Bac M1 2023, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2023 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație înaintea sesiunilor examenului național de bacalaureat din 2023. Modelul nu este o variantă extrasă la examen — el nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „Model" — și are rolul de a arăta elevilor structura, tipurile de cerințe și nivelul de dificultate ale probei din acel an. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul oficial. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: identificarea părților reală și imaginară dintr-o egalitate cu numere complexe — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: simetria graficului față de axa vârfului, scrisă ca $f(m-x)=f(m+x)$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: proprietățile $n{\log }_{a}u={\log }_a{u}^n$ și ${\log }_{a}u-1={\log }_a\frac{u}{a}$, plus condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărarea funcțiilor: câte funcții există între două mulțimi finite și câte dintre ele verifică o condiție punct cu punct — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie vectorială: suma vectorilor duși dintr-un punct spre capetele unui segment și mijlocul segmentului — clasele a IX-a – a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: teorema sinusurilor, raza cercului circumscris și triunghiul echilateral — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme: determinantul unei matrice numerice, inversabilitatea unei matrice cu parametru și compatibilitatea unui sistem pentru orice valoare a parametrului — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, restul împărțirii la $X^2-1$ și o demonstrație prin reducere la absurd despre rădăcinile întregi — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă, inegalități: derivarea unui produs cu arctangentă, tangenta paralelă cu axa $Ox$ și un lanț de inegalități obținut din monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, recunoașterea unei primitive de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și o limită cu funcție integrală, rezolvată cu regula lui L'Hôpital — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2023. Modelul este vizibil mai greu decât sesiunea de vară a aceluiași an, și tocmai asta îi este rolul: să arate plafonul de dificultate. Subiectul I are un item de probabilități care nu se rezolvă prin numărare directă, ci prin înmulțirea posibilităților pe fiecare punct al domeniului, și un item de geometrie vectorială cu vârful în același punct necunoscut. Subiectul al II-lea cere, la problema $1$, discuția completă a compatibilității unui sistem pentru orice valoare a parametrului — cazul cramerian plus cele două valori speciale, cu determinanții caracteristici — iar la problema $2$ o demonstrație prin reducere la absurd, tipul de cerință cel mai puțin exersat la clasă. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, un lanț de trei inegalități care se obține din monotonie și din inegalitatea $\mathrm{tg}x\ge x$, iar la problema $2$ trei integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului, plus o limită cu funcție integrală.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $8+e^3$ și $4\sqrt{3}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția $x=-1$ păstrată la ecuația logaritmică; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; discuția compatibilității oprită la cazul cramerian, fără cele două valori speciale ale parametrului; ecuația tangentei scrisă fără justificarea unicității punctului; aplicarea regulii lui L'Hôpital fără să se spună întâi ce caz de nedeterminare este.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară — de aici iese sistemul. Funcția de gradul al doilea: graficul este simetric față de dreapta verticală care trece prin vârf, deci $f(v-x)=f(v+x)$ pentru orice $x$, unde $v=-\frac{b}{2a}$. Logaritmi: $n{\log }_{a}u={\log }_a{u}^n$ și ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$, cu $1={\log }_{2}2$ pentru baza $2$. Numărarea funcțiilor: de la o mulțime cu $n$ elemente la una cu $k$ elemente există $k^n$ funcții, pentru că fiecare element al domeniului se trimite independent. Vectori: dacă $M$ este mijlocul lui $AB$, atunci $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$, oricare ar fi punctul $C$. Teorema sinusurilor: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, unde $R$ este raza cercului circumscris.
• Matrice și sisteme: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; când determinantul se anulează, compatibilitatea sistemului se decide cu determinanții caracteristici — se alege un minor principal nenul și se bordează cu coloana termenilor liberi.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea, $x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3$ și $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=a_0$ pentru un polinom monic; restul împărțirii la $X^2-1$ este de forma $\alpha X+\beta$, iar cei doi coeficienți se află din $f(1)$ și $f(-1)$, fără să se facă împărțirea.
• Derivate: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$; tangenta la grafic în punctul de abscisă $x_0$ este paralelă cu axa $Ox$ exact când $f^{\prime }(x_0)=0$, iar ecuația ei este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Inegalitatea de bază: $\mathrm{tg}x\ge x$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, demonstrabilă din monotonia funcției $g(x)=\mathrm{tg}x-x$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; funcția integrală $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ are $F^{\prime }=f$ pentru $f$ continuă, ceea ce face ca limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{u(x)}{\int }_0^{x}f(t)dt$ să se rezolve cu L'Hôpital, după constatarea cazului $\frac{0}{0}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în acest model patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea de la itemul $2$, elementele mulțimii $F$ de la itemul $4$ (acolo $f$ este o funcție oarecare de la $A$ la $A$), polinomul de la itemul $8$ și cele două funcții de analiză de la itemii $9$ și $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ are trei roluri: necunoscută la itemul $1$ (partea reală a numărului complex), parametru al matricei și al sistemului la itemul $7$ și parametru al polinomului la itemul $8$. La itemii $7$ și $8$ ea nu are aceeași valoare — sunt două probleme independente.
• Litera $m$ este parametrul funcției de gradul al doilea la itemul $2$ și, separat, capătul de integrare la itemul $10$, subpunctul b), unde $m$ parcurge intervalul $(0,+\infty )$. Nu au nicio legătură între ele.
• Scrierea ${\cos }^{2}x$, de la itemul $9$, subpunctul c), înseamnă $(\cos x{)}^2$ — pătratul valorii, nu $\cos \left(\cos x\right)$. Exponentul așezat pe numele funcției se citește întotdeauna așa; compunerea de două ori s-ar scrie explicit, cu paranteze.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(a+bi)(1+i)=4$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=m{x}^2-2x+m$, unde $m$ este număr real nenul. Determinați numerele reale $m$ pentru care $f(m-x)=f(m+x)$, pentru orice număr real $x$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2{\log }_2(2x)-1={\log }_2(x^2+x+2)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A=\{1,2,3,4\}$ și $F=\{f\mid f:A\to A\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element $f$ din mulțimea $F$, acesta să verifice inegalitatea $f(n)\le n$, pentru orice $n\in A$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,3)$ și $B(-1,5)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=8$, măsura unghiului $C$ de $30^{\circ }$ și punctul $O$, centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Determinați distanța de la punctul $O$ la latura $AB$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}3& a& -2\\ 2a+1& 1-a& -1\\ a+2& -2& 1\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{array},$$ unde $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $b$ și $c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $a$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4+a{X}^3+a{X}^2+8X-8$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)=-15$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2-1$ este egal cu $15X$.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr real $a$, polinomul $f$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-x-(x^4-1)\mathrm{arctg}x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-x^2(4x\mathrm{arctg}x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ care este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\mathrm{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f\left(\mathrm{tg}x\right)$, pentru orice $x\in [0,1]$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-m}^m\frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{e^{ax}-1}{\int }_0^{x}f(t)dt\right)=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului publicat pentru sesiunile din 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — egalitate cu numere complexe.

Se desface produsul, se înlocuiește $i^2=-1$ și se grupează separat partea reală și partea imaginară. Un număr complex este egal cu numărul real $4$ exact când partea lui reală este $4$ și partea imaginară este nulă: $$a-b+(a+b)i=4,\text{ de unde obținem }a-b=4\text{ și }a+b=0\text{(3 p)}.$$ Adunând cele două ecuații se obține $2a=4$, iar scăzându-le, $2b=-4$: $$\mathbf{a}=2\text{ și }\mathbf{b}=-2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $(2-2i)(1+i)=2+2i-2i-2i^2=2+2=4$. Unde se greșește de obicei: se distribuie doar $a$ peste paranteză și se pierde termenul $ai$; sau se scrie $bi\cdot i=bi$, uitând că $i^2=-1$ transformă termenul într-unul real, cu semn schimbat.)

Itemul 2. (5 p) — simetria graficului funcției de gradul al doilea.

Se scriu cele două valori și se scad. Termenii liberi se reduc, la fel și pătratele lui $m$, iar ce rămâne este proporțional cu $x$: $$m(m-x{)}^2-2(m-x)+m=m(m+x{)}^2-2(m+x)+m⟹x(m^2-1)=0\text{ și, cum egalitatea are loc pentru orice numa˘r real }x,\text{obținem }{m}^2-1=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația $m^2=1$ are două soluții, amândouă nenule, deci amândouă acceptate de enunț: $$\mathbf{m}=-1\text{ sau }\mathbf{m}=1,\text{care convin}\text{(2 p)}.$$ (De ce funcționează: condiția $f(m-x)=f(m+x)$ pentru orice $x$ spune că graficul este simetric față de dreapta verticală $x=m$, adică vârful parabolei are abscisa $m$. Cum $x_V=\frac{2}{2m}=\frac{1}{m}$, condiția devine $\frac{1}{m}=m$, adică $m^2=1$ — același rezultat, pe un drum mai scurt. Unde se greșește de obicei: se rezolvă egalitatea pentru o singură valoare a lui $x$ și se acceptă orice $m$; enunțul cere „pentru orice număr real $x$", deci coeficientul lui $x$ trebuie să fie nul.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condiția de existență cere $2x>0$, adică $x>0$; trinomul $x^2+x+2$ are discriminantul negativ, deci este pozitiv oricum. Coeficientul $2$ intră ca exponent, iar $1={\log }_{2}2$ se scade sub formă de raport: $${\log }_2\left(2x^2\right)={\log }_2(x^2+x+2),\text{ de unde obținem }{x}^2-x-2=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile trinomului sunt $-1$ și $2$, dar numai una respectă condiția de existență: $$x=-1,\text{care nu convine};\mathbf{x}=2,\text{care convine}\text{(2 p)}.$$ (Detaliul de calcul: $2{\log }_2(2x)={\log }_2(2x{)}^2={\log }_2(4x^2)$, iar scăzând $1={\log }_{2}2$ se obține ${\log }_2\frac{4x^2}{2}={\log }_2\left(2x^2\right)$. Verificare: pentru $x=2$, membrul stâng este $2{\log }_{2}4-1=4-1=3$, iar cel drept ${\log }_{2}8=3$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=-1$, deși pentru el argumentul $2x$ este negativ; sau se scade $1$ din argument în loc să se împartă la $2$ — scăderea unei unități dintr-un logaritm în baza $2$ înseamnă împărțirea argumentului la $2$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și numărarea funcțiilor.

O funcție de la $A$ la $A$ se construiește alegând independent imaginea fiecăruia dintre cele patru elemente, cu $4$ posibilități de fiecare dată. Mulțimea $F$ are deci $4^4=256$ de elemente, adică sunt $256$ de cazuri posibile (2 p).

Pentru cazurile favorabile, condiția $f(n)\le n$ se citește punct cu punct: $f(1)$ poate fi doar $1$, $f(2)$ poate fi $1$ sau $2$, $f(3)$ are trei posibilități, iar $f(4)$ are patru. Alegerile fiind independente, numărul lor se înmulțește: $$\text{sunt }1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\text{ cazuri favorabile, de unde obținem }p=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}\text{(3 p)}.$$ (Control prin numărare exhaustivă: parcurgând toate cele $256$ de funcții și verificând condiția pentru fiecare, ies exact $24$. Unde se greșește de obicei: se numără $4!$ funcții „posibile", ca și cum ar fi vorba de permutări — dar o funcție de la $A$ la $A$ nu trebuie să fie bijectivă; sau se adună posibilitățile în loc să se înmulțească.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie vectorială în reper cartezian.

Pentru orice punct $C$ și orice segment $AB$ cu mijlocul $M$, suma vectorilor duși din $C$ spre capete este dublul vectorului dus spre mijloc. Egalitatea din enunț devine atunci o relație între doi vectori: $$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}),\text{unde }M\text{ este mijlocul segmentului }AB,\text{de unde obținem }\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC},\text{deci punctul }C\text{ este mijlocul segmentului }OM\text{(3 p)}.$$ Mijlocul lui $AB$ are coordonatele $x_M=\frac{5+(-1)}{2}=2$ și $y_M=\frac{3+5}{2}=4$, iar $C$ este mijlocul lui $OM$, cu $O(0,0)$: $$\text{cum }{x}_M=2\text{ și }{y}_M=4,\text{obținem}{\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=1\text{ și }{\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=2\text{(2 p)}.$$ (Control direct, pe coordonate: cu $C(1,2)$ avem $\overrightarrow{CA}=(4,1)$ și $\overrightarrow{CB}=(-2,3)$, cu suma $(2,4)$; iar $2\overrightarrow{OC}=(2,4)$ — egalitate. Unde se greșește de obicei: se confundă $C$ cu $M$, adică se răspunde $(2,4)$; sau se scrie $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{MC}$, cu sensul inversat.)

Itemul 6. (5 p) — teorema sinusurilor și cercul circumscris.

Teorema sinusurilor leagă o latură de unghiul opus ei și de raza cercului circumscris. Cum $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$\frac{AB}{\sin C}=2R⟹R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8}{2\cdot \frac{1}{2}}=8,\text{unde }R\text{ este raza cercului circumscris triunghiului }ABC\text{(2 p)}.$$ Punctul $O$ este egal depărtat de $A$ și de $B$, deci triunghiul $OAB$ este isoscel cu $OA=OB=8$; cum și $AB=8$, el este echilateral, iar distanța de la $O$ la $AB$ este chiar înălțimea lui: $$\text{distanța de la }O\text{ la latura }AB\text{ este }OM=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},\text{unde }M\text{ este mijlocul segmentului }AB\text{(3 p)}.$$ (Al doilea drum: din triunghiul dreptunghic $OMA$, $OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ — aceeași valoare. Control numeric: $4\sqrt{3}\approx 6,93$, mai mic decât raza $8$, cum și trebuie să fie distanța de la centru la o coardă. Unde se greșește de obicei: se ia $\frac{AB}{\sin C}=R$ în loc de $2R$; sau se confundă distanța de la centru la latură cu raza.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și compatibilitatea sistemului asociat.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește parametrul cu zero în fiecare element, iar matricea și determinantul ei se scriu: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& -2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& -2& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, adunând cele șase produse cu semnele lor: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =3+4+0+4-6-0=5\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: dezvoltarea după prima linie dă $3\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right|-0+(-2)\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -2\end{array}\right|=3\cdot (-1)-2\cdot (-4)=-3+8=5$ — aceeași valoare.)

b) (5 p) Determinantul se calculează la general, cu parametrul lăsat literă. Toți termenii de gradul al treilea se reduc, iar rezultatul se factorizează: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}3& a& -2\\ 2a+1& 1-a& -1\\ a+2& -2& 1\end{array}\right|\\ & =5(1+a)(1-a),\\ & \text{pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci se scot din $\mathbb{R}$ cele două rădăcini: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(a))\\ & =0⟺a=-1\text{ sau }a=1,\\ & \text{ deci matricea }A(a)\text{ este inversabila˘}\\ & ⟺\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control: pentru $a=0$ formula dă $5\cdot 1\cdot 1=5$, exact valoarea de la subpunctul a); pentru $a=2$ dă $5\cdot 3\cdot (-1)=-15$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 5& -1& -1\\ 4& -2& 1\end{array}\right)$ dă tot $-15$. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu $\{-1,1\}$, adică exact valorile pentru care matricea nu este inversabilă.)

c) (5 p) Se separă cazurile după determinant. Când $a\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$ sistemul este cramerian, deci are soluție unică indiferent de $b$ și de $c$ — aceste valori nu impun nimic. Rămân cele două valori speciale, unde determinantul se anulează; pentru fiecare, minorul $\left|\begin{array}{cc}a& -2\\ 1-a& -1\end{array}\right|$ este nenul, deci el se poate lua drept minor principal, iar compatibilitatea cere anularea determinantului caracteristic: $$\begin{array}{rl}& \text{pentru }a\\ & \in \{-1,1\},\left|\begin{array}{ccc}-1& -2& b\\ 2& -1& c\\ -2& 1& -1\end{array}\right|\\ & =0\text{ și }\left|\begin{array}{ccc}1& -2& b\\ 0& -1& c\\ -2& 1& -1\end{array}\right|=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Primul determinant este $5c-5$, iar al doilea $1+3c-2b$; anulându-le pe amândouă se obține $$\mathbf{b}=2\text{ și }\mathbf{c}=1\text{(2 p)}.$$ (Control direct, fără teorie: pentru $b=2$ și $c=1$, tripletul $(0,0,-1)$ verifică sistemul atât pentru $a=-1$, cât și pentru $a=1$ — deci în ambele cazuri speciale sistemul este într-adevăr compatibil. Unde se greșește de obicei: se opresc calculele la cazul cramerian și se răspunde „orice $b$ și $c$"; discuția trebuie dusă și pe valorile care anulează determinantul, pentru că enunțul cere compatibilitate oricare ar fi $a$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $-1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $-1$, cu atenție la semnele puterilor: puterile pare dau $+1$, cele impare $-1$: $$\begin{array}{rl}& f(-1)\\ & =(-1{)}^4+a\cdot (-1{)}^3+a\cdot (-1{)}^2+8\cdot (-1)-8\text{(3 p)}.\end{array}$$ Termenii $-a$ și $+a$ se reduc, deci parametrul dispare: $$\begin{array}{rl}& f(-1)\\ & =1-a+a-8-8\\ & =-15,\text{pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Observație folositoare mai departe: coeficienții lui $a$ sunt $+1$ la $X^3$ și $+1$ la $X^2$, iar în $-1$ cele două puteri au semne contrare — de aceea parametrul se reduce. În $1$ nu se mai reduce: acolo $f(1)=1+a+a+8-8=2a+1$, valoare de care avem nevoie la subpunctul c).)

b) (5 p) Împărțitorul are gradul al doilea, deci restul este de forma $\alpha X+\beta$. Cum $g=X^2-1=(X-1)(X+1)$, cei doi coeficienți se află fără a face împărțirea, din $f(1)=\alpha +\beta$ și $f(-1)=-\alpha +\beta$, adică din $2a+1$ și $-15$: $$\begin{array}{rl}& \text{restul ıˆmpa˘rțirii polinomului }f\text{ la polinomul }g\text{ este egal cu }(a+8)X+a-7,\\ & \text{pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se impune ca acest rest să fie chiar $15X$, adică să aibă coeficientul lui $X$ egal cu $15$ și termenul liber nul: $$\begin{array}{rl}& (a+8)X+a-7\\ & =15X,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=7\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Cele două condiții sunt compatibile: $a+8=15$ dă $a=7$, iar $a-7=0$ dă tot $a=7$ — un control gratuit al calculului. Verificare: pentru $a=7$, $f(1)=2\cdot 7+1=15$ și $f(-1)=-15$, iar restul $15X$ ia chiar aceste valori în $1$ și în $-1$. Unde se greșește de obicei: se face împărțirea lungă și se pierde un semn; drumul prin valorile în rădăcinile împărțitorului este mult mai scurt.)

c) (5 p) Se raționează prin reducere la absurd. Presupunem că toate rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ ar fi numere întregi. Din relațiile lui Viète, suma lor este $-a$, iar o sumă de numere întregi este întreagă: $$\begin{array}{rl}& \text{presupunaˆnd ca˘ ra˘da˘cinile }{x}_1,x_2,x_3,x_4\text{ ale polinomului }f\text{ sunt numere ıˆntregi, cum }{x}_1+x_2+x_3+x_4\\ & =-a,\text{obținem ca˘ }a\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Produsul rădăcinilor este termenul liber, $-8$, deci produsul modulelor este $8$. Niciuna dintre rădăcini nu este nulă (altfel produsul ar fi zero), deci fiecare modul este un întreg cel puțin $1$; dacă toate ar fi cel puțin $2$, produsul ar fi cel puțin $16$, mai mare decât $8$ — imposibil. Prin urmare cel puțin o rădăcină are modulul $1$, adică este $1$ sau $-1$: $$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4& =-8⟹|x_1|\cdot |x_2|\cdot |x_3|\cdot |x_4|=8,\\ & \text{de unde obținem ca˘ cel puțin o ra˘da˘cina˘ a polinomului }f\text{ are modulul egal cu }1\text{ și, cum }f(-1)\\ & \ne 0\text{ pentru orice numa˘r real }a,\text{obținem }f(1)=0,\\ \text{deci }a& =-\frac{1}{2},\text{ceea ce este fals, deci polinomul }f\text{ nu are toate ra˘da˘cinile numere ıˆntregi}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Lanțul complet: $f(-1)=-15\ne 0$, deci $-1$ nu este rădăcină; rămâne ca $1$ să fie rădăcină, adică $f(1)=2a+1=0$, de unde $a=-\frac{1}{2}$ — care nu este întreg, contrazicând prima parte. Unde se greșește de obicei: se sare peste justificarea faptului că o rădăcină are modulul $1$ — ea vine din compararea produsului $8$ cu $2^4=16$; sau se uită că relația $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=-8$ vine din termenul liber, nu din coeficientul dominant.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu arctangentă, tangentă orizontală și inegalități înlănțuite.

a) (5 p) Al treilea termen este un produs, deci se derivează cu regula produsului, iar $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =-1-4x^3\mathrm{arctg}x-(x^4-1)\cdot \frac{1}{x^2+1}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Fracția se simplifică, pentru că $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$, iar apoi se dă factor comun $-x^2$: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-1-4x^3\mathrm{arctg}x-x^2+1\\ & =-x^2(4x\mathrm{arctg}x+1),x\\ & \in \mathbb{R}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=-1\cdot \left(4\cdot \frac{\pi }{4}+1\right)=-(\pi +1)\approx -4,1416$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă tot $-4,1416$. Unde se greșește de obicei: se derivează produsul „factor cu factor", uitând regula $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; sau se ia $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^4}$, confundând argumentul cu funcția din față.)

b) (5 p) O dreaptă este paralelă cu axa $Ox$ exact când panta ei este nulă, iar panta tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $f^{\prime }(x_0)$: $$\begin{array}{rl}& \text{tangenta la graficul funcției }f\text{ ıˆn punctul }A(x_0,f(x_0))\text{ este paralela˘ cu axa }Ox\\ & ⟺f^{\prime }(x_0)=0\text{(2 p)}.\end{array}$$ Ecuația $-x_0^2(4x_0\mathrm{arctg}{x}_0+1)=0$ are, la prima vedere, două posibilități; dar paranteza nu se poate anula niciodată, pentru că $x_0$ și $\mathrm{arctg}{x}_0$ au întotdeauna același semn, deci produsul lor este nenegativ și paranteza este cel puțin $1$: $$\begin{array}{rl}& -x_0^2(4x_0\mathrm{arctg}{x}_0+1)\\ & =0\text{ și, cum }{x}_0\mathrm{arctg}{x}_0\\ & \ge 0\text{ pentru orice }{x}_0\in \mathbb{R},\text{obținem }{x}_0\\ & =0,\text{deci ecuația tangentei este }y-f(0)\\ & =f^{\prime }(0)(x-0),\text{adica˘ }\mathbf{y}=1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Valoarea din punctul de tangență: $f(0)=1-0-(0-1)\mathrm{arctg}0=1-0=1$, pentru că $\mathrm{arctg}0=0$. Unde se greșește de obicei: se acceptă și rădăcinile parantezei fără să se verifice dacă ea se poate anula — aici nu se poate; sau se scrie ca răspuns abscisa $x_0=0$ în loc de ecuația dreptei, pe care enunțul o cere explicit.)

c) (5 p) Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=-x^2(4x\mathrm{arctg}x+1)\le 0$ pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $-x^2\le 0$ și paranteza este pozitivă. Deci funcția este descrescătoare, iar pe intervalul $[0,1]$ valorile ei sunt cuprinse între $f(1)$ și $f(0)$: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& \le 0,\text{pentru orice }x\\ & \in \mathbb{R},\text{deci funcția }f\text{ este descresca˘toare pe }\mathbb{R}\text{ și, cum }f(0)\\ & =1\text{ și }f(1)=0,\text{obținem }0\\ & \le f(x)\le 1,\text{pentru orice }x\in [0,1]\text{(2 p)}.\end{array}$$ Se demonstrează apoi inegalitatea auxiliară $\mathrm{tg}x\ge x$ pe $[0,1]$, cu ajutorul monotoniei, și se aplică de două ori — o dată direct lui $f(x)$, care stă tot în $[0,1]$, și o dată prin descreșterea lui $f$: $$\begin{array}{rl}& \text{pentru }g:[0,1]\to \mathbb{R},g(x)\\ & =\mathrm{tg}x-x,g^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\ge 0,\text{pentru orice }x\\ & \in [0,1],\text{deci }g\text{ este cresca˘toare, de unde obținem }\mathrm{tg}x\ge x,\text{pentru orice }x\\ & \in [0,1],\text{deci }\mathrm{tg}(\mathbf{f}(\mathbf{x}))\ge \mathbf{f}(\mathbf{x})\ge \mathbf{f}\left(\mathrm{tg}\mathbf{x}\right),\text{pentru orice }x\in [0,1]\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cum se leagă cele două inegalități: prima, $\mathrm{tg}(f(x))\ge f(x)$, este chiar $\mathrm{tg}t\ge t$ aplicată în $t=f(x)\in [0,1]$; a doua, $f(x)\ge f\left(\mathrm{tg}x\right)$, vine din $\mathrm{tg}x\ge x$ și din faptul că $f$ este descrescătoare, deci întoarce sensul inegalității. Intervalul $[0,1]$ este inclus în $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, pentru că $1<\frac{\pi }{2}\approx 1,571$ — de aceea $\cos x\ne 0$ și tangenta este definită. Control numeric: în $x=1$, $f(1)=0$, iar lanțul devine $0\ge 0\ge f(\mathrm{tg}1)\approx -5,441$ — adevărat.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și limită cu funcție integrală.

a) (5 p) Factorul din fața funcției este chiar numitorul ei, deci se simplifică și sub integrală rămâne numărătorul: $${\int }_0^3(1+e^{-x})f(x)dx={\int }_0^3(x^2+e^x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+e^x\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton și cu $e^0=1$, $${\int }_0^3(1+e^{-x})f(x)dx=\frac{27}{3}+e^3-0-1=8+{\mathbf{e}}^3\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $1+e^{-x}>0$ pentru orice $x$ real, deci funcția este bine definită pe tot $\mathbb{R}$. Control numeric: $8+e^3\approx 28,0855$, iar integrala calculată numeric dă $28,0855$. Unde se greșește de obicei: se uită scăderea valorii din capătul de jos, unde $e^0=1$, și se răspunde $9+e^3$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică numărătorul funcției cu numitorul fracției, iar ce rămâne se rescrie ca raport de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$, amplificând cu $e^x$: $${\int }_{-m}^m\frac{f(x)}{x^2+e^x}dx={\int }_{-m}^m\frac{1}{1+e^{-x}}dx={\int }_{-m}^m\frac{(e^x+1{)}^{\prime }}{e^x+1}dx=\ln (1+e^x){|}_{-m}^m\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele; pentru cel de jos se folosește $1+e^{-m}=\frac{1+e^m}{e^m}$, ceea ce face ca diferența de logaritmi să se strângă: $$\ln (1+e^m)-\ln \frac{1+e^m}{e^m}=\ln e^m=\mathbf{m},\text{pentru orice }m\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Amplificarea: $\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{e^x+1}$, iar numărătorul este chiar derivata numitorului. Modulul din formula $\int \frac{u^{\prime }}{u}=\ln |u|$ dispare pentru că $e^x+1>0$ oricând. Control numeric: pentru $m=2$, integrala calculată numeric dă $2,0000$; pentru $m=3,7$ dă $3,7000$. Unde se greșește de obicei: se calculează separat cele două logaritme și se opresc calculele la o expresie neredusă, în loc să se folosească proprietatea diferenței.)

c) (5 p) Când $x\to 0$, numărătorul ${\int }_0^{x}f(t)dt$ tinde la $0$, iar numitorul $e^{ax}-1$ tinde tot la $0$: este cazul de nedeterminare $\frac{0}{0}$. Funcția $f$ fiind continuă, funcția integrală este derivabilă și are derivata chiar $f$, deci regula lui L'Hôpital se poate aplica: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{e^{ax}-1}{\int }_0^{x}f(t)dt\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left({\int }_0^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }}{(e^{ax}-1{)}^{\prime }}\text{(2 p)}.$$ Derivata numitorului este $a{e}^{ax}$, iar în $0$ ea valorează $a$; cum $f(0)=\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{2}$, limita se calculează direct: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{a{e}^{ax}}=\frac{1}{2a},\text{ de unde obținem }\frac{1}{2a}=1,\text{deci }\mathbf{a}=\frac{1}{2},\text{care convine}\text{(3 p)}.$$ (Valoarea $a=\frac{1}{2}$ este într-adevăr nenulă, cum cere enunțul. Control numeric: pentru $a=\frac{1}{2}$ și $x=0,001$, raportul dă $1,0005$; pentru $x=0,00001$ dă $1,000005$ — se apropie de $1$. Unde se greșește de obicei: se derivează numitorul ca $e^{ax}$, uitând factorul $a$ care vine din derivarea exponentului; sau se aplică L'Hôpital fără să se spună ce nedeterminare este.)