Bac M1 2025, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 1, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)$ pentru o funcție de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională de tipul $\sqrt{u(x)}=x$: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu divizorii unei puteri a lui $2$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și egalitatea a două mijlocuri — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit și teorema lui Pitagora — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice, o relație funcțională de tipul $A(x)\cdot A(y)=2A(x+y)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificare — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, împărțirea cu rest și legătura dintre rădăcini și valorile polinomului, prin forma descompusă — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivate, asimptotă oblică, bijectivitate: derivarea unui logaritm de raport, procedura în trei pași a asimptotei oblice, injectivitate din monotonie și surjectivitate din limite plus continuitate — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, formula Leibniz–Newton, recunoașterea unei primitive de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u^3}$ și aria subgraficului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2025. Subiectul I este scurt și „de mână": nicio cerință nu are calcul lung, dar fiecare are un punct în care se pierd puncte dacă scrii direct rezultatul. Subiectul al II-lea a mutat accentul de la legile de compoziție la matricea cu parametru (problema 1) și la polinoame (problema 2) — deci pe manevrarea unei familii de matrice ca pe un obiect unic și pe forma descompusă a unui polinom. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, un lanț complet derivată → asimptotă → bijectivitate, iar la problema 2 trei integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului, nu în tehnica de integrare.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $1-\ln 2$ și $\frac{e-1}{2(e+1)}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificare; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; concluzia „este bijectivă" fără ambele jumătăți (injectivă și surjectivă); ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; adunarea și înmulțirea se fac ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(a)=f(f(a))$ — se calculează dinăuntru în afară. Ecuații iraționale: $\sqrt{u(x)}=v(x)\Rightarrow u(x)=v(x{)}^2$, cu condiția obligatorie $v(x)\ge 0$ și verificarea soluțiilor. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Mijlocul segmentului: $M_{AB}\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Triunghiul dreptunghic: $\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$, plus teorema lui Pitagora.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid — de aici se scot ecuațiile.
• Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; forma descompusă $f=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ pentru un polinom de gradul al treilea cu coeficient dominant $a$ — ea leagă rădăcinile de valorile polinomului, nu doar de coeficienți.
• Derivate și asimptote: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. Bijectivitate: strict monotonă $\Rightarrow$ injectivă; continuă, cu limitele la capete egale cu capetele codomeniului $\Rightarrow$ surjectivă.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u^3}dx=-\frac{1}{2u^2}+\mathcal{C}$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x+3$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=2x+\ln \frac{x}{x+2}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2}{(x+1{)}^3}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametru la itemul $8$ (coeficientul dominant al polinomului) și necunoscută la itemii $2$ și $5$. La itemul $8$ ea nu are voie să fie zero, altfel polinomul nu ar mai avea gradul al treilea și nici trei rădăcini.
• Litera $e$ apare o singură dată, la itemul $10$, subpunctul c), și înseamnă acolo numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=1-i$ și $z_2=2+i$. Arătați că $2z_1+i{z}_2=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ f)(a)=9$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2-3x+2}=x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului $2^6$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(5,0)$, $C(6,3)$ și $D(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=2$ și $\mathrm{tg}B=3$. Arătați că $BC=2\sqrt{10}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(x)=\left(\begin{array}{ccc}2-3x& 0& x\\ 0& 2& 0\\ -9x& 0& 2+3x\end{array}\right),$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=8$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=2A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A(x)+A(3x))\cdot A(2x)=4A\left(x^2\right)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=a{X}^3+3X^2-aX-6$, unde $a$ este număr real nenul.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=-3$, pentru orice număr real nenul $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2+3X-1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\ln \frac{x}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1{)}^2}{x(x+2)}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{(x+1{)}^3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{3}f(x)(x+1{)}^{3}dx=9$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}dx=1-\ln 2$.

c) (5 puncte) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f\left(e^x\right)}{e^x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-1$ și $x=1$ este egală cu $\frac{e-1}{2(e+1)}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înlocuiesc cele două numere și se desfac parantezele, ținând minte că $i$ se înmulțește ca o literă obișnuită: $$2z_1+i{z}_2=2(1-i)+i(2+i)=2-2i+2i+i^2\text{(2 p)}.$$ Termenii $-2i$ și $+2i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$2z_1+i{z}_2=2-1=1\text{(3 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $-2+2=0$, iar partea reală $2+(-1)=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$ sau se uită să se distribuie $i$ peste ambii termeni din $2+i$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară: $f(a)=a+3$, deci $$(f\circ f)(a)=f(f(a))=f(a+3)=(a+3)+3=a+6,\text{pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $a+6=9$, de unde $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Verificare: $f(3)=6$ și $f(6)=9$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(a)\cdot f(a)$ sau $2f(a)$ în loc de compunere — semnul $\circ$ înseamnă „aplic funcția de două ori", nu produs.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Membrul stâng este o rădăcină pătrată, deci nenegativ; prin urmare orice soluție trebuie să verifice $x\ge 0$. Ridicând ecuația la pătrat se obține $$2x^2-3x+2=x^2,\text{ de unde }{x}^2-3x+2=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =9-8=1$ și rădăcinile $x=1$ sau $x=2$; amândouă sunt pozitive și amândouă verifică ecuația inițială, deci convin (3 p): $$\sqrt{2-3+2}=\sqrt{1}=1,\sqrt{8-6+2}=\sqrt{4}=2.$$ (Unde se greșește de obicei: se sare peste verificare. Ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine — aici nu introduce niciuna, dar baremul cere cuvântul „convin", adică proba efectivă.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Divizorii naturali ai numărului $2^6=64$ sunt puterile lui $2$ până la a șasea: $1,2,4,8,16,32,64$. Dintre ei au două cifre doar $16$, $32$ și $64$, deci sunt $3$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră, sau se caută divizorii lui $2\cdot 6=12$ în loc de $2^6=64$. Control: un divizor al lui $64$ este tot o putere a lui $2$, deci lista de mai sus este completă.)

Itemul 5. (5 p) — mijlocul unui segment în reper cartezian.

Mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Pentru $A(0,1)$ și $C(6,3)$, respectiv pentru $B(5,0)$ și $D(a,b)$: $$M_{AC}\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+3}{2}\right)=M_{AC}(3,2),M_{BD}\left(\frac{5+a}{2},\frac{b}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Două puncte coincid când au ambele coordonate egale, deci $\frac{5+a}{2}=3$ și $\frac{b}{2}=2$, de unde $\mathbf{a}=1$ și $\mathbf{b}=4$ (2 p).

(Control: mijlocul lui $BD$ cu $D(1,4)$ este $\left(\frac{5+1}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(3,2)$, exact mijlocul lui $AC$. Observație utilă: două segmente cu același mijloc sunt diagonalele unui paralelogram — aici $ABCD$ este paralelogram.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$, iar ipotenuza este $BC$. Tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă lui $B$ și cateta alăturată: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB},\text{ deci }3=\frac{AC}{2}⟹AC=6\text{(3 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=2^2+6^2=40$, de unde $$BC=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se ia $\mathrm{tg}B=\frac{AB}{AC}$, adică raportul răsturnat. Controlul e imediat: dacă tangenta este mai mare decât $1$, cateta opusă trebuie să fie mai mare decât cea alăturată, deci $AC>AB$. Control numeric: $2\sqrt{10}\approx 6,325$, iar ipotenuza trebuie să depășească ambele catete, $2$ și $6$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -9& 0& 5\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -9& 0& 5\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =-10+0+0+18-0-0\\ & =8\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după linia a doua, care are un singur element nenul: $\det (A(1))=2\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ -9& 5\end{array}\right|=2(-5+9)=8$. Aceeași valoare — și un control gratuit al calculului lung. De reținut: linia a doua a matricei $A(x)$ este $\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\end{array}\right)$ pentru orice $x$, deci trucul merge la orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Termenii în $xy$ se reduc la fiecare poziție — de aceea rezultatul rămâne de gradul întâi: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}4-6x-6y& 0& 2x+2y\\ 0& 4& 0\\ -18x-18y& 0& 4+6x+6y\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scoțând factorul comun $2$ din toate elementele se recunoaște chiar matricea din enunț, scrisă pentru $x+y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)\cdot A(y)\\ & =2\left(\begin{array}{ccc}2-3(x+y)& 0& x+y\\ 0& 2& 0\\ -9(x+y)& 0& 2+3(x+y)\end{array}\right)\\ & =2A(x+y)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $(2-3x)(2-3y)+0\cdot 0+x\cdot (-9y)=4-6x-6y+9xy-9xy=4-6x-6y$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $x=1$ și $y=0$ produsul este $A(1)A(0)=A(1)\cdot 2I_3=2A(1)$, exact ce prezice formula.)

c) (5 p) Se observă întâi că suma din paranteză este tot o matrice din familie: adunând element cu element, $A(x)+A(3x)=2A(2x)$. Folosind apoi relația de la subpunctul b) pentru $x=y=2x$: $$\begin{array}{rl}& \\ & (A(x)+A(3x))\cdot A(2x)\\ & =2A(2x)\cdot A(2x)\\ & =2\cdot 2A(2x+2x)=4A(4x)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Ecuația devine $4A(4x)=4A\left(x^2\right)$, adică $A(4x)=A\left(x^2\right)$. Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid; comparând elementele de pe linia întâi, coloana a treia, obținem $4x=x^2$, adică $x(x-4)=0$, deci $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $A(2x)$, ca și cum matricele s-ar putea „împărți" — corect este să folosești relația de la b). Verificare: pentru $x=4$ avem $A(4)+A(12)=2A(8)$ și $2A(8)\cdot A(8)=4A(16)=4A\left(4^2\right)$; pentru $x=0$ toate matricele devin $2I_3$ și egalitatea se citește direct.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $1$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $1$: $$f(1)=a\cdot 1^3+3\cdot 1^2-a\cdot 1-6=a+3-a-6\text{(3 p)}.$$ Termenii $a$ și $-a$ se reduc, deci $f(1)=-3$, oricare ar fi numărul real nenul $a$ (2 p).

(Observație folositoare mai departe: la fel se reduce parametrul și în $-1$, unde $f(-1)=-a+3+a-6=-3$. Ambele valori sunt independente de $a$ — exact pe asta se sprijină subpunctul c).)

b) (5 p) Pentru $a=1$ polinomul este $f=X^3+3X^2-X-6$. Se observă că primii trei termeni sunt chiar $X$ înmulțit cu $g$: $$f=X(X^2+3X-1)-6=X\cdot g-6,\text{ deci caˆtul este }\mathbf{X}\text{(3 p)}.$$ Cum $-6$ este un polinom constant, iar $\mathrm{grad}(-6)=0<2=\mathrm{grad}g$, teorema împărțirii cu rest este verificată și restul este $-6$ (2 p).

(Verificare prin desfacere: $X(X^2+3X-1)-6=X^3+3X^2-X-6$, adică exact $f$. Unde se greșește de obicei: se oprește împărțirea când mai rămâne un termen de gradul întâi — restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât al împărțitorului, adică cel mult $1$ aici; a ieșit chiar $0$.)

c) (5 p) Polinomul are gradul al treilea și coeficientul dominant $a$, deci se descompune ca $f=a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$. Înlocuind $X$ cu $-1$ și scoțând semnul minus din fiecare paranteză: $$f(-1)=a(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3)=-a(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3),$$ $$\text{deci}(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)=-\frac{f(-1)}{a},\text{ pentru orice numa˘r real nenul }a\text{(3 p)}.$$ Cum $f(-1)=-3$, condiția din enunț devine $-\frac{-3}{a}=1$, adică $\frac{3}{a}=1$, de unde $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Același rezultat, pe drumul relațiilor lui Viète: $x_1+x_2+x_3=-\frac{3}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-\frac{a}{a}=-1$ și $x_1{x}_2{x}_3=\frac{6}{a}$, iar produsul cerut este $1+\left(-\frac{3}{a}\right)+(-1)+\frac{6}{a}=\frac{3}{a}$ — aceeași expresie. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $a$ din forma descompusă, sau semnul minus din $(-1{)}^3$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și bijectivitate.

a) (5 p) Al doilea termen este un logaritm compus, deci se derivează cu formula $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\frac{x}{x+2}$ are derivata $u^{\prime }(x)=\frac{(x+2)-x}{(x+2{)}^2}=\frac{2}{(x+2{)}^2}$. Prin urmare $$f^{\prime }(x)=2+\frac{x+2}{x}\cdot \frac{2}{(x+2{)}^2}=2+\frac{2}{x(x+2)}\text{(3 p)}.$$ Aducând la același numitor și grupând într-un pătrat perfect: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+2)+2}{x(x+2)}=\frac{2x^2+4x+2}{x(x+2)}=\frac{2(x^2+2x+1)}{x(x+2)}=\frac{2(x+1{)}^2}{x(x+2)},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=2$, formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 9}{2\cdot 4}=2,25$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $2,25$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln \frac{x}{x+2}$ ca $\frac{1}{\frac{x}{x+2}}$, adică se uită $u^{\prime }$; scrierea prealabilă $\ln x-\ln (x+2)$ este un drum la fel de corect și mai scurt.)

b) (5 p) Se caută întâi panta, ca la orice asimptotă oblică: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{x}\ln \frac{x}{x+2}\right)=2+0=2\in {\mathbb{R}}^{\ast }\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{x}{x+2}=\ln 1=0\in \mathbb{R},$$ deci dreapta de ecuație $\mathbf{y}=2x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De ce $\frac{1}{x}\ln \frac{x}{x+2}\to 0$: paranteza tinde la $\ln 1=0$, iar $\frac{1}{x}$ tinde tot la zero — produsul a două cantități care tind la zero tinde la zero, fără niciun caz de nedeterminare. Unde se greșește de obicei: se calculează $n$ înaintea lui $m$, sau se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$; ordinea și capătul sunt punctate separat. Control numeric: $f(1000)-2000=\ln \frac{1000}{1002}\approx -0,002$, apropiat de zero.)

c) (5 p) Injectivitatea. Din subpunctul a), $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1{)}^2}{x(x+2)}>0$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$, pentru că numărătorul este strict pozitiv (un pătrat înmulțit cu $2$, iar $x+1\ne 0$ pe acest interval) și numitorul la fel. Așadar $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, deci injectivă (2 p).

Surjectivitatea. Limitele la capetele domeniului sunt $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0+\ln 0^{+}=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă pe $(0,+\infty )$, fiind sumă de funcții elementare. O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limitele de la capete, deci imaginea lui $f$ este chiar $\mathbb{R}$, adică $f$ este surjectivă; fiind și injectivă, $f$ este bijectivă (3 p).

(Unde se greșește de obicei: se scrie „este strict crescătoare, deci bijectivă". Stricta monotonie dă doar injectivitatea; pentru surjectivitate trebuie arătat că imaginea acoperă tot codomeniul, iar asta cere limitele plus continuitatea. Control: $f(1)=2+\ln \frac{1}{3}\approx 0,901$ și $f(0,1)=0,2+\ln \frac{0,1}{2,1}\approx -2,844$ — valorile chiar coboară spre $-\infty$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită și arie.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $(x+1{)}^3$ se reduce cu numitorul funcției, $$f(x)(x+1{)}^3=\frac{x^2}{(x+1{)}^3}\cdot (x+1{)}^3=x^2,\text{deci}{\int }_0^{3}f(x)(x+1{)}^{3}dx={\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{3}f(x)(x+1{)}^{3}dx=\frac{27}{3}-\frac{0}{3}=9-0=9\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[0,3]$ avem $x+1\ne 0$; capătul $-1$, exclus din domeniu, nu intră în interval. Control numeric: integrala lui $x^2$ pe $[0,3]$ calculată cu metoda trapezelor dă $9,000$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică sub radical: $f(x)(x+1)=\frac{x^2}{(x+1{)}^3}\cdot (x+1)=\frac{x^2}{(x+1{)}^2}$, iar pe intervalul $[0,1]$ atât $x$, cât și $x+1$ sunt nenegative, deci radicalul se scoate fără modul. Împărțind apoi cu rest: $${\int }_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}dx={\int }_0^1\frac{x}{x+1}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=(x-\ln (x+1)){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, $${\int }_0^1\sqrt{f(x)(x+1)}dx=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{x}{x+1}$ „ca un raport", cu logaritm la numitor. Rețeta corectă este împărțirea cu rest, $\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$. A doua capcană este $\sqrt{u^2}=|u|$: aici modulul dispare pentru că pe $[0,1]$ raportul este pozitiv, dar motivul trebuie scris. Control numeric: $1-\ln 2\approx 0,3069$, iar integrala calculată numeric dă $0,30685$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit, înlocuind $x$ cu $e^x$ în formula lui $f$: $$g(x)=\frac{f\left(e^x\right)}{e^x}=\frac{1}{e^x}\cdot \frac{(e^x{)}^2}{(e^x+1{)}^3}=\frac{e^x}{(e^x+1{)}^3},x\in \mathbb{R}.$$ Funcția $g$ este continuă și strict pozitivă pe $[-1,1]$ (numărătorul și numitorul sunt strict pozitive), deci aria cerută este chiar integrala, fără modul. Recunoscând la numărător derivata numitorului, $(e^x+1{)}^{\prime }=e^x$, primitiva este de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u^3}dx=-\frac{1}{2u^2}+\mathcal{C}$: $$\mathcal{S}={\int }_{-1}^{1}g(x)dx={\int }_{-1}^1\frac{(e^x+1{)}^{\prime }}{(e^x+1{)}^3}dx=-\frac{1}{2(e^x+1{)}^2}{|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $e^{-1}+1=\frac{1+e}{e}$: $$\mathcal{S}=-\frac{1}{2(e+1{)}^2}+\frac{e^2}{2(e+1{)}^2}=\frac{e^2-1}{2(e+1{)}^2}=\frac{(e-1)(e+1)}{2(e+1{)}^2}=\frac{\mathbf{e}-1}{2(\mathbf{e}+1)}\text{(2 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Unde se greșește de obicei: se calculează $f\left(e^x\right)$ ca $e^{f(x)}$, sau se uită împărțirea la $e^x$ din definiția lui $g$; a doua capcană este semnul, pentru că primitiva $-\frac{1}{2u^2}$ este negativă la ambele capete, iar diferența iese totuși pozitivă — cum și trebuie, aria fiind pozitivă. Control numeric: $\frac{e-1}{2(e+1)}\approx 0,23106$, iar integrala calculată numeric pe $[-1,1]$ dă $0,231059$.)