Bac M1 2023, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2023 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2023 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: produsul a două numere conjugate, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: înlocuirea argumentului și reducerea termenilor — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical de ordin impar: ridicarea la cub, care este o transformare echivalentă — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe mulțimea numerelor de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și ecuația unei drepte paralele cu ea — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: triunghiul dreptunghic isoscel, înălțimea din unghiul drept și aria — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme: determinantul unei matrice numerice, condiția de inversabilitate a unei matrice cu parametru și forma soluțiilor unui sistem compatibil nedeterminat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, elementul neutru cu ambele verificări și o inegalitate demonstrată prin descompunere în pătrate — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă oblică, inegalități: derivarea unui logaritm de raport, procedura în trei pași a asimptotei oblice și o inegalitate obținută din valoarea minimă a funcției — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt$ cu regula lui L'Hôpital — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea iunie-iulie 2023. Subiectul I al acestei sesiuni este neobișnuit de blând: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, iar singura capcană reală este itemul $3$, unde radicalul este de ordinul al treilea, nu de ordinul al doilea — cine aplică din reflex „condiția de existență și verificarea soluțiilor" pierde timp pe o condiție care nu există. Subiectul al II-lea a pus, la problema $1$, matricea cu parametru împreună cu sistemul ei — deci discriminarea după determinant și scrierea soluțiilor unui sistem compatibil nedeterminat — iar la problema $2$ o lege de compoziție cu exponențiale, unde toată dificultatea stă în a vedea că $2^1-2=0$. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, lanțul derivată → asimptotă → inegalitate din monotonie, iar la problema $2$ trei integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului, plus o limită rezolvată cu L'Hôpital pe funcția integrală.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, câte $55$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{e-2}{e}$ și $3+3\ln 3$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; elementul neutru „verificat" printr-o singură egalitate; soluțiile unui sistem nedeterminat scrise fără parametru; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; aplicarea regulii lui L'Hôpital fără să se spună întâi ce caz de nedeterminare este.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; produsul conjugatelor, $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, este întotdeauna un număr real. Funcții: $f(2x)$ înseamnă „înlocuiesc $x$ cu $2x$ în formula lui $f$", nu „înmulțesc rezultatul cu $2$". Ecuații iraționale: la radical de ordin par ridicarea la putere cere condiție și verificare; la radical de ordin impar, $\sqrt[3]{u(x)}=v(x)⟺u(x)=v(x{)}^3$, fără nicio condiție. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Geometrie analitică: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, iar două drepte paralele au aceeași pantă. Triunghiul dreptunghic isoscel: înălțimea din vârful unghiului drept este și mediană, deci egală cu jumătate din ipotenuză.
• Matrice și sisteme: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; un sistem liniar cu determinant nul poate fi compatibil nedeterminat, iar atunci soluțiile se scriu cu un parametru real, nu ca listă finită.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, pentru orice $x$ din mulțime — ambele egalități se scriu, chiar dacă legea pare comutativă. Pentru inegalități, rețeta este să grupezi tot ce e „rău" într-un pătrat: $t+\frac{1}{t}-2={\left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)}^2\ge 0$ pentru $t>0$.
• Derivate și asimptote: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, iar $\ln \frac{u}{v}=\ln u-\ln v$ scurtează calculul; procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. Inegalități din monotonie: dacă $f$ are minim în $x_0$, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ pe tot domeniul — de aici se scot inegalitățile „cu logaritm" ale Subiectului al III-lea.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; funcția integrală $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ are $F^{\prime }=f$ atunci când $f$ este continuă — de aceea limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt$ se rezolvă cu L'Hôpital, după ce s-a constatat cazul $\frac{0}{0}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ denumește în această probă legea de compoziție de la itemul $8$, nu compunerea funcțiilor. Așa apare în subiectul oficial și așa l-am transcris; în probă nu există nicio compunere de funcții, deci nu se poate confunda. La noi, o lege oarecare se notează de obicei $\ast$ — dar enunțul nu se rescrie.
• Litera $e$ are două înțelesuri în această probă: la itemul $8$, subpunctul b), $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție; la itemul $10$, subpunctul b), $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, iar rezultatul $\frac{e-2}{e}$ este un număr aproximativ egal cu $0,264$. Cele două nu au nicio legătură.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=5x+1$ de la itemul $2$, $f(x)=x+3\ln \frac{x+3}{x-1}$ de la itemul $9$ și $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$ de la itemul $10$. Fiecare item se citește separat; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$, iar la itemul $5$ nu apare deloc — spre deosebire de alte sesiuni, aici nu există ciocnire între parametru și necunoscută.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=3+i$. Arătați că $z(z-2i)=10$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x+1$. Arătați că $f(2x)-2f(x)=-1$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^3-2x+2}=x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $n+5$ să fie multiplu de $10$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$ și $B(5,4)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $O$ și este paralelă cu dreapta $AB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul isoscel $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $4$. Arătați că $BC=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& -1& a\\ a& a+1& -2\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}2x+y+2z=2\\ x-y+az=4\\ ax+(a+1)y-2z=a\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=8$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Pentru $a=-2$, arătați că $x_0{z}_0+y_0=-2$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+(2^x-2)(2^y-2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 3=18$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ (-x)\le 1$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3\ln \frac{x+3}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\ln \frac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\frac{x}{3}$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx=18$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx=\frac{e-2}{e}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt\right)=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiește $z=3+i$ și se observă că paranteza devine conjugatul lui $z$: din $3+i$ se scade $2i$ și rămâne $3-i$. Produsul este atunci de forma „sumă înmulțită cu diferență": $$z(z-2i)=(3+i)(3-i)=3^2-i^2\text{(3 p)}.$$ Cum $i^2=-1$, rezultatul este $$z(z-2i)=9+1=10\text{(2 p)}.$$ (Control pe drumul lung: $(3+i)(3-i)=9-3i+3i-i^2=9+1=10$ — termenii cu $i$ se reduc, exact ca la orice pereche de conjugate. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se desface $z(z-2i)$ ca $z^2-2i$, uitând să se înmulțească și al doilea termen cu $z$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

A calcula $f(2x)$ înseamnă a înlocui, în formula lui $f$, litera $x$ cu $2x$: $$f(2x)=5\cdot (2x)+1=10x+1,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Se scade apoi dublul lui $f(x)$ și se reduc termenii în $x$: $$f(2x)-2f(x)=10x+1-2(5x+1)=10x+1-10x-2=-1,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=3$, $f(6)=31$ și $2f(3)=2\cdot 16=32$, iar diferența este $-1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(2x)=2f(x)$, adică se scoate factorul din fața funcției — la funcțiile de gradul întâi cu termen liber nenul acest lucru este fals, și tocmai diferența $-1$ o arată.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională cu radical de ordinul al treilea.

Radicalul este de ordin impar, iar funcția $t\mapsto t^3$ este bijectivă pe $\mathbb{R}$: ridicarea la cub este deci o transformare echivalentă, fără condiție de existență și fără soluții străine. Ridicând la cub: $$x^3-2x+2=x^3,\text{ de unde }-2x+2=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația rămasă este de gradul întâi, deci are soluția unică $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\sqrt[3]{1-2+2}=\sqrt[3]{1}=1$. Unde se greșește de obicei: se aplică din reflex rețeta de la radicalul de ordinul al doilea — „condiția $x\ge 0$ și verificarea soluțiilor". Aici nu există nici condiție, nici soluții străine: un cub poate fi negativ, deci membrul drept nu este obligat să fie nenegativ. A doua capcană este să se ridice la pătrat, ceea ce nu desface un radical de ordinul al treilea.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $A=\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Numărul $n+5$ se divide cu $10$ exact când $n$ se termină în cifra $5$. În mulțimea $A$ aceste numere sunt $15,25,35,\dots ,95$, adică $9$ la număr, deci sunt $9$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(3 p)}.$$ (Control: numerele cerute formează o progresie aritmetică de rație $10$, de la $15$ la $95$, deci sunt $\frac{95-15}{10}+1=9$. Unde se greșește de obicei: se numără $90$ de cazuri favorabile în loc de posibile, se uită că $5$ însuși nu are două cifre, sau se caută numerele care se divid cu $10$, nu pe cele al căror succesor cu cinci unități se divide cu $10$.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică: dreaptă paralelă cu o direcție dată.

Panta dreptei $AB$, cu $A(4,0)$ și $B(5,4)$, este raportul dintre creșterea ordonatei și creșterea abscisei: $$m_{AB}=\frac{4-0}{5-4}=4,\text{ iar din }d\parallel AB\text{ rezulta˘ }{m}_d=4\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin originea $O(0,0)$, deci ecuația ei se scrie cu formula dreptei prin punct și pantă: $$y-0=4(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=4x\text{(2 p)}.$$ (Control: punctul $(1,4)$ este pe $d$, iar vectorul $\overrightarrow{OM}$ cu $M(1,4)$ este coliniar cu $\overrightarrow{AB}=(1,4)$ — aceeași direcție, deci paralelism. Unde se greșește de obicei: se folosește panta perpendicularei, $-\frac{1}{4}$, sau se scrie ecuația dreptei $AB$ în loc de a paralelei prin $O$.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic isoscel.

Triunghiul fiind dreptunghic în $A$ și isoscel, înălțimea $AD$ dusă din vârful unghiului drept este și mediană, deci $$AD=\frac{BC}{2},\text{ unde }AD\text{ este ıˆna˘lțime ıˆn triunghiul }ABC\text{(3 p)}.$$ Aria se scrie cu ipotenuza drept bază și cu $AD$ drept înălțime: $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AD\cdot BC}{2}=\frac{B{C}^2}{4}=4,\text{ de unde }B{C}^2=16\text{ și }\mathbf{BC}=4\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, la fel de corect: catetele sunt egale, $AB=AC=c$, iar aria este $\frac{c^2}{2}=4$, deci $c=2\sqrt{2}$ și $BC=c\sqrt{2}=4$. Unde se greșește de obicei: se ia aria ca $\frac{AB\cdot BC}{2}$, adică se înmulțește o catetă cu ipotenuza; sau se uită că într-un triunghi dreptunghic isoscel mediana din unghiul drept coincide cu înălțimea — într-un dreptunghic oarecare mediana este tot jumătate din ipotenuză, dar înălțimea nu.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistemul de ecuații asociat.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește parametrul cu zero în fiecare element, iar matricea și determinantul ei se scriu: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, adunând cele șase produse cu semnele lor: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =4+2+0-0-0+2=8\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul scurt: dezvoltarea după linia a treia, care are un element nul, dă $\det (A(0))=-1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 0\end{array}\right|+(-2)\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-1\cdot (-2)-2\cdot (-3)=8$ — aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Determinantul se calculează la general, cu parametrul lăsat literă: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& -1& a\\ a& a+1& -2\end{array}\right|=-a^2+2a+8,\\ & \text{pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci se rezolvă întâi ecuația $\det (A(a))=0$, adică $a^2-2a-8=0$, cu rădăcinile $a=-2$ și $a=4$: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(a))\\ & =0⟺a=-2\text{ sau }a\\ & =4,\text{ deci }A(a)\text{ este inversabila˘}\\ & ⟺\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-2,4\}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control: pentru $a=0$ formula dă $8$, exact valoarea de la subpunctul a); pentru $a=1$ dă $9$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 1& -1& 1\\ 1& 2& -2\end{array}\right)$ dă tot $9$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția $\det (A(a))\ne 0$ și se dau ca răspuns chiar valorile $-2$ și $4$, adică exact mulțimea pe care matricea nu este inversabilă.)

c) (5 p) Pentru $a=-2$, a treia ecuație devine $-2x-y-2z=-2$, adică opusa primeia — deci sistemul se reduce la primele două ecuații și este compatibil nedeterminat. Adunând prima ecuație cu a doua se obține $3x=6$, deci $x=2$; din prima ecuație rămâne $y+2z=-2$. Notând $z=\alpha$: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{soluțiile sistemului sunt de forma }(2,-2-2\alpha ,\alpha ),\\ & \text{cu }\alpha \\ & \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se calculează atunci expresia cerută, pentru o soluție oarecare: $$\begin{array}{rl}& \\ & x_0{z}_0+y_0\\ & =2\alpha -2-2\alpha =-2,\\ & \text{pentru orice soluție }(x_0,y_0,z_0)\text{a sistemului}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $\alpha =0$ soluția este $(2,-2,0)$ și $x_0{z}_0+y_0=-2$; pentru $\alpha =3$ soluția este $(2,-8,3)$ și $x_0{z}_0+y_0=6-8=-2$. Unde se greșește de obicei: se caută o soluție unică, deși determinantul este nul pentru $a=-2$, sau se scriu doar câteva soluții particulare — cerința spune „pentru orice soluție", deci parametrul este obligatoriu. Baremul oficial notează parametrul cu $\alpha$; el este un număr real, ca toate necunoscutele sistemului.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=2$ și $y=3$ în formula legii, cu grijă la exponenți: $2^x$ înseamnă „doi la puterea $x$", nu „de două ori $x$": $$2\circ 3=2\cdot 3+(2^2-2)(2^3-2)\text{(3 p)}.$$ Parantezele valorează $2$ și $6$, deci $$2\circ 3=6+12=18\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se citește $2^x$ ca $2x$ și se obține $6+2\cdot 4=14$; sau se pierde o paranteză și se calculează $2\cdot 3+2^2-2\cdot 2^3-2$. Control: legea este simetrică în $x$ și $y$, deci $3\circ 2$ trebuie să dea tot $18$ — și chiar dă.)

b) (5 p) Cheia întregului subpunct este că al doilea factor se anulează pentru $y=1$: $2^1-2=0$. Prin urmare $$x\circ 1=x\cdot 1+(2^x-2)(2^1-2)=x+0=x,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Elementul neutru cere ambele egalități, deci se scrie și cealaltă: $$1\circ x=1\cdot x+(2^1-2)(2^x-2)=x+0=x,\text{pentru orice numa˘r real }x,$$ $$\text{deci }\mathbf{e}=1\text{ este elementul neutru al legii de compoziție }\circ \text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se verifică o singură egalitate. Definiția cere ambele, iar la examen a doua se punctează separat — chiar și când legea este vizibil comutativă, cum e aici. A doua capcană este să se caute elementul neutru „prin rezolvarea ecuației $x\circ e=x$" fără a observa că $2^e-2=0$ dă imediat $e=1$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y=-x$ și se desface produsul, folosind $2^x\cdot 2^{-x}=1$: $$x\circ (-x)=-x^2+(2^x-2)(2^{-x}-2)=-x^2+1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4\text{(2 p)}.$$ Termenii cu exponențiale se grupează într-un pătrat perfect, pentru că $2^x-2+2^{-x}={\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)}^2$: $$x\circ (-x)=1-x^2-2\left(2^x-2+\frac{1}{2^x}\right)=1-x^2-2{\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)}^2\le 1,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ (Amândouă cantitățile scăzute sunt nenegative — $x^2\ge 0$ și un pătrat înmulțit cu $2$ — deci rezultatul nu poate depăși $1$. Egalitate se obține numai pentru $x=0$, unde $0\circ 0=0+(1-2)(1-2)=1$. Drumul echivalent, dacă nu vezi pătratul: notezi $t=2^x>0$ și folosești $t+\frac{1}{t}\ge 2$, inegalitatea mediilor. Control numeric: pentru $x=1$ rezultatul este $0,5$; pentru $x=2$ este $-7,5$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(2^x-2)(2^{-x}-2)$ ca $2^x\cdot 2^{-x}+4=5$, uitând termenii din mijloc.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Logaritmul de raport se desface întâi în diferență, $\ln \frac{x+3}{x-1}=\ln (x+3)-\ln (x-1)$, ceea ce scurtează mult derivarea: $$f^{\prime }(x)=1+3(\ln (x+3)-\ln (x-1){)}^{\prime }=1+\frac{3}{x+3}-\frac{3}{x-1}\text{(3 p)}.$$ Se aduce la același numitor $(x+3)(x-1)$ și se reduc termenii de gradul întâi: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3+3x-3-3x-9}{(x+3)(x-1)}=\frac{x^2+2x-15}{(x+3)(x-1)},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=5$ formula dă $f^{\prime }(5)=\frac{25+10-15}{8\cdot 4}=\frac{20}{32}=0,625$, iar raportul incremental $\frac{f(5,000001)-f(4,999999)}{0,000002}$ dă tot $0,625$. Unde se greșește de obicei: se derivează logaritmul ca $\frac{1}{u}$, adică se uită factorul $u^{\prime }$; sau se desface $\ln \frac{u}{v}$ ca sumă de logaritmi, ceea ce schimbă semnul unuia dintre termeni.)

b) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{3}{x}\ln \frac{x+3}{x-1}\right)=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3\ln \frac{x+3}{x-1}\right)=3\ln 1=0\in \mathbb{R},$$ $$\text{deci dreapta de ecuație }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{ este asimptota˘ oblica˘ spre }+\infty \text{ la graficul funcției }f\text{(3 p)}.$$ (De ce $\frac{3}{x}\ln \frac{x+3}{x-1}\to 0$: raportul de sub logaritm tinde la $1$, deci logaritmul tinde la $\ln 1=0$, iar $\frac{3}{x}$ tinde tot la zero — produsul a două cantități care tind la zero tinde la zero, fără nedeterminare. Control numeric: $f(1000)-1000=3\ln \frac{1003}{999}\approx 0,012$, apropiat de zero. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ înaintea lui $m$, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$; ordinea și capătul se punctează separat.)

c) (5 p) Se citește semnul derivatei. Numărătorul se descompune, $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$, iar numitorul este strict pozitiv pe $(1,+\infty )$; singurul zero din domeniu este $x=3$: $$f^{\prime }(x)\le 0\text{ pe }(1,3]\text{ și }{f}^{\prime }(x)\ge 0\text{ pe }[3,+\infty ),\text{ deci }f(x)\ge f(3),\text{pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Valoarea minimă este $f(3)=3+3\ln \frac{6}{2}=3+3\ln 3$. Inegalitatea $x+3\ln \frac{x+3}{x-1}\ge 3+3\ln 3$ se rearanjează scăzând $x$ și $3\ln 3$, apoi împărțind la $3$: $$3\ln \frac{x+3}{x-1}-3\ln 3\ge 3-x⟹\ln \frac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\frac{x}{3},\text{pentru orice }x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Diferența de logaritmi se strânge la loc: $\ln \frac{x+3}{x-1}-\ln 3=\ln \frac{x+3}{3(x-1)}$ — de aceea în enunț numitorul este $3(x-1)$ și nu $x-1$. Control numeric: în $x=3$ cele două părți sunt egale, amândouă zero; în $x=10$, partea stângă este $\ln \frac{13}{27}\approx -0,731$, iar cea dreaptă $1-\frac{10}{3}\approx -2,333$. Unde se greșește de obicei: se încearcă demonstrarea directă a inegalității cu logaritm, în loc să se observe că ea este exact traducerea faptului că $f$ are minim în $x=3$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și limită cu funcție integrală.

a) (5 p) Factorul $e^x$ șterge exponențiala din $f$, pentru că $e^{-x}\cdot e^x=e^0=1$, deci sub integrală rămâne un polinom: $${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx={\int }_0^3(x^2+2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{3}f(x)e^{x}dx=\frac{27}{3}+9-0=9+9=18\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala lui $x^2+2x$ pe $[0,3]$, calculată prin metoda trapezelor, dă $18,000$. Unde se greșește de obicei: se scrie $e^{-x}\cdot e^x=e^{-2x}$ — la înmulțirea puterilor exponenții se adună, iar $-x+x=0$; sau se ia drept primitivă a lui $2x$ chiar $2x^2$, în loc de $x^2$.)

b) (5 p) Numărătorul se descompune: $x^2+2x=x(x+2)$, iar factorul $x+2$ se simplifică cu numitorul, legitim pe $[0,1]$, unde $x+2\ne 0$. Rămâne o integrală clasică, rezolvată prin părți, cu $(-e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx={\int }_0^{1}x(-e^{-x}{)}^{\prime }dx=(-x{e}^{-x}-e^{-x}){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $e^{-1}=\frac{1}{e}$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx=\left(-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}\right)-(0-1)=1-\frac{2}{e}=\frac{\mathbf{e}-2}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, nu elementul neutru de la itemul $8$. Control numeric: $\frac{e-2}{e}\approx 0,2642$, iar integrala calculată numeric dă $0,26424$. Unde se greșește de obicei: se aleg invers factorii la integrarea prin părți și se ajunge la o integrală mai grea decât cea inițială; sau se pierde termenul $-e^{-x}$, care vine din $\int e^{-x}dx$.)

c) (5 p) Când $x\to 0$, numărătorul ${\int }_0^{x}f(t)dt$ tinde la $0$ (integrala pe un interval care se strânge într-un punct), iar numitorul $x^2$ tinde tot la $0$: este cazul de nedeterminare $\frac{0}{0}$. Funcția $f$ fiind continuă pe $\mathbb{R}$, funcția integrală este derivabilă și are derivata chiar $f$, deci regula lui L'Hôpital se poate aplica: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}f(t)dt\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left({\int }_0^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }}{(x^2{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x}\text{(2 p)}.$$ Se simplifică prin $x$, după ce se dă factor comun la numărător: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x^2+2x)e^{-x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+2)e^{-x}}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea prin $x$ este legitimă pentru că în calculul limitei $x\ne 0$. Control numeric: pentru $x=0,001$ raportul dă $0,99967$, iar pentru $x=0,0001$ dă $0,99997$ — se apropie de $1$. Unde se greșește de obicei: se aplică L'Hôpital fără să se spună ce nedeterminare este; se derivează numărătorul „ca produs", uitând că derivata funcției integrale este chiar integrandul; sau se derivează numitorul greșit, obținând $x$ în loc de $2x$.)