Bac M1 2024, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2024 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 10, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi zecimali: $\lg 10=1$, $\lg 100=2$ și regula produsului $\lg a+\lg b=\lg (ab)$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea funcției în două puncte legate între ele și ecuația care rezultă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: regula $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinări: numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi, adică $C_n^2$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: doi vectori sunt egali când au aceleași coordonate — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghiul dreptunghic isoscel: un unghi ascuțit de $\frac{\pi }{4}$ face catetele egale, iar aria le leagă de datele problemei — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu parametru: determinantul unei matrice numerice, o ecuație matriceală rezolvată prin identificare și o inecuație între doi determinanți cu parametru natural — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcina care nu depinde de parametru, divizibilitatea cu $X+1$ și forma descompusă folosită pentru suma modulelor rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită și numărul soluțiilor: derivarea unui produs cu exponențială, regula lui l'Hôpital la un caz $\frac{0}{0}$ și tabelul de variație folosit ca instrument de numărare a soluțiilor — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ și aria subgraficului, cu integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2024. Subiectul I este, în întregime, „materie de clasa a IX-a și a X-a scrisă scurt": logaritmi, o funcție de gradul întâi, o ecuație exponențială, o numărătoare de submulțimi, o egalitate de vectori și un triunghi dreptunghic. Niciuna dintre cele șase cerințe nu cere mai mult de patru rânduri de calcul — dar fiecare are un pas pe care baremul îl punctează separat și pe care elevul grăbit îl sare. Subiectul al II-lea a pus la problema 1 o matrice cu parametru al cărei determinant se calculează simbolic, iar apoi o inecuație în numere naturale — o cerință de algebră deghizată în cerință de matrice; la problema 2, polinoamele apar cu cea mai frecventă întrebare a lor: descompunerea în factori și legătura dintre coeficienți și rădăcini. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un lanț derivată → limită → numărul soluțiilor, unde ultimul subpunct nu se rezolvă prin calcul, ci prin tabelul de variație; la problema 2, toate cele trei integrale se rezolvă abia după ce integrandul este rescris.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, mulțimi finite de numere naturale sau expresii de forma $\frac{4}{3}\ln 2$ și $\frac{3e^2+5}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: egalitatea a doi vectori scrisă fără să se spună că se identifică ambele coordonate; inecuația cu parametru natural rezolvată fără discuția cazului $n=0$; „polinomul este divizibil" afirmat fără să se calculeze valoarea în $-1$; concluzia „ecuația are două soluții" scrisă fără tabelul de variație și fără limitele la capete; aria dată ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: $\lg a+\lg b=\lg (ab)$, $\lg 10^k=k$; logaritmul zecimal este cel în baza $10$, iar $\lg$ se scrie fără bază. Funcții: $f(a)$ înseamnă „înlocuiesc $x$ cu $a$ în formula lui $f$", inclusiv când $a$ este el însuși o expresie. Ecuații exponențiale: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, iar din $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$, rezultă $u=v$. Combinări: numărul submulțimilor cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Vectori: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}$, iar doi vectori sunt egali când au ambele coordonate egale. Triunghi dreptunghic: aria este semiprodusul catetelor, iar un unghi ascuțit de $\frac{\pi }{4}$ îl face isoscel.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile.
• Polinoame: $f$ se divide cu $X-a$ exact când $f(a)=0$ (teorema lui Bézout); forma descompusă $f=a_0(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ pentru un polinom de gradul al treilea; gruparea termenilor este cea mai rapidă cale către descompunere.
• Derivate și limite: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$; regula lui l'Hôpital se aplică numai după ce s-a constatat cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$. Numărul soluțiilor unei ecuații $f(x)=0$ se citește din tabelul de variație: pe fiecare interval de strictă monotonie există cel mult o soluție, iar existența ei se decide comparând semnele valorilor de la capete.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x-6$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-2X^2-aX+2a$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{4x}{3x^2+1}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ și parametru la itemul $8$. La itemul $8$ ea este liberă la subpunctele a) și b), dar la subpunctul c) enunțul o restrânge la intervalul $(0,+\infty )$ — restricția face parte din cerință, nu din rezolvare.
• Litera $n$ apare doar la itemul $7$, subpunctul c), și înseamnă acolo un număr natural, nu un parametru real: tocmai de aceea inecuația are ca soluție o mulțime finită.
• Litera $A$ denumește trei obiecte: mulțimea $A=\{1,2,4,6,8,9\}$ la itemul $4$, punctul $A(3,1)$ din reper la itemul $5$ și vârful unghiului drept al triunghiului la itemul $6$. Litera $e$, în schimb, nu are nicio ambiguitate în această probă: apare doar la itemii $9$ și $10$ și înseamnă peste tot numărul lui Euler, baza logaritmului natural — proba nu conține nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru. În redactarea noastră, aria se notează $\mathcal{S}$, deși baremul oficial folosește pentru ea litera $\mathcal{A}$ la itemul $10$: la noi $A$ este deja luat.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\lg 100+\lg 2+\lg 5=5$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-6$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(3a)=0$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{3x}\cdot 5^2=5^x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea $A=\{1,2,4,6,8,9\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $18$ și $B=\frac{\pi }{4}$. Arătați că $AB=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$M(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 0\\ 0& x+2& x\\ 0& 2x& x+2\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(1))=7$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x)\cdot M(2)=M(x-1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2\det (M(n))\le \det (M(2n))$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-aX+2a$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(2)=0$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a=1$, arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X+1$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care $|x_1|+|x_2|+|x_3|=8$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2(x-1)(e^x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-e^x}=4$.

c) (5 puncte) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{3x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_3^{4}f(x)(3x^2+1)dx=14$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{4}{3}\ln 2$.

c) (5 puncte) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{4\ln x}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ este egală cu $\frac{3e^2+5}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — logaritmi zecimali.

Logaritmul zecimal al unei puteri a lui $10$ este chiar exponentul, iar suma a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul produsului: $$2\lg 100+\lg 2+\lg 5=2\cdot 2+\lg (2\cdot 5)=4+\lg 10\text{(3 p)}.$$ Cum $\lg 10=1$, rezultă $$2\lg 100+\lg 2+\lg 5=4+1=5\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $\lg 2+\lg 5=\lg 7$, adunând argumentele în loc să fie înmulțite. Control: $\lg 2\approx 0,301$ și $\lg 5\approx 0,699$, iar suma lor este $1$, nu $\lg 7\approx 0,845$. A doua capcană este $2\lg 100$: coeficientul $2$ înmulțește logaritmul, deci dă $4$, nu $\lg 200$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se înlocuiește pe rând $x$ cu $a$ și cu $3a$ în formula funcției: $$f(a)=a-6,f(3a)=3a-6\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$a-6+3a-6=0⟹4a=12⟹\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f(3)=-3$ și $f(9)=3$, iar suma lor este zero. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(3a)=3a-18$, ca și cum coeficientul $3$ ar înmulți tot ce urmează — corect este să înlocuiești $x$ cu $3a$ doar acolo unde apare $x$, iar termenul liber $-6$ rămâne neschimbat.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul stâng este un produs de puteri cu aceeași bază, deci exponenții se adună: $$5^{3x}\cdot 5^2=5^{3x+2},\text{ deci ecuația devine }{5}^{3x+2}=5^x⟹3x+2=x\text{(3 p)}.$$ Trecerea de la puteri la exponenți este permisă pentru că funcția exponențială de bază $5$ este injectivă. Rezolvând ecuația de gradul întâi: $$2x=-2⟹\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $x=-1$, membrul stâng este $5^{-3}\cdot 5^2=5^{-1}$, iar membrul drept tot $5^{-1}$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc exponenții în loc să fie adunați, sau se „simplifică" prin $5$, ceea ce nu are sens la puteri cu exponenți diferiți.)

Itemul 4. (5 p) — combinări.

Se numără întâi elementele care intră în discuție: numerele pare din mulțimea $A=\{1,2,4,6,8,9\}$ sunt $2$, $4$, $6$ și $8$, deci sunt patru (2 p).

O submulțime cu două elemente se alege fără a conta ordinea, deci numărul lor este o combinare: $$C_4^2=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{24}{4}=6\text{(3 p)}.$$ (Control prin enumerare: $\{2,4\}$, $\{2,6\}$, $\{2,8\}$, $\{4,6\}$, $\{4,8\}$, $\{6,8\}$ — chiar șase. Unde se greșește de obicei: se folosesc aranjamente, $A_4^2=12$, care numără și ordinea; într-o mulțime, $\{2,4\}$ și $\{4,2\}$ sunt aceeași submulțime.)

Itemul 5. (5 p) — egalitate de vectori în reper cartezian.

Coordonatele unui vector se obțin scăzând coordonatele originii din cele ale extremității. Notând $C(x_C,y_C)$: $$\overrightarrow{AC}=(x_C-3)\vec{i}+(y_C-1)\vec{j},\overrightarrow{OB}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}\text{(3 p)}.$$ Doi vectori sunt egali exact când au ambele coordonate egale, deci $x_C-3=3$ și $y_C-1=0$, de unde ${\mathbf{x}}_{\mathbf{C}}=6$ și ${\mathbf{y}}_{\mathbf{C}}=1$ (2 p).

(Control: $\overrightarrow{AC}$ cu $C(6,1)$ are coordonatele $(3,0)$, exact ca $\overrightarrow{OB}$. Unde se greșește de obicei: se confundă vectorul $\overrightarrow{OB}$ cu punctul $B$ și se scrie $C=B$; sau se uită că $O$ este originea, deci $\overrightarrow{OB}$ are chiar coordonatele lui $B$. Observație: din $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ rezultă că $OACB$ — în această ordine — este paralelogram.)

Itemul 6. (5 p) — triunghiul dreptunghic isoscel.

Unghiul drept este în $A$, iar unghiul $B$ măsoară $\frac{\pi }{4}$, adică $45^{\circ }$; atunci și unghiul $C$ măsoară tot $\frac{\pi }{4}$, deci triunghiul este isoscel și $$AB=AC\text{(2 p)}.$$ Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor, deci $$\frac{AB\cdot AC}{2}=18⟹\frac{A{B}^2}{2}=18⟹A{B}^2=36⟹\mathbf{AB}=6\text{(3 p)}.$$ (Se ia rădăcina pozitivă pentru că $AB$ este o lungime. Unde se greșește de obicei: se folosește ipotenuza în formula ariei — la un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt și bază, și înălțime una pentru cealaltă. Control: cu $AB=AC=6$, aria este $\frac{36}{2}=18$, iar ipotenuza iese $6\sqrt{2}\approx 8,49$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& M(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 2& 3\end{array}\right)⟹\det (M(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 2& 3\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (M(1))\\ & =9+0+0-0-0-2=7\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după prima linie, care are un singur element nenul: $\det (M(1))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=9-2=7$. Aceeași valoare — și un control gratuit al calculului lung. De reținut: prima linie a matricei $M(x)$ este $\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 0\end{array}\right)$ pentru orice $x$, deci trucul merge la orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se calculează întâi $M(2)$ și apoi produsul, după regula „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}& M(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 4& 2\\ 0& 4& 4\end{array}\right),M(x)\cdot M(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2x& 0& 0\\ 0& 8x+8& 6x+4\\ 0& 12x+8& 8x+8\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pe de altă parte, $M(x-1)=\left(\begin{array}{ccc}x-1& 0& 0\\ 0& x+1& x-1\\ 0& 2x-2& x+1\end{array}\right)$. Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid; din colțul din stânga sus, $2x=x-1$, de unde $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Verificare completă pentru $x=-1$: produsul devine $\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 0& -2\\ 0& -4& 0\end{array}\right)$, iar $M(-2)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 0& -2\\ 0& -4& 0\end{array}\right)$ — toate cele nouă poziții coincid, deci valoarea găsită convine. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc matricele „poziție cu poziție", ca la adunare; sau se scrie $M(x-1)$ înlocuind $x$ doar în primul element.)

c) (5 p) Determinantul se dezvoltă după prima linie, care are un singur element nenul: $$\begin{array}{rl}& \det (M(n))\\ & =n[(n+2{)}^2-2n\cdot n]\\ & =n(-n^2+4n+4),\det (M(2n))\\ & =2n(-4n^2+8n+4)\text{(2 p)},\end{array}$$ pentru orice număr natural $n$. Inecuația devine $$\begin{array}{rl}& 2n(-n^2+4n+4)\\ & \le 2n(-4n^2+8n+4)\\ & ⟺2n^2(3n-4)\\ & \le 0⟺n^2(3n-4)\le 0.\end{array}$$ Cum $n$ este număr natural, $n^2\ge 0$: pentru $n=0$ produsul este zero, deci inecuația se verifică; pentru $n\ge 1$ rămâne condiția $3n-4\le 0$, adică $n\le \frac{4}{3}$, deci $\mathbf{n}=0$ și $\mathbf{n}=1$ (3 p).

(Control numeric pe cele două valori de la graniță. Pentru $n=1$: $2\det (M(1))=14$, iar $\det (M(2))=2[(2+2{)}^2-2\cdot 2\cdot 2]=2(16-8)=16$, deci $14\le 16$ — se verifică. Pentru $n=2$: $2\det (M(2))=32$, iar $\det (M(4))=4[(4+2{)}^2-2\cdot 4\cdot 4]=4(36-32)=16$, deci $32\le 16$ este fals — nu se verifică, exact cum prezice inecuația. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $n$ fără să se discute cazul $n=0$ și se pierde o soluție; sau se uită că $n$ este natural și se dă ca răspuns tot intervalul $\left[0,\frac{4}{3}\right]$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $2$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $2$: $$f(2)=2^3-2\cdot 2^2-a\cdot 2+2a=8-8-2a+2a\text{(3 p)}.$$ Termenii se reduc doi câte doi, deci $f(2)=0$, oricare ar fi numărul real $a$ (2 p).

(Consecință folositoare mai departe: $2$ este rădăcină a polinomului pentru orice $a$, deci $f$ se divide cu $X-2$ indiferent de parametru — exact pe asta se sprijină subpunctul c). Gruparea care o arată direct: $f=X^2(X-2)-a(X-2)=(X-2)(X^2-a)$.)

b) (5 p) Pentru $a=1$ polinomul este $f=X^3-2X^2-X+2$. Un polinom se divide cu $X+1$ exact când $-1$ este rădăcina lui (teorema lui Bézout), deci se calculează valoarea în $-1$: $$f(-1)=(-1{)}^3-2(-1{)}^2-(-1)+2\text{(3 p)}.$$ Efectuând, $$f(-1)=-1-2+1+2=0,\text{ deci polinomul }f\text{ este divizibil cu }g=X+1\text{(2 p)}.$$ (Control prin descompunere: pentru $a=1$, $f=(X-2)(X^2-1)=(X-2)(X-1)(X+1)$ — factorul $X+1$ se vede direct. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(1)$ în loc de $f(-1)$; divizorul $X+1$ se anulează în $-1$, nu în $1$.)

c) (5 p) Din gruparea de la subpunctul a), $f=(X-2)(X^2-a)$. Pentru $a\in (0,+\infty )$, al doilea factor are rădăcinile $\pm \sqrt{a}$, deci $$x_1=2,x_2=\sqrt{a},x_3=-\sqrt{a},\text{ prin urmare }|x_1|+|x_2|+|x_3|=2+2\sqrt{a}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $2+2\sqrt{a}=8$, adică $\sqrt{a}=3$, de unde $\mathbf{a}=9$ (2 p).

(Control: pentru $a=9$ rădăcinile sunt $2$, $3$ și $-3$, iar suma modulelor este $2+3+3=8$. Unde se greșește de obicei: se folosesc relațiile lui Viète pentru suma rădăcinilor, care dă $x_1+x_2+x_3=2$ fără module, indiferent de $a$ — enunțul cere suma modulelor, iar modulul nu este liniar. A doua capcană: la $\sqrt{a}=3$ se ridică la pătrat și se obține $a=9$; soluția $a=-9$ nici nu se pune, pentru că enunțul cere $a$ pozitiv.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită și numărul soluțiilor unei ecuații.

a) (5 p) Primul termen este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu $u(x)=e^x$ și $v(x)=2x-4$: $$f^{\prime }(x)=e^x(2x-4)+2e^x+2x-2\text{(3 p)}.$$ Se grupează termenii cu exponențială și se dă factor comun: $$f^{\prime }(x)=e^x(2x-2)+2x-2=2(x-1)e^x+2(x-1)=2(x-1)(e^x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=2\cdot 1\cdot (e^2+1)\approx 16,78$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $16,78$. Unde se greșește de obicei: se derivează produsul ca produs al derivatelor, sau se uită derivata trinomului $x^2-2x+4$.)

b) (5 p) Se verifică întâi tipul limitei: $f(0)=1\cdot (-4)+0-0+4=0$ și $1-e^0=0$, deci avem un caz $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-e^x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{(1-e^x{)}^{\prime }}\text{(3 p)}.$$ Derivata numitorului este $-e^x$, iar derivata numărătorului a fost calculată la subpunctul a): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(x-1)(e^x+1)}{-e^x}=\frac{2(-1)(1+1)}{-1}=4\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^{-6}$ raportul dă $3,999997$, apropiat de $4$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui l'Hôpital fără să se constate cazul de nedeterminare — dacă numitorul nu tinde la zero, regula dă un rezultat fals. A doua capcană este semnul: derivata lui $1-e^x$ este $-e^x$, nu $e^x$.)

c) (5 p) Monotonia. Factorul $e^x+1$ este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$, deci semnul derivatei este dat de $x-1$: $f^{\prime }(x)=0$ exact pentru $x=1$, iar $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (-\infty ,1)$ și $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (1,+\infty )$. Prin urmare $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,1)$ și strict crescătoare pe $(1,+\infty )$ (2 p).

Numărul soluțiilor. Limitele la capete și valoarea în punctul de minim sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,f(1)=3-2e<0,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. Pe fiecare dintre cele două intervale de strictă monotonie funcția trece o singură dată prin valoarea zero, deci ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții (3 p).

(De ce $f\to +\infty$ când $x\to -\infty$: exponențiala $e^x$ tinde la zero mai repede decât crește $2x-4$ în valoare absolută, deci primul termen tinde la zero, iar trinomul $x^2-2x+4$ tinde la $+\infty$. Control numeric: $f(1)=3-2e\approx -2,437$, iar cele două soluții sunt $x=0$ — se vede direct, $f(0)=-4+4=0$ — și $x\approx 1,6767$. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea efectivă a ecuației, care nu are soluții exprimabile elementar; cerința este de numărare, nu de rezolvare, iar instrumentul este tabelul de variație.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și arie.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $3x^2+1$ se reduce cu numitorul funcției, $$f(x)(3x^2+1)=\frac{4x}{3x^2+1}\cdot (3x^2+1)=4x,\text{deci}{\int }_3^{4}f(x)(3x^2+1)dx={\int }_3^{4}4xdx=2x^2{|}_3^4\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_3^{4}f(x)(3x^2+1)dx=32-18=14\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $3x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci numitorul nu se anulează nicăieri — de aceea funcția $f$ este definită pe tot $\mathbb{R}$. Control numeric: aria de sub dreapta $y=4x$ între $3$ și $4$ este trapezul de baze $12$ și $16$ și înălțime $1$, adică $14$.)

b) (5 p) Se recunoaște la numărător derivata numitorului, până la un factor: $(3x^2+1{)}^{\prime }=6x$, iar $4x=\frac{2}{3}\cdot 6x$. Primitiva este atunci de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1\frac{4x}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}{\int }_0^1\frac{(3x^2+1{)}^{\prime }}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\ln (3x^2+1){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Modulul nu mai este necesar, pentru că $3x^2+1>0$. Înlocuind capetele, $${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{2}{3}\ln 4-\frac{2}{3}\ln 1=\frac{2}{3}\cdot 2\ln 2=\frac{4}{3}\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează raportul „ca un raport", cu logaritm la numitor; sau se uită factorul $\frac{2}{3}$ care ajustează numărătorul la derivata exactă a numitorului. Control numeric: $\frac{4}{3}\ln 2\approx 0,9242$, iar integrala calculată numeric dă $0,92420$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit, împărțind la fracția $f(x)$, adică înmulțind cu inversa ei: $$g(x)=\frac{4\ln x}{f(x)}=4\ln x\cdot \frac{3x^2+1}{4x}=\frac{(3x^2+1)\ln x}{x}=3x\ln x+\frac{\ln x}{x},x\in (0,+\infty ).$$ Pe intervalul $[1,e]$ avem $\ln x\ge 0$, iar ceilalți factori sunt strict pozitivi, deci $g$ este continuă și nenegativă acolo: aria este chiar integrala, fără modul. Primul termen se integrează prin părți, cu $(x^2{)}^{\prime }=2x$, iar al doilea se recunoaște ca $\int u^{\prime }udx$ cu $u=\ln x$: $$\mathcal{S}={\int }_1^{e}g(x)dx=3{\int }_1^e{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\ln xdx+\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e=3\left(\frac{x^2\ln x}{2}{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x}{2}dx\right)+\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Se duce calculul până la capăt: $$\mathcal{S}=3\left(\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}\right){|}_1^e+\frac{1}{2}=3\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3e^2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3{\mathbf{e}}^2+5}{4}\text{(2 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Unde se greșește de obicei: se împarte la $f(x)$ „pe verticală", uitând că împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei; a doua capcană este integrarea prin părți cu alegerea greșită a factorului care se derivează — logaritmul se derivează, puterea se integrează, altfel calculul se complică. Control numeric: $\frac{3e^2+5}{4}\approx 6,7918$, iar integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $6,79179$.)