Bac M1 2024, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2024 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2024 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială se organizează, în a doua jumătate a lunii mai, pentru elevii care participă la olimpiade și competiții internaționale sau la competiții sportive, deci înaintea sesiunii obișnuite din iunie-iulie. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul special din 2024:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: fiecare termen este media aritmetică a vecinilor, $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$ — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valoarea funcției într-un punct care conține necunoscuta, și ecuația care rezultă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și verificarea condițiilor de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu pătratele perfecte dintr-un interval — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: două drepte sunt paralele exact când au aceeași pantă — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit și raționalizarea numitorului — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu parametru: determinantul unei matrice numerice, o ecuație matriceală rezolvată prin identificare și criteriul de inversabilitate aplicat unei familii întregi — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție asociativă: verificarea unei valori, elementul neutru și o ecuație cu trei factori, rezolvată folosind asociativitatea — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă oblică și numărul soluțiilor: derivarea unui cât, procedura în doi pași a asimptotei oblice și tabelul de variație folosit pentru numărarea soluțiilor — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și volumul unui corp de rotație: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și formula $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2024. Subiectul I este cel mai „de mână" din tot anul: nicio cerință nu are calcul lung, iar patru dintre cele șase se rezolvă în două rânduri. Diferența o fac detaliile de redactare — la itemul $3$ se cer condițiile de existență ale logaritmului, iar la itemul $6$ raționalizarea numitorului. Subiectul al II-lea are, la problema 1, un subpunct c) neobișnuit: nu se cere o valoare, ci o implicație — „dacă $A(x)$ este inversabilă, atunci și $A(-x)$ este" — care se rezolvă comparând două mulțimi de valori interzise, nu calculând inverse. La problema 2, cuvântul asociativă din enunț nu este decor: fără el, produsul de trei factori de la subpunctul c) n-ar avea sens fără paranteze. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un lanț derivată → asimptotă → numărul soluțiilor, iar la problema 2 un volum de rotație — singura cerință din probă în care apare $\pi$.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: toată materia acestei probe se află și în programa clasei a XII-a intrată în vigoare — legile de compoziție, matricele, asimptotele și aplicațiile integralei sunt capitole de bază. Spre deosebire de sesiunile de vară și de toamnă, această probă nu conține polinoame, deci nu atinge unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $3\sqrt{3}$, $\frac{e^2+1}{4}$ și $\frac{7\pi }{192}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile ecuației logaritmice date fără verificarea condiției de existență; paralelismul afirmat fără calculul ambelor pante; ecuația matriceală rezolvată dintr-o singură poziție, fără verificarea celorlalte; elementul neutru verificat într-o singură ordine; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; volumul scris fără pătratul funcției sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$, iar rația este $r=a_{n+1}-a_n$. Funcții: $f(a)$ înseamnă „înlocuiesc $x$ cu $a$", inclusiv când $a$ este o expresie. Ecuații logaritmice: $\lg u=\lg v⟺u=v$, cu condiția $u>0$ și $v>0$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Panta unei drepte prin două puncte: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$; două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă. Triunghi dreptunghic: $\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$; raționalizare: $\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid.
• Legi de compoziție: $e$ este element neutru dacă $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$; asociativitatea este cea care dă sens scrierii $x\circ y\circ z$ fără paranteze.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; procedura în doi pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, iar dreapta este $y=mx+n$, cu capătul precizat. Numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ se citește din tabelul de variație.
• Integrale și volume: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; volumul corpului de rotație în jurul axei $Ox$: $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ — funcția se ridică la pătrat sub integrală.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ are două înțelesuri complet diferite: la itemul $8$, subpunctul b), $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție — un număr real oarecare, care se numește așa prin convenție; la itemul $10$, în schimb, $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural, care apare ca margine de integrare și în rezultatul $\frac{e^2+1}{4}$. Cele două nu au nicio legătură între ele.
• Litera $A$ denumește trei obiecte diferite: punctul $A(1,2)$ din reper la itemul $5$, vârful unghiului drept al triunghiului la itemul $6$ și matricea $A(x)$ la itemul $7$. În redactarea noastră, aria — dacă ar fi cerută — s-ar nota $\mathcal{S}$; aici nu apare nicio arie, ci un volum, notat $V$.
• Litera $a$ apare cu indice la itemul $1$ — $a_1$, $a_2$, $a_3$ sunt termenii progresiei — și fără indice de două ori: ca ordonată necunoscută a punctului $C(5,a)$ la itemul $5$ și ca număr real nenul căutat la itemul $10$, subpunctul c). Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x-8$ la itemul $2$, $f(x)=\frac{4x^3}{(x-1{)}^2}$ la itemul $9$ și $f(x)=x+1+x\ln x$ la itemul $10$.
• Semnul $\circ$ este aici legea de compoziție definită la itemul $8$, nu compunerea funcțiilor: în această probă nu se compune nicio funcție, deci nu există ambiguitate de conținut, dar simbolul e același pe care îl folosim la clasă pentru $f\circ g$. Litera $m$ este necunoscută la itemul $2$ și nivelul unei ecuații la itemul $9$, subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=2$ și $a_2=12$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-8$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(1+m)=1-m$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg (x^2-3x+5)=\lg 5$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n+1}$ să fie natural.

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(3,0)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=9$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că $AB=3\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& x\\ 0& 0& x-1\\ x& 1& 1\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x)\cdot A(1)=2A(x)$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă matricea $A(x)$ este inversabilă, atunci și matricea $A(-x)$ este inversabilă.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy+\frac{2x+2y-1}{4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 1=\frac{7}{4}$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$".

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(\frac{1}{2}-x\right)\circ \left(\frac{1}{2}+x\right)\circ \left(\frac{1}{2}+x^2\right)=\frac{1}{2}-x^2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^3}{(x-1{)}^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1{)}^3}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $m\in (27,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1+x\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3(f(x)-x\ln x)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e(f(x)-x-1)dx=\frac{e^2+1}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{(f(x)-x\ln x{)}^2}$ este egal cu $\frac{7\pi }{24a}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2024; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică fiecare termen este media aritmetică a vecinilor lui, deci $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}⟹12=\frac{2+a_3}{2}\text{(3 p)}.$$ Înmulțind cu $2$ se obține $2+a_3=24$, de unde $${\mathbf{a}}_3=22\text{(2 p)}.$$ (Control pe alt drum: rația este $r=a_2-a_1=10$, deci $a_3=a_2+r=12+10=22$. Unde se greșește de obicei: se merge înapoi în progresie și se scade rația, deși $a_3$ vine după $a_2$; sau se aplică formula $a_n=a_1+(n-1)r$ fără să se calculeze mai întâi rația.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se înlocuiește $x$ cu întreaga expresie $1+m$ în formula funcției: $$f(1+m)=(1+m)-8=m-7,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$m-7=1-m⟹2m=8⟹\mathbf{m}=4\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $f(1+4)=f(5)=-3$, iar $1-4=-3$. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(1+m)=f(1)+f(m)$, ca și cum funcția ar fi aditivă — la o funcție de gradul întâi cu termen liber nenul asta este fals: $f(1)+f(m)=m-15$, nu $m-7$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică este injectivă, deci doi logaritmi cu aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor coincid: $$x^2-3x+5=5,\text{ de unde }{x}^2-3x=0\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun, $x(x-3)=0$, deci $x=0$ sau $x=3$. Amândouă trebuie să respecte condiția de existență $x^2-3x+5>0$, iar pentru fiecare dintre ele argumentul devine exact $5>0$, deci amândouă convin: $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$ (Observație: aici condiția de existență este îndeplinită pentru orice număr real, pentru că trinomul $x^2-3x+5$ are discriminantul $9-20=-11<0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv peste tot. Verificarea rămâne totuși obligatorie în redactare. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $x$ și se pierde soluția $x=0$; sau se scrie $\lg (x^2-3x+5)=\lg x^2-\lg 3x+\lg 5$, ceea ce nu are niciun temei — logaritmul unei sume nu se desface.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Condiția ca $\sqrt{n+1}$ să fie natural înseamnă că $n+1$ este pătrat perfect. Cum $10\le n\le 99$, avem $11\le n+1\le 100$, iar pătratele perfecte din acest interval sunt $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ și $100$ — în total șapte, corespunzând valorilor $n\in \{15,24,35,48,63,80,99\}$. Prin urmare $$p=\frac{7}{90}\text{(3 p)}.$$ (Cum se numără fără încercări: pătratele din interval au baza între $\sqrt{11}\approx 3,32$ și $\sqrt{100}=10$, deci baza poate fi $4,5,\dots ,10$ — șapte valori. Fracția $\frac{7}{90}$ este deja ireductibilă, pentru că $7$ este prim și nu divide $90$. Unde se greșește de obicei: se uită capătul $n=99$, pentru care $n+1=100$ este chiar pătrat perfect.)

Itemul 5. (5 p) — paralelism în reper cartezian.

Panta unei drepte prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Dreapta $OA$ trece prin origine și prin $A(1,2)$, deci $$m_{OA}=\frac{2-0}{1-0}=2\text{(2 p)}.$$ Dreapta $BC$ trece prin $B(3,0)$ și $C(5,a)$, deci $m_{BC}=\frac{a-0}{5-3}=\frac{a}{2}$. Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci $\frac{a}{2}=2$, de unde $$\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $a=4$, punctul este $C(5,4)$, iar vectorul $\overrightarrow{BC}=(2,4)$ este dublul lui $\overrightarrow{OA}=(1,2)$ — doi vectori coliniari, deci drepte paralele. Ele chiar sunt paralele, nu confundate: $B(3,0)$ nu se află pe dreapta $y=2x$. Unde se greșește de obicei: se calculează panta lui $BC$ ca $\frac{5-3}{a-0}$, adică raportul răsturnat.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$. Tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă lui $B$ și cateta alăturată, iar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB},\text{ deci }\sqrt{3}=\frac{9}{AB}\text{(3 p)}.$$ De aici $AB=\frac{9}{\sqrt{3}}$, iar numitorul se raționalizează amplificând cu $\sqrt{3}$: $$AB=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ (Control de bun-simț: tangenta fiind mai mare decât $1$, cateta opusă lui $B$ trebuie să fie mai mare decât cea alăturată — și chiar este, $9>3\sqrt{3}\approx 5,196$. Unde se greșește de obicei: se ia $\mathrm{tg}B=\frac{AB}{AC}$, adică raportul răsturnat, sau se lasă rezultatul sub forma $\frac{9}{\sqrt{3}}$, cu radical la numitor.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=2$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(2)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(2))\\ & =0+0+4-0-1-0=3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(2))=-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\cdot (1-4)=3$ — semnul minus vine din poziția elementului, linia a doua și coloana a treia. Aceeași valoare, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Pentru $x=1$ matricea are toate liniile foarte simple, iar produsul se calculează „linie pe coloană": $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right),A(x)\cdot A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1+x& 1+x& 1+x\\ x-1& x-1& x-1\\ x+1& x+1& x+1\end{array}\right),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.\end{array}$$ Pe de altă parte, $2A(x)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2x& 2x\\ 0& 0& 2x-2\\ 2x& 2& 2\end{array}\right)$. Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid; din colțul din stânga sus, $1+x=2$, de unde $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificarea completă pentru $x=1$: produsul devine $\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$, iar $2A(1)$ este exact aceeași matrice — toate cele nouă poziții coincid, deci valoarea găsită convine. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dintr-o singură poziție și nu se verifică restul; aici, de pildă, poziția din mijloc dă $x-1=0$, adică tot $x=1$ — coerent, dar trebuie văzut.)

c) (5 p) Se calculează determinantul cu parametru, dezvoltând după linia a doua și grupând: $$\begin{array}{rl}\det (A(x))& =x^3-x^2-x+1\\ & =x^2(x-1)-(x-1)\\ & =(x-1)(x^2-1)\\ & =(x-1{)}^2(x+1)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Matricea $A(x)$ este inversabilă exact când $\det (A(x))\ne 0$, adică atunci când $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Dar dacă $x\ne 1$ și $x\ne -1$, atunci și $-x\ne -1$ și $-x\ne 1$, deci $-x\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$; prin urmare $\det (A(-x))\ne 0$ și matricea $A(-x)$ este inversabilă (2 p).

(Același lucru, verificat direct: $\det (A(-x))=(-x-1{)}^2(-x+1)=(x+1{)}^2(1-x)$, care se anulează tot pentru $x=-1$ sau $x=1$ — exact aceleași valori interzise. Mulțimea valorilor „rele" este simetrică față de zero, și numai de asta funcționează implicația. Control numeric: $\det (A(2))=1\cdot 3=3$ și $\det (A(-2))=9\cdot 3=27$, amândouă nenule. Unde se greșește de obicei: se încearcă scrierea efectivă a inversei, care nu e nici necesară, nici utilă — criteriul este determinantul.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=1$ în formula legii: $$1\circ 1=1\cdot 1+\frac{2\cdot 1+2\cdot 1-1}{4}\text{(3 p)}.$$ Fracția devine $\frac{3}{4}$, deci $$1\circ 1=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se aplică semnul minus întregii fracții, ca și cum ar fi $\frac{2x+2y}{4}-1$. Numărătorul este $2x+2y-1$ în întregime, iar bara de fracție îl grupează.)

b) (5 p) Se verifică prima egalitate, cu $e=\frac{1}{2}$ pe locul al doilea: $$x\circ \frac{1}{2}=x\cdot \frac{1}{2}+\frac{2x+2\cdot \frac{1}{2}-1}{4}=\frac{x}{2}+\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Enunțul nu spune că legea este comutativă, deci se verifică și cealaltă ordine: $$\frac{1}{2}\circ x=\frac{1}{2}\cdot x+\frac{2\cdot \frac{1}{2}+2x-1}{4}=\frac{x}{2}+\frac{2x}{4}=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x,\text{ deci }e=\frac{1}{2}\text{ este elementul neutru}\text{(3 p)}.$$ (Ce se întâmplă de fapt: în numărătorul fracției, termenii $2\cdot \frac{1}{2}$ și $-1$ se anulează reciproc, și rămâne doar $2x$. Formula legii este simetrică în $x$ și $y$, deci legea chiar este comutativă — dar asta trebuie spus, nu presupus. Unde se greșește de obicei: se verifică o singură ordine, sau se caută $e$ rezolvând ecuația, deși enunțul îl dă și cere doar verificarea.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, produsul de trei factori se poate calcula în orice ordine; se începe cu primii doi, folosind $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{1}{2}+x\right)=\frac{1}{4}-x^2$ și observând că în numărătorul fracției termenii cu $x$ se reduc: $$\left(\frac{1}{2}-x\right)\circ \left(\frac{1}{2}+x\right)=\frac{1}{4}-x^2+\frac{1-2x+1+2x-1}{4}=\frac{1}{4}-x^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}-x^2\text{(2 p)}.$$ Se repetă exact același calcul, cu $x^2$ în locul lui $x$: $$\left(\frac{1}{2}-x^2\right)\circ \left(\frac{1}{2}+x^2\right)=\frac{1}{2}-x^4,\text{ deci ecuația devine }\frac{1}{2}-x^4=\frac{1}{2}-x^2⟹x^4=x^2.$$ De aici $x^2(x^2-1)=0$, adică $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Structura care face totul scurt: legea transformă perechea $\left(\frac{1}{2}-t,\frac{1}{2}+t\right)$ în $\frac{1}{2}-t^2$, oricare ar fi $t$ — o folosim de două ori, întâi cu $t=x$, apoi cu $t=x^2$. Control numeric pentru $x=2$, care nu este soluție: primul pas dă $\left(-\frac{3}{2}\right)\circ \frac{5}{2}=-\frac{15}{4}+\frac{-3+5-1}{4}=-\frac{15}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{7}{2}$, adică exact $\frac{1}{2}-2^2$; al doilea dă $\left(-\frac{7}{2}\right)\circ \frac{9}{2}=-\frac{63}{4}+\frac{-7+9-1}{4}=-\frac{31}{2}$, adică $\frac{1}{2}-2^4$, care este diferit de $\frac{1}{2}-2^2=-\frac{7}{2}$ — deci $x=2$ chiar nu convine, cum prezice și ecuația $x^4=x^2$. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația $x^4=x^2$ prin $x^2$ și se pierde soluția $x=0$; toate cele trei valori sunt răspunsuri ale cerinței.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și numărul soluțiilor.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se derivează cu ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u(x)=4x^3$ și $v(x)=(x-1{)}^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{12x^2(x-1{)}^2-4x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}\text{(3 p)}.$$ Se simplifică un factor $(x-1)$ — legitim, pentru că pe domeniul $(1,+\infty )$ avem $x-1\ne 0$ — apoi se dă factor comun la numărător: $$f^{\prime }(x)=\frac{12x^3-12x^2-8x^3}{(x-1{)}^3}=\frac{4x^3-12x^2}{(x-1{)}^3}=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1{)}^3},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{16\cdot (-1)}{1}=-16$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-16$. Unde se greșește de obicei: se uită derivata interioară la $((x-1{)}^2{)}^{\prime }=2(x-1)$, sau se lasă numitorul la puterea a patra fără simplificare — atunci numărătorul trebuie să păstreze factorul $(x-1)$, iar forma cerută nu mai iese.)

b) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2}{(x-1{)}^2}=4\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber. Aducând la același numitor, $f(x)-4x=\frac{4x^3-4x(x-1{)}^2}{(x-1{)}^2}=\frac{8x^2-4x}{(x-1{)}^2}$, iar $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-4x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8x^2-4x}{(x-1{)}^2}=8\in \mathbb{R},$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=4x+8$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(Control numeric: $f(1000)-4\cdot 1000=8,012$, aproape de $8$. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ înaintea lui $m$, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$; ordinea și capătul sunt punctate separat. A doua capcană: la calculul lui $n$ se scade $4x$ fără să se aducă la același numitor, și atunci nedeterminarea $\infty -\infty$ rămâne nerezolvată.)

c) (5 p) Monotonia. Pe intervalul $(1,+\infty )$ avem $4x^2>0$ și $(x-1{)}^3>0$, deci semnul derivatei este semnul factorului $x-3$: $f^{\prime }(x)=0$ exact pentru $x=3$; $f^{\prime }(x)<0$ pentru orice $x\in (1,3)$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(1,3)$, și $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in (3,+\infty )$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(3,+\infty )$ (2 p).

Numărul soluțiilor. Limitele la capetele domeniului și valoarea din punctul de minim sunt $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,f(3)=\frac{4\cdot 27}{4}=27,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă pe $(1,+\infty )$. Pe fiecare dintre cele două ramuri de monotonie strictă, funcția parcurge o singură dată toate valorile dintre $27$ și $+\infty$, deci ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții pentru orice $m\in (27,+\infty )$ (3 p).

(De ce intervalul din enunț începe fix la $27$: pentru $m=27$ ecuația are o singură soluție, $x=3$, iar pentru $m<27$ nu are niciuna — minimul funcției este chiar $27$. Control numeric: pentru $m=32$, cele două soluții sunt $x=2$ și $x=3+\sqrt{5}\approx 5,236$. Unde se greșește de obicei: se afirmă „două soluții" doar din faptul că funcția are un minim, fără limitele la capete — fără ele, ramurile ar putea să nu urce destul de sus.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Integrandul se simplifică înainte de orice: $f(x)-x\ln x=x+1+x\ln x-x\ln x=x+1$, deci $${\int }_1^3(f(x)-x\ln x)dx={\int }_1^3(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_1^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^3(f(x)-x\ln x)dx=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6\text{(2 p)}.$$ (Control geometric: aria de sub dreapta $y=x+1$ între $1$ și $3$ este un trapez cu bazele $2$ și $4$ și înălțimea $2$, adică $\frac{2+4}{2}\cdot 2=6$. Rescrierea $f(x)-x\ln x=x+1$ se reține: ea reapare, mascată, la subpunctul c).)

b) (5 p) De data aceasta rămâne partea „grea": $f(x)-x-1=x\ln x$. Se integrează prin părți, derivând logaritmul și integrând puterea: $${\int }_1^e(f(x)-x-1)dx={\int }_1^e{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{\prime }\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2\ln x}{2}{|}_1^e-\frac{x^2}{4}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele și folosind $\ln e=1$, $\ln 1=0$: $${\int }_1^e(f(x)-x-1)dx=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{\mathbf{e}}^2+1}{4}\text{(2 p)}.$$ (Alegerea factorilor contează: se derivează logaritmul, care devine $\frac{1}{x}$ și se simplifică frumos cu $x^2$, și se integrează puterea. Cu alegerea inversă, integrala s-ar complica la fiecare pas. Control numeric: $\frac{e^2+1}{4}\approx 2,0973$, iar integrala calculată numeric dă $2,09726$.)

c) (5 p) Din subpunctul a) știm că $f(x)-x\ln x=x+1$, deci funcția $g$ se scrie simplu, iar volumul se calculează cu formula corpului de rotație, în care funcția intră la pătrat: $$g(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2},x\in [1,3],V=\pi {\int }_1^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^3\frac{1}{(x+1{)}^4}dx=\pi \left(-\frac{1}{3(x+1{)}^3}\right){|}_1^3=\frac{7\pi }{192}\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație în $a$: $$\frac{7\pi }{192}=\frac{7\pi }{24a}⟹24a=192⟹\mathbf{a}=8\text{(2 p)}.$$ (Detaliul de calcul: o primitivă a lui $(x+1{)}^{-4}$ este $\frac{(x+1{)}^{-3}}{-3}$, iar înlocuind capetele se obține $-\frac{1}{192}+\frac{1}{24}=\frac{-1+8}{192}=\frac{7}{192}$. Valoarea găsită este într-adevăr nenulă, cum cere enunțul. Control numeric: $\frac{7\pi }{192}\approx 0,11454$, iar integrala calculată numeric pe $[1,3]$, înmulțită cu $\pi$, dă $0,114537$. Unde se greșește de obicei: se scrie $V=\pi {\int }_1^{3}g(x)dx$, fără pătrat — atunci exponentul de la numitor ar fi $2$ în loc de $4$ și rezultatul ar fi cu totul altul.)