Bac M1 2024, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2024 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat pentru sesiunile de bacalaureat din 2024. Modelul nu este o variantă extrasă la examen — el este documentul prin care Ministerul anunță, înaintea anului școlar, structura, tipurile de cerințe și nivelul de dificultate ale probei; se rezolvă exact ca un subiect real și este primul lucru de făcut când începi pregătirea pentru o sesiune. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe poziții, cu restricția de paritate a cifrei zecilor — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: suma a doi vectori de poziție, scrisă în coordonate — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghi și înălțime: descompunerea într-un triunghi dreptunghic isoscel și unul cu laturile $3$, $4$, $5$ — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Familie de matrice și ecuație matriceală: determinantul unei matrice cu multe zerouri, o relație funcțională de tipul $A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3$ și consecința ei — fiecare matrice a familiei este propria inversă — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: compusul a două numere, elementul neutru verificat în ambele ordini și o funcție care „duce legea în lege" — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă oblică, bijectivitate: derivarea unui cât cu exponențială, procedura în trei pași a asimptotei oblice, injectivitate din monotonie și surjectivitate din limite plus continuitate — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, recunoașterea unei primitive de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u^2}$ și diferența a două integrale dintr-un șir — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2024. Subiectul I este scurt și fără calcule lungi, dar itemul $6$ nu se rezolvă cu o singură formulă: înălțimea taie triunghiul în două triunghiuri dreptunghice, unul isoscel (din unghiul de $45^{\circ }$) și unul „$3$–$4$–$5$". Subiectul al II-lea este cel mai elegant al probei: relația de la $7$b) are drept consecință imediată faptul că fiecare matrice a familiei este propria inversă, iar de aici ecuația matriceală de la $7$c) se rezolvă fără nicio inversare de matrice; la problema 2, subpunctul c) cere să arăți că funcția $f(x)=3+\sqrt{x-3}$ transformă legea în ea însăși. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul complet derivată → asimptotă → bijectivitate, iar la problema 2 un șir de integrale în care diferența $I_n-I_{n+4}$ este aleasă tocmai ca să apară factorul $1-x^4$, divizibil cu $x^2+1$.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $55$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{2}{(n+2)(n+4)}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; ecuația matriceală „rezolvată" prin împărțire la matrice; elementul neutru verificat într-o singură ordine; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; concluzia „este bijectivă" fără ambele jumătăți (injectivă și surjectivă).
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; se calculează ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Punct pe grafic: $A(x_A,y_A)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f\left(x_A\right)=y_A$. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu condițiile $u>0$ și $v>0$ verificate la final. Combinatorică: regula produsului, începând cu poziția cea mai constrânsă. Vectori în coordonate: suma a doi vectori are drept coordonate sumele coordonatelor.
• Matrice: o relație de forma $A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3$, scrisă pentru $b=a$, dă $A(a{)}^2=I_3$ — deci fiecare matrice a familiei este propria inversă. Într-o ecuație $P\cdot X\cdot Q=I_3$ se înmulțește la stânga cu $P^{-1}$ și la dreapta cu $Q^{-1}$, în această ordine; matricele nu se „împart".
• Legi de compoziție: elementul neutru $e$ se verifică în ambele ordini, $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$. Pentru legile de forma $x\circ y=m(x-a)(y-a)+a$, forma factorizată dă imediat neutrul și simetricul.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ și $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$; procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. Bijectivitate: strict monotonă $\Rightarrow$ injectivă; continuă, cu limitele la capete egale cu capetele codomeniului $\Rightarrow$ surjectivă.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^2}dx=-\frac{1}{u}+\mathcal{C}$; iar pentru șirurile de integrale, combinația cerută se alege ca să simplifice numitorul — aici $1-x^4=(1-x^2)(1+x^2)$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere și aceleași semne în locuri diferite:

• Semnul $\circ$ de la itemul $8$ este legea de compoziție, nu compunerea funcțiilor. La subpunctul c) apare și o funcție, $f:M\to M$, iar cerința $f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)$ folosește semnul $\circ$ de trei ori cu același înțeles: cel al legii definite în enunț. Nicăieri în această probă nu se compun funcții.
• Litera $e$ are două înțelesuri diferite: la itemul $8$, subpunctul b), $e$ este elementul neutru al legii și valorează $\frac{7}{2}$; la itemul $9$, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, care apare în $e^{-x}$. Regula de citire: în algebră, elementul neutru; în analiză, numărul lui Euler.
• Litera $f$ denumește patru funcții diferite: $f(x)=x^2+ax-a$ de la itemul $2$, $f(x)=3+\sqrt{x-3}$ de la itemul $8$, subpunctul c), $f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x}{(x^2+1{)}^2}$ de la itemul $10$. Fiecare item se citește separat.
• Litera $A$ apare cu patru roluri: mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$ la itemul $4$, punctul $A(3,-3)$ la itemul $2$ și $A(0,3)$ la itemul $5$, vârful $A$ al triunghiului la itemul $6$ și matricea $A(a)$ la itemul $7$. Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ și parametru al familiei de matrice la itemul $7$, iar litera $m$ este parametrul legii de compoziție la itemul $8$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $2(1-2i)+i(4+i)=1$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax-a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(3,-3)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x^2+8)={\log }_2(8-2x)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4,5\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB=5$, $C=\frac{\pi }{4}$ și înălțimea $AD=4$. Arătați că $BC=7$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ a& -1& a\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[3,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=m(x-3)(y-3)+3$, unde $m\in (0,+\infty )$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\circ 5=3$, pentru orice $m\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că $e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Se consideră funcția $f:M\to M$, $f(x)=3+\sqrt{x-3}$. Pentru $m=1$, arătați că $f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)$, pentru orice $x$, $y\in M$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2+x{e}^{-x}}{(x-1{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{(x^2+1{)}^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{3}f(x)(x^2+1{)}^{2}dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{xf(x)}dx$. Arătați că $I_n-I_{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului publicat pentru sesiunile din 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac cele două paranteze, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $-4i$ și $+4i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$2(1-2i)+i(4+i)=2-1=1\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-4+4=0$, iar partea reală $2+(-1)=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se uită distribuirea lui $i$ peste ambii termeni din $4+i$.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții de gradul al doilea.

Un punct aparține graficului unei funcții exact când coordonatele lui verifică formula funcției, deci se înlocuiește $x$ cu $3$ și se cere valoarea $-3$: $$f(3)=3^2+a\cdot 3-a=9+3a-a=9+2a\text{(3 p)}.$$ Condiția $f(3)=-3$ devine o ecuație de gradul întâi în $a$: $$9+2a=-3⟹2a=-12⟹\mathbf{a}=-6\text{(2 p)}.$$ (Verificare: cu $a=-6$, $f(x)=x^2-6x+6$, iar $f(3)=9-18+6=-3$. Unde se greșește de obicei: se uită că parametrul apare de două ori, cu semne diferite — la $3a$ și la $-a$ — deci coeficientul lui $a$ este $2$, nu $3$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică de bază $2$ este injectivă, deci egalitatea logaritmilor înseamnă egalitatea argumentelor: $$x^2+8=8-2x⟹x^2+2x=0\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $x$, deci $x(x+2)=0$ și rădăcinile sunt $x=-2$ sau $x=0$. Condițiile de existență cer $x^2+8>0$ — adevărat pentru orice $x$ — și $8-2x>0$, adică $x<4$; ambele rădăcini sunt mai mici decât $4$, deci amândouă convin (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația la $x$, pierzând soluția $x=0$; sau se sar condițiile de existență. Control: pentru $x=-2$ ambele argumente valorează $12$, iar pentru $x=0$ ambele valorează $8$ — logaritmii sunt egali, cum trebuie.)

Itemul 4. (5 p) — numărare pe poziții, cu regula produsului.

Cifra zecilor trebuie să fie pară, iar din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$ sunt pare doar $2$ și $4$, deci ea se poate alege în două moduri (2 p).

Cifrele trebuie să fie distincte, deci pentru fiecare alegere a cifrei zecilor rămân patru cifre disponibile pentru unități; prin regula produsului, $$2\cdot 4=8\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Se începe cu poziția cea mai constrânsă — aici zecile. Unde se greșește de obicei: se numără $2\cdot 5=10$, uitând condiția „cifre distincte", sau se acceptă cifra $0$ la zeci, deși $0\notin A$. Control: numerele sunt $21,23,24,25,41,42,43,45$ — exact opt.)

Itemul 5. (5 p) — suma a doi vectori de poziție, în coordonate.

Un vector care pleacă din origine are drept coordonate chiar coordonatele vârfului său, deci $$\overrightarrow{OA}\text{ are coordonatele }(0,3),\overrightarrow{OB}\text{ are coordonatele }(4,0)\text{(2 p)}.$$ Suma a doi vectori are drept coordonate sumele coordonatelor, iar $\overrightarrow{OC}$ are coordonatele lui $C$, deci $$\overrightarrow{OC}\text{ are coordonatele }(0+4,3+0)=(4,3),\text{ adica˘ }\mathbf{C}(4,3)\text{(3 p)}.$$ (Interpretare geometrică: $OACB$ este un dreptunghi, pentru că $\overrightarrow{OA}$ și $\overrightarrow{OB}$ sunt așezate pe cele două axe — regula paralelogramului dă chiar al patrulea vârf. Unde se greșește de obicei: se adună „încrucișat", $(0+0,3+4)$, sau se scad coordonatele în loc să fie adunate.)

Itemul 6. (5 p) — înălțimea taie triunghiul în două triunghiuri dreptunghice.

Piciorul înălțimii din $A$ este $D$, situat pe latura $BC$, iar triunghiul fiind ascuțitunghic, $D$ se află între $B$ și $C$. În triunghiul $ADC$, dreptunghic în $D$, unghiul $C$ are măsura $\frac{\pi }{4}$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel și $$DC=\frac{AD}{\mathrm{tg}C}=\frac{4}{1}=4\text{(2 p)}.$$ În triunghiul $ADB$, dreptunghic în $D$, se cunosc ipotenuza $AB=5$ și cateta $AD=4$, deci cu teorema lui Pitagora $$BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{25-16}=3,\text{ de unde }BC=BD+DC=3+4=7\text{(3 p)}.$$ (Control: cu $B(0,0)$, $D(3,0)$, $C(7,0)$ și $A(3,4)$ se obține $AB=5$, unghiul $C$ de $45^{\circ }$ și unghiul $A$ de aproximativ $81,87^{\circ }$ — triunghiul este într-adevăr ascuțitunghic. Unde se greșește de obicei: se scrie $BC=DC-BD$, ceea ce ar fi corect doar dacă $D$ ar cădea în afara segmentului $BC$ — la un triunghi ascuțitunghic nu se întâmplă asta; a doua capcană este să se caute $BD$ cu teorema lui Pitagora scriind $A{B}^2+A{D}^2$, deși $AB$ este ipotenuza.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice și ecuație matriceală.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, cele șase produse dau $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =0+0+0-(-1)-0-0\\ & =1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul instantaneu este dezvoltarea după prima linie, care are un singur element nenul: $1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1\cdot (0+1)=1$ — aceeași valoare, cu un singur determinant de ordinul al doilea de calculat.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Prima și a treia linie a lui $A(a)$ selectează linii întregi din $A(b)$, iar linia a doua produce diferența parametrilor: $$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a-b& 1& a-b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se calculează separat membrul drept, element cu element; pe poziția din mijloc, $-1-(-1)+1=1$: $$\begin{array}{rl}& A(a)-A(b)+I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a-b& 1& a-b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=A(a)\cdot A(b),\\ & \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul de pe linia a doua, coloana întâi, este $a\cdot 0+(-1)\cdot b+a\cdot 1=a-b$; cel de pe linia a doua, coloana a doua, este $a\cdot 0+(-1)(-1)+a\cdot 0=1$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție"; sau se uită $+I_3$ din membrul drept, care este exact ce transformă $-1$ în $1$ pe diagonală.)

c) (5 p) Relația de la subpunctul b), scrisă pentru $b=a$, dă o consecință care rezolvă singură problema: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(a)\\ & =A(a)-A(a)+I_3\\ & =I_3,\text{ deci }(A(a){)}^{-1}\\ & =A(a)\text{ pentru orice }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ Fiecare matrice a familiei este deci propria inversă. Înmulțind ecuația $A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3$ la stânga cu $A(1)$ și la dreapta cu $A(0)$ se obține $X=A(1)\cdot A(0)$, iar cu relația de la b), $$\begin{array}{rl}X& =A(1)-A(0)+I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare directă: $A(1)\cdot X\cdot A(0)=A(1)\cdot A(1)\cdot A(0)\cdot A(0)=I_3\cdot I_3=I_3$. Unde se greșește de obicei: se „împarte" la matrice, operație care nu există; ordinea înmulțirii contează, deci inversa lui $A(1)$ se pune la STÂNGA, iar inversa lui $A(0)$ la DREAPTA. Observație: $\det (A(a))=1$ pentru orice $a$ — se vede din $(A(a){)}^2=I_3$ și din calculul de la subpunctul a).)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe un interval.

a) (5 p) Se înlocuiesc direct cele două numere în formula legii: $$3\circ 5=m(3-3)(5-3)+3=m\cdot 0\cdot 2+3\text{(3 p)}.$$ Primul factor fiind nul, tot produsul se anulează, oricare ar fi $m\in (0,+\infty )$: $$3\circ 5=0+3=3\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare: numărul $3$ „înghite" orice partener, adică $3\circ y=3$ pentru orice $y\in M$ — el este element absorbant, nu element neutru. Unde se greșește de obicei: se calculează $m\cdot 3\cdot 5$, adică se uită scăderile din paranteze.)

b) (5 p) Pentru $m=2$ legea este $x\circ y=2(x-3)(y-3)+3$. Un număr $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x\in M$; se verifică ambele ordini. Întâi compunerea la dreapta: $$x\circ \frac{7}{2}=2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3=2(x-3)\cdot \frac{1}{2}+3=x-3+3=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Apoi compunerea la stânga, care se face la fel, pentru că factorii se pot rearanja: $$\frac{7}{2}\circ x=2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3=x-3+3=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(3 p)},$$ deci $e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

(De unde vine $\frac{7}{2}$: neutrul trebuie să facă produsul $m(e-3)$ egal cu $1$, adică $e-3=\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$. Se verifică și că $\frac{7}{2}\in M$, adică $\frac{7}{2}\ge 3$ — altfel neutrul n-ar aparține mulțimii. Unde se greșește de obicei: se verifică o singură ordine, la o lege care nu a fost demonstrată comutativă.)

c) (5 p) Pentru $m=1$ legea este $x\circ y=(x-3)(y-3)+3$. Se calculează separat cei doi membri. La stânga, sub radical rămâne exact produsul, pentru că $+3$ se reduce cu $-3$: $$f(x\circ y)=3+\sqrt{(x-3)(y-3)+3-3}=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}\text{(2 p)}.$$ La dreapta, fiecare paranteză este chiar câte un radical, iar produsul a doi radicali de numere nenegative este radicalul produsului: $$f(x)\circ f(y)=(f(x)-3)(f(y)-3)+3=\sqrt{x-3}\cdot \sqrt{y-3}+3=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}=f(x\circ y),$$ $$\text{pentru orice }x,y\in M\text{(3 p)}.$$ (De ce este legitim $\sqrt{u}\sqrt{v}=\sqrt{uv}$: pe $M=[3,+\infty )$ avem $x-3\ge 0$ și $y-3\ge 0$, iar regula cere ambele numere nenegative. Control numeric: pentru $x=7$ și $y=12$, $x\circ y=4\cdot 9+3=39$, deci $f(39)=3+6=9$; iar $f(7)=5$, $f(12)=6$, deci $f(7)\circ f(12)=2\cdot 3+3=9$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se confundă semnul $\circ$ cu compunerea funcțiilor; aici el este, de fiecare dată, legea din enunț.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și bijectivitate.

a) (5 p) Al doilea termen este un cât, deci se derivează cu formula ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u(x)=e^{-x}$ are derivata $-e^{-x}$, iar $v(x)=x-1$ are derivata $1$: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1{)}^2}=1+\frac{e^{-x}(x-1)+e^{-x}}{(x-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător se dă factor comun $e^{-x}$, iar $(x-1)+1=x$; aducând apoi totul la același numitor: $$f^{\prime }(x)=1+\frac{x{e}^{-x}}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2+x{e}^{-x}}{(x-1{)}^2},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=3$, formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{4+3e^{-3}}{4}\approx 1,0373$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $1,0373$. Unde se greșește de obicei: se pierde un semn — funcția are $-\frac{e^{-x}}{x-1}$, deci derivata câtului se scade, iar derivata lui $e^{-x}$ aduce încă un minus; cele două minusuri dau plus.)

b) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)}\right)=1-0=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(3 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0\in \mathbb{R},$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(De ce $\frac{e^{-x}}{x-1}\to 0$: numărătorul tinde la zero, iar numitorul la $+\infty$ — nu există niciun caz de nedeterminare. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ înaintea lui $m$, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$; ordinea și capătul sunt punctate separat. Control numeric: $f(10)-10=-\frac{e^{-10}}{9}\approx -0,000005$, practic zero.)

c) (5 p) Injectivitatea. Din subpunctul a), pentru orice $x\in (1,+\infty )$ avem $(x-1{)}^2>0$ și $x{e}^{-x}>0$, deci $f^{\prime }(x)>0$. Așadar $f$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty )$, deci injectivă (2 p).

Surjectivitatea. Limitele la capetele domeniului sunt $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=1-\frac{e^{-1}}{0^{+}}=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă pe $(1,+\infty )$, fiind compusă din funcții elementare. O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele de la capete, deci imaginea lui $f$ este chiar $\mathbb{R}$, adică $f$ este surjectivă; fiind și injectivă, $f$ este bijectivă (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie „este strict crescătoare, deci bijectivă". Stricta monotonie dă doar injectivitatea; pentru surjectivitate trebuie arătat că imaginea acoperă tot codomeniul, iar asta cere limitele plus continuitatea. Control: $f(1,01)=1,01-\frac{e^{-1,01}}{0,01}\approx -35,4$, iar $f(10)\approx 10$ — valorile chiar mătură toată axa reală.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $(x^2+1{)}^2$ se reduce cu numitorul funcției, $$f(x)(x^2+1{)}^2=\frac{x}{(x^2+1{)}^2}\cdot (x^2+1{)}^2=x,\text{deci}{\int }_1^{3}f(x)(x^2+1{)}^{2}dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_1^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^{3}f(x)(x^2+1{)}^{2}dx=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+1\ge 1>0$. Control geometric: este aria trapezului de sub dreapta $y=x$ pe $[1,3]$, cu bazele $1$ și $3$ și înălțimea $2$, adică $\frac{(1+3)\cdot 2}{2}=4$.)

b) (5 p) Numărătorul $x$ este jumătate din derivata numitorului, $(x^2+1{)}^{\prime }=2x$, deci integrandul are forma $\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\prime }}{u^2}$, a cărei primitivă este $-\frac{1}{2u}$: $${\int }_0^1\frac{x}{(x^2+1{)}^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{(x^2+1{)}^2}dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele: $${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{1}{2\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se ia primitiva drept $\ln (x^2+1)$ — acela ar fi cazul $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu numitorul la puterea întâi; aici exponentul este $2$. A doua capcană este semnul: primitiva $-\frac{1}{2u}$ este negativă la ambele capete, iar diferența iese totuși pozitivă. Control numeric: integrala calculată numeric dă $0,25000$.)

c) (5 p) Se simplifică întâi sub radical: $xf(x)=\frac{x^2}{(x^2+1{)}^2}$, iar pe intervalul $[0,1]$ atât $x$, cât și $x^2+1$ sunt pozitive, deci radicalul se scoate fără modul și $$I_n={\int }_0^1{x}^n\cdot \frac{x}{x^2+1}dx={\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+1}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(2 p)}.$$ Diferența cerută aduce la numărător factorul $1-x^4$, care se descompune și se simplifică cu numitorul: $$I_n-I_{n+4}={\int }_0^1\frac{x^{n+1}(1-x^4)}{x^2+1}dx={\int }_0^1\frac{x^{n+1}(1-x^2)(1+x^2)}{x^2+1}dx={\int }_0^1(x^{n+1}-x^{n+3})dx,$$ $$\text{deci}{I}_n-I_{n+4}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}=\frac{(n+4)-(n+2)}{(n+2)(n+4)}=\frac{2}{(\mathbf{n}+2)(\mathbf{n}+4)}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se sare peste justificarea $\sqrt{u^2}=|u|$ — aici modulul dispare pentru că pe $[0,1]$ raportul este nenegativ, dar motivul trebuie scris. A doua capcană este descompunerea: $1-x^4$ este o diferență de pătrate, $(1-x^2)(1+x^2)$, iar al doilea factor este exact numitorul. Control numeric: pentru $n=1$, diferența calculată numeric dă $0,133333$, iar $\frac{2}{3\cdot 5}=\frac{2}{15}=0,133333$.)