Bac M1 2022, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2022 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Calcul cu radicali: desfacerea parantezei și reducerea termenilor cu $\sqrt{6}$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(0)$ pentru o funcție de gradul întâi cu parametru — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază, prin $2^{2x}=4^x$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cifra zecilor divizor al lui $6$, pe mulțimea numerelor de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: apartenența unui punct la o dreaptă dată prin ecuație — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Aria unui triunghi dreptunghic isoscel: $\cos A=0$ înseamnă unghi drept, iar ipotenuza nu poate fi congruentă cu o catetă — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice triunghiulară cu parametru: determinantul unei matrice superior triunghiulare, relația funcțională $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ și folosirea ei repetată — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu fracții: calculul unei compuneri, elementul neutru verificat pe ambele părți și o ecuație obținută prin aducere la același numitor — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie și ecuația $f(x)=m$: derivata unui raport cu exponențială, tabelul de monotonie și discuția existenței și unicității soluției — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șir de integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ și mărginirea unui șir de integrale, cu criteriul cleștelui — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2022. Subiectul I nu are niciun calcul lung, dar are trei locuri în care se pierd puncte din grabă: reducerea termenilor cu radical la itemul 1, egalitatea $2^{2x}=4^x$ la itemul 3 și, mai ales, itemul 6, unde din „isoscel" plus „unghi drept" trebuie dedus care două laturi sunt congruente. Subiectul al II-lea este construit pe același tipar la ambele probleme: se demonstrează o proprietate la subpunctul b) și se folosește la c) — la problema 1, relația $A(x)A(y)=A(x+y)$, care transformă un produs de patru matrice într-o singură matrice; la problema 2, elementul neutru. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul complet derivată → monotonie → discuția ecuației $f(x)=m$, iar la problema 2 două integrale scurte urmate de o mărginire: ultimul subpunct nu se calculează, se încadrează.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": numere întregi sau fracții simple.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; aria triunghiului calculată fără să se spună care laturi sunt congruente; elementul neutru verificat pe o singură parte; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei; concluzia „ecuația are soluție unică" fără limitele la capete și fără continuitate; limita unui șir de integrale „calculată" în loc să fie încadrată.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: termenii cu același radical se adună ca termenii asemenea, $a\sqrt{k}+b\sqrt{k}=(a+b)\sqrt{k}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(0)=f(f(0))$ — se calculează dinăuntru în afară. Puteri: $2^{2x}=(2^2{)}^x=4^x$ — aceeași bază se obține urcând exponentul, nu adunând bazele. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Dreapta în plan: un punct aparține unei drepte exact când coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Aria triunghiului dreptunghic: $\mathcal{S}=\frac{\text{cateta}\cdot \text{cateta}}{2}$; ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă, deci nu poate fi congruentă cu o catetă.
• Matrice: determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid. O relație de tipul $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ se aplică repetat: produsul mai multor matrice din familie este matricea corespunzătoare sumei parametrilor.
• Legi de compoziție: elementul neutru $e$ se determină și se verifică din ambele egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, și trebuie să aparțină mulțimii pe care e definită legea.
• Derivate și monotonie: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; semnul derivatei dă monotonia, iar intervalele se scriu închise în punctul critic, când funcția este continuă acolo. Ecuația $f(x)=m$: numărul soluțiilor se citește din tabelul de variație, comparând $m$ cu valorile extreme și cu limitele de la capete.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$; criteriul cleștelui pentru șiruri: dacă $0\le a_n\le b_n$ și $b_n\to 0$, atunci $a_n\to 0$; iar ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=3x+m$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $e$ are două înțelesuri: la itemul $8$, subpunctul b), $e$ este elementul neutru al legii de compoziție și este chiar numărul $0$; la itemul $9$, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, din $e^x$ și din valoarea $2+\frac{1}{e-1}$. Cele două nu apar niciodată în același item.
• Litera $m$ este parametru real al funcției de gradul întâi la itemul $2$ și, la itemul $9$, subpunctul c), valoarea din membrul drept al ecuației $f(x)=m$, luată în intervalul $(1,2]$. Nu au nicio legătură între ele.
• Literele $A$ și $M$ își schimbă rolul: $A$ este punct în reperul cartezian la itemul $5$ și vârf de triunghi la itemul $6$, dar matrice la itemul $7$; $M$ este mulțimea $[0,+\infty )$ la itemul $8$. Litera $n$ este număr natural căutat la itemul $7$, subpunctul c), și indice de șir la itemul $10$, subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ f)(0)=4$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3\cdot 2^{2x}+4^x=4$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului $6$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x-2$ și punctul $A(a,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ aparține dreptei $d$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=10$ și $\cos A=0$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $50$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& -x& x^2\\ 0& 1& -2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)=A\left(2n^2\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{2x}{y+2}+\frac{2y}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 0=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați $x\in M$, $x$ nenul, pentru care $x\ast \frac{4}{x}=x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2+\frac{x}{e^x-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $m\in (1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^5(f(x)-\sqrt{x^2+9})dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}dx=2$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se desface întâi paranteza, înmulțind $6$ cu fiecare termen din ea: $$8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=8-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}-6\text{(3 p)}.$$ Termenii $-6\sqrt{6}$ și $+6\sqrt{6}$ sunt asemenea și se reduc, deci rămâne $$8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=8-6=2\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se distribuie $6$ doar peste $\sqrt{6}$ și se uită $6\cdot (-1)=-6$; sau se „simplifică" $6\sqrt{6}$ cu $6$. Control numeric: $\sqrt{6}\approx 2,449$, deci $8-14,697+6\cdot 1,4495=8-14,697+8,697=2$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Compunerea se calculează dinăuntru în afară: mai întâi $f(0)=3\cdot 0+m=m$, apoi acest rezultat intră ca argument în a doua aplicare: $$(f\circ f)(0)=f(f(0))=f(m)=3m+m=4m\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $4m=4$, de unde $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $m=1$, $f(0)=1$ și $f(1)=4$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(0)\cdot f(0)$ sau $2f(0)$ în loc de compunere; sau se scrie $f(m)=3m$, uitând că termenul liber $m$ rămâne și el.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Cele două puteri au baze diferite doar în aparență: $2^{2x}=(2^2{)}^x=4^x$. Ecuația devine, cu termeni asemenea, $$3\cdot 4^x+4^x=4,\text{ deci }4\cdot 4^x=4\text{ și }{4}^x=1\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $4$ este injectivă, iar $1=4^0$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare în ecuația inițială: $3\cdot 2^0+4^0=3+1=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2^{2x}=2\cdot 2^x$, confundând coeficientul cu exponentul; sau se adună bazele, $3\cdot 2+4=10$, ceea ce nu are niciun sens pentru puteri cu exponent variabil.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Divizorii naturali ai lui $6$ sunt $1$, $2$, $3$ și $6$; cifra zecilor poate lua deci patru valori, iar pentru fiecare dintre ele cifra unităților poate fi oricare dintre cele zece cifre. Sunt așadar $4\cdot 10=40$ de cazuri favorabile, iar $$p=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se caută numerele divizibile cu $6$, nu cele cu cifra zecilor divizor al lui $6$ — sunt două cerințe complet diferite. A doua greșeală este uitarea lui $1$ din lista divizorilor. Control: numerele favorabile sunt cele din intervalele $10$–$19$, $20$–$29$, $30$–$39$ și $60$–$69$, adică patru decade întregi, deci $40$ de numere.)

Itemul 5. (5 p) — punct pe o dreaptă, în reper cartezian.

Un punct aparține unei drepte exact când coordonatele lui verifică ecuația dreptei. Pentru $A(a,a)$ și $d:y=3x-2$, înlocuim $x$ cu $a$ și $y$ tot cu $a$: $$a=3a-2\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul întâi dă $2a=2$, adică $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Verificare: punctul este $A(1,1)$, iar $3\cdot 1-2=1$ — chiar ordonata lui. Unde se greșește de obicei: se înlocuiește $a$ doar într-un membru, sau se citește punctul ca $A(a,3a-2)$ și se ajunge la o identitate fără informație. Observație: punctele de forma $(a,a)$ se află pe prima bisectoare, iar cerința cere de fapt intersecția dintre dreapta $d$ și bisectoarea $y=x$.)

Itemul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic isoscel.

Într-un triunghi, unghiul $A$ are măsura în intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, iar cosinusul se anulează acolo doar în $90^{\circ }$, deci $A=\frac{\pi }{2}$, adică triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ (2 p).

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $BC$, și ea este strict mai lungă decât fiecare catetă; prin urmare congruența dată de „isoscel" nu poate fi $AB=BC$, nici $AC=BC$, ci doar $AC=AB=10$. Catetele fiind $AB$ și $AC$, aria este jumătate din produsul lor: $$AC=AB⟹{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 10}{2}=50\text{(3 p)}.$$ (Baremul oficial trece direct de la „$AC=AB$" la arie; raționamentul care exclude celelalte două congruențe merită scris, pentru că el este toată dificultatea cerinței. Unde se greșește de obicei: se ia $AB=BC=10$ și se calculează „aria" ca $\frac{AB\cdot BC}{2}$ — formula cu jumătate de produs se aplică doar catetelor, nu oricăror două laturi. Control: cu $AB=AC=10$, ipotenuza este $BC=10\sqrt{2}\approx 14,14$, într-adevăr cea mai lungă latură.)

Itemul 7. (15 p) — matrice triunghiulară cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =1+0+0-0-0-0=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt: matricea este superior triunghiulară — sub diagonala principală sunt numai zerouri — iar determinantul unei asemenea matrice este produsul elementelor de pe diagonală, aici $1\cdot 1\cdot 1=1$. Observație valabilă mai departe: $\det (A(x))=1$ pentru orice $x$, deci toate matricele familiei sunt inversabile.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Pozițiile de sub diagonală rămân nule, iar cele de deasupra se adună: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -y-x& y^2+2xy+x^2\\ 0& 1& -2y-2x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Recunoscând pătratul perfect $x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ și dând factor comun în celelalte două poziții: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -(x+y)& (x+y{)}^2\\ 0& 1& -2(x+y)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =A(x+y),\end{array}$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

(Verificare pe poziția din colțul din dreapta sus: $1\cdot y^2+(-x)(-2y)+x^2\cdot 1=y^2+2xy+x^2$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $y=0$ avem $A(0)=I_3$, iar formula prezice $A(x)\cdot I_3=A(x)$ — evident adevărat.)

c) (5 p) Relația de la subpunctul b) se aplică de trei ori la rând: produsul mai multor matrice din familie este matricea corespunzătoare sumei parametrilor. Suma este $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$, deci $$\begin{array}{rl}& A(n)\cdot A(n+1)\cdot A(n+2)\cdot A(n+3)\\ & =A(4n+6),\\ & \text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(3 p)}.\end{array}$$ Egalitatea din enunț devine $A(4n+6)=A\left(2n^2\right)$; două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid, iar comparând elementele de pe linia întâi, coloana a doua, obținem $$4n+6=2n^2⟺n^2-2n-3=0,$$ cu rădăcinile $-1$ și $3$; cum $n$ este număr natural, rămâne $\mathbf{n}=3$ (2 p).

(Verificare: pentru $n=3$, suma parametrilor este $3+4+5+6=18$, iar $2n^2=2\cdot 9=18$ — se potrivesc. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc parametrii în loc să se adune, sau se acceptă și rădăcina $-1$, deși enunțul cere număr natural.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu fracții.

a) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $1$ și $y$ cu $0$ în formula legii, cu grijă la ce merge în fiecare numitor: $$1\ast 0=\frac{2\cdot 1}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{1+2}\text{(3 p)}.$$ Prima fracție dă $1$, a doua are numărătorul nul, deci $$1\ast 0=1+0=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se pun ambele valori în același loc, adică se scrie $\frac{2\cdot 1}{1+2}$ — în prima fracție numărătorul îl conține pe $x$, iar numitorul pe $y$, și invers în a doua. Legea este totuși comutativă: schimbând $x$ cu $y$, cele două fracții își schimbă locul între ele, dar suma rămâne aceeași.)

b) (5 p) Se compune un element oarecare cu $0$, la dreapta: $$x\ast 0=\frac{2x}{0+2}+\frac{2\cdot 0}{x+2}=x+0=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Definiția elementului neutru cere și cealaltă egalitate, cu $0$ la stânga: $$0\ast x=\frac{2\cdot 0}{x+2}+\frac{2x}{0+2}=0+x=x,\text{ pentru orice }x\in M,$$ deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$" (3 p).

(Aici litera $e$ este elementul neutru, nu numărul lui Euler. Amândouă verificările contează, chiar dacă legea este comutativă: baremul le punctează separat, iar la o lege necomutativă a doua egalitate chiar poate să nu fie adevărată. De verificat și apartenența: $0\in M=[0,+\infty )$, deci elementul neutru există în mulțime.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y$ cu $\frac{4}{x}$ și se aduce totul la același numitor. În prima fracție numitorul devine $\frac{4}{x}+2=\frac{4+2x}{x}$, deci împărțirea la el înseamnă înmulțire cu $\frac{x}{2(x+2)}$: $$x\ast \frac{4}{x}=\frac{2x}{\frac{4}{x}+2}+\frac{\frac{8}{x}}{x+2}=\frac{x^2}{x+2}+\frac{8}{x(x+2)}=\frac{x^3+8}{x(x+2)},\text{ pentru orice }x\in M,x\text{ nenul}\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\frac{x^3+8}{x(x+2)}=x$ devine $x^3+8=x^3+2x^2$, adică $2x^2=8$ și $x^2=4$; cum $x\in M$ și este nenul, rămâne $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Verificare directă: $2\ast 2=\frac{4}{4}+\frac{4}{4}=2$, iar $\frac{4}{x}=2$ pentru $x=2$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se simplifică fracția etajată greșit, scriind $\frac{2x}{\frac{4}{x}+2}=\frac{2x^2}{4}+\frac{2x}{2}$ — o fracție cu sumă la numitor nu se rupe în două. Rădăcina $x=-2$ a ecuației $x^2=4$ se respinge pentru că nu aparține mulțimii $M$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și ecuația $f(x)=m$.

a) (5 p) Termenul constant $2$ are derivata nulă, iar raportul se derivează cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u(x)=x$ și $v(x)=e^x-x$, cu $v^{\prime }(x)=e^x-1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(e^x-x)-x(e^x-1)}{(e^x-x{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător termenii $-x$ și $+x$ se reduc, iar ce rămâne se scrie cu factor comun $e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-x{e}^x}{(e^x-x{)}^2}=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (De ce funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$ — lucru pe care baremul îl trece sub tăcere: numitorul $e^x-x$ are derivata $e^x-1$, care se anulează în $0$ și schimbă semnul din minus în plus, deci numitorul are minimul $e^0-0=1>0$; nu se anulează niciodată. Control numeric: $f^{\prime }(0)=\frac{1\cdot 1}{1}=1$, iar raportul incremental în $0$ dă tot $1$. Unde se greșește de obicei: se derivează raportul ca raport al derivatelor, adică $\frac{1}{e^x-1}$.)

b) (5 p) Numitorul $(e^x-x{)}^2$ și factorul $e^x$ sunt strict pozitivi pe $\mathbb{R}$, deci semnul derivatei este dat exclusiv de $1-x$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1;\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,1],f^{\prime }(x)\ge 0⟹f\text{ este cresca˘toare pe }(-\infty ,1]\text{(3 p)}.$$ Pentru orice $x\in [1,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[1,+\infty )$ (2 p).

(Intervalele se scriu închise în $1$, pentru că funcția este continuă acolo și derivata se anulează într-un singur punct — monotonia nu se strică. Control numeric: $f(0)=2$, $f(1)=2+\frac{1}{e-1}\approx 2,582$, $f(2)\approx 2,371$ — chiar urcă până în $1$ și coboară după. Unde se greșește de obicei: se dă doar unul dintre intervale, sau se scrie „$f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$" pentru că numitorul este pozitiv, uitând factorul $1-x$.)

c) (5 p) Se calculează cele trei valori de reper — limitele la capete și valoarea din punctul de maxim: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=1,f(1)=2+\frac{1}{e-1},\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2\text{(3 p)}.$$ Cum $f$ este continuă, este strict crescătoare pe $(-\infty ,1)$ și strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$, obținem că, pentru orice $m\in (1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică (2 p).

(De ce ies aceste limite: la $-\infty$, $e^x\to 0$, deci $\frac{x}{e^x-x}\to \frac{x}{-x}=-1$ și $f\to 2-1=1$; la $+\infty$, exponențiala bate polinomul, deci raportul tinde la $0$ și $f\to 2$. Ce nu scrie baremul, dar face demonstrația completă: pe $(-\infty ,1]$ funcția urcă strict de la valoarea-limită $1$ (neatinsă) până la $f(1)\approx 2,582$, deci ia fiecare valoare din $(1,2]$ exact o dată; pe $[1,+\infty )$ ea coboară strict de la $f(1)$ spre valoarea-limită $2$ (neatinsă), deci ia numai valori strict mai mari decât $2$ — nicio valoare din $(1,2]$ nu se repetă acolo. De aici unicitatea. Unde se greșește de obicei: se arată doar existența, prin continuitate, fără să se spună de ce a doua ramură nu aduce o a doua soluție.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice calcul: radicalul din formula lui $f$ se reduce cu cel scăzut, $${\int }_1^5(f(x)-\sqrt{x^2+9})dx={\int }_1^5(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_1^5\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: $${\int }_1^5(f(x)-\sqrt{x^2+9})dx=15-\frac{25}{2}-3+\frac{1}{2}=0\text{(2 p)}.$$ (Rezultatul nul are o citire geometrică: funcția $3-x$ este pozitivă pe $[1,3)$ și negativă pe $(3,5]$, iar cele două arii sunt egale, pentru că intervalul este simetric față de $3$. Unde se greșește de obicei: se calculează întâi cele două integrale separat, cea a lui $f$ și cea a radicalului, ceea ce este mult mai lung și, la a doua, chiar peste programă.)

b) (5 p) La numitor se face aceeași simplificare: $f(x)+x-3=3-x+\sqrt{x^2+9}+x-3=\sqrt{x^2+9}$. Numărătorul $x$ este, până la factorul $2$, chiar derivata lui $x^2+9$, deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, a cărui primitivă este $\sqrt{u}$: $${\int }_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}dx={\int }_0^4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}dx={\int }_0^4\frac{(x^2+9{)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+9}}dx=\sqrt{x^2+9}{|}_0^4\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $\sqrt{25}=5$ și $\sqrt{9}=3$: $${\int }_0^4\frac{x}{f(x)+x-3}dx=5-3=2\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă „cu logaritm", ca la $\frac{u^{\prime }}{u}$ — dar aici numitorul are radical, deci se aplică formula cu $\sqrt{u}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,4]$ dă $2,0000$.)

c) (5 p) Se scrie întâi șirul explicit, înlocuind $f$: $$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx={\int }_0^1\frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul de integrare, $0\le x\le 1$, radicalul este pozitiv, deci $3-x+\sqrt{x^2+9}\ge 3-x\ge 2$; prin urmare $$0\le \frac{x^n}{3-x+\sqrt{x^2+9}}\le \frac{x^n}{2},\text{ deci }0\le I_n\le \frac{1}{2(n+1)},$$ pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2(n+1)}=0$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ (3 p).

(De unde iese $\frac{1}{2(n+1)}$: integrând inegalitatea, ${\int }_0^1\frac{x^n}{2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{2(n+1)}$. Instrumentul este criteriul cleștelui: un șir prins între $0$ și un șir care tinde la zero tinde el însuși la zero. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul exact al lui $I_n$ — imposibil de scris în formă închisă; ultimul subpunct nu se calculează, se încadrează. Control numeric: $I_5\approx 0,0317$ și $\frac{1}{2\cdot 6}\approx 0,0833$, iar $I_{60}\approx 0,0032$, sub $\frac{1}{122}\approx 0,0082$.)