Bac M1 2022, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2022 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a examenului de bacalaureat, proba E. c), Matematică M_mate-info, organizată în primăvara anului 2022. Documentul poartă mențiunea „Simulare", fără număr de variantă, spre deosebire de sesiunile propriu-zise. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. Simularea are exact formatul și punctajul probei reale — este singura ocazie de antrenament în care condițiile de examen sunt reproduse integral, în clasă.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: înmulțirea în formă algebrică și produsul conjugatelor, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: semnul trinomului pe toată axa, prin discriminant — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: coeficientul dinaintea logaritmului, radicalul de sub logaritm și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: numărarea numerelor care au exact doi multipli într-o mulțime dată — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: paralelogramul recunoscut prin diagonale cu același mijloc — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: suma unghiurilor unui triunghi, formula de reducere $\sin (\pi -C)=\sin C$ și formula unghiului dublu — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice, determinanți și sisteme liniare: determinantul unei matrice numerice, puterea a treia a unei matrice nilpotente de un tip special și legătura dintre anularea determinantului și compatibilitatea unui sistem — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție pe $\mathbb{C}$: calculul unui compus, elementul neutru și o ecuație cu module — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă oblică și discuție după parametru: derivarea unui raport cu radical, procedura în doi pași a asimptotei oblice și numărul de soluții al unei ecuații, citit din tabelul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale, primitive și convexitate: simplificarea integrandului, semnul derivatei a doua a unei primitive și integrarea prin recunoașterea unei derivate — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2022. Subiectul I este mai greu decât media sesiunilor: cerința $4$ nu este o numărare directă, ci cere tradusă în inegalități condiția „exact doi multipli", iar cerința $6$ trece prin două formule trigonometrice, nu prin una. Subiectul al II-lea leagă, la problema 1, matricele de sisteme liniare — subpunctul c) nu se poate rezolva fără să știi ce înseamnă „sistem cu o infinitate de soluții" —, iar la problema 2 pune o lege de compoziție pe $\mathbb{C}$, cu module la numitor. Subiectul al III-lea este cel mai bogat din lot: problema 1 se încheie cu o discuție completă după parametru (monotonie, valoare minimă, limite la capete), iar problema 2 cere trei lucruri diferite — o integrală simplă, o proprietate a oricărei primitive și o integrală care se calculează recunoscând o derivată sub semnul de integrare.

Trei observații care fac proba mai ușoară decât pare. La itemul $7$ b), matricea $B(a)$ are doar două elemente nenule, în colțuri; la itemul $9$ c), funcția din enunț se dovedește a fi $2f$, pentru că $f\left(\frac{4}{x}\right)=f(x)$; iar la itemul $10$, produsul $e^{x}f(x)$ este chiar $x^2+1$, ceea ce simplifică deodată subpunctele a) și c). Cine vede aceste trei lucruri în primele minute câștigă un sfert de oră.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{2}$ și $\frac{2-\sqrt{2}}{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte cinci puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: condiția $f(x)>0$ scrisă doar cu $\Delta <0$, fără să se spună că și coeficientul dominant este pozitiv; soluția unei ecuații logaritmice dată fără cuvântul „convine"; elementul neutru verificat într-o singură ordine; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; discuția după parametru încheiată fără limitele la capetele domeniului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; produsul conjugatelor, $(u-iv)(u+iv)=u^2+v^2$, scoate imediat un număr real. Semnul trinomului: $a{x}^2+bx+c>0$ pentru orice $x$ real exact când $a>0$ și $\Delta <0$. Logaritmi: ${\log }_a{u}^k=k{\log }_{a}u$ pentru $u>0$; $2{\log }_2\sqrt{t}={\log }_{2}t$; $1={\log }_{2}2$, iar ${\log }_{2}u-{\log }_{2}v={\log }_2\frac{u}{v}$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Paralelogram în reper: patrulaterul $ABMN$ este paralelogram exact când diagonalele $AM$ și $BN$ au același mijloc. Trigonometrie: într-un triunghi, $A+B=\pi -C$, deci $\sin (A+B)=\sin C$; formula unghiului dublu, $\sin 2C=2\sin C\cos C$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; un sistem liniar de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică exact când determinantul este nenul, deci „o infinitate de soluții" cere întâi $\det =0$; verificarea faptului că sistemul e compatibil se face rezolvându-l efectiv.
• Legi de compoziție: elementul neutru $e$ se verifică în ambele ordini, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, pentru orice $x$ din mulțime. Pentru numere complexe, $|uv|=|u||v|$ și $|z^2|=|z{|}^2$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ și $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; procedura în doi pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit. Numărul soluțiilor ecuației $g(x)=m$ se citește din monotonia lui $g$ plus valorile-prag: minime locale și limite la capete.
• Primitive și integrale: $G$ este primitivă a lui $g$ înseamnă $G^{\prime }=g$, deci $G^{\prime \prime }=g^{\prime }$ — convexitatea lui $G$ se citește din semnul lui $g^{\prime }$; ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int u^{\prime }\sqrt{u}dx=\frac{2u\sqrt{u}}{3}+\mathcal{C}$ și $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2+4x+m$ de la itemul $2$, $f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametrul familiei de matrice la itemul $7$ și numărul căutat la itemul $10$ c); litera $m$ este parametrul trinomului la itemul $2$ și valoarea discutată la itemul $9$ c). Nu există nicio legătură între ele.
• Litera $A$ are trei roluri: vârf de triunghi la itemul $6$, numele familiei de matrice la itemul $7$ și, tot la itemul $7$ b), litera vecină $B$ denumește o altă familie de matrice, $B(a)=A(a)-A(0)$ — nu vârful de la itemul $6$. La itemul $8$, litera $e$ înseamnă elementul neutru al legii, nu numărul lui Euler; numărul lui Euler apare abia la itemul $10$, în formula lui $f$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=1-2i$ și $z_2=2+i$. Arătați că $(z_1+i)(z_2-1)=2$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $f(x)>0$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1+2{\log }_2\sqrt{x-2}={\log }_{2}x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea $A$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,-2)$, $B(3,1)$ și $M(2,4)$. Determinați coordonatele punctului $N$, știind că patrulaterul $ABMN$ este paralelogram.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, în care $\sin (A+B)+\cos C=1$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& a\\ 2& 1& -1\\ a& 3& 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}x+3y+az=2\\ 2x+y-z=-1\\ ax+3y+z=1\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^{3}B(1)$, pentru orice număr real $a$, unde $B(a)=A(a)-A(0)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $x_0{y}_0+y_0{z}_0+z_0{x}_0\le 0$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_1\ast z_2=\frac{z_1+z_2}{4\cdot |z_1{z}_2|+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\ast 2=\frac{1}{9}$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea $|z\ast z|=|z|$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3{e}^{x}f(x)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă $G$ a funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ este convexă.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^1\frac{x^3}{\sqrt{e^{x}f(x)}}dx=\frac{a-\sqrt{2}}{3}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiesc numerele și se strânge fiecare paranteză înainte de a înmulți: $$(z_1+i)(z_2-1)=(1-2i+i)(2+i-1)=(1-i)(1+i)\text{(2 p)}.$$ Produsul a două numere complexe conjugate este de forma $u^2-(iv{)}^2$, deci $$(z_1+i)(z_2-1)=1-i^2=1-(-1)=2\text{(3 p)}.$$ (Control prin desfacere directă: $(1-i)(1+i)=1+i-i-i^2=1+1=2$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $-2i+i=-3i$ în loc de $-i$, sau se aplică „formula" $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ uitând că aici $v=i$, deci $v^2=-1$ și diferența devine sumă.)

Itemul 2. (5 p) — semnul funcției de gradul al doilea.

Coeficientul dominant este $1>0$, deci parabola are ramurile în sus; graficul stă în întregime deasupra axei exact atunci când trinomul nu are rădăcini reale, adică atunci când discriminantul este negativ: $$\Delta <0,\text{ iar }\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m,\text{ deci }16-4m<0\text{(3 p)}.$$ Din $16<4m$ rezultă $m>4$, adică $$\mathbf{m}\in (4,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (De ce capătul este exclus: pentru $m=4$ trinomul devine $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$, care se anulează în $x=-2$; enunțul cere inegalitate STRICTĂ, deci $m=4$ nu convine. Control: pentru $m=5$, forma canonică este $(x+2{)}^2+1\ge 1>0$; pentru $m=3$, valoarea în $x=-2$ este $-1<0$. Unde se greșește de obicei: se scrie doar „$\Delta <0$", fără să se spună că și coeficientul dominant trebuie să fie pozitiv — cu $a<0$ și $\Delta <0$ trinomul ar fi negativ peste tot.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Coeficientul $2$ intră ca exponent sub logaritm și desființează radicalul, iar $1={\log }_{2}2$ se strânge împreună cu el; diferența de logaritmi devine logaritmul câtului: $$1+{\log }_2(x-2)={\log }_{2}x,\text{ deci }{\log }_2\frac{x}{x-2}=1,\text{ de unde }\frac{x}{x-2}=2\text{(3 p)}.$$ Din $x=2(x-2)$ rezultă $x=4$, valoare care convine, pentru că $x-2=2>0$ și $x=4>0$ (2 p): $$1+2{\log }_2\sqrt{2}=1+2\cdot \frac{1}{2}=2={\log }_{2}4.$$ (Pasul pe care baremul îl trece repede: $2{\log }_2\sqrt{x-2}={\log }_2(\sqrt{x-2}{)}^2={\log }_2(x-2)$ — egalitate valabilă tocmai pentru că $x-2>0$ din condiția de existență a radicalului. Unde se greșește de obicei: se „taie" pătratul cu radicalul fără condiție, sau se uită termenul $1$, care nu este un logaritm, dar devine unul: $1={\log }_{2}2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea $A$ a numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $n$ din mulțimea $A$ sunt $n$, $2n$, $3n$, … — primul, $n$ însuși, este mereu în $A$. Numărul $n$ are exact doi multipli în $A$ atunci când și $2n$ este în $A$, dar $3n$ nu mai este: $$2n\le 99<3n,\text{ adica˘ }33<n\le 49,5,\text{ deci }n\in \{34,35,36,\dots ,49\},$$ adică $49-34+1=16$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}\text{(3 p)}.$$ (Control pe capete: pentru $n=34$, multiplii din $A$ sunt $34$ și $68$, iar $102$ iese din mulțime; pentru $n=49$ ei sunt $49$ și $98$, iar $147$ iese; pentru $n=33$ apare și $99$, deci ar fi trei; pentru $n=50$ rămâne doar $50$, deci unul singur. Unde se greșește de obicei: se uită că $n$ este el însuși multiplu al lui $n$ și se numără doar multiplii „de la $2n$ în sus", ceea ce deplasează tot intervalul.)

Itemul 5. (5 p) — paralelogram în reper cartezian.

Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc; în patrulaterul $ABMN$ diagonalele sunt $AM$ și $BN$, deci ele au același mijloc. Mijlocul lui $AM$, cu $A(-2,-2)$ și $M(2,4)$, este $$P\left(\frac{-2+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=P(0,1)\text{(2 p)}.$$ Punctul $P$ trebuie să fie și mijlocul lui $BN$, cu $B(3,1)$, deci $\frac{3+x_N}{2}=0$ și $\frac{1+y_N}{2}=1$, de unde $$\mathbf{N}(-3,1)\text{(3 p)}.$$ (Control pe laturi: $\overrightarrow{AB}=(5,3)$ și $\overrightarrow{NM}=(2-(-3),4-1)=(5,3)$ — laturile opuse sunt paralele și egale, deci $ABMN$ este într-adevăr paralelogram. Unde se greșește de obicei: se iau drept diagonale laturile, adică se scrie „$AB$ și $MN$ au același mijloc" — într-un patrulater $ABMN$, vârfurile se citesc în ordine, iar diagonalele leagă vârfurile neconsecutive, $A$ cu $M$ și $B$ cu $N$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie într-un triunghi oarecare.

Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$, deci $A+B=\pi -C$, iar formula de reducere dă $\sin (\pi -C)=\sin C$. Condiția din enunț devine $$\sin C+\cos C=1\text{(2 p)}.$$ Ridicând la pătrat și folosind formula fundamentală și pe cea a unghiului dublu: $${\sin }^{2}C+2\sin C\cos C+{\cos }^{2}C=1⟹1+\sin 2C=1⟹\sin 2C=0,$$ iar din $C\in (0,\pi )$ rezultă $2C\in (0,2\pi )$, deci $2C=\pi$, adică $C=\frac{\pi }{2}$ și triunghiul $ABC$ este dreptunghic (3 p).

(Pasul pe care baremul oficial nu-l scrie: ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă, deci valoarea găsită trebuie verificată — și se verifică, pentru că $\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=1+0=1$. De altfel, aici nu se pierde nimic: $\sin C+\cos C=\sqrt{2}\sin \left(C+\frac{\pi }{4}\right)$, iar pe intervalul $(0,\pi )$ valoarea $-1$ nu se atinge. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin (A+B)=-\sin C$, confundând formula de reducere cu cea a suplementului pentru cosinus, unde chiar apare minus: $\cos (\pi -C)=-\cos C$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice, determinant și sistem liniar cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea are prima și a treia linie identice; determinantul se calculează totuși pas cu pas, cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\right|\\ & =1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 3\cdot 1+3\cdot (-1)\cdot 1-1\cdot 1\cdot 1-(-1)\cdot 3\cdot 1-2\cdot 3\cdot 1\text{(3 p)}.\end{array}$$ Adunând, termenii se anulează doi câte doi: $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =1+6-3-1+3-6=0\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Rezultatul se putea prevedea: liniile întâi și a treia ale lui $A(1)$ sunt amândouă $\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\end{array}\right)$, iar un determinant cu două linii egale este nul. Calculul lung rămâne totuși un control util.)

b) (5 p) Se scade $A(0)$ din $A(a)$, element cu element; diferența este nulă peste tot în afara celor două colțuri în care apare $a$: $$\begin{array}{rl}B(a)& =A(a)-A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 0& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right),\text{ deci }B(a)\cdot B(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& a^2\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Înmulțind încă o dată cu $B(a)$, matricea revine la forma cu colțuri, dar cu $a^3$: $$\begin{array}{rl}& B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a^3\\ 0& 0& 0\\ a^3& 0& 0\end{array}\right)\\ & =a^3\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=a^{3}B(1),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din dreapta sus al lui $B(a{)}^2$ este $0\cdot a+0\cdot 0+a\cdot 0=0$, iar cel din stânga sus este $0\cdot 0+0\cdot 0+a\cdot a=a^2$. Observație: $B(1)$ este matricea care schimbă între ele prima și a treia coordonată, iar pătratul ei este $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ — de aceea puterile alternează între cele două forme. Unde se greșește de obicei: se ridică fiecare element la puterea a treia, ca și cum înmulțirea matricelor s-ar face poziție cu poziție.)

c) (5 p) Matricea sistemului este chiar $A(a)$, iar un sistem liniar de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică exact când determinantul este nenul. Deci pentru o infinitate de soluții este necesar ca $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =0;\text{ cum }\det (A(a))=-a^2+3a-2,\text{ obținem }a=1,\\ & \text{ pentru care sistemul este incompatibil, deci nu convine, sau }a\\ & =2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Pentru $a=2$ sistemul chiar are o infinitate de soluții: din primele două ecuații se obține $y=1-z$ și $x=z-1$, iar a treia ecuație se verifică identic. Notând $z_0=\alpha$, soluția generală este $(x_0,y_0,z_0)=(\alpha -1,-\alpha +1,\alpha )$ și, cum $\alpha$ este număr real, $$\begin{array}{rl}& x_0{y}_0+y_0{z}_0+z_0{x}_0\\ & =(\alpha -1)(-\alpha +1)+\alpha (-\alpha +1)+\alpha (\alpha -1)\\ & =-(\alpha -1{)}^2\le 0,\end{array}$$ pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale (3 p).

(De ce $a=1$ nu convine: acolo prima ecuație este $x+3y+z=2$, iar a treia este $x+3y+z=1$ — același membru stâng, membri drepți diferiți, deci sistemul nu are nicio soluție. Cum se face reducerea: ultimii doi termeni se anulează, $\alpha (-\alpha +1)+\alpha (\alpha -1)=0$, iar primul este $-(\alpha -1{)}^2$. Control numeric: pentru $\alpha =3$ soluția este $(2,-2,3)$, iar expresia dă $-4-6+6=-4=-(3-1{)}^2$. Unde se greșește de obicei: se opresc la $\det =0$ și se răspunde „$a=1$ sau $a=2$", fără să verifice că la $a=1$ sistemul e incompatibil — anularea determinantului este necesară, nu suficientă.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor complexe.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiție, cu $z_1=-1$ și $z_2=2$: $$(-1)\ast 2=\frac{-1+2}{4\cdot |-1\cdot 2|+1}\text{(3 p)}.$$ Modulul unui număr real este valoarea lui absolută, $|-2|=2$, deci $$(-1)\ast 2=\frac{1}{4\cdot 2+1}=\frac{1}{9}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $4\cdot (-2)+1=-7$, adică se ignoră modulul; sau se calculează $|-1|\cdot |2|$ greșit — de fapt cele două drumuri coincid, pentru că $|uv|=|u||v|$.)

b) (5 p) Elementul neutru trebuie verificat în ambele ordini. Cu $z_2=0$ produsul de sub modul se anulează, deci numitorul devine $1$: $$z\ast 0=\frac{z+0}{4\cdot |z\cdot 0|+1}=\frac{z}{4\cdot 0+1}=z,\text{ pentru orice numa˘r complex }z\text{(2 p)}.$$ La fel, în cealaltă ordine: $$0\ast z=\frac{0+z}{4\cdot |0\cdot z|+1}=z,\text{ pentru orice numa˘r complex }z,\text{ deci }\mathbf{e}=0\text{ este elementul neutru al legii }\ast \text{(3 p)}.$$ (De ce se cer amândouă: definiția elementului neutru cere $z\ast e=e\ast z=z$ pentru orice $z$. Aici legea este simetrică — schimbând $z_1$ cu $z_2$ nici numărătorul, nici numitorul nu se schimbă —, deci a doua verificare este imediată; dar ea trebuie scrisă, pentru că la o lege oarecare nu ar fi la fel. Unde se greșește de obicei: se caută elementul neutru rezolvând o ecuație în $e$, ceea ce merge, dar durează; enunțul îl dă gata și cere doar verificarea.)

c) (5 p) Se pune $z_1=z_2=z$ în definiție: $$z\ast z=\frac{2z}{4\cdot |z^2|+1},\text{ pentru orice numa˘r complex }z\text{(2 p)}.$$ Se trece la module, folosind $|z^2|=|z{|}^2$ și faptul că numitorul este un număr real pozitiv: $$\left|\frac{2z}{4|z{|}^2+1}\right|=\frac{2|z|}{4|z{|}^2+1}=|z|,$$ iar $z$ fiind nenul se poate simplifica prin $|z|>0$, deci $4|z{|}^2+1=2$, de unde $|z|=\frac{1}{2}$; și, de exemplu, numerele distincte și nenule $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$ și $\frac{i}{2}$ verifică egalitatea dată (3 p).

(Concluzia de fond: mulțimea soluțiilor este întreg cercul de rază $\frac{1}{2}$ cu centrul în origine, care are o infinitate de puncte — deci cu atât mai mult trei. Control numeric pe un al patrulea exemplu: pentru $z=0,3+0,4i$ avem $|z|=0,5$, iar $|z\ast z|=\frac{2\cdot 0,5}{4\cdot 0,25+1}=0,5$. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $|z|$ fără să se spună că $z$ este nenul — enunțul o cere explicit, tocmai pentru că $z=0$ verifică egalitatea, dar nu se pune la socoteală.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și discuție după parametru.

a) (5 p) Se derivează raportul, cu $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ pentru numărător: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\cdot x-\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\frac{2x^4-x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}\text{(3 p)}.$$ Aducerea la același numitor s-a făcut înmulțind al doilea termen cu $\sqrt{x^4+16}$; rămâne de descompus numărătorul ca diferență de pătrate: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{(-3)(5)}{\sqrt{17}}\approx -3,638$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $x$ din primul termen al derivatei raportului, sau se scrie $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}$, fără $u^{\prime }$.)

b) (5 p) Se caută întâi panta: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{16}{x^4}}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber, amplificând cu conjugata ca să dispară nedeterminarea $\infty -\infty$: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{16}{x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)}=0,$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(Control numeric: $f\left(10^4\right)-10^4\approx 8\cdot 10^{-13}$, practic zero. Unde se greșește de obicei: se scoate $x^2$ de sub radical fără modul — pe $(0,+\infty )$ este corect, dar motivul trebuie știut; sau se scrie ecuația asimptotei fără să se precizeze capătul $+\infty$.)

c) (5 p) Din subpunctul a), pe $(0,+\infty )$ semnul derivatei este dat numai de factorul $x^2-4$, ceilalți fiind strict pozitivi: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=2;f^{\prime }(x)<0\text{ pentru orice }x\in (0,2)\text{ și }{f}^{\prime }(x)>0\text{ pentru orice }x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Funcția din enunț se simplifică radical: înlocuind $x$ cu $\frac{4}{x}$ se obține tot $f(x)$, deci $$g:(0,+\infty )\to \mathbb{R},g(x)=f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=2f(x),$$ deci $g$ este strict descrescătoare pe $(0,2)$ și $g$ este strict crescătoare pe $(2,+\infty )$ și, cum $g$ este continuă, $g(2)=4\sqrt{2}$, $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$, obținem că ecuația $g(x)=m$ are exact două soluții pentru $\mathbf{m}\in (4\sqrt{2},+\infty )$ (3 p).

(Pasul-cheie, pe care baremul îl afirmă fără să-l arate: $f\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\sqrt{\frac{256}{x^4}+16}}{\frac{4}{x}}=\frac{x}{4}\cdot \frac{4\sqrt{16+x^4}}{x^2}=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x}=f(x)$ — funcția este invariantă la substituția $x\mapsto \frac{4}{x}$, care fixează chiar punctul $x=2$. De aici, tot subpunctul se reduce la citirea tabelului de variație al lui $f$. Valoarea-prag: $g(2)=2f(2)=2\cdot \frac{\sqrt{32}}{2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,657$; pentru $m=4\sqrt{2}$ ecuația are o singură soluție, iar pentru $m<4\sqrt{2}$ niciuna. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea directă a ecuației, care duce la o ecuație de gradul al patrulea inutilă; sau se scrie intervalul cu capătul inclus, deși acolo soluția este unică.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, primitive și convexitate.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $e^x$ se reduce cu numitorul funcției, $e^{x}f(x)=x^2+1$, deci $${\int }_0^3{e}^{x}f(x)dx={\int }_0^3(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^3{e}^{x}f(x)dx=\frac{27}{3}+3=9+3=12\text{(2 p)}.$$ (Reține egalitatea $e^{x}f(x)=x^2+1$: ea rezolvă deodată și subpunctul c). Control numeric: integrala lui $x^2+1$ pe intervalul $[0,3]$, calculată cu metoda trapezelor, dă $12,000$.)

b) (5 p) A spune că $G$ este primitivă a lui $g$ înseamnă $G^{\prime }(x)=g(x)$, deci derivata a doua a lui $G$ este chiar derivata lui $g$: $$G\text{ este primitiva˘ a funcției }g⟹G^{\prime }(x)=g(x),\text{ deci }{G}^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)\text{(2 p)}.$$ Cum $g(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{e^x}{x^2+1}$, se derivează raportul și se recunoaște un pătrat perfect la numărător: $$G^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{e^x(x-1{)}^2}{(x^2+1{)}^2}\ge 0,\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R},\text{ deci funcția }G\text{ este convexa˘}\text{(3 p)}.$$ (Rezultatul nu depinde de care primitivă se alege: două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă, iar constanta dispare la derivare — de aceea enunțul poate spune „orice primitivă". Control numeric: în $x=3$, formula dă $G^{\prime \prime }(3)=\frac{e^3\cdot 4}{100}\approx 0,803$, iar raportul incremental al lui $g$ în același punct dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se calculează $g$ ca $\frac{x^2+1}{e^x}$, adică se uită că $g=\frac{1}{f}$, nu $f$; sau se afirmă convexitatea din semnul lui $G^{\prime }$, deși ea se citește din semnul lui $G^{\prime \prime }$.)

c) (5 p) Integrandul se simplifică folosind aceeași egalitate ca la subpunctul a), $e^{x}f(x)=x^2+1$, iar apoi numărătorul se scrie ca $x^3+x-x$, ca să apară derivata lui $x^2+1$: $${\int }_0^1\frac{x^3}{\sqrt{e^{x}f(x)}}dx={\int }_0^1\frac{x^3+x-x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1(x^2+1{)}^{\prime }\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx=\frac{1}{2}\left(\frac{2(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}{3}-2\sqrt{x^2+1}\right){|}_0^1=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\text{(3 p)}.$$ Egalând cu membrul drept al enunțului: $$\frac{2-\sqrt{2}}{3}=\frac{a-\sqrt{2}}{3},\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Cum se citește pasul din mijloc: $\frac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}$, iar $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ rămâne separat; cele două primitive sunt $\frac{2u\sqrt{u}}{3}$ și $2\sqrt{u}$, cu $u=x^2+1$. Verificare prin derivare înapoi: ${\left(\frac{u\sqrt{u}}{3}-\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\sqrt{u}}{2}-\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, exact integrandul. Control numeric: $\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,19526$, iar integrala calculată numeric pe intervalul $[0,1]$ dă $0,195262$. Unde se greșește de obicei: se scoate $x^3$ de sub integrală ca și cum ar fi constantă, sau se încearcă substituția fără să se observe că $x^3$ nu este derivata lui $x^2+1$ — de aceea se adaugă și se scade $x$.)