, dar, de regulă, ceva mai selectiv. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul special din 2021:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul conjugatelor și modulul unui număr complex — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(g\circ f)(2)=g(f(2))$, calculat dinăuntru în afară — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea celor doi membri la aceeași bază — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu enumerarea numerelor de trei cifre al căror produs al cifrelor este $8$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori și teorema cosinusului: diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, apoi lungimea unei diagonale — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghi dreptunghic: reciproca teoremei lui Pitagora, raza cercului circumscris și raza cercului înscris, $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice cu parametru și sistem asociat: determinantul, condiția de neinversabilitate și rezolvarea sistemului în cazul degenerat, cu o condiție suplimentară pe soluții — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu radical și logaritm: calcul direct, verificarea elementului neutru în ambele părți și determinarea unui element egal cu propriul simetric — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită fundamentală, număr de soluții: derivarea unui produs, limita $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ și discuția completă a ecuației $f(x)=m$ — clasa a XI-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale cu arctangentă: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și simetria unei funcții impare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2021. Subiectul I are un item neobișnuit de laborios pentru poziția lui: itemul $4$ cere enumerarea completă a numerelor de trei cifre cu produsul cifrelor $8$, iar baremul oficial îl împarte, singurul din probă, în trei pași în loc de doi. Subiectul al II-lea leagă strâns matricea de sistem: problema $1$ te obligă să observi că valoarea care anulează determinantul este chiar cea cerută la subpunctul c), deci sistemul este acolo nedeterminat. Subiectul al III-lea este cel mai greu din lotul anului: la problema $1$, subpunctul c) cere tabloul de variație complet al unei funcții de gradul al patrulea, cu două minime egale și un maxim local, iar la problema $2$ apar o integrare prin părți cu $(x^2+1{)}^{\prime }$ și, la final, argumentul de paritate care face o integrală nulă fără niciun calcul.

Notă de programă: sesiunile din 2020 și 2021 s-au dat pe programa de examen adaptată anilor pandemiei. Ce se poate verifica direct pe documentele oficiale: modelul publicat în toamna lui 2020 pentru sesiunea 2021 mai avea o problemă de polinoame, în timp ce niciuna dintre cele patru probe efective ale anului — simulare, sesiune specială, iunie-iulie, august — nu mai are: la toate, Subiectul al II-lea stă pe matrice, sisteme și legi de compoziție. (Profilul acesta s-a păstrat și în anii de după, deci schimbarea nu se explică numai prin restrângerea programei.) Pentru elevul de azi asta e o veste bună: întreaga materie a acestei probe este în programa în vigoare — legile de compoziție și integralele stau la noi în unitățile „Legi de compoziție" și „Integrala definită", iar matricele și sistemele sunt materie de clasa a XI-a.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea și $60$ de minute pentru Subiectul al III-lea, cel mai greu; ultimele $5$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, $\sqrt{19}$ sau $\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; elementul neutru verificat doar într-o parte; soluția $x=\frac{1}{9}$ păstrată la itemul $8$, deși nu aparține mulțimii date; capetele intervalului incluse la itemul $9$, subpunctul c); integrala nulă „justificată" prin calcul greșit, în loc de paritate.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$ și $i^2=-1$, deci $(2+3i)(2-3i)=4+9$; modulul, $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$. Compunerea funcțiilor: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ — întâi $f$, apoi $g$. Ecuații exponențiale: se aduce totul la aceeași bază, apoi se egalează exponenții. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de trei cifre sunt $900$ la număr. Paralelogram: diagonalele se înjumătățesc, deci mijlocul unei diagonale este mijlocul celeilalte. Teorema cosinusului: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\sphericalangle ABC)$.
• Triunghi: reciproca teoremei lui Pitagora — dacă $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, triunghiul este dreptunghic în $A$; într-un triunghi dreptunghic $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$; raza cercului înscris este $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, unde $\mathcal{S}$ este aria, iar $p$ semiperimetrul.
• Matrice și sisteme: matricea $A$ nu este inversabilă exact când $\det A=0$; când determinantul sistemului se anulează, sistemul se rezolvă cu o necunoscută secundară, notată de obicei $\alpha$, iar soluțiile formează o familie.
• Legi de compoziție: elementul neutru se verifică în ambele părți, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$; un element este propriul lui simetric exact când $x\ast x=e$. Formule folosite: $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ și $\sqrt{t^2}=|t|$, care pe $(1,+\infty )$ dă chiar $t$.
• Derivate și limite: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ — se forțează apariția raportului, înmulțind și împărțind cu aceeași cantitate; ecuația $f(x)=m$ are exact $k$ soluții exact când dreapta orizontală $y=m$ taie graficul în $k$ puncte, ceea ce se citește din tabelul de variație.
• Integrale: $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$; dacă $h$ este impară, atunci ${\int }_{-c}^{c}h(x)dx=0$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $a$ are trei roluri: la itemul $7$ este parametrul matricei și al sistemului; la itemul $10$, subpunctul b), este numărul căutat, care apare la numitorul unei fracții cu $\pi$; iar în formula modulului, $|a+bi|$, este partea reală. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x-2$ la itemul $2$, $f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3$ la itemul $9$ și $f(x)=2x\mathrm{arctg}x$ la itemul $10$.
• Semnul $\ast$ de la itemul $8$ nu are nicio legătură cu înmulțirea: el este numele legii de compoziție definite acolo, $x\ast y=\sqrt{x^{{\log }_{3}y}}$. În schimb, semnul $\circ$ de la itemul $2$ chiar este compunerea funcțiilor — în această probă cele două apar în itemi diferiți, deci nu se ciocnesc, dar merită citite cu atenție.
• Litera $e$ apare la itemul $8$, subpunctul b), și înseamnă acolo elementul neutru al legii de compoziție, nu numărul lui Euler; enunțul îi dă chiar valoarea, $e=9$. Litera $R$ de la itemul $6$ este raza cercului circumscris, iar litera $r$ raza cercului înscris — două cercuri diferite, ușor de confundat pentru că notațiile diferă doar prin mărimea literei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați modulul numărului complex $z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5x+20$. Calculați $(g\circ f)(2)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x-5}=\frac{1}{16}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $8$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AB=4$, $BC=6$ și măsura unghiului $ABC$ de $120°$. Determinați modulul vectorului $\overrightarrow{AM}$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BD$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=12$, $AC=16$ și $BC=20$. Arătați că $\frac{r}{R}=\frac{2}{5}$, unde $r$ este raza cercului înscris în triunghiul $ABC$ și $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -2\\ 2& 1& 3\\ 2a-1& 2& 1\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+y-2z=2\\ 2x+y+3z=1\\ (2a-1)x+2y+z=a\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(4))=5$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $A(a)$ nu este inversabilă.

c) (5 puncte) Pentru $a=3$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații pentru care $z_0^2=x_0+y_0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $G=(1,+\infty )$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\sqrt{x^{{\log }_{3}y}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $4\ast 3=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=9$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați $x\in G$, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2x(2x^2-13)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sin (x-3)}{f(x)-3}=\frac{1}{30}$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x\mathrm{arctg}x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{f(x)}{\mathrm{arctg}x}dx=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care ${\int }_0^{\sqrt{3}}f(x)dx=\frac{\pi }{a}-\sqrt{3}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2021; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi. Itemul 1, cerința 4, este singura din această probă pe care baremul oficial o împarte în trei pași, nu în doi.

Itemul 1. (5 p) — modulul unui număr complex.

Primul produs este de forma $(u+v)(u-v)$, cu $u=2$ și $v=3i$, iar $(3i{)}^2=9i^2=-9$: $$z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i)=2^2-(3i{)}^2-9+3i=4+3i\text{(3 p)}.$$ Modulul se calculează cu formula $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$: $$|z|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ (Control: $(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=4+9=13$, iar $13-9+3i=4+3i$ — aceeași valoare, pe drumul lung. Numărul $4+3i$ este „triunghiul dreptunghic $3$–$4$–$5$" al numerelor complexe, deci modulul $5$ se putea recunoaște imediat. Unde se greșește de obicei: se scrie $(3i{)}^2=9$, uitând că $i^2=-1$; sau se scade doar partea reală a parantezei a doua, lăsând $-3i$ neschimbat — atenție, scăderea se aplică ambilor termeni, iar $-(-3i)=+3i$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară: întâi funcția din interior, în punctul dat: $$f(2)=2-2=0\text{(2 p)}.$$ Rezultatul intră ca argument în funcția din exterior: $$(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(0)=5\cdot 0+20=20\text{(3 p)}.$$ (Control pe forma explicită: $(g\circ f)(x)=5(x-2)+20=5x+10$, iar în $x=2$ dă $20$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se compune în ordine inversă, $(f\circ g)(2)=f(30)=28$ — cu totul alt număr. Regula: în $g\circ f$ se aplică întâi funcția scrisă la dreapta.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduc ambii membri la aceeași bază: $\frac{1}{16}=\frac{1}{4^2}=4^{-2}$. Funcția exponențială fiind injectivă, exponenții trebuie să coincidă: $$4^{x-5}=4^{-2}⟺x-5=-2\text{(3 p)}.$$ De aici $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $4^{3-5}=4^{-2}=\frac{1}{16}$ — chiar membrul drept. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{1}{16}=4^2$, uitând semnul exponentului negativ; sau se aduce la baza $2$ doar un membru, ceea ce dă $2^{2x-10}=2^{-4}$ și, dacă se lucrează atent, tot $x=3$ — dar cu un pas în plus.)

Itemul 4. (5 p) — probabilitate pe numerele de trei cifre.

Mulțimea numerelor naturale de trei cifre este $\{100,101,\dots ,999\}$: $$\text{mulțimea numerelor naturale de trei cifre are }900\text{ de elemente, deci sunt }900\text{ de cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Produsul cifrelor fiind $8$, niciuna dintre cifre nu poate fi $0$; descompunerile lui $8$ în trei factori dintr-o cifră sunt $1\cdot 1\cdot 8$, $1\cdot 2\cdot 4$ și $2\cdot 2\cdot 2$, cu $3$, $6$, respectiv $1$ ordonări: $$\text{mulțimea numerelor de trei cifre cu produsul cifrelor egal cu }8\text{ este}$$ $$\{118,181,811,124,142,214,241,412,421,222\},\text{ deci sunt }10\text{ cazuri favorabile}\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{900}=\frac{1}{90}\text{(1 p)}.$$ (Enumerarea nu se face „pe ghicite": se descompune $8$ în trei factori de o cifră, apoi se numără permutările fiecărei descompuneri — $3$ pentru $\{1,1,8\}$, $6$ pentru $\{1,2,4\}$ și $1$ pentru $\{2,2,2\}$, în total $10$. Verificarea exhaustivă pe calculator confirmă exact aceste zece numere. Unde se greșește de obicei: se numără $1000$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele mai mici de $100$; sau se uită descompunerea $2\cdot 2\cdot 2$, singura cu toate cifrele egale.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în paralelogram și teorema cosinusului.

Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci mijlocul lui $BD$ este și mijlocul lui $AC$: $$ABCD\text{ este paralelogram, deci }\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\text{(2 p)}.$$ Lungimea diagonalei $AC$ se află cu teorema cosinusului în triunghiul $ABC$, unde $\cos 120°=-\frac{1}{2}$: $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\sphericalangle ABC)=16+36+24=76$$ $$⟹AC=2\sqrt{19}⟹\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM=\sqrt{19}\text{(3 p)}.$$ (Atenție la semn: unghiul fiind obtuz, cosinusul este negativ, deci termenul $-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120°$ se adună: $-2\cdot 4\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=+24$. Control numeric: $\sqrt{19}\approx 4,359$, iar $AC=2\sqrt{19}\approx 8,718$ — mai mare decât fiecare latură, cum trebuie să fie diagonala mare a unui paralelogram cu unghi obtuz. Unde se greșește de obicei: se ia $M$ drept mijlocul lui $AB$ sau se calculează cealaltă diagonală, $BD$, care are $B{D}^2=16+36-24=28$.)

Itemul 6. (5 p) — raza cercului înscris și a celui circumscris.

Se verifică întâi reciproca teoremei lui Pitagora: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2⟹△ABC\text{ este dreptunghic ıˆn }A⟹R=\frac{BC}{2}=10\text{(2 p)}.$$ Raza cercului înscris se obține din formula $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$, cu $\mathcal{S}$ aria și $p$ semiperimetrul: $$P_{△ABC}=48\text{ și }{\mathcal{S}}_{△ABC}=\frac{12\cdot 16}{2}=96⟹r=\frac{96}{24}=4,$$ $$\text{de unde obținem }\frac{r}{R}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(3 p)}.$$ (Semiperimetrul este $p=\frac{12+16+20}{2}=24$, jumătate din perimetrul $48$ — de aceea la numitor apare $24$, nu $48$. Control pe alt drum: într-un triunghi dreptunghic, $r=\frac{\text{cateta}+\text{cateta}-\text{ipotenuza}}{2}=\frac{12+16-20}{2}=4$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se folosește perimetrul în loc de semiperimetru și iese $r=2$; sau se ia $R$ egal cu ipotenuza, nu cu jumătate din ea.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistemul asociat.

a) (5 p) Pentru $a=4$, elementul $2a-1$ devine $7$: $$\begin{array}{rl}& A(4)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 2& 1& 3\\ 7& 2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(4))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 2& 1& 3\\ 7& 2& 1\end{array}\right|=\text{(2 p)}\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente": $$\begin{array}{rl}& =4+21+(-8)-(-14)-2-24\\ & =5\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Detaliul calculului: diagonalele descendente dau $4\cdot 1\cdot 1=4$, $1\cdot 3\cdot 7=21$ și $(-2)\cdot 2\cdot 2=-8$; cele ascendente dau $(-2)\cdot 1\cdot 7=-14$, $4\cdot 3\cdot 2=24$ și $1\cdot 2\cdot 1=2$. Unde se greșește de obicei: se pierde un semn la scăderea produsului $-14$ — scăzând un număr negativ se adună. Control: rezultatul se confruntă cu formula generală de la subpunctul b), $5a-15$, care în $a=4$ dă tot $5$.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă, dezvoltând după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(a))\\ & =5a-15,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ O matrice pătratică nu este inversabilă exact când determinantul ei este nul: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{matricea }A(a)\text{ nu este inversabila˘}\\ & ⟺\det (A(a))\\ & =0,\text{ deci }\mathbf{a}=3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Calculul pe scurt: $a(1-6)-1(2-3(2a-1))+(-2)(4-(2a-1))=-5a-(5-6a)-2(5-2a)=5a-15$. Control: la $a=4$ iese $5$, valoarea de la subpunctul a); la $a=0$ iese $-15$. Unde se greșește de obicei: se caută valoarea care face matricea inversabilă, adică exact opusul cerinței. Observație care leagă subpunctele: valoarea găsită aici, $a=3$, este chiar cea de la subpunctul c) — deci acolo sistemul nu este cramerian.)

c) (5 p) Pentru $a=3$ determinantul se anulează, deci sistemul nu are soluție unică. Luând $z=\alpha$ drept necunoscută secundară și rezolvând primele două ecuații: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{pentru }a\\ & =3\text{ soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma }(1+5\alpha ,-1-13\alpha ,\alpha ),\\ & \text{ unde }\alpha \\ & \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se impune condiția suplimentară din enunț: $$\begin{array}{rl}{z}_0^2& =x_0+y_0⟺{\alpha }^2+8\alpha \\ & =0⟺\alpha =-8\text{ sau }\alpha =0,\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \text{deci }(x_0,y_0,z_0)\\ & =(-39,103,-8)\text{ sau }(x_0,y_0,z_0)\\ & =(1,-1,0)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cum se ajunge la condiție: $x_0+y_0=(1+5\alpha )+(-1-13\alpha )=-8\alpha$, iar $z_0^2={\alpha }^2$, deci ${\alpha }^2=-8\alpha$, adică $\alpha (\alpha +8)=0$. Verificare pe a treia ecuație, cea care nu a fost folosită la rezolvare: $5x_0+2y_0+z_0=5+25\alpha -2-26\alpha +\alpha =3$, pentru orice $\alpha$ — semn că familia găsită este într-adevăr soluția sistemului. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui Cramer fără să se observe că determinantul este zero pentru $a=3$; sau se pierde soluția $\alpha =0$, împărțind ecuația prin $\alpha$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical și logaritm.

a) (5 p) Se înlocuiesc argumentele în formulă; exponentul devine ${\log }_{3}3=1$: $$4\ast 3=\sqrt{4^{{\log }_{3}3}}=\text{(3 p)}$$ Rămâne radicalul dintr-un pătrat perfect: $$=\sqrt{4}=2\text{(2 p)}.$$ (Radicalul acoperă întreaga putere, nu doar baza: în enunț scrie $\sqrt{x^{{\log }_{3}y}}$, deci se ridică întâi la putere și abia apoi se extrage rădăcina. Control: ${\log }_{3}3=1$ pentru că $3^1=3$, iar $\sqrt{4^1}=\sqrt{4}=2$. Unde se greșește de obicei: se uită radicalul cu totul și se răspunde $4$; sau se calculează ${\log }_{3}3$ ca $3$, confundând logaritmul cu baza lui.)

b) (5 p) Definiția elementului neutru cere două egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, iar enunțul nu spune că legea ar fi comutativă — deci amândouă se verifică. Pe partea dreaptă, ${\log }_{3}9=2$: $$x\ast 9=\sqrt{x^{{\log }_{3}9}}=\sqrt{x^2}=x,\text{ pentru orice }x\in G\text{(2 p)}.$$ Pe partea stângă se scrie $9=3^2$ și se folosește $3^{{\log }_{3}x}=x$: $$9\ast x=\sqrt{9^{{\log }_{3}x}}=\sqrt{3^{2{\log }_{3}x}}=\sqrt{(3^{{\log }_{3}x}{)}^2}=\sqrt{x^2}=x,\text{ pentru orice }x\in G,$$ $$\text{deci }\mathbf{e}=9\text{ este elementul neutru al legii de compoziție din enunț}\text{(3 p)}.$$ (Pasul pe care baremul oficial îl trece sub tăcere, iar noi îl scriem: $\sqrt{x^2}=|x|$, iar modulul dispare pentru că mulțimea este $G=(1,+\infty )$, deci $x>1>0$. Control numeric: $7\ast 9=\sqrt{7^2}=7$ și $9\ast 7=\sqrt{9^{{\log }_{3}7}}=\sqrt{49}=7$. Unde se greșește de obicei: se verifică doar $x\ast 9=x$ și se sare peste $9\ast x=x$. Legea aceasta chiar este comutativă — $x^{{\log }_{3}y}=y^{{\log }_{3}x}$, pentru că amândouă se scriu $e^{\ln x\cdot \ln y/\ln 3}$ — dar enunțul nu o afirmă, iar comutativitatea ar trebui atunci demonstrată; e mai scurt să faci direct a doua verificare, pe care baremul o punctează separat.)

c) (5 p) „Egal cu simetricul lui" înseamnă că $x$ compus cu el însuși dă elementul neutru. Se ridică la pătrat, apoi se logaritmează în baza $3$: $$x\ast x=e⟹\sqrt{x^{{\log }_{3}x}}=9⟹x^{{\log }_{3}x}=81⟹{\log }_{3}x\cdot {\log }_{3}x={\log }_{3}81,$$ $$\text{deci }({\log }_{3}x{)}^2=4\text{(3 p)}.$$ Ecuația în ${\log }_{3}x$ are două rădăcini, dar numai una dă un element al mulțimii $G$: $${\log }_{3}x=-2\text{ sau }{\log }_{3}x=2⟹x=\frac{1}{9},\text{ care nu convine};\mathbf{x}=9,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$ (De ce ${\log }_3\left(x^{{\log }_{3}x}\right)=({\log }_{3}x{)}^2$: logaritmul unei puteri coboară exponentul, ${\log }_3\left(x^t\right)=t{\log }_{3}x$, iar aici $t={\log }_{3}x$. Valoarea $\frac{1}{9}$ se respinge pentru că $G=(1,+\infty )$, iar $\frac{1}{9}<1$ — motivul trebuie scris. Verificare: $9\ast 9=\sqrt{9^{{\log }_{3}9}}=\sqrt{9^2}=9=e$, deci $9$ chiar este propriul lui simetric; de altfel elementul neutru este întotdeauna propriul lui simetric. Unde se greșește de obicei: se ia doar rădăcina pozitivă a ecuației $t^2=4$ fără să se spună că cealaltă a fost respinsă din alt motiv.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită fundamentală și numărul de soluții.

a) (5 p) Se derivează produsul, cu formula $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=2x\cdot (x^2-4)+(x^2-9)\cdot 2x=\text{(3 p)}$$ Se dă factor comun $2x$ și se reduc termenii din paranteză: $$=2x(x^2-4+x^2-9)=2x(2x^2-13),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control pe forma desfășurată: $f(x)=x^4-13x^2+39$, deci $f^{\prime }(x)=4x^3-26x=2x(2x^2-13)$ — aceeași expresie. Control numeric: în $x=1,5$, formula dă $3(4,5-13)=-25,5$, iar raportul incremental dă tot $-25,5$. Unde se greșește de obicei: se derivează produsul ca produs al derivatelor, $2x\cdot 2x=4x^2$ — regula lui Leibniz are doi termeni, nu unul. Constanta $3$ dispare la derivare, deci nu apare în $f^{\prime }$.)

b) (5 p) La numitor, constanta $3$ se reduce și rămâne un produs care se anulează în $x=3$; se forțează apariția raportului fundamental împărțind și înmulțind cu $x-3$: $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sin (x-3)}{f(x)-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sin (x-3)}{(x^2-9)(x^2-4)}=\underset{x\to 3}{\lim }\left(\frac{\sin (x-3)}{x-3}\cdot \frac{1}{(x+3)(x^2-4)}\right)=\text{(2 p)}$$ Primul factor tinde la $1$, al doilea se calculează prin înlocuire directă: $$=1\cdot \frac{1}{(3+3)(3^2-4)}=\frac{1}{6\cdot 5}=\frac{1}{30}\text{(3 p)}.$$ (Descompunerea-cheie: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, deci factorul $x-3$ de la numitor este exact cel care trebuie pus sub $\sin (x-3)$. Control numeric: pentru $x=3,000001$ raportul dă $0,0333333$, iar $\frac{1}{30}=0,0\overline{3}$; și de la stânga se apropie de aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se aplică $\lim \frac{\sin t}{t}=1$ direct, fără să se separe factorul $x-3$; sau se folosește regula lui l'Hospital fără să se verifice că este într-adevăr o nedeterminare $\frac{0}{0}$ — este, dar verificarea trebuie scrisă.)

c) (5 p) Din subpunctul a), derivata se anulează în trei puncte, iar semnul ei se schimbă la fiecare: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-\sqrt{\frac{13}{2}},x=0\text{ sau }x=\sqrt{\frac{13}{2}};f^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice}$$ $$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{\frac{13}{2}}\right)\cup \left(0,\sqrt{\frac{13}{2}}\right)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in \left(-\sqrt{\frac{13}{2}},0\right)\cup \left(\sqrt{\frac{13}{2}},+\infty \right)\text{(3 p)}.$$ Se citește tabloul de variație: două minime egale și un maxim local între ele, cu ramuri care urcă la $+\infty$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,f\left(-\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=f\left(\sqrt{\frac{13}{2}}\right)=-\frac{13}{4},f(0)=39,$$ $$f\text{ continua˘ pe }\mathbb{R},\text{ strict descresca˘toare pe }\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{13}{2}}\right]\text{ și pe }\left[0,\sqrt{\frac{13}{2}}\right],$$ $$\text{strict cresca˘toare pe }\left[-\sqrt{\frac{13}{2}},0\right]\text{ și pe }\left[\sqrt{\frac{13}{2}},+\infty \right),\text{ deci ecuația }f(x)=m$$ $$\text{are exact patru soluții reale}⟺m\in \left(-\frac{13}{4},39\right)\text{(2 p)}.$$ (De ce capetele se exclud: la $m=-\frac{13}{4}$ dreapta atinge graficul exact în cele două minime, deci sunt doar două soluții; la $m=39$ ea trece prin maximul local și mai taie graficul în două puncte, în total trei soluții — se rezolvă $x^4-13x^2=0$, cu rădăcinile $0$ și $\pm \sqrt{13}$. Control numeric, prin baleierea axei: la $m=0$, $m=20$ și $m=38,9$ ies exact patru soluții, iar la $m=-3,5$, $m=39$ și $m=40$ nu. Valoarea în minim se calculează punând $x^2=\frac{13}{2}$ în forma din enunț: $\left(\frac{13}{2}-9\right)\left(\frac{13}{2}-4\right)+3=-\frac{25}{4}+3=-\frac{13}{4}$. Unde se greșește de obicei: se scriu intervale închise, sau se uită unul dintre cele două minime — funcția fiind pară, ele sunt egale, iar asta este chiar motivul pentru care există patru soluții, nu trei.)

Itemul 10. (15 p) — integrale cu arctangentă.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificare: pe intervalul $[1,2]$ avem $\mathrm{arctg}x\ne 0$, deci raportul se reduce: $${\int }_1^2\frac{f(x)}{\mathrm{arctg}x}dx={\int }_1^{2}2xdx=x^2{|}_1^2=\text{(3 p)}$$ Cu formula Leibniz–Newton, $$=4-1=3\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $\mathrm{arctg}x>0$ pe $[1,2]$ — de fapt $\mathrm{arctg}x\in \left[\frac{\pi }{4},\mathrm{arctg}2\right]$, deci strict pozitiv. Control numeric: integrala calculată numeric dă $3,00000$. Unde se greșește de obicei: se încearcă integrarea prin părți, ignorând simplificarea evidentă — se ajunge la același rezultat, dar după un calcul de zece ori mai lung.)

b) (5 p) Se recunoaște $2x=(x^2+1{)}^{\prime }$ și se integrează prin părți; derivata arctangentei este $\frac{1}{x^2+1}$, care se simplifică perfect cu factorul rămas: $${\int }_0^{\sqrt{3}}f(x)dx={\int }_0^{\sqrt{3}}(x^2+1{)}^{\prime }\mathrm{arctg}xdx=(x^2+1)\mathrm{arctg}x{|}_0^{\sqrt{3}}-{\int }_0^{\sqrt{3}}(x^2+1)\cdot \frac{1}{x^2+1}dx=$$ $$=4\cdot \frac{\pi }{3}-x{|}_0^{\sqrt{3}}=\text{(3 p)}$$ Rămâne $$=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$ (Cum se identifică $a$: din $\frac{\pi }{a}=\frac{4\pi }{3}$ rezultă $\frac{1}{a}=\frac{4}{3}$, adică $a=\frac{3}{4}$ — un număr nenul, cum cere enunțul. Valoarea $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ este cea care face capătul „frumos": $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$. Control numeric: $\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 4,18879-1,73205\approx 2,45674$, iar integrala calculată numeric dă $2,45674$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $a=\frac{4}{3}$, adică se răstoarnă fracția — atenție, $a$ stă la numitor.)

c) (5 p) Funcția de integrat este $xf(x)=2x^2\mathrm{arctg}x$, iar $\mathrm{arctg}$ este impară, deci întregul produs este impar. Se face substituția $x\to -x$ pe intervalul simetric: $${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=2{\int }_{-1}^1{x}^2\mathrm{arctg}xdx=2{\int }_1^{-1}(-x{)}^2\mathrm{arctg}(-x)\cdot (-1)dx=-2{\int }_{-1}^1{x}^2\mathrm{arctg}xdx=-{\int }_{-1}^{1}xf(x)dx\text{(3 p)}.$$ O cantitate egală cu opusa ei este nulă: $$2{\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=0,\text{ deci }{\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=0\text{(2 p)}.$$ (Argumentul scurt, pe care baremul îl scrie desfășurat: $h(x)=2x^2\mathrm{arctg}x$ verifică $h(-x)=-h(x)$, adică este impară, iar integrala unei funcții impare pe un interval simetric față de origine este zero, pentru că cele două jumătăți se anulează reciproc. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[-1,1]$ dă $0,00000$, iar $h(0,7)+h(-0,7)=0$ exact. Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă a lui $x^2\mathrm{arctg}x$ — se poate, dar e o pierdere de timp; sau se afirmă „funcția este impară" fără să se verifice, iar la $f(x)=2x\mathrm{arctg}x$ afirmația ar fi falsă: $f$ însăși este pară, abia $xf(x)$ este impară.)