Bac M1 2023, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2023 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2023 a examenului național de bacalaureat — a doua sesiune a anului, cea „de toamnă" — Varianta 7, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: rația dedusă din doi termeni și termenul următor — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și egalarea exponenților — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărul submulțimilor cu un număr dat de elemente, cu combinări — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie vectorială: egalitatea a doi vectori scriși pe componente în reperul cartezian — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: triunghiul dreptunghic, înălțimea din unghiul drept, teorema catetei și raza cercului circumscris — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice cu parametru: determinantul unei matrice numerice, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, descompunerea în factori și rădăcinile conjugate ale unui polinom cu coeficienți raționali — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, limite, numărul de soluții: regula câtului, o limită de raport la $+\infty$ și discuția numărului de soluții ale ecuației $f(x)=m$ din tabelul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, recunoașterea unei primitive de tipul $\int u{u}^{\prime }$ și aria unei suprafețe plane, calculată prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2023. Subiectul I este cel mai scurt dintre cele patru probe ale anului: cinci cerințe se rezolvă în două rânduri, iar singura care cere o figură este itemul $6$, cu teorema catetei. Subiectul al II-lea a pus, la problema $1$, o relație funcțională între matrice — deci înmulțire de matrice $3\times 3$ cu parametru și identificare de elemente — iar la problema $2$ un polinom cu coeficienți raționali și o rădăcină irațională, adică perechea conjugată plus relațiile lui Viète. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, lanțul derivată → limită → discuția numărului de soluții (tipul de cerință în care se pierd cele mai multe puncte, pentru că răspunsul este un tabel de variație complet, nu un număr), iar la problema $2$ trei integrale, ultima fiind o arie care se calculează prin părți.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2\sqrt{3}$ și $\frac{\pi }{2}+\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: rădăcina dublă $0$ scrisă o singură dată la descompunerea polinomului; conjugata $1-\sqrt{3}$ folosită fără să se spună că polinomul are coeficienți raționali; discuția numărului de soluții făcută fără limitele la capetele domeniului; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției; ecuația matriceală „simplificată" prin împărțire la o matrice.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$, deci $a_5-a_1=4r$ — rația se scoate din diferența a doi termeni, împărțind la diferența indicilor. Funcții: un punct $A(x_A,y_A)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f(x_A)=y_A$. Ecuații exponențiale: se aduce totul la aceeași bază, apoi $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$; atenție, $9=3^2$ înmulțit cu $3^{x+1}$ dă $3^{x+3}$, nu $3^{2(x+1)}$. Combinatorică: numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k$; „cel mult două elemente, nevide" înseamnă $C_n^1+C_n^2$. Vectori: doi vectori sunt egali când au aceleași componente pe $\vec{i}$ și pe $\vec{j}$. Triunghiul dreptunghic: teorema catetei, $A{B}^2=BD\cdot BC$; raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză.
• Matrice: două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile; matricele nu se pot „împărți" una la alta, deci o ecuație matriceală se rezolvă folosind relațiile demonstrate anterior, nu prin simplificare.
• Polinoame: dacă un polinom cu coeficienți raționali are rădăcina $p+q\sqrt{d}$ (cu $p$, $q$ raționale și $\sqrt{d}$ irațional), atunci are și rădăcina conjugată $p-q\sqrt{d}$; relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea, $\sum x_i=-a_3$, ${\sum }_{i<j}{x}_i{x}_j=a_2$, $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=a_0$ pentru un polinom monic.
• Derivate și discuția ecuației $f(x)=m$: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; numărul de soluții se citește din tabelul de variație — se dau toate intervalele de monotonie, toate limitele la capete și valorile extreme, apoi se numără intersecțiile graficului cu dreapta orizontală $y=m$.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int u{u}^{\prime }dx=\frac{u^2}{2}+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la itemul $2$, polinomul de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{3e^x}{x^2+x+1}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=6x+\ln (x+1)$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $x$ este variabilă la itemii $2$, $3$, $9$ și $10$, dar la itemul $7$ este parametrul familiei de matrice $A(x)$, iar la subpunctul c) al aceluiași item devine necunoscută. Trei roluri, în trei contexte diferite.
• Litera $m$ este necunoscută la itemul $2$, parametru al polinomului la itemul $8$ și parametru al discuției la itemul $9$, subpunctul c), unde $m$ parcurge intervalul $(e,3)$. Litera $e$ apare tot acolo și înseamnă numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.
• Scrierea ${\ln }^2(x+1)$, de la itemul $10$, subpunctul b), înseamnă $(\ln (x+1){)}^2$ — pătratul valorii logaritmului, nu logaritmul aplicat de două ori. Exponentul așezat pe numele funcției se citește întotdeauna așa: ${\ln }^{2}u=(\ln u{)}^2$, la fel ca ${\sin }^{2}x$ sau ${\cos }^{2}x$. Compunerea de două ori s-ar scrie $\ln \left(\ln u\right)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_6$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, cu $a_1=3$ și $a_5=23$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(m,-1)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x-1}=9\cdot 3^{x+1}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii $A$, care au cel mult două elemente.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(4,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ și înălțimea $AD=3$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& x& x\\ 1& x& 1\\ -1& -x& -1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(y)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $f(1)=3$.

b) (5 puncte) Pentru $m=0$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul rațional $m$ pentru care polinomul $f$ are rădăcina $x_1=1+\sqrt{3}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3e^x}{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(2x)}{f(x)}=+\infty$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $m\in (e,3)$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+\ln (x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-\ln (x+1))dx=9$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}dx=\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(x^2\right)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $a\pi +\ln 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, doi termeni depărtați cu $k$ poziții diferă prin $k$ rații. Între $a_1$ și $a_5$ sunt patru pași: $$4r=a_5-a_1=23-3=20,\text{ deci }r=5,\text{unde }r\text{ este rația progresiei aritmetice}\text{(3 p)}.$$ Termenul următor se obține adunând încă o rație la $a_5$: $$a_6=a_5+r⟹a_6=23+5=28\text{(2 p)}.$$ (Control pe formula generală: $a_6=a_1+5r=3+25=28$ — aceeași valoare. Progresia este $3,8,13,18,23,28,\dots$ Unde se greșește de obicei: se împarte diferența la $5$ în loc de $4$ — între indicii $1$ și $5$ sunt patru intervale, nu cinci.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții de gradul al doilea.

Un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică formula funcției: abscisa intră în locul lui $x$, iar rezultatul trebuie să fie ordonata. Deci $f(m)=-1$: $$f(m)=-1,\text{ de unde obținem }{m}^2-6m+8=-1,\text{ adica˘ }{m}^2-6m+9=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este un pătrat perfect, $(m-3{)}^2$, deci ecuația are o singură soluție: $$\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f(3)=9-18+8=-1$. Observație: $-1$ este chiar minimul funcției, atins în vârful parabolei, de aceea soluția este unică — dreapta $y=-1$ este tangentă la grafic. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(-1)=m$, adică se inversează rolurile coordonatelor; punctul are abscisa $m$ și ordonata $-1$, nu invers.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se aduce la aceeași bază: $9=3^2$, iar la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună, deci $3^2\cdot 3^{x+1}=3^{x+3}$. Funcția exponențială fiind injectivă, egalitatea puterilor dă egalitatea exponenților: $$3^{2x-1}=3^{x+3},\text{ de unde obținem }2x-1=x+3\text{(3 p)}.$$ Ecuația rămasă este de gradul întâi: $$\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $3^{2\cdot 4-1}=3^7=2187$, iar $9\cdot 3^{4+1}=9\cdot 243=2187$. Unde se greșește de obicei: se scrie $9\cdot 3^{x+1}=27^{x+1}$ sau $3^{2(x+1)}$ — înmulțirea cu $3^2$ adună $2$ la exponent, nu îl înmulțește cu $2$ și nu schimbă baza.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică: numărul submulțimilor.

Submulțimile nevide cu cel mult două elemente sunt cele cu exact un element și cele cu exact două elemente. Numărul lor se dă cu combinări, dintr-o mulțime cu cinci elemente: $$C_5^1+C_5^2\text{(3 p)}.$$ Cele două combinări valorează $5$ și $\frac{5\cdot 4}{2}=10$, deci $$C_5^1+C_5^2=5+10=15\text{(2 p)}.$$ (Control prin enumerare: submulțimile cu un element sunt cinci, iar perechile neordonate dintr-o mulțime cu cinci elemente sunt zece — se pot chiar scrie. Unde se greșește de obicei: se adaugă și $C_5^0=1$, adică mulțimea vidă, deși enunțul cere submulțimi nevide; sau se folosesc aranjamente, $A_5^2=20$, care numără perechile ordonate — dar o submulțime nu are ordine.)

Itemul 5. (5 p) — egalitatea a doi vectori în reper cartezian.

Se scriu cei doi vectori pe componente. Vectorul de poziție al lui $A$ are drept componente chiar coordonatele lui, iar $\overrightarrow{BC}$ se obține scăzând coordonatele originii din cele ale extremității: $$\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+\vec{j},\overrightarrow{BC}=(x_C-4)\vec{i}+(y_C-4)\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Doi vectori sunt egali când au aceleași componente, deci $x_C-4=3$ și $y_C-4=1$: $${\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=7\text{ și }{\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=5\text{(2 p)}.$$ (Control: cu $C(7,5)$ avem $\overrightarrow{BC}=(3,1)$, exact componentele lui $\overrightarrow{OA}$. Observație geometrică: $OACB$ este paralelogram, pentru că are două laturi opuse egale și paralele. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{BC}=(4-x_C)\vec{i}+(4-y_C)\vec{j}$, cu sensul inversat — vectorul $\overrightarrow{BC}$ merge de la $B$ la $C$, deci se scade originea $B$.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic și cerc circumscris.

Piciorul înălțimii împarte ipotenuza; în triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$, se aplică teorema lui Pitagora cu ipotenuza $AB=6$ și cateta $AD=3$: $$\text{triunghiul }ABD\text{ este dreptunghic ıˆn }D,\text{deci }BD=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ Teorema catetei leagă cateta de proiecția ei și de ipotenuză: $A{B}^2=BD\cdot BC$, de unde $BC=\frac{36}{3\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ea: $$BC=4\sqrt{3},\text{ deci }R=\frac{BC}{2}=2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ (Control prin arie: cealaltă catetă este $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{48-36}=2\sqrt{3}$, iar aria calculată în două feluri dă $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 2\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ și $\frac{AD\cdot BC}{2}=\frac{3\cdot 4\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se ia $R=BC$ în loc de $\frac{BC}{2}$; sau se aplică teorema catetei cu proiecția greșită — proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză este $BD$, segmentul care pornește din același vârf $B$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ toate elementele care conțin parametrul devin $1$ sau $-1$, iar matricea și determinantul ei se scriu: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, adunând cele șase produse cu semnele lor: $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =-1-1-1+1+1+1\\ & =0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul de o secundă: primele două linii sunt identice, iar un determinant cu două linii egale este nul — nu e nevoie de niciun calcul. La fel de bine, linia a treia este opusa primei. Unde se greșește de obicei: se calculează Sarrus corect, dar se pierde un semn la produsele care se scad; observația despre liniile egale elimină riscul cu totul.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană" și se scade $A(xy)$. Toate elementele de pe prima coloană și de pe a treia se simplifică la aceeași expresie, iar coloana din mijloc se anulează complet: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)-A(xy)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ y+x-2& 0& y+x-2\\ -y-x+2& 0& -y-x+2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scoțând factorul comun $x+y-2$ se recunoaște chiar matricea din familie, scrisă pentru parametrul $0$: $$\begin{array}{rl}& =(y+x-2)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right)\\ & =(x+y-2)A(0),\\ & \text{pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul de pe linia a doua, coloana întâi al produsului este $1\cdot x+x\cdot 1+1\cdot (-1)=2x-1$, iar din el se scade elementul corespunzător al lui $A(xy)$, care este $1$; rămâne $2x-2$ — exact $x+y-2$ pentru $y=x$. Control numeric: pentru $x=y=1$ membrul drept este $0$, iar $A(1)\cdot A(1)=A(1)$, ceea ce se verifică direct. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Se folosește relația de la subpunctul b) de două ori. Prima dată pentru $x=-1$ și $y=3$, unde factorul $x+y-2$ se anulează: $$\begin{array}{rl}& A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)\\ & =A(-3)\cdot A(x)\\ & =A(-3x)+(x-5)A(0),\\ & \text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ Se compară apoi cu $A(y)$, element cu element. Pe linia a doua, coloana întâi, membrul stâng are $1+(x-5)$, iar $A(y)$ are $1$, deci $x=5$; atunci termenul cu $A(0)$ dispare și rămâne $A(-15)=A(y)$: $$\begin{array}{rl}& A(-3x)+(x-5)A(0)\\ & =A(y),\\ & \text{ de unde obținem }\mathbf{x}=5\text{ și }\mathbf{y}=-15\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare: pentru $x=-1$, $y=3$ avem $x+y-2=0$, deci $A(-1)A(3)=A(-3)$ exact; apoi $A(-3)A(5)=A(-15)+(-3+5-2)A(0)=A(-15)$. Unde se greșește de obicei: se încearcă simplificarea cu $A(x)$, ca și cum matricele s-ar putea „împărți" — corect este să folosești relația demonstrată la b). A doua capcană este să te oprești la $-3x=y$ fără să impui anularea termenului cu $A(0)$: fără $x=5$, membrul stâng nici nu ar mai fi o matrice din familie.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu parametru rațional.

a) (5 p) Se înlocuiește întâi parametrul, apoi nedeterminata. Pentru $m=2$, coeficientul lui $X$ devine $3\cdot 2=6$, iar termenul liber $2$: $$f=X^4+2X^3-8X^2+6X+2⟹f(1)=1^4+2\cdot 1^3-8\cdot 1^2+6\cdot 1+2\text{(3 p)}.$$ Toate puterile lui $1$ sunt egale cu $1$, deci rămâne suma coeficienților: $$f(1)=1+2-8+6+2=3\text{(2 p)}.$$ (De reținut: $f(1)$ este întotdeauna suma coeficienților polinomului — un control rapid pentru orice calcul de acest tip. Unde se greșește de obicei: se uită că parametrul apare în două locuri, la $3mX$ și la termenul liber, și se înlocuiește doar într-unul.)

b) (5 p) Pentru $m=0$ dispar ultimii doi termeni, iar ce rămâne are factor comun $X^2$: $$f=X^4+2X^3-8X^2=X^2(X^2+2X-8)\text{(2 p)}.$$ Trinomul din paranteză are discriminantul $4+32=36$ și rădăcinile $-4$ și $2$, iar factorul $X^2$ aduce rădăcina $0$, dublă: $$\text{ra˘da˘cinile polinomului }f\text{ sunt }{\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2=0,{\mathbf{x}}_3=-4,{\mathbf{x}}_4=2\text{(3 p)}.$$ (Verificare prin desfacere: $X^2(X+4)(X-2)=X^2(X^2+2X-8)=X^4+2X^3-8X^2$, adică exact $f$. Unde se greșește de obicei: se scrie rădăcina $0$ o singură dată — un polinom de gradul al patrulea are patru rădăcini, numărate cu multiplicitate, iar $X^2$ înseamnă că $0$ este rădăcină dublă.)

c) (5 p) Coeficienții polinomului sunt raționali (parametrul $m$ este cerut rațional prin enunț), iar rădăcina dată este de forma $p+q\sqrt{3}$ cu $p$, $q$ raționale. Într-o astfel de situație, conjugata este obligatoriu tot rădăcină: $$\text{polinomul }f\text{ are coeficienți raționali, deci }{x}_2=1-\sqrt{3}\text{ este ra˘da˘cina˘ a polinomului }f\text{(2 p)}.$$ Se scriu primele două relații ale lui Viète, cu $x_1+x_2=2$ și $x_1{x}_2=1-3=-2$, și se scot suma și produsul celorlalte două rădăcini; a patra relație dă apoi parametrul: $$x_1+x_2+x_3+x_4=-2\text{ și }{x}_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=-8,\text{unde }{x}_3\text{ și }{x}_4\text{ sunt celelalte ra˘da˘cini ale polinomului }f,\text{de unde obținem }{x}_3+x_4=-4\text{ și }{x}_3{x}_4=2\text{ și, cum }{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4=m,\text{rezulta˘ }\mathbf{m}=-4,\text{care convine}\text{(3 p)}.$$ (Cum ies cele două: din prima relație, $x_3+x_4=-2-2=-4$; a doua se rescrie ca $x_1{x}_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3{x}_4=-2+2\cdot (-4)+x_3{x}_4=-8$, deci $x_3{x}_4=2$. Apoi $m=x_1{x}_2{x}_3{x}_4=(-2)\cdot 2=-4$. Control complet: pentru $m=-4$, polinomul se descompune ca $(X^2-2X-2)(X^2+4X+2)$, iar primul factor are chiar rădăcinile $1\pm \sqrt{3}$ — deci valoarea găsită convine. Unde se greșește de obicei: se ia conjugata $-1-\sqrt{3}$ în loc de $1-\sqrt{3}$ — se schimbă semnul numai înaintea radicalului; sau se sare peste precizarea „coeficienți raționali", fără de care perechea conjugată nu este garantată.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită de raport și numărul de soluții.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se aplică regula ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u=3e^x$ și $v=x^2+x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3e^x(x^2+x+1)-3e^x(2x+1)}{(x^2+x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $3e^x$ la numărător și se reduc termenii: $$f^{\prime }(x)=\frac{3e^x(x^2+x+1-2x-1)}{(x^2+x+1{)}^2}=\frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Numitorul $x^2+x+1$ are discriminantul $-3<0$, deci este strict pozitiv pentru orice $x$ real: funcția este definită și derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, iar semnul derivatei este dat numai de $x^2-x=x(x-1)$. Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{3e^2\cdot 2}{49}\approx 0,9048$, iar raportul incremental dă tot $0,9048$. Unde se greșește de obicei: se inversează ordinea la regula câtului, obținând $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$; sau se ridică numitorul la pătrat doar parțial.)

b) (5 p) Se scrie raportul explicit, înlocuind $x$ cu $2x$ în formula lui $f$ și împărțind la $f(x)$ — adică înmulțind cu inversul: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(2x)}{f(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\cdot \frac{x^2+x+1}{3e^x}\text{(2 p)}.$$ Exponențialele se simplifică parțial, $\frac{e^{2x}}{e^x}=e^x$, iar raportul celor două trinoame tinde la $\frac{1}{4}$, fiind un raport de polinoame de același grad: $$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x\cdot \frac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x\cdot \frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)=+\infty \text{(3 p)}.$$ (De ce iese infinit: produsul dintre $e^x\to +\infty$ și un factor care tinde la $\frac{1}{4}>0$ tinde la $+\infty$ — nu există nedeterminare, pentru că al doilea factor are limită finită și nenulă. Control numeric: la $x=30$ raportul valorează aproximativ $2,7\cdot 10^{12}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{e^{2x}}{e^x}=e^2$, adică se împart exponenții în loc să se scadă.)

c) (5 p) Semnul derivatei este dat de $x(x-1)$, deci se schimbă în $0$ și în $1$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=0\text{ sau }x=1;\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,0),f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f\text{ este strict cresca˘toare pe }(-\infty ,0);\text{pentru orice }x\in (0,1),f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f\text{ este strict descresca˘toare pe }(0,1);\text{pentru orice }x\in (1,+\infty ),f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f\text{ este strict cresca˘toare pe }(1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Se adaugă valorile-prag: limitele la capete și valorile în punctele de extrem. Funcția fiind continuă, fiecare ramură de monotonie taie dreapta orizontală $y=m$ cel mult o dată, iar pentru $m$ între $e$ și $3$ o taie exact o dată pe fiecare: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,f(0)=3,f(1)=e,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \text{ și, cum }f\text{ este continua˘, obținem ca˘ ecuația }f(x)=m\text{ are exact trei soluții, pentru orice }m\in (e,3)\text{(3 p)}.$$ (Cum se citește tabelul: pe prima ramură funcția urcă de la $0$ la $3$, deci taie nivelul $m\in (e,3)$ o dată; pe a doua coboară de la $3$ la $e$, deci îl taie iarăși o dată; pe a treia urcă de la $e$ la $+\infty$, deci încă o dată — în total trei. Intervalul $(e,3)$ este exact intersecția celor trei ramuri, iar $e\approx 2,718<3$, deci el nu este vid. Control numeric: pentru $m=2,9$, numărarea schimbărilor de semn ale funcției $f(x)-m$ pe o rețea fină dă exact trei; pentru $m=3$ și pentru $m=e$ dă două. Unde se greșește de obicei: se dau doar intervalele de monotonie, fără limitele la capete — fără ele nu se poate ști câte ramuri ating nivelul $m$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și arie.

a) (5 p) Din $f(x)=6x+\ln (x+1)$ se scade chiar logaritmul, deci sub integrală rămâne un termen liniar: $${\int }_1^2(f(x)-\ln (x+1))dx={\int }_1^{2}6xdx=3x^2{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2(f(x)-\ln (x+1))dx=12-3=9\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala lui $6x$ pe $[1,2]$, calculată prin metoda trapezelor, dă $9,000$. Unde se greșește de obicei: se integrează logaritmul degeaba, deși el se simplifică din prima; sau se ia drept primitivă a lui $6x$ chiar $6x^2$, în loc de $3x^2$.)

b) (5 p) De data aceasta rămâne logaritmul, împărțit la $x+1$. Cum $(\ln (x+1){)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$, integrandul este de forma $u{u}^{\prime }$, cu $u=\ln (x+1)$, iar primitiva este $\frac{u^2}{2}$: $${\int }_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}dx={\int }_0^{e-1}\ln (x+1)(\ln (x+1){)}^{\prime }dx=\frac{{\ln }^2(x+1)}{2}{|}_0^{e-1}\text{(3 p)}.$$ Capătul de sus a fost ales anume ca argumentul logaritmului să fie $e$: $\ln e=1$, iar $\ln 1=0$: $$=\frac{{\ln }^{2}e}{2}-\frac{{\ln }^{2}1}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Intervalul $[0,e-1]$ este inclus în domeniul $(-1,+\infty )$, pentru că $e-1\approx 1,718>0$. Control numeric: integrala calculată numeric dă $0,50000$. Unde se greșește de obicei: se ia drept primitivă ${\ln }^2(x+1)$, fără împărțirea la $2$ — derivând, ai obține $2\ln (x+1)\cdot \frac{1}{x+1}$, adică dublul integrandului. A doua capcană este să se confunde tiparul $u{u}^{\prime }$ cu $\frac{u^{\prime }}{u}$, al cărui rezultat ar fi $\ln |\ln (x+1)|$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit, înlocuind $x$ cu $x^2$ în formula lui $f$; ea este continuă și nenegativă pe $[0,1]$, deci aria este chiar integrala, fără modul. Al doilea termen se integrează prin părți, scriind $1=x^{\prime }$: $$g(x)=6x^2+\ln (x^2+1)⟹\mathcal{S}={\int }_0^{1}g(x)dx=2x^3{|}_0^1+{\int }_0^1{x}^{\prime }\ln (x^2+1)dx=2+\ln 2-{\int }_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală se calculează după împărțirea cu rest, $\frac{2x^2}{x^2+1}=2-\frac{2}{x^2+1}$: $$\mathcal{S}=2+\ln 2-2x{|}_0^1+2\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{2}+\ln 2,\text{ deci }\frac{\pi }{2}+\ln 2=a\pi +\ln 2,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Detaliul integrării prin părți: ${\int }_0^1{x}^{\prime }\ln (x^2+1)dx=x\ln (x^2+1){|}_0^1-{\int }_0^{1}x\cdot \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln 2-{\int }_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx$. Funcția $g$ este nenegativă pe $[0,1]$ pentru că ambii termeni sunt nenegativi acolo — de aceea aria se scrie fără modul, dar motivul trebuie spus. Control numeric: $\frac{\pi }{2}+\ln 2\approx 2,2639$, iar aria calculată numeric dă $2,26394$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f\left(x^2\right)$ ca $(f(x){)}^2$; sau se integrează $\frac{2x^2}{x^2+1}$ „ca un raport", cu logaritm — rețeta corectă este împărțirea cu rest.)