Bac M1 2024, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2024 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial al simulării naționale a examenului de bacalaureat din 2024, proba E. c), Matematică M_mate-info — proba dată de toți elevii de clasa a XII-a, în martie 2024, în condiții de examen. Documentul oficial nu poartă număr de variantă, ci doar mențiunea Simulare. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în simularea din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi zecimali: $\lg \frac{1}{10}=-1$ și $\lg \sqrt{10}=\frac{1}{2}$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(1)$ pentru o funcție de gradul al doilea cu parametru, care duce la o ecuație bipătrată simplă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea tuturor puterilor la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu pătratele perfecte dintr-un interval — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: suma a doi vectori și înmulțirea cu un scalar — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$ — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, semnul unui determinant cu parametru și o ecuație matriceală cu inversă — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție: verificarea unei valori, elementul neutru și o ecuație în numere naturale care se reduce la o sumă de două pătrate — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie și unicitatea soluției: derivarea unui produs cu radical, tabelul de variație cu trei ramuri și argumentul „între extremele locale nu încape niciun întreg" — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și un șir de integrale: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și încadrarea unui șir de integrale prin majorarea și minorarea integrandului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea din 2024. Fiind dată în martie, simularea acoperă materia predată până atunci, iar asta se vede: la Subiectul al II-lea apare legea de compoziție, nu polinoamele, iar la Subiectul al III-lea integralele sunt deja prezente, dar fără arii și fără volume. Subiectul I este scurt, însă itemul $4$ cere o observație care nu se citește din formulă — care sunt pătratele perfecte dintre $110$ și $199$ — iar itemul $6$ cere valorile trigonometrice ale unghiurilor de $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$, care trebuie știute pe de rost. Subiectul al II-lea are, la problema 1, singurul subpunct de manipulare pură din toată proba: o ecuație matriceală în care necunoscuta este o matrice dreptunghiulară, iar inversa se elimină prin înmulțire, nu prin calcul. Subiectul al III-lea are cel mai greu subpunct al probei la $9$ c): concluzia „soluție unică pentru orice $m$ întreg" se sprijină pe o inegalitate numerică, $11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12$, fără de care afirmația ar fi falsă.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toată materia acestei probe se află și în programa clasei a XII-a intrată în vigoare — legile de compoziție, matricele, derivatele și integralele sunt capitole de bază. Spre deosebire de sesiunile de vară și de toamnă, această simulare nu conține polinoame, deci nu atinge unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, perechi de numere naturale sau expresii de forma $\frac{2e-3}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; elementul neutru „verificat" într-o singură ordine, deși legea nu este declarată comutativă în enunț; ecuația matriceală rezolvată prin calculul efectiv al inversei, cu greșeli de semn pe drum; monotonia dată fără semnul derivatei pe fiecare interval; concluzia de la $9$ c) scrisă fără încadrarea numerică a celor două extreme locale.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: $\lg 10^k=k$, deci $\lg \frac{1}{10}=-1$ și $\lg \sqrt{10}=\lg 10^{1/2}=\frac{1}{2}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații exponențiale: toate puterile se aduc la aceeași bază, $8=2^3$ și $32=2^5$, apoi $a^u=a^v\Rightarrow u=v$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}$; suma se face pe coordonate. Trigonometrie: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; o matrice este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; într-o ecuație matriceală, inversa se elimină înmulțind cu matricea însăși, $\left(A^{-1}\right)\cdot A=I_3$ — nu prin calculul explicit al inversei.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ din mulțime; ambele egalități se verifică, pentru că enunțul nu declară legea comutativă. Formarea pătratelor: $m^2-4m=(m-2{)}^2-4$.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Monotonia se citește din semnul derivatei pe fiecare interval dintre rădăcinile ei. Unicitatea soluției ecuației $f(x)=m$ se demonstrează arătând că pe nicio ramură de monotonie nu apar soluții suplimentare — adică nivelul $m$ nu intră între valorile celor două extreme locale.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; încadrarea unui șir de integrale se obține majorând și minorând integrandul pe intervalul de integrare, apoi integrând inegalitățile — integrala păstrează sensul inegalității.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ are două înțelesuri complet diferite: la itemul $8$, subpunctul b), $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție — un element al mulțimii $M$, care se numește așa prin convenție; la itemul $10$, în schimb, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, care apare în $e^x$ și în rezultatul $\frac{2e-3}{e}$. Cele două nu au nicio legătură între ele.
• Notațiile $I_3$ și $I_n$ seamănă, dar nu sunt din aceeași familie: $I_3$ este matricea unitate de ordinul al treilea (itemul $7$), iar $I_n$ este un număr, valoarea unei integrale (itemul $10$, subpunctul c). Indicele înseamnă altceva în fiecare caz — ordinul matricei, respectiv rangul șirului.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+ax-1$ la itemul $2$, $f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}$ la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$ la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Literele $A$ și $B$ denumesc câte două obiecte: punctele $A(1,4)$ și $B(4,6)$ din reper la itemul $5$, respectiv matricele $A(x)$ și $B$ la itemul $7$. La itemul $7$, $A(x)$ este o familie de matrice pătratice de ordinul al treilea, iar $B$ este o matrice dreptunghiulară, cu două linii și trei coloane.
• Literele $m$ și $n$ apar în trei roluri: numere naturale la itemul $8$, subpunctul c); număr întreg (nivelul unei ecuații) la itemul $9$, subpunctul c); rangul unui șir la itemul $10$, subpunctul c). Legea de compoziție se notează $\ast$, ca orice lege oarecare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(3+\lg \frac{1}{10}\right)\cdot \lg \sqrt{10}=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax-1$, unde $a$ este număr real. Determinați numerele reale $a$ pentru care $(f\circ f)(1)=1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x+1}\cdot 8^x=32$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n+100}$ să fie natural.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(4,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\mathrm{tg}x-4\cos \frac{x}{2}\cdot \cos x$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -1& x\\ -1& 0& 0\\ x& 0& -1\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $\det (A(x)\cdot A(x)-I_3)\le 0$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Se consideră matricea $B\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$. Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $X\cdot (A(0){)}^{-1}=B\cdot A(0)$, unde $(A(0){)}^{-1}$ este inversa matricei $A(0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=[0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+6)\sqrt{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $m$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^4{e}^{x}f(x)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{2e-3}{e}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural $n$, $n\ge 2$, se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^{n-1}}{f\left(x^n\right)}dx$. Demonstrați că $\frac{\ln 2}{n}\le I_n\le \frac{e-1}{n}$, pentru orice număr natural $n$, $n\ge 2$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — logaritmi zecimali.

Se calculează întâi paranteza. Cum $\frac{1}{10}=10^{-1}$, avem $\lg \frac{1}{10}=-1$, deci $$\left(3+\lg \frac{1}{10}\right)\cdot \lg \sqrt{10}=(3-1)\cdot \lg \sqrt{10}=2\cdot \lg \sqrt{10}\text{(3 p)}.$$ Radicalul este o putere cu exponent fracționar, $\sqrt{10}=10^{1/2}$, deci $\lg \sqrt{10}=\frac{1}{2}$ și $$\left(3+\lg \frac{1}{10}\right)\cdot \lg \sqrt{10}=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $\lg \frac{1}{10}=\frac{1}{\lg 10}=1$, confundând logaritmul unui cât cu inversul unui logaritm. Regula corectă este $\lg \frac{1}{a}=-\lg a$. A doua capcană: $\lg \sqrt{10}$ nu este $\sqrt{\lg 10}$ — exponentul $\frac{1}{2}$ iese în fața logaritmului, nu se aplică rezultatului.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se lucrează dinăuntru în afară. Valoarea interioară este $f(1)=1+a-1=a$, iar acest rezultat intră ca argument în a doua aplicare: $$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(a)=a^2+a\cdot a-1=2a^2-1\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea în $a$: $$2a^2-1=1⟹a^2=1⟹\mathbf{a}=-1\text{ sau }\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$ (Verificare pentru $a=1$: $f(x)=x^2+x-1$, deci $f(1)=1$ și $f(1)=1$ — compunerea dă chiar $1$. Pentru $a=-1$: $f(x)=x^2-x-1$, deci $f(1)=-1$ și $f(-1)=1+1-1=1$. Ambele valori sunt răspunsuri ale cerinței. Unde se greșește de obicei: se dă doar rădăcina pozitivă a ecuației $a^2=1$, uitând că un pătrat egal cu $1$ are două soluții.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Toate puterile se aduc la baza $2$: $8=2^3$, deci $8^x=2^{3x}$, iar $32=2^5$. Ecuația devine $$2^{x+1}\cdot 2^{3x}=32,\text{ deci }{2}^{4x+1}=2^5,\text{ de unde }4x+1=5\text{(3 p)}.$$ Trecerea de la puteri la exponenți este permisă pentru că funcția exponențială de bază $2$ este injectivă. Rezolvând ecuația de gradul întâi: $$4x=4⟹\mathbf{x}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $2^{1+1}\cdot 8^1=4\cdot 8=32$. Unde se greșește de obicei: se lasă baza $8$ neschimbată și se încearcă „logaritmare pe bucăți"; sau se scrie $8^x=2^{3+x}$, adunând exponentul în loc să-l înmulțească — regula este $(a^m{)}^n=a^{mn}$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Cum $10\le n\le 99$, rezultă $110\le n+100\le 199$. Condiția ca $\sqrt{n+100}$ să fie natural înseamnă că $n+100$ este pătratul unui număr natural; pătratele perfecte din acest interval sunt $121=11^2$, $144=12^2$, $169=13^2$ și $196=14^2$, deci se obțin patru numere: $21$, $44$, $69$ și $96$, iar $$p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}\text{(3 p)}.$$ (Cum se găsesc pătratele fără încercări: $\sqrt{110}\approx 10,49$ și $\sqrt{199}\approx 14,11$, deci baza pătratului poate fi doar $11$, $12$, $13$ sau $14$. Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră; sau se caută pătrate perfecte pentru $n$, nu pentru $n+100$.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Coordonatele unui vector se obțin scăzând coordonatele originii din cele ale extremității: $\overrightarrow{AB}=3\vec{i}+2\vec{j}$ și $\overrightarrow{AC}=3\vec{i}-2\vec{j}$. Suma se face pe coordonate, iar componentele după $\vec{j}$ se anulează: $$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\left(3\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{i}-2\vec{j}\right)=\frac{1}{2}\cdot 6\vec{i}=3\vec{i}\text{(3 p)}.$$ Vectorul $\overrightarrow{OD}$ pleacă din origine, deci are chiar coordonatele punctului $D$: $${\mathbf{x}}_{\mathbf{D}}=3\text{ și }{\mathbf{y}}_{\mathbf{D}}=0\text{(2 p)}.$$ (Observație geometrică: $B$ și $C$ sunt simetrice față de dreapta $y=4$, care trece prin $A$, deci suma $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ este orizontală — de aceea $D$ ajunge pe axa $Ox$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ în loc de $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, adică se uită scăderea coordonatelor lui $A$; sau se împarte la $2$ doar prima coordonată.)

Itemul 6. (5 p) — valori trigonometrice remarcabile.

Se calculează separat cele trei valori care intră în expresie, ținând cont că argumentul celui de-al doilea cosinus este $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$: $$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresie, $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează $\cos \frac{x}{2}$ ca $\frac{\cos x}{2}$, ceea ce ar da $\frac{1}{4}$ în loc de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — argumentul se înjumătățește, nu valoarea. Control: $\frac{\cos (\pi /3)}{2}=0,25$, iar $\cos \frac{\pi }{6}\approx 0,866$, deci diferența e mare. Observație: $4\cos \frac{x}{2}\cos x$ nu se simplifică în general — aici totul iese rotund doar pentru că unghiul este $\frac{\pi }{3}$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și ecuație matriceală.

a) (5 p) Pentru $x=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, cinci dintre cele șase produse sunt nule și rămâne doar unul: $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0+0+0-0-0-(-1)\\ & =1\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după ultima coloană, care are un singur element nenul: $\det (A(0))=-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right|=-1\cdot (0-1)=1$. Determinantul fiind nenul, matricea $A(0)$ este inversabilă — fapt de care are nevoie subpunctul c).)

b) (5 p) Se ridică matricea la pătrat, apoi se scade matricea unitate. Matricea $A(x)$ este simetrică, deci și pătratul ei este simetric: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2+x^2& -1& 0\\ -1& 1& -x\\ 0& -x& x^2+1\end{array}\right)\\ & ⟹A(x)\cdot A(x)-I_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1+x^2& -1& 0\\ -1& 0& -x\\ 0& -x& x^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul se calculează cu regula lui Sarrus, iar rezultatul se scrie ca produs: $$\begin{array}{rl}& \det (A(x)\cdot A(x)-I_3)\\ & =-x^2(1+x^2)-x^2=-x^2(2+x^2)\\ & \le 0,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Concluzia este imediată: $x^2\ge 0$ și $2+x^2>0$, deci produsul lor este nenegativ, iar cu semnul minus în față rezultatul este cel mult zero. Egalitatea are loc doar pentru $x=0$ — și chiar așa este, pentru că $A(0{)}^2-I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ are o linie de zerouri. Unde se greșește de obicei: se scrie $A(x)\cdot A(x)$ ridicând fiecare element la pătrat.)

c) (5 p) Ecuația nu se rezolvă calculând inversa. Se înmulțesc ambii membri la dreapta cu $A(0)$, iar în stânga produsul $(A(0){)}^{-1}\cdot A(0)$ devine $I_3$: $$\begin{array}{rl}& X\cdot (A(0){)}^{-1}\cdot A(0)\\ & =B\cdot A(0)\cdot A(0)\\ & ⟹X=B\cdot A(0)\cdot A(0)\text{(2 p)}.\end{array}$$ Pătratul lui $A(0)$ se citește din subpunctul b), pentru $x=0$: $A(0{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Înmulțind matricea $B$, cu două linii și trei coloane, cu această matrice de ordinul al treilea, se obține tot o matrice cu două linii și trei coloane: $$\begin{array}{rl}X& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Ordinea înmulțirii este esențială: înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar dacă s-ar înmulți la stânga cu $A(0)$, inversa nu s-ar mai simplifica. Verificare a dimensiunilor: $(2\times 3)\cdot (3\times 3)=(2\times 3)$ — răspunsul are forma cerută de enunț. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv $(A(0){)}^{-1}$, ceea ce cere matricea adjunctă și adaugă trei ocazii de greșeală de semn, degeaba.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe un interval.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=2$ în formula legii: $$1\ast 2=\frac{1^2+2^2+1+2}{1+2+1}=\frac{8}{4}\text{(3 p)}.$$ Simplificând fracția, $$1\ast 2=2\text{(2 p)}.$$ (Numitorul $x+y+1$ este strict pozitiv pe $M=[0,+\infty )$, deci legea este bine definită: nu există nicio pereche pentru care să se împartă la zero. Unde se greșește de obicei: se calculează $(1+2{)}^2$ în loc de $1^2+2^2$ — pătratele se iau separat, nu pe sumă.)

b) (5 p) Se verifică prima egalitate, cu $e=0$ pe locul al doilea. La numărător se dă factor comun $x$: $$x\ast 0=\frac{x^2+0^2+x+0}{x+0+1}=\frac{x^2+x}{x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Enunțul nu spune că legea este comutativă, deci se verifică și cealaltă ordine. Formula fiind simetrică în $x$ și $y$, calculul este identic: $$0\ast x=\frac{0^2+x^2+0+x}{0+x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x,\text{ pentru orice }x\in M,\text{ deci }e=0\text{ este elementul neutru}\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea prin $x+1$ este legitimă pentru că $x\ge 0$, deci $x+1\ge 1>0$. Elementul neutru trebuie să aparțină mulțimii, iar $0\in [0,+\infty )$ — condiție ușor de sărit, dar obligatorie. Unde se greșește de obicei: se verifică o singură ordine. Aici legea chiar este comutativă, pentru că formula este simetrică — dar asta trebuie spus, nu presupus.)

c) (5 p) Condiția $m\ast n=5$ se scrie ca ecuație și se aduce la formă de sumă de pătrate, completând pătratele în $m$ și în $n$: $$\frac{m^2+n^2+m+n}{m+n+1}=5⟹m^2+n^2-4m-4n-5=0⟹(m-2{)}^2+(n-2{)}^2=13\text{(3 p)}.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $m-2$ și $n-2$ sunt numere întregi cel puțin egale cu $-2$. Singura scriere a lui $13$ ca sumă de două pătrate este $13=4+9$, deci $\{|m-2|,|n-2|\}=\{2,3\}$; păstrând doar valorile care dau numere naturale, se obțin perechile $$(0,5),(4,5),(5,0),(5,4)\text{(2 p)}.$$ (Detaliul care restrânge lista: dacă $|n-2|=3$, atunci $n=5$ sau $n=-1$, iar a doua valoare nu este naturală; dacă $|m-2|=2$, atunci $m=4$ sau $m=0$, ambele bune. Control direct pe una dintre perechi: $4\ast 5=\frac{16+25+4+5}{4+5+1}=\frac{50}{10}=5$. Unde se greșește de obicei: se rezolvă ecuația în numere reale și se dă un cerc întreg de soluții, sau se uită perechile cu un termen nul.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, monotonie și unicitatea soluției.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, iar radicalul cu $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $$f^{\prime }(x)=\sqrt{x^2+4}+(x+6)\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}\text{(3 p)}.$$ Se aduce totul la același numitor și se dă factor comun $2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2+4+x^2+6x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{2x^2+6x+4}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{2(x^2+3x+2)}{\sqrt{x^2+4}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=0$, formula dă $f^{\prime }(0)=\frac{2\cdot 2}{2}=2$, iar raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă tot $2$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $u^{\prime }$ de la derivata radicalului, sau nu se aduce primul termen la același numitor înainte de adunare — $\sqrt{x^2+4}$ se scrie $\frac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}$.)

b) (5 p) Numitorul $\sqrt{x^2+4}$ este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$, deci semnul derivatei este semnul trinomului $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-2\text{ sau }x=-1\text{(2 p)}.$$ Un trinom cu coeficient dominant pozitiv este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele, deci: $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in (-\infty ,-2]$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty ,-2]$; $f^{\prime }(x)\le 0$ pentru orice $x\in [-2,-1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-2,-1]$; $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\in [-1,+\infty )$, deci $f$ este crescătoare pe $[-1,+\infty )$ (3 p).

(Punctul $x=-2$ este maxim local, iar $x=-1$ este minim local. Unde se greșește de obicei: se dau intervalele fără să se spună de ce numitorul nu schimbă semnul — la o derivată scrisă ca fracție, semnul se discută pe fiecare etaj.)

c) (5 p) Se strâng toate informațiile despre variație: limitele la capete, valorile în cele două puncte de extrem și încadrarea lor numerică: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,f(-2)=4\sqrt{8}=\sqrt{128},f(-1)=5\sqrt{5}=\sqrt{125},\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, iar $11<\sqrt{125}<\sqrt{128}<12$ (3 p).

Monotonia de la subpunctul b) este de fapt strictă pe fiecare dintre cele trei intervale: derivata se anulează doar în capetele $-2$ și $-1$, iar în interior are semn constant și nenul — baremul oficial scrie doar „crescătoare" și „descrescătoare", dar unicitatea de mai jos are nevoie de stricta monotonie. Pe fiecare dintre cele trei intervale, ecuația $f(x)=m$ are așadar cel mult o soluție. O a doua sau a treia soluție ar apărea numai pentru un nivel $m$ situat între minimul local $\sqrt{125}$ și maximul local $\sqrt{128}$ — dar între aceste două valori nu se află niciun număr întreg, pentru că amândouă sunt cuprinse între $11$ și $12$. Prin urmare ecuația $f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $m$ (2 p).

(Control numeric: $\sqrt{125}\approx 11,1803$ și $\sqrt{128}\approx 11,3137$ — un interval de lungime aproximativ $0,13$, în care nu încape niciun întreg. Aici se vede de ce enunțul spune „număr întreg" și nu „număr real": pentru $m=11,25$, de pildă, ecuația ar avea trei soluții. Unde se greșește de obicei: se afirmă unicitatea doar din faptul că funcția este continuă și nemărginită la ambele capete, fără să se compare nivelul $m$ cu extremele locale — argumentul ar fi atunci pur și simplu fals.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și un șir de integrale.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice: $e^{x}f(x)=e^x\cdot \frac{x+1}{e^x}=x+1$, deci $${\int }_0^4{e}^{x}f(x)dx={\int }_0^4(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^4\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^4{e}^{x}f(x)dx=(8+4)-(0+0)=12\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $e^x\ne 0$ pentru orice $x$ real. Control geometric: aria de sub dreapta $y=x+1$ între $0$ și $4$ este un trapez cu bazele $1$ și $5$ și înălțimea $4$, adică $\frac{1+5}{2}\cdot 4=12$.)

b) (5 p) Se scrie $f(x)=(x+1)e^{-x}$ și se integrează prin părți, cu $u=x+1$ și $v^{\prime }=e^{-x}$, deci $v=-e^{-x}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x+1)(-e^{-x}{)}^{\prime }dx=-(x+1)e^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $-\frac{2}{e}+1$, iar ${\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-x}{|}_0^1=-\frac{1}{e}+1$, deci $${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{2}{e}+1-\frac{1}{e}+1=2-\frac{3}{e}=\frac{2e-3}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Alegerea factorilor contează: se derivează polinomul $x+1$, care se simplifică la $1$, și se integrează exponențiala, care rămâne la fel de simplă. Cu alegerea inversă, integrala ar deveni mai complicată la fiecare pas. Control numeric: $\frac{2e-3}{e}\approx 0,8964$, iar integrala calculată numeric dă $0,89636$.)

c) (5 p) Se înlocuiește funcția în integrand: $f\left(x^n\right)=\frac{x^n+1}{e^{x^n}}$, deci $\frac{x^{n-1}}{f\left(x^n\right)}=\frac{x^{n-1}{e}^{x^n}}{x^n+1}$. Se recunoaște $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ și se face schimbarea de variabilă $t=x^n$: $$I_n={\int }_0^1\frac{x^{n-1}{e}^{x^n}}{x^n+1}dx=\frac{1}{n}{\int }_0^1\frac{(x^n{)}^{\prime }{e}^{x^n}}{x^n+1}dx=\frac{1}{n}{\int }_0^1\frac{e^t}{t+1}dt,\text{ pentru orice numa˘r natural }n\ge 2\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $[0,1]$ avem $e^t\ge 1$ și $t+1\ge 1$, deci integrandul se încadrează între $\frac{1}{t+1}$ și $e^t$. Integrala păstrează sensul inegalităților, așa că $$I_n\ge \frac{1}{n}{\int }_0^1\frac{1}{t+1}dt=\frac{\ln (t+1)}{n}{|}_0^1=\frac{\ln 2}{n},I_n\le \frac{1}{n}{\int }_0^1{e}^{t}dt=\frac{e^t}{n}{|}_0^1=\frac{e-1}{n}\text{(2 p)}.$$ (De ce merg cele două margini: la stânga se folosește $e^t\ge 1$ pe $[0,1]$, deci $\frac{e^t}{t+1}\ge \frac{1}{t+1}$; la dreapta se folosește $t+1\ge 1$, deci $\frac{e^t}{t+1}\le e^t$. Schimbarea de variabilă mută capetele: pentru $x=0$ avem $t=0$, pentru $x=1$ avem $t=1$ — aici ele coincid, dar regula trebuie scrisă. Control numeric: pentru $n=2$, $I_2\approx 0,5627$, iar marginile sunt $\frac{\ln 2}{2}\approx 0,3466$ și $\frac{e-1}{2}\approx 0,8591$; pentru $n=5$, $I_5\approx 0,2251$, între $0,1386$ și $0,3437$. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al lui ${\int }_0^1\frac{e^t}{t+1}dt$, care nu are primitivă elementară — cerința este de încadrare, nu de calcul.)