Bac M1 2022, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2022 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2022 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează în luna mai, înaintea sesiunii principale, pentru elevii care participă la loturile naționale sau la competiții sportive internaționale; formatul, punctajul și programa sunt identice cu ale sesiunii din iunie-iulie. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2022:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: o ecuație în care termenii de gradul al doilea se reduc — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: definiția logaritmului și o ecuație de gradul al doilea, cu ambele soluții acceptabile — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: numerele de două cifre cu cifre impare și distincte, numărate cu regula produsului — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori și geometrie analitică: egalitatea a doi vectori și paralelogramul recunoscut prin diagonale cu același mijloc — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul unui unghi ascuțit și teorema lui Pitagora — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, o matrice al cărei pătrat este matricea nulă și o ecuație matriceală rezolvată prin factorizare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție pe $\mathbb{R}$: calculul unui compus, o ecuație de gradul al doilea și o ecuație diofantică rezolvată printr-o sumă de pătrate — clasele a IX-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie și limită de tip $1^{\infty }$: derivarea unui produs cu radical, tabelul de semn al derivatei și limita fundamentală care dă numărul $e$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și integrarea prin părți, cu o funcție care se simetrizează — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2022. Subiectul I este cel mai blând din întreaga probă: fiecare cerință are un singur pas de gândire și un calcul scurt. Greutatea se mută pe Subiectul al II-lea, unde problema 1 cere recunoașterea unei relații matriceale — din $(A(x)-I_3{)}^2=O_3$ rezultă imediat $A^2=2A-I_3$, iar subpunctul c) se rezolvă prin factorizare, nu prin calcul —, iar problema 2 se încheie cu o ecuație în numere naturale, care se rezolvă scriind totul ca sumă de două pătrate. Subiectul al III-lea are un profil rar: la problema 1, subpunctul c) este o limită de tip $1^{\infty }$, singurul loc din probă unde apare numărul $e$ ca limită; la problema 2, toate cele trei subpuncte se sprijină pe același truc — se scade din $f$ exact partea care încurcă și rămâne ceva imediat integrabil.

Observația care scurtează cel mai mult Subiectul al III-lea: la itemul $10$, funcția $f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}$ este scrisă anume ca sumă de trei bucăți independente, iar fiecare subpunct scoate exact una sau două dintre ele. Cine citește enunțul ca pe trei termeni, nu ca pe o expresie unică, rezolvă subpunctele a) și b) în câte două rânduri.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, radicali simpli sau expresii de forma $e^2+1$ și $\frac{5}{2}-\frac{2}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte cinci puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără cuvântul „convin"; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; intervalele de monotonie date fără tabelul de semn al derivatei; o limită de tip $1^{\infty }$ „calculată" prin înlocuire directă; ecuația matriceală rezolvată prin simplificare cu o matrice, în loc de factorizare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; înmulțirea se face ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Logaritmi: ${\log }_{a}u=b⟺u=a^b$, cu $u>0$; ecuația $x^2=c$ cu $c>0$ are două soluții, opuse. Numărare: cifrele impare sunt $1,3,5,7,9$, adică cinci; numerele de două cifre cu cifre impare și distincte se numără cu regula produsului, $5\cdot 4$. Vectori: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ înseamnă că $ABCD$ este paralelogram, deci diagonalele $AC$ și $BD$ au același mijloc. Triunghiul dreptunghic: $\sin$ unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, plus teorema lui Pitagora.
• Matrice: dacă $(A-I_3{)}^2=O_3$, atunci $A^2-2A+I_3=O_3$, adică $A^2=2A-I_3$ — o relație care înlocuiește orice ridicare la pătrat. Ecuațiile matriceale se rezolvă prin factorizare, niciodată prin „simplificare cu o matrice": inversa poate să nu existe.
• Legi de compoziție: o ecuație în numere naturale de forma $m^2+n^2+\alpha m+\beta n+\gamma =0$ se rezolvă completând pătratele și scriind totul ca sumă de două pătrate egală cu un număr fix — atunci rămân de încercat puține cazuri.
• Derivate și monotonie: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$; intervalele de monotonie se citesc din semnul derivatei, iar capetele în care derivata se anulează se includ în intervale. Limita fundamentală: $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$, deci $\lim (1+u{)}^v=e^{\lim uv}$ când $u\to 0$ și $uv$ are limită.
• Integrale: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; și identitatea utilă $\frac{1}{e^x+1}+\frac{1}{e^{-x}+1}=1$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: $f(x)=x^2-2x-3$ de la itemul $2$, $f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}$ de la itemul $9$ și $f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este necunoscută la itemii $2$, $3$ și $8$ b), parametrul familiei de matrice la itemul $7$ și variabilă de integrare la itemul $10$. La itemul $7$, $x$ nu este o necunoscută obișnuită decât la subpunctul c): la a) și b) el este eticheta unei familii întregi de matrice.
• Litera $A$ este vârf de triunghi la itemul $6$ (unghiul drept) și numele familiei de matrice la itemul $7$; litera $B$ este vârf la itemul $6$, iar $C$ și $D$ sunt vârfuri la itemii $5$ și $6$. Litera $e$ apare numai la itemii $9$ c) și $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler — în această probă legea de compoziție de la itemul $8$ nu are element neutru cerut, deci nu există nicio ciocnire.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $5(1+2i)-2i(5-i)=3$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=1+a^2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(2x^2+1)=2$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(1,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, astfel încât $BC=10$ și $\sin B=2\sin C$. Arătați că lungimea laturii $AB$ este egală cu $2\sqrt{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, $O_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x+1& -x& 0\\ x& 1-x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $(A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y{)}^2-2(x-y)-3$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 2=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (x+1)=8$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=2mn$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)}^{\frac{x}{5}}=\frac{1}{e}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)dx=e^2+1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1{e}^x(f(x)-x-e^x)dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^{1}x(f(x)+f(-x))dx=\frac{m}{2}-\frac{2}{e}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2022; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac cele două paranteze, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$5(1+2i)-2i(5-i)=5+10i-10i+2i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $+10i$ și $-10i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$5(1+2i)-2i(5-i)=5+2\cdot (-1)=3\text{(2 p)}.$$ (Atenție la semnul din a doua paranteză: $-2i\cdot (-i)=2i^2$, nu $-2i^2$ — două minusuri dau plus, iar abia apoi $i^2$ aduce semnul minus. Control pe părți: partea imaginară este $10-10=0$, iar partea reală $5-2=3$; un număr complex este real exact când partea lui imaginară este nulă.)

Itemul 2. (5 p) — ecuație în care termenii de gradul al doilea se reduc.

Se scrie valoarea funcției în $a$ și se pune condiția din enunț: $$f(a)=a^2-2a-3,\text{ deci }{a}^2-2a-3=1+a^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $a^2$ se reduc, deci ecuația devine de gradul întâi: $-2a-3=1$, adică $-2a=4$, de unde $$\mathbf{a}=-2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f(-2)=4+4-3=5$, iar $1+(-2{)}^2=1+4=5$ — egalitate. Unde se greșește de obicei: se trece $1+a^2$ în stânga și se rezolvă „ecuația de gradul al doilea" $-2a-4=0$ ca și cum ar avea discriminant; termenii pătratici dispar, deci soluția este unică.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, egalitatea ${\log }_{3}u=2$ înseamnă $u=3^2$: $$2x^2+1=3^2⟹x^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are soluțiile $x=-2$ sau $x=2$, amândouă convin, pentru că argumentul logaritmului este strict pozitiv în ambele cazuri (2 p): $$2\cdot (-2{)}^2+1=9>0,2\cdot 2^2+1=9>0,{\log }_{3}9=2.$$ (De ce condiția de existență se verifică singură aici: $2x^2+1\ge 1>0$ pentru orice număr real $x$, deci logaritmul există întotdeauna — dar verificarea trebuie scrisă. Unde se greșește de obicei: se păstrează o singură soluție, cea pozitivă; ecuația $x^2=4$ are două rădăcini, iar aici funcția $2x^2+1$ este pară, deci ambele dau același argument.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărare.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cifrele impare sunt $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ — cinci la număr. Cifra zecilor se poate alege în cinci feluri, iar cifra unităților trebuie să fie impară și diferită de prima, deci mai rămân patru variante; prin regula produsului sunt $5\cdot 4=20$ de numere, adică $20$ de cazuri favorabile, de unde $$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\text{(3 p)}.$$ (Control: numerele sunt $13,15,17,19,31,35,37,39,\dots ,97$ — câte patru pentru fiecare cifră a zecilor, deci $20$. Nicio cifră impară nu este zero, așa că nu apare capcana obișnuită cu cifra zecilor nenulă. Unde se greșește de obicei: se numără $5\cdot 5=25$, uitând condiția „distincte", sau se numără $\frac{5\cdot 4}{2}=10$, ca și cum ordinea cifrelor nu ar conta — dar $13$ și $31$ sunt numere diferite.)

Itemul 5. (5 p) — vectori egali în reper cartezian.

Doi vectori sunt egali când au aceleași coordonate; egalitatea $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ înseamnă că laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele și de aceeași lungime, deci patrulaterul $ABCD$ este paralelogram, iar diagonalele lui, $AC$ și $BD$, au același mijloc (2 p).

Mijlocul segmentului $AC$, cu $A(2,0)$ și $C(4,2)$, are coordonatele $\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(3,1)$; punând condiția ca și mijlocul lui $BD$, cu $B(1,6)$, să fie tot $(3,1)$, obținem $\frac{1+x_D}{2}=3$ și $\frac{6+y_D}{2}=1$, de unde $$\mathbf{D}(5,-4)\text{(3 p)}.$$ (Al doilea drum, direct pe coordonate: $\overrightarrow{AB}=(1-2,6-0)=(-1,6)$ și $\overrightarrow{DC}=(4-x_D,2-y_D)$, deci $4-x_D=-1$ și $2-y_D=6$ — același rezultat, cu un calcul mai scurt. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{DC}=(x_D-4,y_D-2)$, adică se ia vectorul în sens invers; într-un vector $\overrightarrow{PQ}$ se scad coordonatele lui $P$ din cele ale lui $Q$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept fiind în $A$, catetele sunt $AB$ și $AC$, iar ipotenuza este $BC$. Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, deci condiția din enunț se traduce imediat: $$\sin B=\frac{AC}{BC},\sin C=\frac{AB}{BC},\text{ deci din }\sin B=2\sin C\text{ rezulta˘ }AC=2AB\text{(2 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora, $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2=100$, adică $A{B}^2+4A{B}^2=100$, deci $A{B}^2=20$ și $$AB=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ (Ipotenuza se simplifică singură: ambele sinusuri au același numitor $BC$, deci relația dintre ele devine o relație între catete, fără să fie nevoie de valoarea lui $BC$ — ea intervine abia la Pitagora. Control numeric: $AB=2\sqrt{5}\approx 4,472$ și $AC\approx 8,944$, iar $4,472^2+8,944^2=20+80=100$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin B=\frac{AB}{BC}$, adică se ia cateta alăturată — aceea dă cosinusul.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea are ultima linie $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$, deci determinantul se dezvoltă comod după ea: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel „ascendent" care conține $-1$, iar el se scade: $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =0+0+0-0-0-(-1)\\ & =1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul cel mai scurt: se dezvoltă după linia a treia, care are un singur element nenul, și rămâne $1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=0+1=1$. De reținut: ultima linie a lui $A(x)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$ pentru orice $x$, iar și ultima coloană arată la fel — de aceea tot itemul se joacă în colțul de sus din stânga, într-un bloc de ordinul al doilea.)

b) (5 p) Se scade $I_3$ din $A(x)$; scăderea atinge numai diagonala principală, iar ultima linie și ultima coloană se anulează complet: $$\begin{array}{rl}& A(x)-I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& -x& 0\\ x& -x& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cele două linii nenule sunt identice, iar înmulțind „linie pe coloană" fiecare element se anulează: $$\begin{array}{rl}& (A(x)-I_3)(A(x)-I_3)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{x}^2-x^2& -x^2+x^2& 0\\ x^2-x^2& -x^2+x^2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & =O_3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $x\cdot x+(-x)\cdot x+0\cdot 0=x^2-x^2=0$. Motivul de fond: matricea $A(x)-I_3$ are toate liniile proporționale cu $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\end{array}\right)$, iar produsul scalar al acestei linii cu fiecare coloană a ei este nul. O matrice al cărei pătrat este matricea nulă se numește nilpotentă de ordinul al doilea. Unde se greșește de obicei: se ridică fiecare element la pătrat, ca și cum înmulțirea matricelor s-ar face poziție cu poziție.)

c) (5 p) Din subpunctul b), desfăcând parantezele, $A(x{)}^2-2A(x)+I_3=O_3$, adică $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(x)\\ & =2A(x)-I_3,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ Ecuația din enunț devine o egalitate între două combinații ale acelorași două matrice, care se grupează prin factorizare: $$\begin{array}{rl}& \\ & 2A(x)-I_3\\ & =xA(x)-(x-1)I_3\\ & ⟺(x-2)(A(x)-I_3)=O_3,\\ & \text{ de unde obținem }\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cum se face gruparea: se trece totul într-un membru, $(x-2)A(x)-(x-2)I_3=O_3$, apoi se dă factor comun scalarul $x-2$. Produsul se anulează în două feluri: fie $x=2$, fie $A(x)=I_3$ — ultima cere $x+1=1$ și $-x=0$, deci $x=0$. Control: pentru $x=0$ avem $A(0)=I_3$, iar egalitatea devine $I_3=0\cdot I_3+I_3$; pentru $x=2$ ambii membri sunt $2A(2)-I_3$. Unde se greșește de obicei: se „simplifică prin $A(x)$", ceea ce nu este o operație definită — o matrice poate să nu aibă inversă, iar aici tocmai $A(x)-I_3$ este singulară.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în definiție, cu $x=0$ și $y=2$: $$0\ast 2=(0+2{)}^2-2(0-2)-3\text{(3 p)}.$$ Se calculează pe rând cele trei bucăți, atent la semnul din a doua: $$0\ast 2=4+4-3=5\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $-2(0-2)=-4$, uitând că $0-2=-2$, iar $-2\cdot (-2)=+4$. Observație: legea nu este comutativă — $2\ast 0=4-4-3=-3$, cu totul altă valoare.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y$ cu $x+1$; suma devine $2x+1$, iar diferența devine $-1$, deci al doilea termen este constant: $$x\ast (x+1)=(2x+1{)}^2-2(x-x-1)-3=4x^2+4x+1+2-3=4x^2+4x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea, care se simplifică prin $4$: $$4x^2+4x=8⟺x^2+x-2=0,\text{ de unde obținem }\mathbf{x}=-2\text{ sau }\mathbf{x}=1\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $x=1$, $1\ast 2=9+2-3=8$; pentru $x=-2$, $(-2)\ast (-1)=9+2-3=8$. Discriminantul este $\Delta =1+8=9$, iar rădăcinile ies întregi. Unde se greșește de obicei: se calculează $x-(x+1)=1$ în loc de $-1$, ceea ce schimbă termenul liber și duce la altă ecuație.)

c) (5 p) Se scrie condiția și se desface pătratul; termenii în $mn$ se reduc, deci rămâne o ecuație fără produs de necunoscute: $$(m+n{)}^2-2(m-n)-3=2mn⟺m^2+n^2-2m+2n-3=0\text{(2 p)}.$$ Se completează pătratele, adăugând $1$ pentru fiecare grupă: $$(m-1{)}^2+(n+1{)}^2=5\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere naturale, obținem perechile }(0,1),(2,1)\text{ și }(3,0)\text{(3 p)}.$$ (Cum se încheie discuția: $5$ se scrie ca sumă de două pătrate perfecte într-un singur fel, $5=1+4$. Dacă $(m-1{)}^2=1$ și $(n+1{)}^2=4$, atunci $m\in \{0,2\}$ și $n+1=2$, deci $n=1$; dacă $(m-1{)}^2=4$ și $(n+1{)}^2=1$, atunci $m\in \{3,-1\}$, din care doar $m=3$ este natural, iar $n+1=1$, deci $n=0$. Semnul $+$ dinaintea lui $n$ contează: $n$ fiind natural, $n+1\ge 1$, deci cazul $(n+1{)}^2=0$ nici nu apare. Control prin căutare directă: singurele perechi de numere naturale sub $20$ care verifică relația sunt exact cele trei. Unde se greșește de obicei: se completează pătratul lui $n$ cu $-1$ în loc de $+1$, adică se citește $+2n$ ca $-2n$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, intervale de monotonie și limită de tip $1^{\infty }$.

a) (5 p) Se derivează produsul, cu $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pentru al doilea factor: $$f^{\prime }(x)=(2x-5)\sqrt{x}+(x^2-5x+10)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\text{(3 p)}.$$ Se aduce totul la numitorul comun $2\sqrt{x}$, folosind $\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}=2x$, și se dă factor comun $5$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(2x-5)+x^2-5x+10}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^2-15x+10}{2\sqrt{x}}=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=4$ formula dă $f^{\prime }(4)=\frac{5(16-12+2)}{4}=7,5$, iar raportul incremental $\frac{f(4,000001)-f(3,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează produsul ca produs al derivatelor, sau se uită să se amplifice primul termen cu $2\sqrt{x}$ la aducerea la același numitor.)

b) (5 p) Pe $(0,+\infty )$ numitorul $2\sqrt{x}$ este strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat numai de trinomul $x^2-3x+2$, cu rădăcinile: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=1\text{ sau }x=2\text{(2 p)}.$$ Trinomul are coeficient dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele: $$f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }(0,1],\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }(0,1];f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }[1,2],\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }[1,2];f^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }[2,+\infty ),\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[2,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (De ce capetele se includ: în $x=1$ și $x=2$ derivata este nulă, iar o funcție continuă cu derivată pozitivă pe interiorul unui interval și nulă în capăt rămâne monotonă pe intervalul închis. Control numeric: $f(0,5)\approx 5,30$, $f(1)=6$, $f(2)\approx 5,66$, $f(3)\approx 6,93$ — crește, scade, apoi crește din nou, exact cum spune tabelul. Unde se greșește de obicei: se uită condiția $x>0$ din domeniu și se scrie primul interval ca $(-\infty ,1]$.)

c) (5 p) Se simplifică întâi baza: $\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}=\frac{(x^2-5x+10)\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}}=\frac{x^2-5x+10}{x^2}$, care tinde la $1$, deci limita este de tipul $1^{\infty }$. Se scrie baza ca $1$ plus o cantitate mică: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)}^{\frac{x}{5}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x^2-5x+10}{x^2}\right)}^{\frac{x}{5}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{-5x+10}{x^2}\right)}^{\frac{x}{5}}\text{(3 p)}.$$ Cu limita fundamentală $\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}}=e$, unde $u=\frac{-5x+10}{x^2}\to 0$, exponentul final este produsul dintre $u$ și exponentul dat: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)}^{\frac{x}{5}}=e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-5x+10}{x^2}\cdot \frac{x}{5}}=e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-5x+10}{5x}}=e^{-1}=\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^7$, expresia dă $0,3678794$, iar $\frac{1}{e}=0,3678794$. Unde se greșește de obicei: se scrie „baza tinde la $1$, deci limita este $1$" — la $1^{\infty }$ înlocuirea directă nu are voie; sau se calculează exponentul ca $\lim \frac{-5x+10}{x^2}$ înmulțit cu $\lim \frac{x}{5}$, adică se separă doi factori dintre care unul tinde la zero și celălalt la infinit.)

Itemul 10. (15 p) — trei integrale definite.

a) (5 p) Scăderea din enunț taie exact al treilea termen al lui $f$, iar ce rămâne se integrează imediat: $${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)dx={\int }_0^2(x+e^x)dx=\left(\frac{x^2}{2}+e^x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, cu $e^0=1$: $${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{1}{e^x+1}\right)dx=(2+e^2)-(0+1)={\mathbf{e}}^2+1\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $e^2+1\approx 8,389$, iar integrala calculată numeric pe intervalul $[0,2]$ dă $8,38906$. Unde se greșește de obicei: se uită capătul de jos, unde $e^0=1$ — nu zero.)

b) (5 p) De data aceasta se taie primii doi termeni și rămâne doar fracția, iar înmulțirea cu $e^x$ construiește exact forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=e^x+1$: $${\int }_{-1}^1{e}^x(f(x)-x-e^x)dx={\int }_{-1}^1\frac{e^x}{e^x+1}dx={\int }_{-1}^1\frac{(e^x+1{)}^{\prime }}{e^x+1}dx=\ln (e^x+1){|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $e^{-1}+1=\frac{1+e}{e}$, iar diferența de logaritmi devine logaritmul câtului: $${\int }_{-1}^1{e}^x(f(x)-x-e^x)dx=\ln (e+1)-\ln \frac{1+e}{e}=\ln e=1\text{(2 p)}.$$ (Modulul din primitiva $\ln |u|$ dispare pentru că $e^x+1>0$ pentru orice $x$ real. Rezultatul „rotund" nu e o coincidență: capetele $-1$ și $1$ sunt alese anume ca raportul dintre cele două valori să fie chiar $e$. Control numeric: integrala calculată numeric pe intervalul $[-1,1]$ dă $1,000000$. Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{e^x}{e^x+1}$ ca $\frac{e^x}{\ln (e^x+1)}$, adică se aplică o inexistentă „regulă a câtului" la integrare.)

c) (5 p) Suma $f(x)+f(-x)$ se simplifică spectaculos: termenii $x$ și $-x$ se reduc, iar cele două fracții dau împreună $1$, pentru că $\frac{1}{e^{-x}+1}=\frac{e^x}{e^x+1}$. Rămâne $f(x)+f(-x)=e^x+e^{-x}+1$, iar integrala se calculează prin părți, recunoscând sub integrală o derivată: $${\int }_0^{1}x(f(x)+f(-x))dx={\int }_0^{1}x(e^x-e^{-x}+x{)}^{\prime }dx=x(e^x-e^{-x}+x){|}_0^1-{\int }_0^1(e^x-e^{-x}+x)dx=e-\frac{1}{e}+1-\left(e^x+e^{-x}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{5}{2}-\frac{2}{e}\text{(3 p)}.$$ Egalând cu membrul drept al enunțului: $$\frac{5}{2}-\frac{2}{e}=\frac{m}{2}-\frac{2}{e},\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=5\text{(2 p)}.$$ (De unde vine identitatea fracțiilor: $\frac{1}{e^{-x}+1}$ se amplifică cu $e^x$ și devine $\frac{e^x}{1+e^x}$, iar $\frac{1}{e^x+1}+\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1+e^x}{1+e^x}=1$. Cum se încheie calculul: $\left(e^x+e^{-x}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=e+\frac{1}{e}+\frac{1}{2}-2=e+\frac{1}{e}-\frac{3}{2}$, iar $e-\frac{1}{e}+1-\left(e+\frac{1}{e}-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}-\frac{2}{e}$. Control numeric: $\frac{5}{2}-\frac{2}{e}\approx 1,7642$, iar integrala calculată numeric pe intervalul $[0,1]$ dă $1,76424$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-x)$ înlocuind doar în primul termen, sau se scrie $\frac{1}{e^{-x}+1}=\frac{1}{e^x+1}$, ca și cum fracția ar fi pară.)