Bac M1 2025, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 9, cea extrasă în ziua examenului. Aceasta este a doua sesiune a anului, cea „de toamnă", la care se prezintă candidații care nu au promovat sau nu s-au putut prezenta în iunie-iulie; subiectul are exact aceeași structură și aceeași greutate ca al primei sesiuni. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(g\circ f)(1)$ pentru două funcții de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: injectivitatea logaritmului și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe poziții, cu restricția de paritate a cifrei unităților — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: egalitatea a doi vectori, tradusă în coordonate — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Triunghi dreptunghic și cerc circumscris: ipotenuza ca diametru, teorema lui Pitagora și aria — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare cu parametru: determinantul unei matrice cu parametru, cazul cu o infinitate de soluții și regula lui Cramer — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea și teorema restului — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă și inegalități din monotonie: derivarea unui cât cu radical, ecuația tangentei într-un punct de extrem și o inegalitate obținută din marginile funcției — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și funcția integrală: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și o limită de tipul $\frac{0}{0}$ cu funcția integrală — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2025. Subiectul I este cel mai accesibil dintre cele trei, dar are o cerință de citire atentă — itemul $5$, unde egalitatea de vectori $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ trebuie tradusă în două ecuații între coordonate. Subiectul al II-lea a cerut, la problema 1, discuția completă a unui sistem cu parametru: mai întâi un determinant numeric, apoi cazul degenerat cu o infinitate de soluții, apoi cazul Cramer; iar la problema 2 un polinom de gradul al patrulea, rezolvat cu relațiile lui Viète și cu teorema restului. Subiectul al III-lea este cel care departajează: la problema 1 apare o inegalitate care se demonstrează din monotonie, nu din calcul direct, iar la problema 2 o limită cu funcția integrală, în care regula lui L'Hôpital se aplică de două ori.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $55$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $8\sqrt{3}$ și $e^2+1$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; concluzia „infinitate de soluții" scrisă fără a arăta că determinantul se anulează; ecuația tangentei scrisă fără calculul separat al valorii funcției și al derivatei în punctul dat; o inegalitate „demonstrată" prin verificare pe câteva valori, în loc de marginile funcției; regula lui L'Hôpital aplicată a doua oară fără a constata din nou nedeterminarea.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; se calculează ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Compunerea funcțiilor: $(g\circ f)(1)=g(f(1))$ — se lucrează dinăuntru în afară, iar ordinea contează. Ecuații logaritmice: ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, cu condițiile $u>0$ și $v>0$ verificate la final. Combinatorică: regula produsului, începând cu poziția cea mai constrânsă. Vectori în coordonate: doi vectori sunt egali exact când au ambele coordonate egale. Cercul circumscris unui triunghi dreptunghic: ipotenuza este diametru, deci $BC=2R$.
• Sisteme liniare: soluție unică $⟺\det A\ne 0$ (regula lui Cramer); când $\det A=0$, sistemul este ori incompatibil, ori nedeterminat — se decide rezolvându-l efectiv sau cu teorema lui Rouché.
• Polinoame: relațiile lui Viète pentru $X^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$: suma rădăcinilor este $-b$, iar produsul lor este $e$. Teorema restului: restul împărțirii polinomului $f$ la $X-a$ este $f(a)$.
• Derivate: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ și $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ — se calculează separat $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$. Inegalități din monotonie: dacă $f$ este descrescătoare pe $[a,b]$, atunci $f(b)\le f(x)\le f(a)$ pentru orice $x$ din interval.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; funcția integrală $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ este derivabilă când $f$ este continuă, cu $F^{\prime }=f$ — de aici se aplică L'Hôpital la limite de forma $\frac{1}{x^2}{\int }_0^x$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x+4$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=3x^2-1+e^{2x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ are trei roluri: parametru al funcției $g$ la itemul $2$, parametru al matricei și al sistemului la itemul $7$, și necunoscută reală la itemul $8$, subpunctul c). La itemul $7$ ea este un număr fixat pe durata unei rezolvări, nu o variabilă.
• Litera $m$ este parametrul polinomului la itemul $8$, iar litera $e$ apare doar la itemul $10$ și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.
• Notația cu vectori de la itemul $5$, $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$, este cea din subiectul oficial. Noi o traducem imediat în coordonate: vectorul $\overrightarrow{AC}$ are coordonatele $(x_C-x_A,y_C-y_A)$, iar doi vectori sunt egali exact când coordonatele lor corespunzătoare coincid. Pe programa nouă a profilului real, geometria analitică se lucrează chiar în această formă, cu coordonate.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $3(4-5i)+5i(3+2i)=2$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(g\circ f)(1)=1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(6x-x^2)={\log }_2(4+x)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{3,4,5,7,9\}$. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$ și $B(6,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și raza cercului circumscris egală cu $4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 2a\\ a& 1& 0\\ 1& 1& -a\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}ax+y+2az=a+1\\ ax+y=0\\ x+y-az=-1\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=4$.

b) (5 puncte) Pentru $a=1$, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $x_0=a$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4-3X^3+X^2-2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=3$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{)}^2-x_1-x_2-x_3-x_4=1$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Pentru $m=0$, determinați numerele reale $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X-a$ este egal cu $a$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+6}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(7x)-f(x)\le 2\sqrt{2}$, pentru orice $x\in [0,1]$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-1+e^{2x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3(f(x)-e^{2x})dx=24$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}4x(f(x)-3x^2+1)dx=e^2+1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt=1$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac cele două paranteze, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$3(4-5i)+5i(3+2i)=12-15i+15i+10i^2\text{(3 p)}.$$ Termenii $-15i$ și $+15i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $10i^2=-10$ și $$3(4-5i)+5i(3+2i)=12-10=2\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-15+15=0$, iar partea reală $12+(-10)=2$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se uită distribuirea lui $5i$ peste ambii termeni din $3+2i$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se lucrează dinăuntru în afară: întâi $f(1)=1+4=5$, apoi acest rezultat intră ca argument în $g$: $$(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(5)=2\cdot 5+a=10+a,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$10+a=1⟹\mathbf{a}=-9\text{(2 p)}.$$ (Verificare: cu $a=-9$, $g(x)=2x-9$, deci $g(5)=10-9=1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $(f\circ g)(1)$, adică se inversează ordinea — la $g\circ f$ se aplică ÎNTÂI $f$; aici ordinea chiar contează, pentru că $(f\circ g)(1)=f(2+a)=6+a$, deci ar da $a=-5$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția logaritmică de bază $2$ este injectivă, deci egalitatea logaritmilor înseamnă egalitatea argumentelor: $$6x-x^2=4+x⟹x^2-5x+4=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =25-16=9$ și rădăcinile $x=1$ sau $x=4$. Amândouă trebuie verificate în condițiile de existență, $6x-x^2>0$ și $4+x>0$: pentru $x=1$ se obține $5>0$ și $5>0$, iar pentru $x=4$ se obține $8>0$ și $8>0$, deci ambele convin (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se sare peste condițiile de existență. Ele nu sunt formalitate — pentru un enunț asemănător, cu $x=-1$ printre rădăcinile ecuației algebrice, argumentul $6x-x^2$ ar fi negativ și soluția ar trebui respinsă. Control: prima ecuație spune că cele două argumente sunt egale, deci este destul să verifici pozitivitatea unuia dintre ele.)

Itemul 4. (5 p) — numărare pe poziții, cu regula produsului.

Numărul trebuie să fie impar, deci cifra unităților se alege dintre cifrele impare ale mulțimii $A$, adică dintre $3$, $5$, $7$ și $9$ — patru moduri (2 p).

Cifrele trebuie să fie distincte, deci pentru cifra zecilor rămân cele patru cifre neutilizate din cele cinci ale mulțimii, adică tot patru moduri; prin regula produsului, $$4\cdot 4=16\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Se începe cu poziția cea mai constrânsă — aici unitățile. Unde se greșește de obicei: se numără $5\cdot 4=20$, uitând condiția de imparitate, sau $4\cdot 5=20$, uitând că cifra folosită la unități nu mai poate apărea la zeci. Control: singura cifră pară din mulțime este $4$, iar ea poate sta doar la zeci — de aceea rămân exact patru cifre pentru fiecare alegere a unităților.)

Itemul 5. (5 p) — egalitate de vectori, scrisă în coordonate.

Un vector determinat de două puncte are drept coordonate diferențele coordonatelor, în ordinea „vârf minus origine". Pentru $O(0,0)$, $B(6,4)$, $A(0,2)$ și $C(x_C,y_C)$: $$\overrightarrow{OB}\text{ are coordonatele }(6,4),\overrightarrow{AC}\text{ are coordonatele }(x_C-0,y_C-2)\text{(2 p)}.$$ Doi vectori sunt egali exact când coordonatele lor corespunzătoare coincid, deci $2x_C=6$ și $2(y_C-2)=4$, de unde $$x_C=3,y_C=4,\text{ adica˘ }\mathbf{C}(3,4)\text{(3 p)}.$$ (Control: cu $C(3,4)$, vectorul $\overrightarrow{AC}$ are coordonatele $(3,2)$, iar dublul lui este $(6,4)$ — exact $\overrightarrow{OB}$. Unde se greșește de obicei: se scriu coordonatele lui $\overrightarrow{AC}$ ca $(x_A-x_C,y_A-y_C)$, adică în ordine inversă; sau se uită împărțirea la doi și se răspunde $C(6,6)$.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic înscris în cerc.

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris, deci $BC=2R=8$. Cu teorema lui Pitagora, cealaltă catetă este $$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor, deci $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $4\sqrt{3}\approx 6,93$, iar $8\sqrt{3}\approx 13,86$; ipotenuza $8$ este într-adevăr mai mare decât ambele catete, $4$ și $6,93$. Unde se greșește de obicei: se ia $R$ drept ipotenuză, deci $BC=4$ — atunci $AC$ ar ieși zero. Observație: unghiul $B$ are sinusul $\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $B=60^{\circ }$, iar triunghiul este „jumătate de triunghi echilateral".)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(2))& =-4+0+8-4-0+4\\ & =4\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul mai scurt este dezvoltarea după linia a doua, care are un zero: $-2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& -2\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& -2\end{array}\right|=-2(-6)+(-8)=4$ — aceeași valoare și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Pentru $a=1$ sistemul devine $$\{\begin{array}{l}x+y+2z=2\\ x+y=0\\ x+y-z=-1\end{array},\det (A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=0\text{(2 p)},$$ determinantul fiind nul pentru că primele două coloane sunt identice. Sistemul nu este deci de tip Cramer și se rezolvă direct: din a doua ecuație, $x+y=0$; înlocuind în prima, $2z=2$, deci $z=1$, iar a treia ecuație dă $-z=-1$, adică tot $z=1$. Prin urmare soluțiile sunt $$\begin{array}{rl}& \\ & (t,-t,1),\text{ cu }t\\ & \in \mathbb{R}\text{ arbitrar}\\ & ⟹\text{sistemul are o infinitate de soluții}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe $t=5$: $(5,-5,1)$ dă $5-5+2=2$, $5-5=0$ și $5-5-1=-1$ — toate trei ecuațiile sunt satisfăcute. Unde se greșește de obicei: se scrie „determinantul este nul, deci sistemul are o infinitate de soluții" — fals: un sistem cu determinant nul poate fi și incompatibil. Trebuie arătat că el chiar are soluții, iar aici a treia ecuație se dovedește o consecință a primelor două.)

c) (5 p) Determinantul general se calculează dezvoltând după linia a doua: $$\begin{array}{rl}\det (A(a))& =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 2a\\ a& 1& 0\\ 1& 1& -a\end{array}\right|\\ & =2a^2-2a=2a(a-1),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a,\end{array}$$ deci sistemul are soluție unică exact pentru $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ (2 p).

Pentru aceste valori se aplică regula lui Cramer, înlocuind coloana lui $x$ cu coloana termenilor liberi: $$\begin{array}{rl}& x_0\\ & =\frac{\left|\begin{array}{ccc}a+1& 1& 2a\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& -a\end{array}\right|}{2a(a-1)}=\frac{a(1-a)}{2a(a-1)}\\ & =-\frac{1}{2},\text{ pentru orice }a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\},\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \text{deci condiția }{x}_0\\ & =a\text{ da˘ }\mathbf{a}=-\frac{1}{2},\\ & \text{ valoare care convine}\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Surpriza subpunctului: prima necunoscută nu depinde de parametru — ea valorează $-\frac{1}{2}$ oricare ar fi $a$ admisibil. De aceea ecuația $x_0=a$ are o singură soluție, iar aceasta trebuie doar verificată că nu este $0$ sau $1$. Control numeric: pentru $a=2$ sistemul devine $2x+y+4z=3$, $2x+y=0$, $x+y-2z=-1$, cu soluția $\left(-\frac{1}{2},1,\frac{3}{4}\right)$ — într-adevăr $x_0=-\frac{1}{2}$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $m=3$ polinomul este $f=X^4-3X^3+X^2-2X+3$, iar valoarea lui în $1$ se obține înlocuind nedeterminata cu $1$: $$f(1)=1^4-3\cdot 1^3+1^2-2\cdot 1+3=1-3+1-2+3\text{(3 p)}.$$ Adunând, termenii se anulează: $$f(1)=0\text{(2 p)}.$$ (Observație: $f(1)$ este chiar suma coeficienților polinomului — un control care se face din priviri. Unde se greșește de obicei: se ridică $1$ la puteri „greșit", deși toate puterile lui $1$ sunt egale cu $1$; sau se uită parametrul $m$, care aici valorează $3$.)

b) (5 p) Polinomul este de gradul al patrulea cu coeficient dominant $1$, deci relațiile lui Viète dau direct suma și produsul rădăcinilor: suma este opusul coeficientului lui $X^3$, iar produsul este termenul liber (gradul fiind par, semnul nu se schimbă): $$x_1+x_2+x_3+x_4=3,x_1{x}_2{x}_3{x}_4=m⟹(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{)}^2-x_1-x_2-x_3-x_4=m^2-3,$$ $$\text{pentru orice numa˘r real }m\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine astfel o ecuație în $m$: $$m^2-3=1⟹m^2=4⟹\mathbf{m}=-2\text{ sau }\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$ (Control numeric pentru $m=2$: rădăcinile aproximative ale lui $X^4-3X^3+X^2-2X+2$ sunt $2,8072$, $0,7787$ și perechea complexă $-0,2929\pm 0,9105i$; suma lor este $3,0000$, iar produsul $2,0000$ — exact ce prezice Viète. Unde se greșește de obicei: se ia produsul rădăcinilor cu semn schimbat — la gradul al patrulea produsul este $+\frac{a_0}{a_4}$, pentru că $(-1{)}^4=1$; sau se uită că se cere pătratul produsului, nu produsul.)

c) (5 p) Pentru $m=0$ polinomul este $f=X^4-3X^3+X^2-2X$. Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este, prin teorema restului, chiar $f(a)$, deci condiția din enunț se scrie $$f(a)=a⟹a^4-3a^3+a^2-2a=a⟹a^4-3a^3+a^2-3a=0\text{(3 p)}.$$ Se dă factor comun $a$, apoi se grupează termenii rămași câte doi: $$a(a^3-3a^2+a-3)=a(a^2(a-3)+(a-3))=a(a-3)(a^2+1)=0;$$ cum $a^2+1>0$ pentru orice număr real $a$, rămân $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Verificare: $f(0)=0$, iar restul cerut este tot $0$; $f(3)=81-81+9-6=3$, iar restul cerut este $3$ — amândouă convin. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația la $a$, pierzând soluția $a=0$; sau se caută rădăcini ale lui $a^2+1$, care nu are rădăcini reale.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu radical, tangentă și o inegalitate din monotonie.

a) (5 p) Funcția este un cât, iar numitorul este un radical, deci se folosesc două formule deodată: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ și $(\sqrt{w}{)}^{\prime }=\frac{w^{\prime }}{2\sqrt{w}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x\sqrt{x^2+1}-(x^2+6)\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\text{(3 p)}.$$ Se amplifică primul termen de la numărător cu $\sqrt{x^2+1}$ și se adună fracțiile: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+1)-x(x^2+6)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^3+2x-x^3-6x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=3$, formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{3\cdot 5}{10\sqrt{10}}\approx 0,4743$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $0,4743$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$ de la derivata radicalului, sau se scade în ordinea greșită la numărător. Observație: radicalul este definit pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+1\ge 1$.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere două numere, calculate separat: valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul dat. Pentru $x=0$: $$f(0)=\frac{0+6}{\sqrt{0+1}}=6,f^{\prime }(0)=\frac{0\cdot (0-4)}{1\cdot 1}=0\text{(2 p)}.$$ Cu formula tangentei $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$: $$y-6=0\cdot (x-0)⟹\mathbf{y}=6\text{(3 p)}.$$ (Tangenta este orizontală pentru că $x=0$ este punct critic — chiar un maxim local, după cum se vede la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se scrie $y=0$, confundând panta cu ordonata; sau se scrie $x=0$, adică se dă chiar dreapta verticală prin punct. Control: dreapta $y=6$ atinge graficul în punctul $(0,6)$ și nu îl mai taie în vecinătatea lui, pentru că $f$ scade în ambele părți dinspre $0$ — mai exact, $f$ este pară.)

c) (5 p) Semnul derivatei este dat de numărătorul $x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$, pentru că numitorul este strict pozitiv. Pentru orice $x\in [0,2]$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[0,2]$, iar pentru orice $x\in [2,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[2,+\infty )$ (2 p).

Fie acum $x\in [0,1]$; atunci $7x\in [0,7]$. Valorile de la capete sunt $$f(0)=6,f(1)=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2},f(7)=\frac{55}{\sqrt{50}}=\frac{11}{\sqrt{2}}=\frac{11\sqrt{2}}{2}.$$ Pe $[0,1]$ funcția este descrescătoare, deci $f(x)\ge f(1)=\frac{7\sqrt{2}}{2}$. Pe $[0,7]$ funcția scade, apoi crește, deci maximul ei este atins la unul dintre capete, iar $f(7)=\frac{11\sqrt{2}}{2}>6=f(0)$, de unde $f(7x)\le \frac{11\sqrt{2}}{2}$. Scăzând cele două margini: $$f(7x)-f(x)\le \frac{11\sqrt{2}}{2}-\frac{7\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},\text{ pentru orice }x\in [0,1]\text{(3 p)}.$$ (Marginea este atinsă: pentru $x=1$ diferența este exact $2\sqrt{2}$, deci inegalitatea nu poate fi îmbunătățită. Control numeric: maximul lui $f(7x)-f(x)$ pe $[0,1]$, calculat pe o rețea fină, este $2,828427$, iar $2\sqrt{2}=2,828427$. Unde se greșește de obicei: se compară $f(7x)$ cu $f(x)$ „direct", deși ele nu se află pe același interval de monotonie; drumul corect este să majorezi separat primul termen și să minorezi separat pe al doilea.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și funcția integrală.

a) (5 p) Din integrand dispare exact termenul scăzut, deci rămâne un polinom: $$f(x)-e^{2x}=3x^2-1,\text{deci}{\int }_0^3(f(x)-e^{2x})dx={\int }_0^3(3x^2-1)dx=(x^3-x){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^3(f(x)-e^{2x})dx=(27-3)-0=24\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $3x^2$ ca $x^3/3$ — corect este $x^3$, pentru că factorul $3$ se simplifică. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,3]$ dă $24,000$.)

b) (5 p) De data aceasta rămâne $4x{e}^{2x}$; el se scrie ca $2x$ înmulțit cu derivata lui $e^{2x}$, ceea ce deschide drumul integrării prin părți: $${\int }_0^{1}4x(f(x)-3x^2+1)dx={\int }_0^{1}2x(e^{2x}{)}^{\prime }dx=2x{e}^{2x}{|}_0^1-{\int }_0^{1}2e^{2x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $2e^2$, iar ${\int }_0^{1}2e^{2x}dx=e^{2x}{|}_0^1=e^2-1$, deci $${\int }_0^{1}4x(f(x)-3x^2+1)dx=2e^2-e^2+1={\mathbf{e}}^2+1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se ia primitiva lui $e^{2x}$ drept $e^{2x}$, uitând împărțirea la $2$ — de aceea am scris integrandul de la început ca $2x(e^{2x}{)}^{\prime }$, care evită complet problema. Control numeric: $e^2+1\approx 8,3891$, iar integrala calculată numeric dă $8,38906$.)

c) (5 p) Funcția $t\mapsto \frac{f(t)}{t+1}$ este continuă în vecinătatea originii, deci funcția integrală $F(x)={\int }_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt$ este derivabilă, cu $F^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x+1}$. În $x=0$ atât $F(0)$, cât și $x^2$ sunt nule, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui L'Hôpital: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^x\frac{f(t)}{t+1}dt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{x+1}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x(x+1)}\text{(3 p)}.$$ Cum $f(0)=3\cdot 0-1+e^0=0$, iar numitorul se anulează și el, avem din nou cazul $\frac{0}{0}$; derivând încă o dată, cu $f^{\prime }(x)=6x+2e^{2x}$ și $(2x^2+2x{)}^{\prime }=4x+2$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x(x+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{6x+2e^{2x}}{4x+2}=\frac{0+2}{0+2}=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se derivează integrala „ca pe o constantă", uitând că limita ei superioară este chiar $x$; sau se aplică L'Hôpital a doua oară fără să se verifice că nedeterminarea persistă — pasul-cheie este observația $f(0)=0$, care nu se vede din formă, ci din calcul. Control numeric: pentru $x=0,01$ raportul dă $1,0100$, iar pentru $x=0,001$ dă $1,0010$ — se apropie de $1$ proporțional cu $x$.)