Bac M1 2023, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2023 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a examenului de bacalaureat, proba E. c), Matematică M_mate-info, organizată în anul școlar 2022–2023 pentru elevii clasei a XII-a. Spre deosebire de sesiunile de examen, la simulare nu se extrage o variantă numerotată: documentul poartă mențiunea „Simulare", iar toți elevii din țară au primit același subiect. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de simulare din 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui număr complex și adunarea în formă algebrică — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția unei drepte cu o parabolă și condiția de tangență, $\Delta =0$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: proprietatea $2\lg u=\lg u^2$ și eliminarea soluției care iese din domeniu — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe mulțimea numerelor de cel mult două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie vectorială: relația lui Chasles, mijlocul unui segment și vectori egali în modul, de sensuri opuse — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formulele unghiului dublu și rezolvarea unei ecuații pe un interval dat — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme: determinantul unei matrice numerice, condiția de sistem cramerian și selectarea soluțiilor întregi dintr-o familie cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, o inegalitate demonstrată prin aducere la același numitor și determinarea perechilor cu o compunere dată — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, tangentă, imaginea funcției: derivarea unui logaritm compus, tangenta paralelă cu axa $Ox$ și citirea imaginii din monotonie plus limitele la capete — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: simplificarea integrandului, recunoașterea unei primitive de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$ și o inegalitate obținută prin majorarea integrandului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea națională din 2023. Subiectul I amestecă deliberat capitolele: un item de numere complexe, unul de funcții de gradul al doilea, unul de logaritmi, unul de probabilități, unul vectorial — nu analitic — și unul de trigonometrie. Cel mai des ratat este itemul $4$: mulțimea numerelor naturale de cel mult două cifre îl conține și pe $0$, care este divizibil cu $9$, deci sunt $100$ de cazuri posibile și $12$ favorabile, nu $90$ și $11$. Subiectul al II-lea a cerut, la problema $1$, discriminarea unui sistem după determinant și apoi o selecție de soluții întregi dintr-o familie cu parametru — un tip de cerință care apare rar; la problema $2$, o lege de compoziție cu radical, unde cheia este că pe $[-1,1]$ avem $|1-x^2|=1-x^2$. Subiectul al III-lea cere, la problema $1$, lanțul derivată → tangentă orizontală → imaginea funcției, iar la problema $2$ trei integrale în care ultima se rezolvă prin majorarea integrandului, nu prin calcul exact.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\pi }{2}$ și $(-\infty ,-1]$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția $x=-1$ păstrată la ecuația logaritmică; numărul $0$ uitat din mulțimea numerelor de cel mult două cifre; modulul $|1-x^2|$ desfăcut fără să se spună de ce; imaginea funcției scrisă fără limitele la capete; inegalitatea de la ultimul subpunct „demonstrată" prin calculul exact al unei integrale care nu se poate calcula elementar.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ se aplică și cu $i$, apoi se înlocuiește $i^2=-1$ — termenul din mijloc nu se uită niciodată. Funcția de gradul al doilea: dreapta și parabola au exact un punct comun când ecuația $f(x)=g(x)$ are discriminantul nul. Logaritmi: $n\lg u=\lg u^n$, valabilă doar pentru $u>0$ — de aici vin soluțiile care „nu convin". Probabilități: numerele naturale de cel mult două cifre sunt $100$ la număr, de la $0$ la $99$. Vectori: relația lui Chasles, $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}$; dacă $M$ este mijlocul lui $AC$, atunci $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Trigonometrie: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar de $n$ ecuații cu $n$ necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (sistem cramerian); când determinantul se anulează, soluțiile se scriu cu parametru, iar condițiile suplimentare din enunț (numere întregi, inegalități) selectează dintre ele.
• Legi de compoziție: pentru inegalități, rețeta este să aduci diferența la același numitor și să studiezi semnul: $x\ast (-x)+x^2=\frac{x^2(1-x^2)}{2-x^2}\ge 0$ pe $[-1,1]$. Atenție la modul: $\sqrt{u^2}=|u|$, iar dispariția modulului se justifică prin semnul lui $u$ pe mulțimea dată.
• Derivate: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; tangenta la grafic în punctul de abscisă $a$ este paralelă cu axa $Ox$ exact când $f^{\prime }(a)=0$. Imaginea unei funcții continue pe un interval se citește din tabelul de variație: se iau limitele la capete și valorile extreme, apoi se reunesc intervalele parcurse pe fiecare ramură de monotonie.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$. Monotonia integralei: dacă $f\le g$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$ — de aici se demonstrează inegalitățile în care integrala din stânga nu se poate calcula.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția de gradul întâi $f(x)=3x+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=x-1-\ln (e^x+x^2)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$, dar la itemul $9$, subpunctul b), este abscisa punctului de tangență, iar la itemul $8$, subpunctul c), este una dintre cele două necunoscute ale perechii $(a,b)$. Trei roluri diferite, în trei itemi diferiți.
• Litera $M$ are două înțelesuri: la itemul $5$ este mijlocul laturii $AC$, iar la itemul $8$ este mulțimea $[-1,1]$ pe care se definește legea de compoziție. Prima este un punct, a doua o mulțime de numere.
• Scrierile ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$, de la itemul $6$, înseamnă $(\sin x{)}^2$ și $(\cos x{)}^2$ — pătratele valorilor, nu funcțiile aplicate de două ori. Exponentul așezat pe numele funcției se citește întotdeauna așa; compunerea s-ar scrie explicit, cu paranteze.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=1+2i$ și $z_2=1-i$. Arătați că $z_1^2+4z_2=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg (x^2+9)=2\lg \left(x\sqrt{10}\right)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A$, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizibil cu $9$.

Itemul 5 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$, iar punctele $D$ și $E$ aparțin segmentului $AB$, astfel încât $AD=BE$. Arătați că $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Determinați $x\in [0,\pi ]$ pentru care $\sin 2x=1+\cos 2x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 2\\ 1& a& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+y+2z=-2\\ x+ay-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi și $x_0>y_0>z_0$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast (-x)\ge -x^2$, pentru orice $x\in M$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$ de numere din mulțimea $M$ pentru care $a\ast b=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1-\ln (e^x+x^2)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de coordonate $(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)\sqrt{x+3}dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx=2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le \frac{\pi }{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se ridică la pătrat cu formula binomului, fără să se uite termenul din mijloc, și se adună al doilea număr înmulțit cu $4$: $$z_1^2+4z_2=(1+2i{)}^2+4(1-i)=1+4i+4i^2+4-4i\text{(3 p)}.$$ Termenii $+4i$ și $-4i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$z_1^2+4z_2=5+4\cdot (-1)=5-4=1\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea reală este $1-4+4=1$, iar partea imaginară $4-4=0$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $(1+2i{)}^2=1+4i^2$, adică se uită dublul produs $2\cdot 1\cdot 2i$; sau se ia $i^2=1$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul al doilea: dreaptă tangentă la parabolă.

Punctele comune ale celor două grafice au abscisele date de ecuația $f(x)=g(x)$, adică $3x+1=x^2+x+m$. Trecând totul într-un membru: $$x^2-2x+m-1=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are exact o soluție când discriminantul ei se anulează. Cum $\Delta =4-4(m-1)=8-4m$: $$\Delta =0⟹8-4m=0⟹\mathbf{m}=2\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $m=2$ ecuația devine $x^2-2x+1=0$, adică $(x-1{)}^2=0$, cu soluția dublă $x=1$; punctul comun este $(1,4)$, iar $f(1)=4$ și $g(1)=1+1+2=4$. Unde se greșește de obicei: se cere ca cele două grafice să aibă „un punct comun" în sensul „cel puțin unul", ceea ce ar da $\Delta \ge 0$; enunțul spune exact un punct, deci $\Delta =0$. A doua capcană este semnul termenului liber: din $1-m$ trecut în stânga rezultă $m-1$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență cer $x\sqrt{10}>0$, adică $x>0$ (paranteza $x^2+9$ este pozitivă oricum). Coeficientul $2$ intră ca exponent, $2\lg u=\lg u^2$, iar $(x\sqrt{10}{)}^2=10x^2$: $$\lg (x^2+9)=\lg \left(10x^2\right)⟹x^2+9=10x^2,\text{ de unde obținem }{x}^2-1=0\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile sunt $-1$ și $1$, dar numai una respectă condiția de existență: $$x=-1,\text{care nu convine};\mathbf{x}=1,\text{care convine}\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $\lg (1+9)=\lg 10=1$, iar $2\lg \sqrt{10}=2\cdot \frac{1}{2}=1$. Unde se greșește de obicei: se păstrează și $x=-1$, deși pentru el argumentul $x\sqrt{10}$ este negativ, iar logaritmul nu există. Este exact capcana pe care o are în comun cu modelul din același an. A doua capcană este $(x\sqrt{10}{)}^2=10x^2$, nu $100x^2$: se ridică la pătrat radicalul, nu numărul de sub el.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de cel mult două cifre este $A=\{0,1,2,\dots ,99\}$, deci are $100$ de elemente și tot atâtea cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $9$ din această mulțime sunt $9\cdot 0=0$, $9\cdot 1$, $9\cdot 2$, …, $9\cdot 11=99$, deci sunt $12$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se citește „de două cifre" în loc de „de cel mult două cifre" și se numără $90$ de cazuri posibile; sau se uită că $0$ este el însuși divizibil cu $9$, pentru că $0=9\cdot 0$. Control: multiplii lui $9$ până la $99$ sunt $\lfloor \frac{99}{9}\rfloor +1=11+1=12$, numărând și pe $0$.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie vectorială în triunghi.

Se descompun cei doi vectori pe drumuri care trec prin punctele cunoscute, cu relația lui Chasles: $$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}\text{și}\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}\text{(2 p)}.$$ Se adună și se grupează: $M$ fiind mijlocul lui $AC$, vectorii $\overrightarrow{MA}$ și $\overrightarrow{MC}$ sunt opuși; iar $AD=BE$ pe același segment $AB$ înseamnă că $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{BE}$ au aceeași lungime și sensuri opuse, deci se anulează și ei: $$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE})+\overrightarrow{CB}=\vec{0}+\vec{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{\mathbf{CB}}\text{(3 p)}.$$ (Control într-un reper: iei $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(1,3)$ și $D$ la distanța $t$ de $A$ pe $AB$, iar $E$ la aceeași distanță de $B$; pentru $t=1$ ies $D(1,0)$, $E(3,0)$, $M\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$, iar $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)=(3,-3)=\overrightarrow{CB}$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{AD}$, uitând că cei doi vectori pornesc din capete opuse ale segmentului și au sensuri contrare; sau se confundă $\overrightarrow{CB}$ cu $\overrightarrow{BC}$.)

Itemul 6. (5 p) — ecuație trigonometrică pe un interval dat.

Se aplică formulele unghiului dublu: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ în stânga, iar în dreapta $1+\cos 2x=1+2{\cos }^{2}x-1=2{\cos }^{2}x$. Ecuația devine, după trecerea totului într-un membru și darea factorului comun: $$2\sin x\cos x=2{\cos }^{2}x⟺2\cos x(\sin x-\cos x)=0\text{(2 p)}.$$ Un produs este nul când unul dintre factori se anulează: fie $\cos x=0$, fie $\sin x=\cos x$, adică $\mathrm{tg}x=1$. Pe intervalul dat: $$\text{cum }x\in [0,\pi ],\text{obținem}\mathbf{x}=\frac{\pi }{2}\text{ sau }\mathbf{x}=\frac{\pi }{4}\text{(3 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ și $1+\cos \frac{\pi }{2}=1$; pentru $x=\frac{\pi }{2}$, $\sin \pi =0$ și $1+\cos \pi =0$. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $\cos x$ și se pierde soluția $x=\frac{\pi }{2}$ — simplificarea printr-o expresie care se poate anula este interzisă; se dă factor comun. A doua capcană este formula: $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$, iar $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ — se confundă ușor.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistemul de ecuații asociat.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea devine $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$, iar determinantul se dezvoltă cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& -1\\ 2& 2& 1\end{array}\right|\\ & =0\cdot 0\cdot 1+1\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 2\cdot 2-2\cdot 0\cdot 2-1\cdot 1\cdot 1-(-1)\cdot 2\cdot 0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se face suma: $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =0-2+4-0-1-0=1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control pe alt drum: dezvoltarea după prima linie dă $0\cdot \left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 1\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|+2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 2\end{array}\right|=0-3+4=1$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se pierde un semn la produsele „ascendente", care se scad toate trei.)

b) (5 p) Determinantul se calculează la general, cu parametrul lăsat literă: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =a(a+2)-(1+2)+2(2-2a)\\ & =a^2-2a+1=(a-1{)}^2,\\ & \text{pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică (este cramerian) exact când determinantul matricei lui este nenul: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(a))\\ & =0⟺a=1,\\ & \text{ deci sistemul are soluție unica˘ pentru }\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{1\}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control: pentru $a=0$ formula dă $(0-1{)}^2=1$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se răspunde cu $\{1\}$, adică exact valoarea pentru care sistemul nu este cramerian; sau se scrie $\det (A(a))=a^2-1$, uitând termenul de gradul întâi.)

c) (5 p) Pentru $a=1$ determinantul este nul, deci sistemul nu are soluție unică. Scăzând a doua ecuație din prima se obține $3z=-6$, deci $z=-2$; înlocuind, prima ecuație devine $x+y=2$. A treia ecuație, $2x+2y+z=2$, este atunci verificată automat. Notând $x=\alpha$: $$\begin{array}{rl}& \\ & \text{soluțiile sistemului sunt }(\alpha ,2-\alpha ,-2),\\ & \text{unde }\alpha \\ & \in \mathbb{R}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Condițiile suplimentare selectează dintre ele: $\alpha$ trebuie să fie număr întreg, iar din $x_0>y_0>z_0$ rezultă $\alpha >2-\alpha >-2$, adică $1<\alpha <4$: $$\begin{array}{rl}& \text{cum }\alpha \text{ este ıˆntreg, obținem }\alpha \\ & =2\text{sau}\alpha =3,\\ & \text{deci soluțiile sunt }(2,0,-2)\text{ și }(3,-1,-2)\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pentru $(3,-1,-2)$: prima ecuație $3-1-4=-2$; a doua $3-1+2=4$; a treia $6-2-2=2$. Toate se verifică, iar $3>-1>-2$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă doar una dintre cele două inegalități, sau se acceptă $\alpha =1$ și $\alpha =4$, care dau egalități, nu inegalități stricte. Baremul oficial notează parametrul cu $\alpha$; el este un număr real — sistemul are coeficienți reali și se rezolvă în $\mathbb{R}$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe intervalul $[-1,1]$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=\frac{1}{2}$ în formula legii. Cheia este radicalul: primul factor de sub el se anulează, pentru că $1-1^2=0$: $$1\ast \frac{1}{2}=\frac{1\cdot \frac{1}{2}}{1+\sqrt{(1-1^2)\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)}}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\sqrt{0}}\text{(3 p)}.$$ Radicalul fiind nul, numitorul rămâne $1$: $$1\ast \frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: pentru $x=1$, legea lasă mereu al doilea argument pe loc — $1\ast y=y$ — pentru că radicalul se anulează. Unde se greșește de obicei: se calculează $\sqrt{0\cdot \frac{3}{4}}$ ca $\frac{3}{4}$, adică se ignoră factorul nul, sau se pune numitorul $\sqrt{0}=0$ în loc de $1+\sqrt{0}=1$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y=-x$. Sub radical apare $(1-x^2{)}^2$, iar $\sqrt{u^2}=|u|$; cum $x\in [-1,1]$, avem $x^2\le 1$, deci $1-x^2\ge 0$ și modulul dispare: $$x\ast (-x)=\frac{-x^2}{1+\left|1-x^2\right|}=\frac{-x^2}{2-x^2},\text{pentru orice }x\in M\text{(3 p)}.$$ Se compară cu $-x^2$ mutând totul într-un membru și aducând la același numitor: $$(x\ast (-x))+x^2=\frac{-x^2+x^2(2-x^2)}{2-x^2}=\frac{x^2(1-x^2)}{2-x^2}\ge 0,\text{deci }\mathbf{x}\ast (-\mathbf{x})\ge -{\mathbf{x}}^2,\text{pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ (Toți cei trei factori sunt nenegativi pe $M$: $x^2\ge 0$, $1-x^2\ge 0$ și $2-x^2\ge 1>0$. Egalitate se obține în $x=0$ și în $x=\pm 1$. Control numeric: pentru $x=0,7$, membrul stâng este $-0,3245$, iar cel drept $-0,49$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{(1-x^2{)}^2}=1-x^2$ fără să se spună de ce dispare modulul — baremul punctează exact acest motiv; sau se înmulțește inegalitatea cu $2-x^2$ fără să se verifice că numitorul este pozitiv.)

c) (5 p) Se pleacă de la egalitatea cerută și se izolează radicalul: $$a\ast b=1⟹ab=1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)},\text{ deci }\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=ab-1\text{ și }ab\ge 1\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, $a$ și $b$ sunt din $[-1,1]$, deci $|a|\le 1$ și $|b|\le 1$, de unde $|ab|\le 1$. Cele două condiții se pot împăca doar la egalitate: $$ab=1,\text{ deci perechile sunt }(-1,-1)\text{ și }(1,1),\text{care convin}\text{(2 p)}.$$ (De ce doar acestea două: din $|a|\le 1$, $|b|\le 1$ și $ab=1$ rezultă $|a|=|b|=1$, iar produsul fiind pozitiv, cele două numere au același semn. Verificare: $1\ast 1=\frac{1}{1+\sqrt{0\cdot 0}}=1$ și $(-1)\ast (-1)=\frac{1}{1+0}=1$. Unde se greșește de obicei: se uită perechea $(-1,-1)$, pentru că produsul a două numere negative este pozitiv; sau se ridică la pătrat egalitatea cu radicalul fără să se rețină condiția $ab-1\ge 0$, care este cea care închide problema.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă paralelă cu $Ox$ și imaginea funcției.

a) (5 p) Al doilea termen este un logaritm compus, deci se derivează cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=e^x+x^2$ are derivata $u^{\prime }(x)=e^x+2x$: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{e^x+x^2}\cdot (e^x+2x)\text{(3 p)}.$$ Se aduce la același numitor și se reduce $e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x+x^2-e^x-2x}{e^x+x^2}=\frac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Numitorul $e^x+x^2$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real — exponențiala este pozitivă, pătratul este nenegativ, iar cele două nu se anulează simultan — deci funcția este bine definită și derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, iar semnul derivatei este dat numai de numărător. Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{-1}{e+1}\approx -0,269$, iar raportul incremental dă tot $-0,269$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln u$ ca $\frac{1}{u}$, adică se uită $u^{\prime }$; sau se ia $(e^x{)}^{\prime }=x{e}^{x-1}$, confundând exponențiala cu funcția putere.)

b) (5 p) O dreaptă este paralelă cu axa $Ox$ exact când panta ei este nulă, iar panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$: $$\text{tangenta ıˆn }(a,f(a))\text{ este paralela˘ cu axa }Ox⟺f^{\prime }(a)=0\text{(3 p)}.$$ Numitorul fiind strict pozitiv, ecuația se reduce la anularea numărătorului: $$\frac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0⟺a(a-2)=0⟺\mathbf{a}=0\text{ sau }\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$ (Control: $f(0)=-1$ și $f(2)=1-\ln (e^2+4)\approx -1,433$, iar tangentele în aceste puncte sunt dreptele orizontale $y=-1$ și $y\approx -1,433$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția $f(a)=0$ în loc de $f^{\prime }(a)=0$ — paralelismul cu $Ox$ este o condiție asupra pantei, nu asupra ordonatei; sau se simplifică fracția prin $a$ și se pierde soluția $a=0$.)

c) (5 p) Semnul derivatei este dat de $x(x-2)$, deci $$f^{\prime }\ge 0\text{ pe }(-\infty ,0],f^{\prime }\le 0\text{ pe }[0,2],f^{\prime }\ge 0\text{ pe }[2,+\infty ),$$ $$\text{deci }f\text{ este cresca˘toare, apoi descresca˘toare, apoi din nou cresca˘toare pe aceste trei intervale}\text{(2 p)}.$$ Se calculează limitele la capete și valoarea din punctul de maxim local. La $-\infty$, $\ln (e^x+x^2)\approx \ln x^2$ crește mult mai încet decât $x$, deci $f(x)\to -\infty$; la $+\infty$, scriind $e^x+x^2=e^x(1+x^2{e}^{-x})$, se obține $f(x)=-1-\ln (1+x^2{e}^{-x})\to -1$. Iar $f(0)=-1-\ln 1=-1$. Funcția fiind continuă: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,f(0)=-1,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-1,\text{ deci imaginea funcției }f\text{ este }(-\infty ,-1]\text{(3 p)}.$$ (Cum se citește: pe prima ramură funcția urcă de la $-\infty$ până la $f(0)=-1$, deci acoperă tot intervalul $(-\infty ,-1]$; pe a doua coboară până la $f(2)\approx -1,433$, iar pe a treia urcă înapoi spre $-1$, fără să-l atingă — deci nu adaugă valori noi. Reuniunea este $(-\infty ,-1]$. Control numeric: $f(100)=-1-\ln (1+10^4{e}^{-100})$, adică $-1$ cu peste treizeci de zecimale exacte; maximul valorilor calculate pe o rețea fină este chiar $-1$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $\mathbb{R}$, ca și cum orice funcție continuă nemărginit descrescătoare ar fi surjectivă; sau se scrie $(-\infty ,-1)$ cu capătul deschis, deși valoarea $-1$ este atinsă, în $x=0$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și inegalitate cu integrale.

a) (5 p) Factorul $\sqrt{x+3}$ se simplifică cu numitorul funcției, legitim pe $[0,3]$, unde $x+3>0$: $${\int }_0^{3}f(x)\sqrt{x+3}dx={\int }_0^3(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{3}f(x)\sqrt{x+3}dx=9+3-0=12\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala lui $x^2+1$ pe $[0,3]$, calculată prin metoda trapezelor, dă $12,000$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește în loc să se simplifice și se obține $(x^2+1)(x+3)$; sau se ia drept primitivă a lui $x^2$ chiar $\frac{x^2}{2}$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică numărătorul: $\frac{f(x)}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$. Recunoscând la numărător derivata expresiei de sub radical, $(x+3{)}^{\prime }=1$, primitiva este de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C}$: $${\int }_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx={\int }_{-2}^1\frac{(x+3{)}^{\prime }}{\sqrt{x+3}}dx=2\sqrt{x+3}{|}_{-2}^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, cu $1+3=4$ și $-2+3=1$: $${\int }_{-2}^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx=2\cdot 2-2\cdot 1=4-2=2\text{(2 p)}.$$ (Intervalul $[-2,1]$ este inclus în domeniul $(-3,+\infty )$, deci integrala are sens; capătul $-3$, unde funcția nu este definită, rămâne în afară. Control numeric: integrala calculată numeric dă $2,0000$. Unde se greșește de obicei: se ia drept primitivă $\frac{\sqrt{x+3}}{2}$ în loc de $2\sqrt{x+3}$ — derivând $2\sqrt{u}$ se obține $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$, exact integrandul.)

c) (5 p) Integrala din stânga nu se calculează elementar, deci se demonstrează prin majorarea integrandului. Pe intervalul $[0,1]$ avem $3\le x+3\le 4$, deci $\sqrt{x+3}\le 2$, iar numitorul $x^2+1$ este pozitiv: $$\frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}\le \frac{2}{x^2+1},\text{pentru orice }x\in [0,1],\text{ de unde }{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le 2{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx\text{(3 p)}.$$ Ultima integrală este cea a arctangentei: $$2{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=2\mathrm{arctg}x{|}_0^1=2\left(\frac{\pi }{4}-0\right)=\frac{\pi }{2},\text{ deci }{\int }_0^1\frac{1}{f(x)}dx\le \frac{\pi }{2}\text{(2 p)}.$$ (Trecerea de la inegalitatea dintre funcții la inegalitatea dintre integrale este monotonia integralei: dacă $u\le v$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$. Control numeric: integrala din stânga, calculată numeric, dă $1,4558$, iar $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ — inegalitatea este strictă, dar enunțul cere doar „$\le$". Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul exact al integralei ${\int }_0^1\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}dx$, care nu se poate face cu primitivele din programă; sau se majorează $\sqrt{x+3}$ cu $\sqrt{3}$, adică se folosește valoarea din capătul de jos în loc de cea din capătul de sus, ceea ce dă o inegalitate falsă.)