Bac M1 2024, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2024 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: fiecare termen este media aritmetică a vecinilor, $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(5)$ pentru o funcție de gradul întâi, calculată dinăuntru în afară — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radicali de ordinul al treilea: ridicarea la cub, care este o transformare echivalentă — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Numărare pe cifre: alegerea cifrei unităților, apoi a cifrei zecilor, cu restricția „cifre distincte" — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: înmulțirea unui vector cu un scalar și egalitatea a doi vectori — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghiul dreptunghic cu unghi de $60^{\circ }$: cateta egală cu jumătate din ipotenuză, teorema lui Pitagora și aria — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Familie de matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, o identitate matriceală demonstrată prin calcul direct și folosirea ei de două ori într-o ecuație — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea care nu depinde de parametru, descompunerea prin factor comun și legătura dintre produsul rădăcinilor și $f(1)$ — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită și imaginea funcției: derivarea unui produs cu exponențială, o limită $\frac{\infty }{\infty }$ rezolvată prin factor comun forțat și citirea imaginii din tabelul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și limite cu integrale: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și teorema de derivare a integralei cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2024. Subiectul I nu are nicio cerință lungă, dar are două capcane de citire: la itemul $3$ radicalii sunt de ordinul al treilea, deci nu există condiție de existență și nici verificare obligatorie, iar la itemul $4$ restricția „cifre distincte" schimbă numărătoarea. Subiectul al II-lea este construit pe o singură idee, dar cerută de trei ori: familia $B(x)$ se comportă „aproape" ca o exponențială, iar identitatea de la subpunctul b) este unealta cu care se rezolvă subpunctul c) — cine o demonstrează și apoi o uită rămâne cu un calcul de matrice imposibil de dus la capăt. La polinoame, subpunctul c) cere ceea ce se pierde cel mai des: recunoașterea că $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$ este chiar $f(1)$. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, imaginea funcției — o cerință care nu se rezolvă cu o formulă, ci cu tabelul complet de variație plus limitele la capete; la problema 2, ultimul subpunct combină derivarea integralei cu capăt variabil și regula lui l'Hôpital.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $18\sqrt{3}$, $\frac{\ln 6}{2}$ și $[-e^2,+\infty )$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: numărarea cifrelor fără să se spună de ce cifra unităților se alege prima; egalitatea de vectori scrisă fără identificarea ambelor coordonate; identitatea $B(x)B(y)-B(x+y)=xyA$ „verificată" pe un exemplu în loc să fie demonstrată pentru orice $x$ și $y$; imaginea funcției scrisă fără limitele la capete; limita cu integrală calculată fără să se constate mai întâi cazul de nedeterminare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_{n+1}=a_n+r$, iar orice termen este media aritmetică a vecinilor: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$ — se calculează dinăuntru în afară. Radicali de ordinul al treilea: $\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{v}⟺u=v$, fără condiții de existență și fără soluții străine — spre deosebire de radicalul de ordinul al doilea. Numărare: când o cifră are restricții, ea se alege prima; „cifre distincte" scade cu unu numărul de alegeri rămase. Vectori: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}$, iar $k\vec{u}$ înmulțește ambele coordonate cu $k$. Triunghi dreptunghic: cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză; aria este semiprodusul catetelor.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; un determinant cu două linii identice este nul; o identitate „pentru orice $x$ și $y$" se demonstrează prin calcul simbolic, nu prin exemple.
• Polinoame: pentru un polinom monic, $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, deci $f(1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)$ — legătura dintre valorile polinomului și rădăcinile lui. Relațiile lui Viète dau $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$.
• Derivate și limite: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; $(e^{2x}{)}^{\prime }=2e^{2x}$; la o limită $\frac{\infty }{\infty }$ cu polinoame se dă factor comun puterea cea mai mare de la fiecare etaj. Imaginea unei funcții continue se citește din tabelul de variație: se reunesc intervalele de valori de pe fiecare ramură de monotonie, folosind limitele la capete.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; derivarea integralei cu capăt variabil, ${\left({\int }_0^{x}h(t)dt\right)}^{\prime }=h(x)$ pentru $h$ continuă — este forma sub care apare teorema fundamentală în probleme de limite.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x+2$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3+a{X}^2+X+2-a$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=(x^2-2)e^{2x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x^4+6x^2+1$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $A$ denumește patru obiecte diferite: mulțimea $A=\{1,2,3,7,9\}$ de la itemul $4$, punctul $A(2,1)$ din reper de la itemul $5$, vârful unghiului drept al triunghiului de la itemul $6$ și matricea $A$ de la itemul $7$. În redactarea noastră, aria se notează $\mathcal{S}$, deși baremul oficial scrie ${\mathcal{A}}_{ABC}$ la itemul $6$: cu litera $A$ deja folosită de trei ori, o a cincea semnificație ar fi fost de neurmărit.
• Litera $a$ apare cu indice la itemul $1$ — $a_1$, $a_2$, $a_3$ sunt termenii progresiei — și fără indice la itemul $8$, unde este parametrul real al polinomului. Cele două nu au nicio legătură: prima este o listă de numere, a doua un singur număr necunoscut.
• Litera $e$ apare doar la itemul $9$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru. Litera $x$ este parametru al matricei la itemul $7$ și, cu indici, rădăcină a polinomului la itemul $8$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, cu $a_2=14$ și $a_3=18$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Arătați că $(f\circ f)(5)=9$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2+2x+1}=\sqrt[3]{1-x}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,7,9\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,1)$. Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{OA}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $AB=\frac{BC}{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{2}^x& 0& 0\\ 0& 1& x\\ 0& x& 1\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (B(1))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(x)\cdot B(y)-B(x+y)=xyA$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=xA$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+X+2-a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=4$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a=2$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $(x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2)=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-2)e^{2x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+6x^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1(f(x)-6x^2)dx=\frac{12}{5}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}dx=\frac{\ln 6}{2}$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^x(f(2t)-f(t))dt\right)=6$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică fiecare termen este media aritmetică a vecinilor lui, deci $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}⟹14=\frac{a_1+18}{2}\text{(3 p)}.$$ Înmulțind cu $2$ se obține $a_1+18=28$, de unde $${\mathbf{a}}_1=10\text{(2 p)}.$$ (Control: rația este $r=a_3-a_2=4$, deci $a_1=a_2-r=14-4=10$ — același rezultat pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se folosește formula $a_n=a_1+(n-1)r$ fără să se calculeze mai întâi rația, sau se adună rația în loc să fie scăzută, mergând înapoi în progresie.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se lucrează dinăuntru în afară, deci prima dată se calculează valoarea din interior: $$f(5)=5+2=7\text{(2 p)}.$$ Acest rezultat intră ca argument în a doua aplicare a funcției: $$(f\circ f)(5)=f(f(5))=f(7)=7+2=9\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează $f(5)\cdot f(5)=49$ sau $2f(5)=14$ — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs și nu dublare. Observație: la o funcție de gradul întâi cu panta $1$, compunerea adaugă încă o dată termenul liber, deci $(f\circ f)(x)=x+4$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație cu radicali de ordinul al treilea.

Funcția radical de ordinul al treilea este bijectivă pe $\mathbb{R}$, deci două rădăcini cubice sunt egale exact când radicalii lor sunt egali. Ridicând la cub: $$x^2+2x+1=1-x,\text{ de unde }{x}^2+3x=0\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun: $x(x+3)=0$, deci $$\mathbf{x}=-3\text{ sau }\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=0$, ambii membri devin $\sqrt[3]{1}=1$; pentru $x=-3$, membrul stâng este $\sqrt[3]{9-6+1}=\sqrt[3]{4}$, iar cel drept $\sqrt[3]{1+3}=\sqrt[3]{4}$. Unde se greșește de obicei: se pune condiția de existență $x^2+2x+1\ge 0$ și se verifică soluțiile ca la radicalul de ordinul al doilea. La ordin impar radicalul este definit pentru orice număr real, iar ridicarea la cub este o transformare echivalentă — nu apar soluții străine. A doua capcană: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$.)

Itemul 4. (5 p) — numărare pe cifre.

Numărul trebuie să fie impar, deci se alege întâi cifra unităților, care are restricția cea mai strânsă: ea poate fi doar $1$, $3$, $7$ sau $9$, adică se poate alege în patru moduri (2 p).

Cifra zecilor se ia din aceeași mulțime, dar trebuie să fie diferită de cea a unităților, deci mai rămân patru posibilități din cele cinci; niciuna nu este $0$, deci toate dau numere de două cifre. Prin urmare $$4\cdot 4=16\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Control prin enumerare parțială: pentru cifra unităților $1$ se obțin $21$, $31$, $71$, $91$ — patru numere; la fel pentru fiecare dintre celelalte trei cifre impare, deci $16$ în total. Unde se greșește de obicei: se începe cu cifra zecilor, și atunci numărul de alegeri pentru unități depinde de ce s-a ales, ceea ce strică regula produsului; sau se uită condiția „distincte" și se obține $4\cdot 5=20$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Originea vectorului $\overrightarrow{OA}$ este chiar $O$, deci el are coordonatele punctului $A$. Notând $B(x_B,y_B)$: $$\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+\vec{j},\overrightarrow{AB}=(x_B-2)\vec{i}+(y_B-1)\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Înmulțirea cu $2$ dublează ambele coordonate, deci $2\overrightarrow{OA}=4\vec{i}+2\vec{j}$. Doi vectori sunt egali când au ambele coordonate egale, deci $x_B-2=4$ și $y_B-1=2$, de unde ${\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}=6$ și ${\mathbf{y}}_{\mathbf{B}}=3$ (2 p).

(Control: $\overrightarrow{AB}$ cu $B(6,3)$ are coordonatele $(4,2)$, exact dublul lui $(2,1)$. Observație geometrică: $O$, $A$ și $B$ sunt coliniare, iar $A$ împarte segmentul $OB$ în raportul $1:2$. Unde se greșește de obicei: se scrie $B$ ca dublul lui $A$, adică $B(4,2)$ — dar egalitatea este între vectori, iar $\overrightarrow{AB}$ pleacă din $A$, nu din $O$.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic și arie.

Din $AB=\frac{BC}{2}=6$ și din teorema lui Pitagora, $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=144-36=108$, deci $$AB=6,AC=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor: $$\mathcal{S}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ (Cateta egală cu jumătate din ipotenuză se opune unui unghi de $30^{\circ }$, deci unghiul $C$ măsoară $30^{\circ }$ și unghiul $B$ măsoară $60^{\circ }$ — triunghiul este „jumătatea" unui echilateral de latură $12$. Control numeric: $18\sqrt{3}\approx 31,18$, iar cea mai mare arie posibilă cu ipotenuza $12$ ar fi $36$, deci valoarea este plauzibilă. Unde se greșește de obicei: se ia $BC$ drept cateta și se aplică aria pe laturile greșite — ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $BC$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}B(1)& =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (B(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, $$\begin{array}{rl}& \det (B(1))\\ & =2+0+0-0-2-0=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Rezultatul se putea anticipa fără niciun calcul: liniile a doua și a treia ale lui $B(1)$ sunt identice, iar un determinant cu două linii egale este nul. Atenție la elementul din colț: el este $2^x$, adică o putere, deci pentru $x=1$ dă $2$, nu $2\cdot 1$ — confuzia se plătește la subpunctul b), unde exponentul face toată treaba.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Colțul din stânga sus adună exponenții, iar blocul de jos-dreapta se înmulțește ca o matrice de ordinul al doilea: $$\begin{array}{rl}& B(x)\cdot B(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{2}^{x+y}& 0& 0\\ 0& 1+xy& x+y\\ 0& x+y& xy+1\end{array}\right),\\ & B(x+y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{2}^{x+y}& 0& 0\\ 0& 1& x+y\\ 0& x+y& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scăzând element cu element rămân doar termenii în $xy$, chiar pe pozițiile în care $A$ are elemente nenule: $$\begin{array}{rl}& B(x)\cdot B(y)-B(x+y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& xy& 0\\ 0& 0& xy\end{array}\right)=xyA,\\ & \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din centru se obține înmulțind linia a doua a primei matrice, $(0,1,x)$, cu coloana a doua a celei de-a doua, $(0,1,y)$, adică $1\cdot 1+x\cdot y=1+xy$. Unde se greșește de obicei: se verifică identitatea pe câteva perechi de numere și se declară demonstrată. O egalitate „pentru orice $x$ și $y$" cere calcul simbolic. Control numeric: pentru $x=1$, $y=2$, produsul dă $\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 3& 3\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$, iar $B(3)+2A=\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 3& 3\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Identitatea de la subpunctul b), scrisă $B(u)\cdot B(v)=B(u+v)+uvA$, se aplică de două ori — o dată pentru $u=x$, $v=x+1$, o dată pentru $u=2x$, $v=1$: $$\begin{array}{rl}& B(x)\cdot B(x+1)\\ & =B(2x+1)+(x^2+x)A,\\ & B(2x)\cdot B(1)\\ & =B(2x+1)+2xA\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cei doi termeni $B(2x+1)$ se reduc la scădere, deci $B(x)\cdot B(x+1)-B(2x)\cdot B(1)=(x^2-x)A$. Ecuația devine $(x^2-x)A=xA$, adică $x^2-2x=0$, de unde $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Simplificarea cu $A$ este legitimă pentru că $A$ are elemente nenule, deci două multipli scalari ai lui $A$ sunt egali exact când scalarii coincid. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv produsele de matrice, ceea ce duce la expresii cu $2^{2x+1}$ imposibil de manevrat — subpunctul b) există tocmai ca să nu fie nevoie de asta. A doua capcană: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$; ambele valori găsite sunt răspunsuri ale cerinței.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3+a\cdot 1^2+1+2-a=1+a+1+2-a\text{(3 p)}.$$ Termenii $a$ și $-a$ se reduc, deci $f(1)=4$, oricare ar fi numărul real $a$ (2 p).

(Observație folositoare mai departe: $f(1)$ este suma coeficienților polinomului, iar aici ea nu depinde de parametru. Valoarea $4$ va reapărea, aparent din altă direcție, la subpunctul c) — nu este o coincidență, ci același număr privit prin forma descompusă.)

b) (5 p) Pentru $a=2$ termenul liber devine $2-2=0$, deci polinomul este $f=X^3+2X^2+X$ și se poate da factor comun $X$: $$f=X(X^2+2X+1)=X(X+1{)}^2\text{(2 p)}.$$ Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci rădăcinile sunt $${\mathbf{x}}_1={\mathbf{x}}_2=-1\text{ și }{\mathbf{x}}_3=0\text{(3 p)}.$$ (Rădăcina $-1$ este dublă, pentru că factorul $X+1$ apare la puterea a doua — în răspuns se scriu trei rădăcini, dintre care două egale, cum cere numărarea cu multiplicități. Control: suma rădăcinilor este $-1-1+0=-2$, iar din relațiile lui Viète ea trebuie să fie $-a=-2$. Unde se greșește de obicei: se dau doar două rădăcini, „$-1$ și $0$", pierzând multiplicitatea.)

c) (5 p) Se dă factor comun în fiecare paranteză: $x_k-x_k^2=x_k(1-x_k)$. Regrupând, produsul cerut se rupe în două bucăți pe care le știm din relațiile dintre rădăcini și coeficienți, respectiv din forma descompusă a polinomului monic: $$x_1{x}_2{x}_3=-(2-a)=a-2,(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1)=4\text{(3 p)},$$ deci produsul din enunț este $x_1{x}_2{x}_3(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=(a-2)f(1)$. Condiția devine $4(a-2)=4$, adică $a-2=1$, de unde $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(De ce $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1)$: polinomul este monic, deci $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, iar înlocuind $X$ cu $1$ se obține exact acest produs. Control numeric: pentru $a=3$ polinomul este $X^3+3X^2+X-1$, cu rădăcinile aproximativ $-2,414$, $-1$ și $0,414$; produsul $(x_1-x_1^2)(x_2-x_2^2)(x_3-x_3^2)$ iese $4$. Unde se greșește de obicei: se încearcă desfacerea produsului termen cu termen, care duce la o expresie de gradul al șaselea în rădăcini; gruparea $x_k(1-x_k)$ scurtează totul la două produse cunoscute.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită la infinit și imaginea funcției.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu $u(x)=x^2-2$ și $v(x)=e^{2x}$: $$f^{\prime }(x)=(x^2-2{)}^{\prime }{e}^{2x}+(x^2-2\left)\right(e^{2x}{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata exponențialei compuse aduce factorul $2$, iar apoi se dă factor comun $2e^{2x}$: $$f^{\prime }(x)=2x{e}^{2x}+(x^2-2)\cdot 2e^{2x}=2e^{2x}(x^2+x-2),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=2e^2\cdot 0=0$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $0$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(e^{2x}{)}^{\prime }=e^{2x}$, uitând derivata funcției dinăuntru. Observație: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, deci derivata are exact două rădăcini — de aici pornește subpunctul c).)

b) (5 p) Factorul $e^{2x}$ apare la ambele etaje și se simplifică, deci limita este a unui raport de polinoame de același grad, adică un caz $\frac{\infty }{\infty }$. Se dă factor comun puterea cea mai mare: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2}{2(x^2+x-2)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1-\frac{2}{x^2}\right)}{2x^2\left(1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}\text{(3 p)}.$$ Simplificând prin $x^2$ și trecând la limită, fiecare fracție cu $x$ la numitor tinde la zero: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=\frac{1-0}{2(1+0-0)}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^3$ raportul dă $0,49950$, iar pentru $x=10^6$ dă $0,4999995$ — apropierea de $\frac{1}{2}$ este lentă, de ordinul $\frac{1}{x}$, deci o verificare pe valori mici ar putea induce în eroare. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui l'Hôpital fără să se simplifice mai întâi exponențiala, ceea ce duce la derivate din ce în ce mai stufoase; sau se compară doar coeficienții dominanți, $1$ și $2$, fără să se scrie factorul comun — rezultatul e același, dar baremul cere pasul intermediar.)

c) (5 p) Monotonia. Din $f^{\prime }(x)=2e^{2x}(x+2)(x-1)$ și din faptul că $2e^{2x}>0$, semnul derivatei este semnul trinomului: $f^{\prime }(x)=0$ exact pentru $x=-2$ sau $x=1$; $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $(-\infty ,-2]$, deci $f$ este crescătoare acolo; $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $[-2,1]$, deci $f$ este descrescătoare; $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $[1,+\infty )$, deci $f$ este din nou crescătoare (3 p).

Imaginea. Limitele la capete și valorile în punctele de extrem sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0,f(-2)=2e^{-4}>0,f(1)=-e^2,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă. Cea mai mică valoare atinsă este $f(1)=-e^2$, iar funcția urcă de acolo nemărginit, deci imaginea funcției $f$ este $[-{\mathbf{e}}^2,+\infty )$ (2 p).

(De ce $f\to 0$ când $x\to -\infty$: exponențiala $e^{2x}$ tinde la zero mai repede decât crește $x^2-2$, deci produsul tinde la zero — prin valori pozitive, pentru că ambii factori sunt pozitivi departe la stânga. Cele trei ramuri dau, pe rând, valorile $(0,2e^{-4}]$, $[-e^2,2e^{-4}]$ și $[-e^2,+\infty )$, iar reuniunea lor este $[-e^2,+\infty )$. Unde se greșește de obicei: se răspunde $\mathbb{R}$, uitând că funcția are un minim global; sau se dă intervalul deschis la stânga, deși valoarea $-e^2$ este chiar atinsă, în $x=1$. Control numeric: $-e^2\approx -7,389$, iar pe o rețea deasă de valori între $-6$ și $3$ nicio valoare a funcției nu coboară sub acest prag.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și limită cu integrală.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice: $f(x)-6x^2=x^4+6x^2+1-6x^2=x^4+1$, deci $${\int }_{-1}^1(f(x)-6x^2)dx={\int }_{-1}^1(x^4+1)dx=\left(\frac{x^5}{5}+x\right){|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele și scăzând, $${\int }_{-1}^1(f(x)-6x^2)dx=\left(\frac{1}{5}+1\right)-\left(-\frac{1}{5}-1\right)=\frac{1}{5}+1+\frac{1}{5}+1=\frac{12}{5}\text{(2 p)}.$$ (Control prin paritate: integrandul $x^4+1$ este o funcție pară, deci integrala pe $[-1,1]$ este dublul celei pe $[0,1]$, adică $2\left(\frac{1}{5}+1\right)=\frac{12}{5}$ — același rezultat, cu jumătate din calcul. Unde se greșește de obicei: se uită semnul minus din capătul de jos și se adună în loc să se scadă.)

b) (5 p) Numitorul se simplifică: $f(x)-1=x^4+6x^2=x^2(x^2+6)$, deci integrandul se reduce la $\frac{x^3}{x^2(x^2+6)}=\frac{x}{x^2+6}$. Se recunoaște apoi derivata numitorului, $(x^2+6{)}^{\prime }=2x$: $${\int }_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}dx={\int }_1^6\frac{x}{x^2+6}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^6\frac{(x^2+6{)}^{\prime }}{x^2+6}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+6){|}_1^6\text{(3 p)}.$$ Modulul nu este necesar, pentru că $x^2+6>0$. Înlocuind capetele și folosind $\ln 42-\ln 7=\ln \frac{42}{7}=\ln 6$: $${\int }_1^6\frac{x^3}{f(x)-1}dx=\frac{\ln 42}{2}-\frac{\ln 7}{2}=\frac{\ln 6}{2}\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea prin $x^2$ este legitimă pe $[1,6]$, unde $x\ne 0$; capătul $0$ nici nu apare în intervalul de integrare. Unde se greșește de obicei: se integrează direct $\frac{x^3}{x^4+6x^2}$ fără simplificare, sau se uită factorul $\frac{1}{2}$ care ajustează numărătorul la derivata exactă a numitorului. Control numeric: $\frac{\ln 6}{2}\approx 0,8959$, iar integrala calculată numeric dă $0,89588$.)

c) (5 p) Atât integrala, cât și $x^3$ tind la zero când $x\to 0$, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital. Numărătorul este o integrală cu capăt variabil, iar derivata ei este chiar integrandul evaluat în capăt: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^3}{\int }_0^x(f(2t)-f(t))dt\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left({\int }_0^x(f(2t)-f(t))dt\right)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(2x)-f(x)}{3x^2}\text{(3 p)}.$$ Se calculează diferența: $f(2x)-f(x)=(16x^4+24x^2+1)-(x^4+6x^2+1)=15x^4+18x^2$, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{15x^4+18x^2}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }(5x^2+6)=6\text{(2 p)}.$$ (Termenii liberi ai celor două valori ale funcției se reduc — de aceea numărătorul are factor $x^2$ și simplificarea este posibilă. Unde se greșește de obicei: se scoate $\frac{1}{x^3}$ în fața limitei ca și cum ar fi o constantă, sau se derivează integrala „ca produs". Regula folosită este teorema fundamentală a calculului integral: pentru $h$ continuă, ${\left({\int }_0^{x}h(t)dt\right)}^{\prime }=h(x)$. Control numeric: pentru $x=10^{-3}$ expresia din enunț dă $6,000003$.)