Bac M1 2023, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2023 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2023 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează în luna mai, înaintea sesiunii obișnuite, pentru elevii care participă la olimpiade și competiții internaționale sau la competiții sportive; subiectul are exact același format și același nivel ca al celorlalte sesiuni. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2023:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: pătratul unui binom și înmulțirea cu $i$, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(m)$ pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: factorul comun $5^x$ după scrierea $5^{x+1}=5\cdot 5^x$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: numerele de două cifre cu ambele cifre cel puțin egale cu $7$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte și condiția de perpendicularitate, $m_1\cdot m_2=-1$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice cu parametru și sistem liniar omogen: determinant numeric, condiția de soluție unică (sistem compatibil determinat) și mulțimea soluțiilor unui sistem omogen nedeterminat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție cu pătrate: calculul unei compuneri, o inegalitate demonstrată cu un pătrat perfect și o ecuație în numere naturale — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă paralelă cu $Ox$ și unicitatea rădăcinii: derivarea unui logaritm compus, condiția $f^{\prime }(x_0)=0$ și discuția semnului pe intervalele de monotonie — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și o limită cu integrală: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și regula lui l'Hôpital aplicată unei funcții definite printr-o integrală — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2023. Subiectul I este cel mai scurt dintre toate: cinci dintre cele șase cerințe se rezolvă în două rânduri, iar singura care cere o idee este itemul 5, unde perpendicularitatea trebuie arătată pentru orice valoare a parametrului — deci panta lui $OC$ nu are voie să depindă de el, ceea ce chiar se întâmplă. Subiectul al II-lea este cel mai „de clasa a XI-a" din întregul lot: problema 1 leagă o matrice de un sistem liniar omogen și cere, pe rând, un determinant, condiția de soluție unică și, la valoarea în care determinantul se anulează, descrierea tuturor soluțiilor. Problema 2 este construită în jurul unei singure idei — un pătrat perfect cu semn — folosită de două ori: la b) pentru inegalitate, la c) pentru ecuație. Subiectul al III-lea cere lanțul derivată → puncte cu tangentă orizontală → unicitatea rădăcinii, iar la problema 2 ultimul subpunct este singurul din lot în care apare o funcție definită printr-o integrală.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": numere întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\ln 2$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: perpendicularitatea afirmată fără produsul pantelor; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; condiția de soluție unică dată fără calculul determinantului; inegalitatea „demonstrată" prin verificare pe câteva valori; concluzia „soluție unică" fără limitele la capete și fără continuitate; limita cu integrală calculată fără verificarea cazului de nedeterminare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ se aplică și când unul dintre termeni este $i$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(m)=f(f(m))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații exponențiale: $a^{x+1}=a\cdot a^x$; se scoate factor comun $a^x$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Panta unei drepte prin două puncte: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte neverticale sunt perpendiculare exact când $m_1\cdot m_2=-1$. Trigonometrie: $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; un sistem liniar omogen are întotdeauna soluția nulă, iar el are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul. Când determinantul se anulează, sistemul are o infinitate de soluții, descrise cu un parametru.
• Legi de compoziție: un pătrat perfect cu semn, de forma $-3(x-1{)}^2\le 0$, demonstrează o inegalitate dintr-o singură mișcare. Ecuațiile în numere naturale se rezolvă prin descompunerea în factori a unei egalități de tipul $(m-2)(n-2)=4$.
• Derivate și tangente: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; tangenta la grafic în punctul de abscisă $x_0$ este paralelă cu axa $Ox$ exact când $f^{\prime }(x_0)=0$. Unicitatea rădăcinii: se combină monotonia pe intervale cu valorile funcției la capete și cu continuitatea.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; o funcție definită prin $G(x)={\int }_0^{x}g(t)dt$, cu $g$ continuă, este derivabilă și $G^{\prime }(x)=g(x)$ — de aici se poate aplica regula lui l'Hôpital.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=x+3$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{x}{5}-\ln (x^2+x+5)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{4x}{x^3+8}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ are două roluri: la itemul $5$ ea dă coordonatele punctului $C(2a,a)$ și trebuie să fie nenulă (altfel $C$ ar coincide cu originea și dreapta $OC$ n-ar exista); la itemul $7$ este parametrul matricei $A(a)$ și al sistemului, și acolo poate lua orice valoare reală. În rezolvarea itemului $9$, subpunctul b), am notat abscisa căutată cu $x_0$, tocmai ca să nu se ciocnească cu aceste două roluri.
• Literele $m$ și $n$: $m$ este necunoscuta la itemul $2$, iar la itemul $8$, subpunctul c), $(m,n)$ este o pereche de numere naturale nenule. La itemul $5$, $m_{AB}$ și $m_{OC}$ notează pante de drepte — a treia semnificație a literei în aceeași probă.
• Literele $x$, $y$ și $z$ sunt necunoscutele sistemului la itemul $7$, dar $x$ și $y$ sunt elemente ale mulțimii pe care e definită legea la itemul $8$, iar $x$ este variabila la itemii $9$ și $10$. La itemul $10$, subpunctul c), litera $t$ este variabila de integrare — o variabilă „mută", care nu are legătură cu $x$ din capătul integralei.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $(2-i{)}^2+i(4+i)=2$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ f)(m)=2m$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x+1}-3\cdot 5^x=10$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu $7$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(3,-2)$ și $C(2a,a)$, unde $a$ este număr real nenul. Arătați că dreptele $AB$ și $OC$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $a$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\sin x+4\cos \frac{x}{3}\sin \frac{2x}{3}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{2}\right)=4$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& 2a\\ 1& -2& a\\ 1& 1& 1-a\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}ax-y+2az=0\\ x-2y+az=0\\ x+y+(1-a)z=0\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) (5 puncte) Pentru $a=-1$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^2{y}^2-4(x+y{)}^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 1=-3$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\ast (-1)\le 2x$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m\le n$, pentru care $m\ast n=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{5}-\ln (x^2+x+5)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{x^3+8}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2(x^3+8)f(x)dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{4}xf(x)dx=4\ln 2$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}t\cdot f(t)dt\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2023; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac cele două bucăți: pătratul, cu formula $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, și produsul, distribuind pe $i$: $$(2-i{)}^2+i(4+i)=4-4i+i^2+4i+i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $-4i$ și $+4i$ se reduc, iar fiecare $i^2$ valorează $-1$, deci $$(2-i{)}^2+i(4+i)=4-1-1=2\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-4+4=0$, iar partea reală este $4+(-1)+(-1)=2$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $(2-i{)}^2=4+i^2$, uitând dublul produs; sau se ia $i^2=1$ și se ajunge la $6$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Compunerea se calculează dinăuntru în afară: mai întâi $f(m)=m+3$, apoi acest rezultat intră ca argument în a doua aplicare: $$(f\circ f)(m)=f(f(m))=f(m+3)=(m+3)+3=m+6,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $m+6=2m$, de unde $\mathbf{m}=6$ (2 p).

(Verificare: $f(6)=9$ și $f(9)=12=2\cdot 6$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(m)\cdot f(m)$ sau $2f(m)$ în loc de compunere — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs și nici dublu.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $5^{x+1}=5\cdot 5^x$, iar cei doi termeni devin asemenea: $$5\cdot 5^x-3\cdot 5^x=10,\text{ deci }2\cdot 5^x=10,\text{ de unde obținem }{5}^x=5\text{(3 p)}.$$ Funcția exponențială de bază $5$ fiind injectivă, exponenții coincid, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare în ecuația inițială: $5^2-3\cdot 5=25-15=10$. Unde se greșește de obicei: se scrie $5^{x+1}=5^x+5$, adică suma din exponent devine sumă — corect este că devine produs; sau se împarte greșit și se ajunge la $5^x=2$, care nu are soluție „frumoasă".)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cerința privește amândouă cifrele: fiecare poate fi doar $7$, $8$ sau $9$. Sunt așadar $3\cdot 3=9$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se cere condiția doar pentru una dintre cifre și se ajunge la $30$ de cazuri favorabile. Control prin enumerare: numerele favorabile sunt $77$, $78$, $79$, $87$, $88$, $89$, $97$, $98$, $99$ — exact nouă. Observație: aici cifra zecilor nu poate fi oricum $0$, deci restricția „nenulă" nu schimbă numărătoarea.)

Itemul 5. (5 p) — perpendicularitatea a două drepte, în reper cartezian.

Panta dreptei prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Pentru $A(0,4)$ și $B(3,-2)$: $$m_{AB}=\frac{-2-4}{3-0}=\frac{-6}{3}=-2\text{(2 p)}.$$ Dreapta $OC$ trece prin origine și prin $C(2a,a)$, cu $a$ nenul, deci $$m_{OC}=\frac{a-0}{2a-0}=\frac{1}{2},\text{ pentru orice numa˘r real nenul }a,$$ iar cum $m_{AB}\cdot m_{OC}=(-2)\cdot \frac{1}{2}=-1$, obținem că dreptele $AB$ și $OC$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $a$ (3 p).

(Cheia cerinței: panta lui $OC$ nu depinde de $a$ — parametrul se simplifică, tocmai pentru că $a$ este nenul. De aceea concluzia este valabilă pentru orice asemenea $a$: toate punctele $C(2a,a)$ se află pe aceeași dreaptă prin origine, cea de ecuație $y=\frac{x}{2}$. Unde se greșește de obicei: se verifică perpendicularitatea pentru o singură valoare a lui $a$, ceea ce nu demonstrează nimic; sau se calculează $m_{OC}=\frac{2a}{a}=2$, răsturnând raportul — panta are ordonatele la numărător.)

Itemul 6. (5 p) — valori ale funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{2}$, argumentele devin $\frac{x}{3}=\frac{\pi }{6}$ și $\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}$, iar valorile căutate sunt $$\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresie, produsul celor două radicale dă $\frac{3}{4}$: $$E\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+4\cdot \frac{3}{4}=1+3=4\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se confundă $\cos \frac{\pi }{6}$ cu $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$; cele două unghiuri sunt complementare, deci valorile lor se schimbă între sinus și cosinus. Control: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$, iar $4\cdot \frac{3}{4}=3$ — numărul întreg de care era nevoie ca rezultatul să iasă $4$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar omogen.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& -2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& -2& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, cele șase produse se reduc la unul singur: $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+0+0-0-0-(-1)\\ & =1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după coloana a treia, care are un singur element nenul: $\det (A(0))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -2\end{array}\right|=1\cdot (0+1)=1$ — aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Determinantul matricei sistemului este chiar $\det (A(a))$; dezvoltându-l după linia întâi și grupând termenii se obține un pătrat perfect: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& -1& 2a\\ 1& -2& a\\ 1& 1& 1-a\end{array}\right|\\ & =a^2+2a+1=(a+1{)}^2,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Un sistem liniar are soluție unică exact când determinantul matricei sale este nenul, iar $(a+1{)}^2=0$ doar pentru $a=-1$. Prin urmare sistemul are soluție unică dacă și numai dacă $$\mathbf{a}\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}\text{(3 p)}.$$ (Detaliul calculului: $a[(-2)(1-a)-a]+1\cdot [(1-a)-a]+2a[1+2]=a(a-2)+(1-2a)+6a=a^2+2a+1$. Observație importantă: sistemul este omogen, deci are întotdeauna soluția $(0,0,0)$; „soluție unică" înseamnă aici că singura soluție este cea nulă. Control: pentru $a=0$ determinantul este $(0+1{)}^2=1$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se scrie condiția $\Delta \ne 0$ ca $a\ne \pm 1$, uitând că $(a+1{)}^2$ are o singură rădăcină.)

c) (5 p) Pentru $a=-1$ determinantul se anulează, deci sistemul are o infinitate de soluții. Ecuațiile devin $-x-y-2z=0$, $x-2y-z=0$ și $x+y+2z=0$; prima și a treia sunt opuse, deci rămân două ecuații independente. Scăzându-le, $3y+3z=0$, adică $y=-z$, iar apoi $x=-z$; notând $z=\alpha$, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma $$(-\alpha ,-\alpha ,\alpha ),\text{ cu }\alpha \text{ numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ Condiția suplimentară devine $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3{\alpha }^2=3$, deci ${\alpha }^2=1$ și $\alpha =-1$ sau $\alpha =1$; soluțiile căutate sunt $$(1,1,-1)\text{ și }(-1,-1,1)\text{(3 p)}.$$ (Baremul oficial scrie, la primul pas, „cu $\alpha \in \mathbb{C}$"; este o scăpare de redactare — sistemul are coeficienți reali, necunoscutele sunt reale, iar baremul însuși rezolvă imediat $3{\alpha }^2=3$ peste $\mathbb{R}$, obținând doar $\pm 1$. Am scris $\alpha$ număr real. Verificare a primei soluții în toate cele trei ecuații, cu $a=-1$: $-1\cdot 1-1+2(-1)(-1)=-1-1+2=0$; $1-2\cdot 1+(-1)(-1)=1-2+1=0$; $1+1+2\cdot (-1)=0$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă sistemul ca și cum ar avea soluție unică și se conchide că singura soluție este cea nulă — dar ea nu verifică $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu pătrate.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x$ cu $0$ și $y$ cu $1$ în formula legii, cu grijă la paranteza ridicată la pătrat: $$0\ast 1=0^2\cdot 1^2-4(0+1{)}^2+1\text{(3 p)}.$$ Primul termen este nul, al doilea este $-4$, deci $$0\ast 1=0-4+1=-3\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $4(x+y{)}^2$ ca $4x^2+4y^2$ — pătratul unei sume nu se distribuie; aici, din întâmplare, ambele dau $4$, dar la $x=y=1$ prima formă dă $16$, iar a doua $8$. Control cu formula corectă: $1\ast 1=1-16+1=-14$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y$ cu $-1$ și se desfac parantezele: $$x\ast (-1)=x^2\cdot 1-4(x-1{)}^2+1=x^2-4x^2+8x-4+1=-3x^2+8x-3\text{(2 p)}.$$ Ideea este să se scoată un pătrat perfect cu semn: adunând și scăzând convenabil, $-3x^2+8x-3=-3x^2+6x-3+2x=-3(x^2-2x+1)+2x$, deci $$x\ast (-1)=-3(x-1{)}^2+2x\le 2x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)},$$ pentru că un pătrat este nenegativ, iar înmulțit cu $-3$ devine nepozitiv.

(Egalitate există: pentru $x=1$ avem $1\ast (-1)=-3\cdot 0+2=2=2\cdot 1$. Unde se greșește de obicei: se „demonstrează" inegalitatea verificând-o pe câteva valori — o verificare nu este o demonstrație; sau se studiază semnul trinomului $-3x^2+6x-3$ cu discriminantul, ceea ce merge, dar e mai lung: $\Delta =36-36=0$ și coeficientul dominant negativ dau același rezultat. Control numeric: pentru $x=4$, $4\ast (-1)=-48+32-3=-19\le 8$.)

c) (5 p) Condiția $m\ast n=1$ înseamnă $m^2{n}^2-4(m+n{)}^2+1=1$, adică $m^2{n}^2=4(m+n{)}^2$. Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, ambele părți sunt pătrate de numere pozitive, deci se poate extrage rădăcina: $mn=2(m+n)$, adică $$mn-2m-2n=0\text{(2 p)}.$$ Se adună $4$ în ambii membri, ca să se poată da factor comun: $mn-2m-2n+4=4$, adică $(m-2)(n-2)=4$. Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, cu $m\le n$, perechile sunt $$(3,6)\text{ și }(4,4)\text{(3 p)}.$$ (Discuția completă a factorizării — pe care baremul o lasă în seama cititorului: $m-2$ și $n-2$ sunt numere întregi cu produsul $4$ și cu $m-2\le n-2$, deci perechea lor este $(1,4)$, $(2,2)$, $(-4,-1)$ sau $(-2,-2)$. Ultimele două dau $m=-2$, respectiv $m=0$ — niciuna nu este număr natural nenul. Rămân $(m,n)=(3,6)$ și $(m,n)=(4,4)$. Verificare: $3\ast 6=9\cdot 36-4\cdot 81+1=324-324+1=1$ și $4\ast 4=256-4\cdot 64+1=1$. Unde se greșește de obicei: se uită condiția $m\le n$ și se dă și $(6,3)$, care este aceeași pereche.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă paralelă cu axa $Ox$ și unicitatea rădăcinii.

a) (5 p) Primul termen se derivează imediat, iar al doilea cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=x^2+x+5$ are derivata $u^{\prime }(x)=2x+1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{5}-\frac{2x+1}{x^2+x+5}\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor și reducând termenii asemenea: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+x+5-10x-5}{5(x^2+x+5)}=\frac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (De ce funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$: trinomul $x^2+x+5$ are $\Delta =1-20=-19<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $x$ — logaritmul are mereu sens, iar numitorul derivatei nu se anulează niciodată. Control numeric: $f^{\prime }(2)=\frac{4-18}{5\cdot 11}=-\frac{14}{55}\approx -0,2545$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-0,2545$. Unde se greșește de obicei: se derivează logaritmul ca $\frac{1}{x^2+x+5}$, uitând factorul $u^{\prime }$.)

b) (5 p) Tangenta la graficul unei funcții în punctul de abscisă $x_0$ are panta $f^{\prime }(x_0)$, iar axa $Ox$ are panta nulă; două drepte sunt paralele când au aceeași pantă. Prin urmare $$\text{tangenta ıˆn }(x_0,f(x_0))\text{ este paralela˘ cu axa }Ox⟺f^{\prime }(x_0)=0\text{(3 p)}.$$ Numitorul $5(x_0^2+x_0+5)$ este strict pozitiv, deci ecuația se reduce la numărător: $x_0^2-9x_0=0$, adică $x_0(x_0-9)=0$, de unde ${\mathbf{x}}_0=0$ sau ${\mathbf{x}}_0=9$ (2 p).

(Am notat abscisa cu $x_0$, nu cu $a$ ca în baremul oficial, ca să nu se ciocnească cu parametrul $a$ de la itemii $5$ și $7$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x_0$ și se pierde soluția $x_0=0$; sau se caută punctele în care tangenta este paralelă cu $Oy$, ceea ce ar însemna pantă infinită — imposibil pentru o funcție derivabilă pe $\mathbb{R}$. Control: $f^{\prime }(0)=0$ și $f^{\prime }(9)=\frac{81-81}{5\cdot 95}=0$.)

c) (5 p) Semnul derivatei este dat de numărătorul $x(x-9)$, pentru că numitorul este strict pozitiv. Așadar $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in (-\infty ,0]$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,0]$; $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in [0,9]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[0,9]$; prin urmare $$f(x)\le f(0),\text{ pentru orice }x\in (-\infty ,9]\text{(2 p)}.$$ Mai departe, $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (9,+\infty )$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(9,+\infty )$ și, cum $f(0)=-\ln 5<0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și funcția $f$ este continuă, obținem că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică (3 p).

(Cum se leagă cele două părți: pe $(-\infty ,9]$ toate valorile sunt cel mult $f(0)=-\ln 5\approx -1,609$, deci strict negative — acolo ecuația nu are nicio soluție. Pe $(9,+\infty )$ funcția urcă strict de la $f(9)=\frac{9}{5}-\ln 95\approx -2,754$ la $+\infty$, deci trece exact o dată prin zero. De ce limita este $+\infty$: termenul $\frac{x}{5}$ crește liniar, iar logaritmul crește mult mai încet decât orice funcție liniară. Control numeric: rădăcina se află în jurul lui $x\approx 26,6$, iar $f(26)\approx -0,12$ și $f(27)\approx 0,03$. Unde se greșește de obicei: se arată doar că funcția este strict crescătoare după $9$ și se uită jumătatea stângă, unde ar putea, în principiu, să existe încă o rădăcină.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și o limită cu integrală.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice calcul: factorul $x^3+8$ se reduce cu numitorul funcției, $${\int }_0^2(x^3+8)f(x)dx={\int }_0^2(x^3+8)\cdot \frac{4x}{x^3+8}dx={\int }_0^{2}4xdx=2x^2{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^2(x^3+8)f(x)dx=8-0=8\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[0,2]\subset (-2,+\infty )$ avem $x^3+8\ge 8>0$; capătul $-2$, exclus din domeniu, nu intră în interval. Control geometric: sub graficul lui $4x$ pe $[0,2]$ se află un triunghi dreptunghic cu catetele $2$ și $8$, deci aria este $8$.)

b) (5 p) De data aceasta integrandul devine $xf(x)=\frac{4x^2}{x^3+8}$, iar la numărător se recunoaște, până la un factor, derivata numitorului: $(x^3+8{)}^{\prime }=3x^2$. Se scoate factorul $\frac{4}{3}$ și se aplică formula $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$: $${\int }_1^{4}xf(x)dx=\frac{4}{3}{\int }_1^4\frac{(x^3+8{)}^{\prime }}{x^3+8}dx=\frac{4}{3}\ln (x^3+8){|}_1^4\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele și se folosește $\ln A-\ln B=\ln \frac{A}{B}$: $${\int }_1^{4}xf(x)dx=\frac{4}{3}(\ln 72-\ln 9)=\frac{4}{3}\ln 8=\frac{4}{3}\cdot 3\ln 2=4\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Modulul din formula primitivei dispare pentru că pe $[1,4]$ avem $x^3+8\ge 9>0$. Capetele sunt alese anume: $\frac{72}{9}=8=2^3$, deci logaritmul iese „curat". Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{4}{3}$ și se ajunge la $3\ln 2$; sau se scrie $\ln 72-\ln 9=\ln 63$, confundând scăderea logaritmilor cu logaritmul diferenței. Control numeric: $4\ln 2\approx 2,7726$, iar integrala calculată numeric dă $2,77259$.)

c) (5 p) Funcția $t\mapsto tf(t)$ este continuă pe un interval care conține originea, deci funcția $G(x)={\int }_0^{x}tf(t)dt$ este derivabilă, cu $G^{\prime }(x)=xf(x)$. Când $x\to 0$, atât $G(x)$, cât și $x^3$ tind la zero, deci este un caz de nedeterminare $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}tf(t)dt\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left({\int }_0^{x}tf(t)dt\right)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)}{3x^2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind $f$ și simplificând cu $x^2$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}tf(t)dt\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{3x^2(x^3+8)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{3(x^3+8)}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\text{(2 p)}.$$ (De ce numărătorul tinde la zero: integrala pe un interval care se strânge la un punct, dintr-o funcție mărginită, tinde la zero — verificarea cazului $\frac{0}{0}$ este obligatorie înaintea regulii lui l'Hôpital. Litera $t$ este variabilă de integrare, „mută": ${\int }_0^{x}tf(t)dt$ și ${\int }_0^{x}uf(u)du$ sunt același număr. Unde se greșește de obicei: se derivează integrala ca și cum ar fi o constantă, obținând $0$; sau se scoate $\frac{1}{x^3}$ înăuntrul integralei, ceea ce nu se poate — el nu depinde de variabila de integrare, dar integrala nu se împarte așa. Control numeric: pentru $x=10^{-4}$ expresia dă $0,16667$.)