Bac M1 2022, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2022 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație pentru examenul național de bacalaureat 2022. Modelul se publică înaintea anului școlar și anunță elevilor structura și nivelul probei; nu poartă număr de variantă, pentru că nu a fost extras la o sesiune, ci scris ca reper. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi, $b^2=ac$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: tangența la axa $Ox$ înseamnă discriminant nul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași putere a lui $5$ și factorul comun — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: numerele de două cifre distincte și cifra zecilor multiplu de $3$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în plan: relația lui Chasles, mijlocul unei laturi și coliniaritatea a doi vectori — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul oarecare: suma unghiurilor și teorema sinusurilor — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu numere complexe: determinant cu element imaginar, relația $B^2=-I_3$ și transportul înmulțirii numerelor complexe în înmulțirea matricelor — clasele a X-a – a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu logaritmi: aducerea legii la forma factorizată, elementul neutru și o inegalitate demonstrată prin logaritmarea unui raport — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită de tip $1^{\infty }$ și punct de extrem: derivarea unui produs cu exponențială, limita fundamentală ${\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u\to e$ și extremul unei funcții cu modul — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Primitive și integrala definită: simplificarea integrandului, monotonia unei primitive citită din semnul funcției și integrarea prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2022. Modelul spune, înainte de orice sesiune, unde va fi greutatea. Subiectul I este de recapitulare curată a claselor a IX-a și a X-a, dar cu două capcane de numărare: la itemul 4 mulțimea este a numerelor cu cifre distincte (deci $81$ de cazuri, nu $90$), iar la itemul 5 nu se cere niciun calcul cu coordonate, ci o manevră vectorială. Subiectul al II-lea pune, la problema 1, o familie de matrice care „copiază" înmulțirea numerelor complexe — cheia întregii probleme este egalitatea $B^2=-I_3$, adică exact rolul lui $i$ — iar la problema 2 o lege de compoziție care arată complicat și se simplifică brusc după ce este scrisă factorizat. Subiectul al III-lea nu cere niciun grafic: la problema 1, o derivată, o limită de tip $1^{\infty }$ și un punct de extrem care nu se găsește anulând derivata, ci observând un colț; la problema 2, trei situații în care integrala se calculează abia după ce integrandul a fost transformat.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": numere întregi, fracții simple sau expresii de forma $2\sqrt{3}$, ${\log }_{2}3$ și $e^{-2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: condiția progresiei geometrice scrisă fără să fie numită; mulțimea cazurilor posibile luată greșit la itemul 4; concluzia „dreptele sunt paralele" fără propoziția despre coliniaritatea vectorilor; elementul neutru găsit dintr-o singură egalitate, fără a doua; limita de tip $1^{\infty }$ calculată „prin înlocuire"; extremul lui $g$ căutat doar acolo unde derivata se anulează.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: numerele $a$, $b$, $c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice exact când $b^2=ac$. Funcția de gradul al doilea: axa $Ox$ este tangentă graficului exact când ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă, adică $\Delta =0$. Ecuații exponențiale: $a^{x+k}=a^k\cdot a^x$ — se scoate factor comun $a^x$ și se ajunge la $a^x=$ constantă. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre distincte sunt $9\cdot 9=81$ la număr. Vectori: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ (relația lui Chasles); dacă $D$ este mijlocul lui $AC$, atunci $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}$; doi vectori nenuli sunt coliniari când unul este multiplu scalar al celuilalt. Teorema sinusurilor: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; când o matrice verifică $B^2=-I_3$, ea joacă în ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ rolul lui $i$, iar orice combinație $a{I}_3+bB$ se înmulțește exact ca numărul complex $a+ib$.
• Legi de compoziție: ${\log }_{2}u+{\log }_{2}v={\log }_2(uv)$ și ${\log }_{2}u<0\iff 0<u<1$; elementul neutru $e$ se determină din ambele egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, și trebuie să aparțină mulțimii pe care e definită legea.
• Derivate și limite: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$; limita fundamentală $\underset{u\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u=e$, folosită la nedeterminarea $1^{\infty }$ sub forma $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$. Punct de extrem: un colț al graficului (punct în care funcția nu este derivabilă) poate fi punct de extrem — se citește din monotonie, nu din ecuația $g^{\prime }(x)=0$.
• Primitive și integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; o primitivă a unei funcții pozitive pe un interval este strict crescătoare pe acel interval; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$, cu alegerea inspirată a lui $u$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2+mx+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x\ln (x-1)$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $e$ are două înțelesuri: la itemul $8$, subpunctul b), $e$ este elementul neutru al legii de compoziție și iese $e={\log }_{2}3$; la itemul $9$, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, din $e^{-x}$ și din rezultatul $e^{-2}$. Cele două nu se întâlnesc niciodată în același item, dar merită scris explicit pe foaie despre care este vorba.
• Litera $M$ înseamnă la itemul $5$ un punct din planul triunghiului, iar la itemul $8$ mulțimea $[1,+\infty )$ pe care e definită legea de compoziție. La fel, $A$ și $B$ sunt vârfuri de triunghi la itemii $5$ și $6$, dar matrice la itemul $7$.
• Litera $m$ este parametru real la itemul $2$ (coeficientul din $x^2+mx+1$) și necunoscută la itemul $10$, subpunctul c). Cele două nu au nicio legătură.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numerele $6-3\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx+1$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$ pentru care axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+2}=5^x+24$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de $3$.

Itemul 5 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $M$ astfel încât $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Arătați că dreptele $MD$ și $AB$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$, în care $AC=3$ și măsurile unghiurilor $A$ și $B$ sunt de $30^{\circ }$, respectiv $60^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& i& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right)$$ și $A(z)=a{I}_3+bB$, unde $z=a+ib$, cu $a$ și $b$ numere reale și $i^2=-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det B=i$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A\left(z_1\right)\cdot A\left(z_2\right)=A\left(z_1{z}_2\right)$, pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(1+i)\cdot A(2+i)\cdot A(3+i)\cdot A(1-i)\cdot A(2-i)\cdot A(3-i)=n{I}_3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe $M=[1,+\infty )$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y={\log }_2(2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6)$.

a) (5 puncte) Arătați că $x\ast y={\log }_2\left(\right(2^x-2\left)\right(2^y-2)+2)$, pentru orice $x,y\in M$.

b) (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Arătați că $x\ast x\ast x<3x$, pentru orice $x\in M$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)}^{f(x)\cdot e^x}=e^{-2}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\left|\frac{f(x)}{e^{-x}}-1\right|$ are un singur punct de extrem.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln (x-1)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_4^6\frac{f(x)}{\ln (x-1)}dx=10$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $F\left(\sqrt{7}\right)<F(3)$, pentru orice primitivă $F$ a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că ${\int }_3^{5}f(x)dx=m(4\ln 2-1)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice exact când pătratul celui din mijloc este egal cu produsul celorlalte două. Se calculează așadar produsul extremilor, scoțând întâi factorul comun $3$ din prima paranteză: $$(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(4-3)=3\text{(3 p)}.$$ Cum $(\sqrt{3}{)}^2=3$, pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul extremilor, deci numerele $6-3\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ și $2+\sqrt{3}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice (2 p).

(Control cu rația: $q=\frac{\sqrt{3}}{6-3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3(2-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$, iar $\sqrt{3}\cdot q=\frac{2\cdot 3+3\sqrt{3}}{3}=2+\sqrt{3}$ — chiar al treilea număr. Unde se greșește de obicei: se calculează diferențele în loc de rapoarte, adică se testează progresia aritmetică; și se uită de conjugata $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$, care face tot calculul într-un rând.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea și tangența la axa $Ox$.

Axa $Ox$ este dreapta de ecuație $y=0$. Ea este tangentă graficului parabolei exact când parabola o atinge într-un singur punct, adică atunci când ecuația $f(x)=0$ are rădăcină dublă: $$\text{axa }Ox\text{ tangenta˘ graficului lui }f⟺\Delta =0⟺m^2-4\cdot 1\cdot 1=0\text{(3 p)}.$$ Din $m^2=4$ se obțin $\mathbf{m}=-2$ sau $\mathbf{m}=2$ (2 p).

(Verificare: pentru $m=2$ avem $f(x)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, care se anulează doar în $x=-1$ și este nenegativă în rest — graficul atinge axa, dar nu o traversează. La fel pentru $m=-2$, cu $f(x)=(x-1{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se cere $\Delta >0$, adică intersecție în două puncte, sau se dă un singur $m$ — ecuația $m^2=4$ are două soluții.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se folosește regula puterilor $5^{x+2}=5^2\cdot 5^x=25\cdot 5^x$; ecuația devine, după trecerea lui $5^x$ în stânga, $$25\cdot 5^x-5^x=24,\text{ adica˘ }24\cdot 5^x=24,\text{ deci }{5}^x=1\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $5$ este injectivă, iar $1=5^0$, deci $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare directă în ecuația inițială: $5^{0+2}=25$ și $5^0+24=1+24=25$. Unde se greșește de obicei: se scrie $5^{x+2}=5^x+5^2$, ceea ce ar însemna că exponențiala transformă suma din exponent în sumă — fals; regula corectă transformă suma din exponent în produs.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe mulțimea numerelor de două cifre distincte.

Un număr natural de două cifre distincte are cifra zecilor una dintre cele nouă cifre nenule, iar cifra unităților oricare dintre celelalte nouă cifre rămase; mulțimea are așadar $9\cdot 9=81$ de elemente, deci sunt $81$ de cazuri posibile (2 p).

Cifra zecilor trebuie să fie multiplu de $3$ și nenulă, deci una dintre $3$, $6$ și $9$; pentru fiecare dintre ele cifra unităților poate lua oricare dintre celelalte nouă valori, deci sunt $3\cdot 9=27$ de cazuri favorabile (2 p).

Prin urmare $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$ (Baremul oficial împarte această cerință în trei rânduri, nu în două ca la celelalte cinci: cazurile posibile, cazurile favorabile și abia apoi raportul — semn că numărarea greșită a cazurilor posibile este greșeala pe care o aștepta comisia. Unde se greșește de obicei: se iau $90$ de cazuri posibile, uitând cuvântul distincte; sau se numără $3\cdot 10=30$ de cazuri favorabile, lăsând cifra unităților să repete cifra zecilor. Control: raportul $\frac{27}{81}$ se putea prezice fără calcul — cifra zecilor are nouă valori posibile, dintre care trei convin, iar cifra unităților nu schimbă șansa.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în plan și coliniaritate.

Se aduc toți vectorii la același punct de plecare, $M$, folosind relația lui Chasles $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$. Ipoteza devine $$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0},\text{ adica˘ }3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+2\overrightarrow{AB}=\vec{0},$$ iar cum $D$ este mijlocul laturii $AC$ avem $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}$, deci $6\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, de unde $$\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\text{(3 p)}.$$ Vectorii $\overrightarrow{MD}$ și $\overrightarrow{AB}$ sunt așadar coliniari, deci dreptele $MD$ și $AB$ sunt paralele (2 p).

(De ce mijlocul dă $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}$: din $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}$ și $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$, adunând, iar $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ pentru că $D$ este mijlocul lui $AC$. Control numeric, cu $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$: din relația dată se obține $M\left(\frac{0+12+0}{6},\frac{0+0+18}{6}\right)=M(2,3)$, iar $D(0,3)$; atunci $\overrightarrow{MD}=(-2,0)$ și $\overrightarrow{AB}=(6,0)$ — într-adevăr $\overrightarrow{MD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea la egalitatea vectorială, fără propoziția „vectorii sunt coliniari, deci dreptele sunt paralele" — care este chiar concluzia cerută și este punctată separat.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul oarecare.

Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$, deci unghiul $C$ are măsura $180^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=90^{\circ }$, adică triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ (2 p).

Cu teorema sinusurilor, $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$; cum $\sin C=\sin 90^{\circ }=1$ și $\sin B=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $AC=3$, se obține $$AB=\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ (Același rezultat direct din triunghiul dreptunghic: $AB$ este ipotenuza, $AC$ este cateta alăturată unghiului $A$ de $30^{\circ }$, deci $AB=\frac{AC}{\cos 30^{\circ }}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$. Control numeric: $2\sqrt{3}\approx 3,46$, mai mare decât cateta $AC=3$ — cum și trebuie să fie ipotenuza. Unde se greșește de obicei: se asociază lui $AB$ sinusul unghiului $A$ sau $B$; regula este că fiecare latură se împerechează cu unghiul opus ei, iar latura $AB$ este opusă unghiului $C$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea construite cu numere complexe.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei $B$ și se dezvoltă cu regula lui Sarrus, ținând minte că elementul din mijloc este $i$: $$\begin{array}{rl}& \det B\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& i& 0\\ -2& 0& -1\end{array}\right|\\ & =1\cdot i\cdot (-1)+0+0-(-2)\cdot i\cdot 1-0-0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Rămân doar doi termeni, iar suma lor este $$\det B=-i+2i=\mathbf{i}\text{(2 p)}.$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det B=i\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -1\end{array}\right|=i(-1+2)=i$ — aceeași valoare, și un control gratuit. Unde se greșește de obicei: se tratează $i$ ca pe un număr real oarecare și se pierde semnul la produsul cu $-2$.)

b) (5 p) Cheia întregii probleme este pătratul lui $B$. Înmulțind $B$ cu ea însăși se obține $B\cdot B=-I_3$ — adică $B$ joacă exact rolul lui $i$, al cărui pătrat este $-1$. Cu $z_1=a+ib$ și $z_2=c+id$, unde $a$, $b$, $c$ și $d$ sunt numere reale, se desface produsul după regula fiecare-cu-fiecare: $$\begin{array}{rl}& A\left(z_1\right)\cdot A\left(z_2\right)\\ & =(a{I}_3+bB)(c{I}_3+dB)\\ & =ac{I}_3+adB+bcB+bd\cdot B\cdot B\text{(3 p)}.\end{array}$$ Înlocuind $B\cdot B=-I_3$ și grupând: $$\begin{array}{rl}& A\left(z_1\right)\cdot A\left(z_2\right)\\ & =(ac-bd)I_3+(ad+bc)B\\ & =A\left(z_1{z}_2\right),\end{array}$$ pentru că $z_1{z}_2=(ac-bd)+i(ad+bc)$ (2 p).

(Verificare a egalității $B\cdot B=-I_3$ pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot (-2)=-1$, iar cel din mijloc este $i\cdot i=-1$. Unde se greșește de obicei: se sare peste calculul lui $B\cdot B$ și se „presupune" că $A$ transportă înmulțirea — tocmai acel calcul este ideea problemei. Control numeric: pentru $z_1=1+i$ și $z_2=1-i$ avem $z_1{z}_2=2$, iar $A(2)=2I_3$; produsul matricelor dă într-adevăr $2I_3$.)

c) (5 p) Se folosește proprietatea de la subpunctul b), aplicată de cinci ori la rând: produsul celor șase matrice este matricea asociată produsului celor șase numere complexe, $$\begin{array}{rl}& A(1+i)A(2+i)A(3+i)A(1-i)A(2-i)A(3-i)\\ & =A((1+i)(2+i)(3+i)(1-i)(2-i)(3-i))\text{(2 p)}.\end{array}$$ Numerele se regrupează în perechi de conjugate, iar produsul unui număr complex cu conjugatul lui este un număr real, egal cu pătratul modulului: $$\begin{array}{rl}& (1+i)(1-i)\\ & =2,(2+i)(2-i)\\ & =5,(3+i)(3-i)=10,\end{array}$$ deci produsul este $2\cdot 5\cdot 10=100$, iar $A(100)=100\cdot I_3+0\cdot B=100I_3$, de unde $\mathbf{n}=100$ (3 p).

(Regruparea este legitimă pentru că înmulțirea numerelor complexe este comutativă și asociativă. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc cele șase matrice „în ordine", ceea ce înseamnă cinci produse de matrice de ordinul al treilea — corect, dar de zece ori mai lung, și cu risc mare de eroare. Control: modulele sunt $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ și $\sqrt{10}$, iar produsul lor la pătrat este $2\cdot 5\cdot 10=100$ — aceeași valoare, pe alt drum.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu logaritmi.

a) (5 p) Se lucrează pe expresia de sub logaritm, scoțând factor comun $2^x$ din primii doi termeni: $$2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6=2^x(2^y-2)-2^{y+1}+4+2\text{(3 p)}.$$ Ultimele două paranteze se grupează la fel, pentru că $-2^{y+1}+4=-2(2^y-2)$, deci $$2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6=2^x(2^y-2)-2(2^y-2)+2=(2^x-2)(2^y-2)+2,$$ adică $x\ast y={\log }_2\left(\right(2^x-2\left)\right(2^y-2)+2)$, pentru orice $x,y\in M$ (2 p).

(De ce legea este bine definită: pentru $x,y\ge 1$ avem $2^x-2\ge 0$ și $2^y-2\ge 0$, deci expresia de sub logaritm este cel puțin $2$ — strict pozitivă, cum cere logaritmul. Unde se greșește de obicei: se desface $2^{x+1}$ ca $2^x+2$ în loc de $2\cdot 2^x$. Control numeric: pentru $x=y=1$, expresia inițială dă $4-4-4+6=2$, iar cea factorizată $0\cdot 0+2=2$.)

b) (5 p) Elementul neutru este numărul $e\in M$ pentru care $x\ast e=x$, oricare ar fi $x\in M$. Cu forma factorizată de la subpunctul a), $${\log }_2\left(\right(2^x-2\left)\right(2^e-2)+2)=x⟺(2^x-2)(2^e-2)+2=2^x⟺(2^x-2)(2^e-3)=0,$$ egalitate adevărată pentru orice $x\in M$ numai dacă $2^e=3$, adică $e={\log }_{2}3\in M$ (3 p).

Legea fiind comutativă (forma factorizată este simetrică în $x$ și $y$), avem și $\left({\log }_{2}3\right)\ast x=x$ pentru orice $x\in M$, deci $\mathbf{e}={\log }_{2}3$ este elementul neutru al legii „$\ast$" (2 p).

(Aici litera $e$ este elementul neutru, nu numărul lui Euler. Că ${\log }_{2}3$ chiar aparține mulțimii se vede din $2<3<4$, deci $1<{\log }_{2}3<2$ — condiția $e\in M$ face parte din răspuns, nu este o formalitate. Unde se greșește de obicei: se anulează factorul $2^x-2$ în loc de $2^e-3$; dar $2^x-2$ se anulează doar pentru $x=1$, nu pentru orice $x$, iar egalitatea trebuie să fie adevărată pentru toți $x$ din mulțime. A doua greșeală este oprirea după o singură egalitate: definiția cere ambele.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, se poate compune în orice ordine; aplicând de două ori forma factorizată, $$x\ast x={\log }_2\left(\right(2^x-2{)}^2+2),\text{apoi}x\ast x\ast x={\log }_2((2^x-2{)}^3+2),x\in M\text{(3 p)}.$$ Se compară acum cu $3x={\log }_2{2}^{3x}$, scăzând cele două logaritme, adică logaritmând raportul: $$(x\ast x\ast x)-3x={\log }_2\left(\frac{(2^x-2{)}^3+2}{2^{3x}}\right)={\log }_2\left(1-\frac{6(2^x-1{)}^2}{2^{3x}}\right)<0,$$ pentru orice $x\in M$, de unde $x\ast x\ast x<3x$ (2 p).

(Cum apare forma din mijloc: cu notația $t=2^x$, avem $(t-2{)}^3+2=t^3-6t^2+12t-6$, iar împărțind la $t^3$ rămâne $1-\frac{6(t^2-2t+1)}{t^3}=1-\frac{6(t-1{)}^2}{t^3}$. Pentru $x\ge 1$ avem $t\ge 2$, deci $(t-1{)}^2\ge 1>0$ și fracția scăzută este strict pozitivă — logaritmul unui număr strict mai mic decât $1$ este strict negativ. Control numeric: pentru $x=1$, $x\ast x\ast x={\log }_{2}2=1$, iar $3x=3$; pentru $x=2$, ${\log }_{2}10\approx 3,32<6$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(2^x-2{)}^3$ ca $2^{3x}-8$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită de tip $1^{\infty }$ și punct de extrem.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, unde $u(x)=x^3+3x+1$ și $v(x)=e^{-x}$, cu $v^{\prime }(x)=-e^{-x}$: $$f^{\prime }(x)=(3x^2+3)e^{-x}-(x^3+3x+1)e^{-x}\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $e^{-x}$ și se descompune paranteza rămasă, observând că $x=2$ o anulează: $$f^{\prime }(x)=(-x^3+3x^2-3x+2)e^{-x}=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Verificarea descompunerii, prin desfacere: $(2-x)(x^2-x+1)=2x^2-2x+2-x^3+x^2-x=-x^3+3x^2-3x+2$. Control numeric: în $x=0$ formula dă $f^{\prime }(0)=2\cdot 1\cdot 1=2$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot $2$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{-x}$ ca $e^{-x}$, uitând semnul minus adus de derivata exponentului.)

b) (5 p) Se scriu întâi bucățile din limită în formă simplă. Cum $f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$, avem $f(x)-e^{-x}=(x^3+3x)e^{-x}$, $f(x)+e^{-x}=(x^3+3x+2)e^{-x}$ și $f(x)\cdot e^x=x^3+3x+1$; factorii $e^{-x}$ se simplifică în raport, iar baza se scrie ca $1$ plus o cantitate mică: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)}^{f(x)e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x^3+3x}{x^3+3x+2}\right)}^{x^3+3x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left[{\left(1+\frac{-2}{x^3+3x+2}\right)}^{\frac{x^3+3x+2}{-2}}\right]}^{\frac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}}\text{(3 p)}.$$ Paranteza mare tinde la $e$ (limita fundamentală), iar exponentul din afară tinde la $-2$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)}^{f(x)e^x}=e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2\left(x^3+3x+1\right)}{x^3+3x+2}}={\mathbf{e}}^{-2}\text{(2 p)}.$$ (Aici litera $e$ este numărul lui Euler. Rețeta scurtă pentru nedeterminarea $1^{\infty }$: dacă $u\to 1$ și $v\to \infty$, atunci $u^v\to e^{\lim v(u-1)}$; aici $u-1=\frac{-2}{x^3+3x+2}$ și $v=x^3+3x+1$, iar produsul tinde la $-2$. Unde se greșește de obicei: se „înlocuiește" baza cu $1$ și se conchide că limita este $1$ — clasica greșeală la $1^{\infty }$, care este caz de nedeterminare. Control numeric: pentru $x=300$ expresia dă $0,1353$, iar $e^{-2}\approx 0,1353$.)

c) (5 p) Se scrie întâi $g$ fără fracție și fără $f$: împărțirea la $e^{-x}$ înseamnă înmulțirea cu $e^x$, deci $\frac{f(x)}{e^{-x}}=x^3+3x+1$ și $$g(x)=\left|x^3+3x+1-1\right|=\left|x^3+3x\right|=\{\begin{array}{ll}-x^3-3x,& x\in (-\infty ,0)\\ x^3+3x,& x\in [0,+\infty )\end{array}\text{(2 p)}.$$ Funcția $g$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și, pentru orice $x\in (-\infty ,0)$, $g^{\prime }(x)=-3x^2-3<0$, deci $g$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$; pentru orice $x\in (0,+\infty )$, $g^{\prime }(x)=3x^2+3>0$, deci $g$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$. Monotonia se schimbă o singură dată, așadar $g$ are un singur punct de extrem, minimul din $x=0$ (3 p).

(Semnul de sub modul se citește imediat: $x^3+3x=x(x^2+3)$, iar $x^2+3>0$ mereu, deci expresia are semnul lui $x$ — de aceea ruperea se face exact în $0$. Ce nu scrie baremul, dar contează: în $x=0$ funcția $g$ nu este derivabilă — derivatele laterale sunt $-3$ și $3$ — deci punctul de extrem nu se găsește rezolvând ecuația $g^{\prime }(x)=0$, care nu are nicio soluție. Este un colț, nu un vârf neted. Unde se greșește de obicei: se caută extremele doar printre zerourile derivatei și se conchide că $g$ nu are niciunul. Control numeric: $g(0)=0$, $g(-0,1)=0,301$ și $g(0,1)=0,301$ — chiar un minim.)

Itemul 10. (15 p) — primitive și integrala definită.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice calcul: logaritmul de la numitor se reduce cu cel din formula funcției, $${\int }_4^6\frac{f(x)}{\ln (x-1)}dx={\int }_4^6\frac{x\ln (x-1)}{\ln (x-1)}dx={\int }_4^{6}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_4^6\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_4^6\frac{f(x)}{\ln (x-1)}dx=\frac{36}{2}-\frac{16}{2}=18-8=10\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[4,6]$ avem $x-1\ge 3>1$, deci $\ln (x-1)>0$ — în particular nenul. Control numeric: integrala lui $x$ pe $[4,6]$ este aria unui trapez cu bazele $4$ și $6$ și înălțimea $2$, adică $\frac{(4+6)\cdot 2}{2}=10$. Unde se greșește de obicei: se încearcă integrarea prin părți a lui $x\ln (x-1)$ fără să se observe că numitorul o face inutilă.)

b) (5 p) Prin definiție, $F$ este primitivă a lui $f$ înseamnă $F^{\prime }(x)=f(x)=x\ln (x-1)$ pentru orice $x\in (1,+\infty )$. Pe intervalul $(2,+\infty )$ avem $x>0$ și $x-1>1$, deci $\ln (x-1)>0$; prin urmare $F^{\prime }(x)>0$ acolo, adică $F$ este strict crescătoare pe $(2,+\infty )$ (3 p).

Cum $4<7<9$, avem $2<\sqrt{7}<3$, deci ambele numere $\sqrt{7}$ și $3$ se află în intervalul $(2,+\infty )$, iar $\sqrt{7}<3$. Funcția $F$ fiind strict crescătoare acolo, rezultă $F\left(\sqrt{7}\right)<F(3)$ (2 p).

(Concluzia nu depinde de care primitivă anume: două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar constanta se simplifică în comparație. Unde se greșește de obicei: se încearcă găsirea unei primitive explicite, ceea ce cere integrare prin părți și nu este necesar; sau se uită verificarea că $\sqrt{7}>2$ — pe intervalul $(1,2)$ funcția $f$ este negativă, deci acolo $F$ ar fi descrescătoare și inegalitatea s-ar inversa. Control numeric: ${\int }_{\sqrt{7}}^{3}x\ln (x-1)dx\approx 0,601>0$, adică $F(3)-F\left(\sqrt{7}\right)>0$.)

c) (5 p) Se integrează prin părți, alegând drept primitivă a lui $x$ nu $\frac{x^2}{2}$, ci $\frac{x^2-1}{2}$ — care diferă de ea printr-o constantă, deci este la fel de bună, dar se simplifică cu numitorul derivatei logaritmului: $${\int }_3^{5}f(x)dx={\int }_3^5{\left(\frac{x^2-1}{2}\right)}^{\prime }\ln (x-1)dx=\frac{x^2-1}{2}\ln (x-1){|}_3^5-\frac{1}{2}{\int }_3^5\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală devine ${\int }_3^5(x+1)dx$, iar termenul din afara integralei este $12\ln 4-4\ln 2$: $${\int }_3^{5}f(x)dx=12\ln 4-4\ln 2-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_3^5=24\ln 2-4\ln 2-\frac{1}{2}\cdot 10=20\ln 2-5=5(4\ln 2-1),$$ de unde $\mathbf{m}=5$ (2 p).

(De ce trucul cu $\frac{x^2-1}{2}$: derivata lui $\ln (x-1)$ este $\frac{1}{x-1}$, iar $x^2-1=(x-1)(x+1)$ se simplifică fix cu acel numitor, lăsând un polinom de gradul întâi în loc de o fracție care ar cere încă o împărțire cu rest. Calculul capetelor: $\frac{25-1}{2}\ln 4-\frac{9-1}{2}\ln 2=12\ln 4-4\ln 2$, iar $\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_3^5=\left(\frac{25}{2}+5\right)-\left(\frac{9}{2}+3\right)=\frac{35}{2}-\frac{15}{2}=10$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[3,5]$ dă $8,8629$, iar $20\ln 2-5\approx 8,8629$. Unde se greșește de obicei: se ia $u=\ln (x-1)$ și $v^{\prime }=x$ cu primitiva $\frac{x^2}{2}$, ceea ce duce la $\int \frac{x^2}{2(x-1)}dx$ — corect, dar cu o împărțire cu rest în plus.)