Bac M1 2022, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2022 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: valorile în două puncte simetrice și parametrul care le egalează — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, prin $27=3^3$ și $9=3^2$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: numerele de două cifre cu ambele cifre cel mult egale cu $3$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică și vectori: o egalitate vectorială care spune că un punct este mijlocul unui segment — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice simetrică cu parametru: determinant numeric, o relație funcțională de tipul $A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3$ și folosirea ei de două ori la rând — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu fracții: calculul unei compuneri, elementul neutru verificat pe ambele părți și o ecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă orizontală și ecuația $f(x)=n$: derivata unui raport cu exponențială, limita la $+\infty$ prin regula lui l'Hôpital și discuția existenței și unicității soluției — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șir de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }\sqrt{u}}{2}$ și o combinație $I_{n+2}+4I_n$ care se calculează exact — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea de toamnă 2022. Subiectul I nu conține niciun calcul lung, dar are două locuri care se pierd din citire: itemul 4, unde „cifrele mai mici sau egale cu $3$" înseamnă amândouă cifrele, iar cifra zecilor nu poate fi $0$; și itemul 5, unde egalitatea vectorială $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ ascunde o informație geometrică simplă — $B$ este mijlocul lui $AC$. Subiectul al II-lea este construit, la ambele probleme, pe același tipar ca la sesiunea de vară: se demonstrează o relație la subpunctul b) și se folosește la c) — la problema 1, relația se aplică de două ori, ceea ce coboară parametrul din $x$ în $x-2$. Subiectul al III-lea cere lanțul complet derivată → asimptotă → discuția ecuației $f(x)=n$, iar la problema 2 ultimul subpunct este de departe cel mai frumos: combinația $I_{n+2}+4I_n$ se calculează exact, pentru că numărătorul devine chiar $x^{n-2}(x^2+4)$ și se simplifică tot.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": numere întregi sau fracții simple.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; coordonatele lui $C$ date fără egalitatea care le produce; elementul neutru verificat pe o singură parte; perechile $(m,n)$ date fără condiția $m\le n$; asimptota orizontală afirmată fără calculul limitei; ecuația $f(x)=n$ declarată „cu soluție unică" fără să se arate de ce celelalte ramuri de monotonie nu aduc soluții.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; înmulțirea se face ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Funcția de gradul al doilea: $f(-1)$ și $f(1)$ diferă doar prin termenul de gradul întâi, deci egalitatea lor forțează anularea coeficientului acestuia. Puteri: $27^{x-1}=3^{3(x-1)}$ și $9^x=3^{2x}$ — aceeași bază, apoi egalarea exponenților. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ înseamnă $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})$, de unde $B$ este mijlocul lui $AC$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid. O relație de tipul $A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3$ se aplică repetat, coborând parametrul cu câte o unitate la fiecare pas.
• Legi de compoziție: elementul neutru $e$ se determină și se verifică din ambele egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, și trebuie să aparțină mulțimii pe care e definită legea. Ecuațiile în numere naturale se rezolvă prin descompunerea în factori a unei egalități de tipul $m^2{n}^2=16$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finită; la nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$ se aplică regula lui l'Hôpital, după verificarea cazului. Ecuația $f(x)=n$: numărul soluțiilor se citește din tabelul de variație, comparând $n$ cu valorile extreme și cu limitele de la capete.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }\sqrt{u}}{2}dx=\frac{u\sqrt{u}}{3}+\mathcal{C}$; la un șir de integrale, combinația cerută se aduce sub o singură integrală, iar integrandul se simplifică înainte de calcul.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-mx$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x\sqrt{x^2+4}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Scrierea $f^2(x)$ de la itemul $10$, subpunctul c), înseamnă pătratul valorii, $(f(x){)}^2$, nu compunerea $f(f(x))$. Este convenția din subiectele de Bacalaureat; ea face ca numitorul să fie $x^2(x^2+4)$, adică tocmai ce trebuie ca să iasă simplificarea de la acel subpunct.
• Litera $e$ are două înțelesuri: la itemul $8$, subpunctul b), $e$ este elementul neutru al legii de compoziție și este chiar numărul $1$; la itemul $9$, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, din $e^x$ și din valoarea $\frac{5}{e^4}$. Cele două nu apar niciodată în același item.
• Literele $m$ și $n$ își schimbă rolul de trei ori: $m$ este parametru real la itemul $2$ și număr natural nenul la itemul $8$, subpunctul c); $n$ este al doilea număr natural din perechea $(m,n)$ la itemul $8$, valoarea din membrul drept al ecuației $f(x)=n$ la itemul $9$, subpunctul c), și indice de șir la itemul $10$, subpunctul c). Litera $A$ este punct în reperul cartezian la itemul $5$, dar matrice la itemul $7$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $2i(3-i)-6i=2$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(-1)=f(1)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $27^{x-1}=9^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu $3$.

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ și $B(1,-1)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\sin 2x-2\mathrm{tg}x\cdot \sin \frac{2x}{3}$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{ și }A(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& 1-x& 1\\ 1-x& x& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=3A(1)+2I_3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{xy(x+y)}{xy+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care $\frac{1}{m}\ast \frac{1}{n}=\frac{1}{16}\cdot (m\ast n)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că axa $Ox$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{\sqrt{5}}f(x)dx=\frac{19}{3}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural $n$, $n\ge 2$, se consideră numărul $I_n={\int }_1^2\frac{x^n}{f^2(x)}dx$. Determinați numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desface produsul, înmulțind $2i$ cu fiecare termen din paranteză, ca și cum $i$ ar fi o literă obișnuită: $$2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i\text{(3 p)}.$$ Termenii $6i$ și $-6i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$2i(3-i)-6i=-2\cdot (-1)=2\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $6-6=0$, iar partea reală este $-2i^2=2$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, ceea ce ar da $-2$; sau se distribuie $2i$ doar peste $3$ și se uită produsul cu $-i$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea, valori în puncte simetrice.

Se calculează cele două valori, ținând minte că $(-1{)}^2=1$: $$f(-1)=1+m,f(1)=1-m,\text{ unde }m\text{ este numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(-1)=f(1)$ devine $1+m=1-m$, adică $2m=0$, de unde $\mathbf{m}=0$ (3 p).

(De ce era previzibil: termenul $x^2$ ia aceeași valoare în $-1$ și în $1$, deci diferența celor două valori este dată numai de termenul de gradul întâi; ea se anulează exact când coeficientul lui este nul. Verificare: pentru $m=0$, $f(x)=x^2$, iar $f(-1)=f(1)=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(-1)=1-m$, uitând că $-m\cdot (-1)=+m$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambele baze sunt puteri ale lui $3$: $27=3^3$ și $9=3^2$. Ecuația devine, cu regula $(a^p{)}^q=a^{pq}$, $$3^{3x-3}=3^{2x},\text{ de unde obținem }3x-3=2x\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $3$ fiind injectivă, exponenții coincid, deci $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Verificare în ecuația inițială: $27^{3-1}=27^2=729$ și $9^3=729$. Unde se greșește de obicei: se scrie $27^{x-1}=3^{3x-1}$, adică exponentul $3$ se distribuie doar peste $x$ — corect este $3(x-1)=3x-3$. Control: $729=3^6$, iar $3x-3=2x=6$ pentru $x=3$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cerința privește amândouă cifrele: cifra zecilor poate fi $1$, $2$ sau $3$ (nu și $0$, altfel numărul n-ar mai avea două cifre), iar cifra unităților poate fi $0$, $1$, $2$ sau $3$. Sunt așadar $3\cdot 4=12$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $4\cdot 4=16$, lăsând cifra zecilor să fie $0$; sau se cere condiția doar pentru cifra zecilor și se ajunge la $30$ de cazuri favorabile. Control prin enumerare: numerele favorabile sunt $10$, $11$, $12$, $13$, $20$, $21$, $22$, $23$, $30$, $31$, $32$, $33$ — exact douăsprezece.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Egalitatea $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$ se citește geometric: scriind vectorii cu originea în $O$, ea devine $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OB}$, adică $2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ — cu alte cuvinte, $B$ este mijlocul segmentului $AC$ (3 p).

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor, deci $$\frac{x_C+3}{2}=1\text{ și }\frac{y_C+2}{2}=-1,\text{ de unde obținem }{\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=-1\text{ și }{\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=-4\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă cu vectorii: $\overrightarrow{AC}=(-1-3,-4-2)=(-4,-6)$, iar $\overrightarrow{BC}=(-1-1,-4+1)=(-2,-3)$ — într-adevăr $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $C=2B-A$ cu semnele inversate, adică $C=2A-B$; sau se lucrează cu lungimi în loc de vectori, ceea ce pierde sensul și dă un al doilea punct, fals.)

Itemul 6. (5 p) — valori ale funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{4}$, argumentele devin $2x=\frac{\pi }{2}$ și $\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{6}$, iar valorile căutate sunt $$\sin \frac{\pi }{2}=1,\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1,\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresie: $$E\left(\frac{\pi }{4}\right)=1-2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1-1=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează $\frac{2x}{3}$ ca $\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}$ — corect — dar se confundă apoi $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ cu $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Observație: condiția $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ din enunț există ca să fie sigur definită tangenta, care „explodează" în $\frac{\pi }{2}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice simetrică de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(0)& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =0+1+1-0-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control prin dezvoltare după linia întâi: $-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-(-1)+1=2$ — aceeași valoare, pe alt drum. De reținut: matricea $A(x)$ este simetrică față de diagonala principală pentru orice $x$, iar linia și coloana a treia nu depind deloc de parametru.)

b) (5 p) Pentru $x=1$ matricea este $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$. Înmulțind-o cu $A(x)$ după regula „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& A(1)\cdot A(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x+1& 2-x& 1\\ 2-x& x+1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pe de altă parte, înlocuind $x$ cu $x-1$ în formula din enunț se obține $A(x-1)=\left(\begin{array}{ccc}x-1& 2-x& 1\\ 2-x& x-1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$, iar scăderea celor două matrice lasă numai diagonala: $$\begin{array}{rl}& A(1)\cdot A(x)-A(x-1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\\ & =2I_3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus al produsului este $1\cdot x+0\cdot (1-x)+1\cdot 1=x+1$, iar $A(x-1)$ are acolo $x-1$; diferența este $2$. Atenție la elementul din mijlocul liniei întâi: $1\cdot (1-x)+0\cdot x+1\cdot 1=2-x$, iar $A(x-1)$ are acolo $1-(x-1)=2-x$ — se anulează. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește greșit în $1-x$, scriind $1-x-1=-x$ în loc de $1-(x-1)=2-x$.)

c) (5 p) Relația de la subpunctul b) se folosește de două ori. Întâi pentru argumentul $x$, apoi pentru argumentul $x-1$: $$\begin{array}{rl}& A(1)A(1)A(x)\\ & =A(1)(A(1)A(x))\\ & =A(1)(A(x-1)+2I_3)\\ & =A(x-2)+2I_3+2A(1),\end{array}$$ pentru orice număr real $x$ (3 p).

Egalând cu membrul drept, $A(x-2)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3$, se reduc $2I_3$ din ambii membri și rămâne $A(x-2)=A(1)$; două matrice din familie sunt egale doar dacă parametrii coincid, deci $x-2=1$, adică $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=3$, $A(1)A(1)A(3)=A(1)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3$ — chiar membrul drept. Unde se greșește de obicei: se aplică relația o singură dată și se blochează calculul la $A(1)\cdot A(x-1)$; sau se „simplifică" prin $A(1)$, ca și cum matricele s-ar putea împărți. Ideea este că fiecare aplicare a relației coboară parametrul cu o unitate și scoate un $2I_3$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu fracții.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x$ cu $1$ și $y$ cu $3$ în formula legii: $$1\ast 3=\frac{1\cdot 3(1+3)}{1\cdot 3+1}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $3\cdot 4=12$, numitorul este $4$, deci $$1\ast 3=\frac{3\cdot 4}{4}=3\text{(2 p)}.$$ (Rezultatul nu este o coincidență: el anunță că $1$ este element neutru, ceea ce se demonstrează la subpunctul următor. Unde se greșește de obicei: se scrie numitorul ca $xy+1=1\cdot 3+1=4$ corect, dar numărătorul ca $xy+(x+y)$ în loc de $xy\cdot (x+y)$.)

b) (5 p) Se compune un element oarecare cu $1$, la dreapta: $$x\ast 1=\frac{x\cdot 1\cdot (x+1)}{x\cdot 1+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Definiția elementului neutru cere și cealaltă egalitate, cu $1$ la stânga: $$1\ast x=\frac{1\cdot x\cdot (1+x)}{1\cdot x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M,$$ deci $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$" (3 p).

(Aici litera $e$ este elementul neutru, nu numărul lui Euler. Simplificarea cu $x+1$ este legitimă pentru că pe $M=[0,+\infty )$ avem $x+1\ge 1>0$. De verificat și apartenența: $1\in M$, deci elementul neutru există în mulțime. Amândouă verificările contează: baremul le punctează separat.)

c) (5 p) Se calculează separat cei doi membri. Pentru numerele $\frac{1}{m}$ și $\frac{1}{n}$, aducând la același numitor: $$\frac{1}{m}\ast \frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn(mn+1)};\frac{1}{16}\cdot (m\ast n)=\frac{1}{16}\cdot \frac{mn(m+n)}{mn+1},$$ pentru orice numere naturale nenule $m$ și $n$ (3 p).

Egalând și simplificând prin $\frac{m+n}{mn+1}$, care este strict pozitiv, rămâne $\frac{1}{mn}=\frac{mn}{16}$, adică $m^2{n}^2=16$; cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, cu $m\le n$, obținem perechile $(1,4)$ și $(2,2)$ (2 p).

(Cum se ajunge la membrul stâng: $\frac{1}{m}\cdot \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{mn}\cdot \frac{m+n}{mn}=\frac{m+n}{m^2{n}^2}$, iar numitorul legii este $\frac{1}{mn}+1=\frac{1+mn}{mn}$; împărțind, iese $\frac{m+n}{mn(mn+1)}$. Din $m^2{n}^2=16$ și $mn>0$ rezultă $mn=4$, iar perechile de numere naturale nenule cu produsul $4$ și $m\le n$ sunt exact cele două. Unde se greșește de obicei: se uită condiția $m\le n$ și se dă și perechea $(4,1)$, care este aceeași; sau se scapă $(2,2)$, pentru că se caută doar perechi cu elemente diferite. Verificare pentru $(2,2)$: $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{4}\cdot 1}{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{5}$, iar $\frac{1}{16}(2\ast 2)=\frac{1}{16}\cdot \frac{4\cdot 4}{5}=\frac{1}{5}$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și ecuația $f(x)=n$.

a) (5 p) Raportul se derivează cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u(x)=x^2-3x+1$ și $v(x)=e^x$, cu $v^{\prime }(x)=e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-3)e^x-(x^2-3x+1)e^x}{(e^x{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se simplifică un factor $e^x$ și se descompune trinomul rămas, care are rădăcinile $1$ și $4$: $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+5x-4}{e^x}=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $(x-1)(4-x)=4x-x^2-4+x=-x^2+5x-4$. Control numeric: $f^{\prime }(2)=\frac{1\cdot 2}{e^2}\approx 0,271$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,271$. Unde se greșește de obicei: se pune semnul plus între cei doi termeni de la numărător, sau se uită simplificarea cu $e^x$ și se lasă $e^{2x}$ la numitor.)

b) (5 p) Se calculează limita la $+\infty$. Este o nedeterminare de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, deci se aplică regula lui l'Hôpital de două ori, până când numărătorul devine constant: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+1}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-3}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită și egală cu zero, dreapta de ecuație $y=0$, adică axa $Ox$, este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Regula lui l'Hôpital se aplică numai după verificarea cazului: aici numărătorul tinde la $+\infty$ și numitorul la fel, deci cazul $\frac{\infty }{\infty }$ chiar există, la fiecare dintre cele două aplicări. Ideea de fond: exponențiala crește mai repede decât orice polinom. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „limita este zero pentru că numitorul tinde la infinit", fără să se observe că și numărătorul face la fel; sau se uită numele dreptei — răspunsul cerut este ecuația $y=0$, nu doar valoarea limitei. Control numeric: $f(20)\approx 7,97\cdot 10^{-8}$.)

c) (5 p) Din semnul derivatei se citește monotonia. Numitorul $e^x$ este strict pozitiv, deci semnul îl dă produsul $(x-1)(4-x)$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{ sau }x=4;$$ pentru orice $x\in (-\infty ,1)$, $f^{\prime }(x)<0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,1)$; pentru orice $x\in (1,4)$, $f^{\prime }(x)>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(1,4)$; pentru orice $x\in (4,+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(4,+\infty )$ (3 p).

Cum $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, $f(4)=\frac{5}{e^4}<1$ și funcția $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$ (2 p).

(Cum se leagă cele două: pe $(-\infty ,1]$ funcția coboară strict de la $+\infty$ până la $f(1)=-\frac{1}{e}<0$, deci trece exact o dată prin fiecare valoare $n\ge 1$. Pe restul domeniului valorile rămân mici: pe $[1,4]$ funcția urcă doar până la $f(4)=\frac{5}{e^4}\approx 0,0916$, iar pe $[4,+\infty )$ coboară de acolo spre $0$ — deci nicăieri nu atinge valoarea $1$, cu atât mai puțin un $n$ mai mare. De aceea a doua și a treia ramură nu aduc soluții. Unde se greșește de obicei: se arată doar existența, prin continuitate, fără să se compare $f(4)$ cu $1$ — exact acea comparație închide unicitatea.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice calcul: radicalul din formula lui $f$ se reduce cu cel de la numitor, $${\int }_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx={\int }_0^2\frac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}dx={\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^2\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}dx=\frac{4}{2}-0=2\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $\sqrt{x^2+4}\ge 2>0$ pentru orice $x$ real. Control geometric: sub graficul lui $x$ pe $[0,2]$ se află un triunghi dreptunghic cu catetele $2$ și $2$, deci aria este $2$.)

b) (5 p) Se recunoaște că $x$ este, până la factorul $2$, chiar derivata lui $x^2+4$, deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }\sqrt{u}}{2}$, a cărui primitivă este $\frac{u\sqrt{u}}{3}$: $${\int }_0^{\sqrt{5}}f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\sqrt{5}}(x^2+4{)}^{\prime }\sqrt{x^2+4}dx=\frac{1}{3}(x^2+4)\sqrt{x^2+4}{|}_0^{\sqrt{5}}\text{(3 p)}.$$ În capătul de sus, $x^2+4=9$ și $\sqrt{9}=3$, deci produsul este $27$; în capătul de jos, $4\cdot 2=8$. Prin urmare $${\int }_0^{\sqrt{5}}f(x)dx=\frac{1}{3}(27-8)=\frac{19}{3}\text{(2 p)}.$$ (Capătul $\sqrt{5}$ este ales anume: acolo $x^2+4=9$, un pătrat perfect. Unde se greșește de obicei: se citește capătul ca $5$ în loc de $\sqrt{5}$ — barele radicalului sunt scurte în subiectul tipărit, dar sunt acolo; cu $5$ rezultatul ar fi $\frac{29\sqrt{29}-8}{3}$, deloc „curat", ceea ce e și semnalul că citirea a fost greșită. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,\sqrt{5}]$ dă $6,3333$, iar $\frac{19}{3}\approx 6,3333$.)

c) (5 p) Se scrie întâi $I_n$ cu numitorul desfăcut. Cum $f^2(x)=(f(x){)}^2=x^2(x^2+4)$, se simplifică $x^2$: $$I_n={\int }_1^2\frac{x^n}{x^2(x^2+4)}dx={\int }_1^2\frac{x^{n-2}}{x^2+4}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural }n,n\ge 2\text{(2 p)}.$$ Combinația cerută se adună sub o singură integrală, iar numărătorul devine chiar $x^{n-2}(x^2+4)$, care se simplifică tot cu numitorul: $$I_{n+2}+4I_n={\int }_1^2\frac{x^{n-2}(x^2+4)}{x^2+4}dx={\int }_1^2{x}^{n-2}dx=\frac{x^{n-1}}{n-1}{|}_1^2=\frac{2^{n-1}-1}{n-1},$$ deci condiția din enunț devine $\frac{2^{n-1}-1}{n-1}=\frac{3}{n-1}$, de unde $2^{n-1}=4$ și $\mathbf{n}=3$, care convine (3 p).

(De ce se poate simplifica prin $n-1$: enunțul cere $n\ge 2$, deci $n-1\ge 1$ este nenul. Verificare a rezultatului: pentru $n=3$, $I_5+4I_3={\int }_1^{2}xdx=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$, iar $\frac{3}{n-1}=\frac{3}{2}$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se citește $f^2(x)$ drept $f(f(x))$, ceea ce ar da un numitor imposibil de manevrat; sau se încearcă un calcul separat al lui $I_n$, care nu are formă închisă — ideea este că numai COMBINAȚIA $I_{n+2}+4I_n$ se calculează, pentru că doar ea reconstituie numitorul.)