Bac M1 2025, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, pentru sesiunea iunie-iulie 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 5, varianta de rezervă publicată împreună cu baremul ei oficial. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care proba se susține la data de rezervă a sesiunii; ele au exact aceeași structură și aceeași greutate ca varianta principală. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Logaritmi: diferența a doi logaritmi cu aceeași bază și logaritmul unei puteri — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcții de gradul întâi: valoarea unei funcții într-o expresie care conține parametrul — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea pe poziții, cu regula produsului și restricția de divizibilitate cu $5$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și ecuația dreptei printr-un punct dat — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în unghiurile remarcabile și calculul unei expresii într-un punct — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare și regula lui Cramer: determinantul unei matrice cu parametru, condiția de soluție unică și o necunoscută scrisă ca fracție în parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: compusul a două numere, o ecuație în legea dată și forma factorizată a compusului a trei elemente — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, monotonie și o limită de tipul $1^{\infty }$: derivarea unui produs cu radical, semnul unui trinom și limita fundamentală a numărului $e$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, recunoașterea formei $u^2{u}^{\prime }$ și majorarea unui șir de integrale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă din 2025. Subiectul I este cel mai prietenos dintre cele trei, dar are două cerințe „cu citire": la itemul $4$ restricția de divizibilitate fixează cifra unităților, nu una oarecare, iar la itemul $6$ expresia are argumentele $\frac{3x}{4}$ și $\frac{x}{2}$, deci pentru $x=\frac{\pi }{3}$ apar tocmai unghiurile $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{\pi }{6}$. Subiectul al II-lea pune la problema 1 un sistem cu parametru — de aici toată tehnica determinanților și a regulii lui Cramer — și la problema 2 o lege de compoziție care se factorizează, deci se poate compune de trei ori fără calcul greoi. Subiectul al III-lea este cel care departajează: la problema 1 apare o limită de tipul $1^{\infty }$, iar la problema 2 un șir de integrale în care combinația $I_{n+2}+I_n$ este aleasă tocmai ca să anuleze numitorul $1+{\ln }^{2}x$.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $55$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple, intervale cu capete întregi sau expresii de forma $2^{n-1}(e^4-1)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: concluzia „sistemul are soluție unică" scrisă fără a arăta că determinantul nu se anulează pentru niciun $a$; inecuația cu fracție rezolvată prin înmulțire încrucișată fără a spune de ce numitorul este pozitiv; intervalele de monotonie date fără semnul derivatei pe fiecare interval; limita de tipul $1^{\infty }$ calculată prin „înlocuire directă"; majorarea unui șir de integrale făcută fără a preciza intervalul pe care este adevărată inegalitatea dintre funcții.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Logaritmi: ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$, ${\log }_a{u}^k=k{\log }_{a}u$ și ${\log }_{a}a=1$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, după aducerea la aceeași bază, cu $8=2^3$ și $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$. Combinatorică: regula produsului — se alege întâi poziția cea mai constrânsă. Ecuația dreptei printr-un punct: $y-y_A=m(x-x_A)$; două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă. Unghiuri remarcabile: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Sisteme liniare: un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul; atunci fiecare necunoscută se scrie cu regula lui Cramer, $y_0=\frac{\det A_y}{\det A}$, unde $A_y$ se obține din $A$ înlocuind coloana lui $y$ cu coloana termenilor liberi.
• Legi de compoziție: pentru legile de forma $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$, compusul a trei elemente este $k^2(x-a)(y-a)(z-a)+a$ — de aceea forma factorizată se scrie de la început.
• Derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; semnul derivatei dă monotonia, iar zerourile ei separă intervalele. Limita fundamentală: $\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$; orice limită de tipul $1^{\infty }$ se aduce la această formă, iar exponentul rămas dă rezultatul prin $e^{\text{limita˘}}$.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b$; forma $\int u^2{u}^{\prime }dx=\frac{u^3}{3}+\mathcal{C}$, folosită aici cu $u=\ln x$; monotonia integralei: dacă $u\le v$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x-4$ de la itemul $2$, $f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}$ de la itemul $9$ și $f(x)=8x^3+1+{\ln }^{2}x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametrul matricei și al sistemului la itemul $7$ — deci un număr fixat pe durata unei rezolvări, nu o necunoscută. Literele $m$, $n$ și $p$ sunt: $m$ necunoscută reală la itemul $2$, iar $m$, $n$, $p$ numere naturale la itemul $8$, subpunctul c); litera $n$ este și indicele șirului de integrale la itemul $10$.
• Notația ${\ln }^{2}x$ de la itemul $10$ înseamnă $(\ln x{)}^2$, adică pătratul logaritmului, nu logaritmul lui $x^2$; la subpunctul c) același lucru se scrie explicit, $(\ln x{)}^n$. Litera $e$ înseamnă peste tot în această probă numărul lui Euler — nu apare niciun element neutru notat cu $e$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $2({\log }_{5}10-{\log }_{5}2)+{\log }_{5}25=4$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2+m)=2-m$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^x\cdot 2^{1-x}=2^7$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A$, sunt divizibile cu $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,0)$ și $C(4,6)$. Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $A$ și este paralelă cu dreapta $BC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=\mathrm{tg}x\cdot {\left(\cos \frac{3x}{4}\right)}^2-\cos \frac{x}{2}$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -2\\ 0& a& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right)$ și sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}ax+y-2z=4\\ ay+z=1\\ 2x+4y+z=4\end{array}$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=3$.

b) (5 puncte) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $y_0\ge 1$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)$.

a) (5 puncte) Arătați că $6\ast 7=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast (x+4)=6$.

c) (5 puncte) Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale, cu $m<n<p$, pentru care $m\ast n\ast p=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)}^x=1$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x^3+1+{\ln }^{2}x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(f(x)-{\ln }^{2}x)dx=31$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\frac{1}{3}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_1^{e^2}\frac{x(\ln x{)}^n}{f(x)-8x^3}dx$. Demonstrați că $I_{n+2}+I_n\le 2^{n-1}(e^4-1)$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — proprietățile logaritmilor.

Diferența a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul câtului, iar $25=5^2$: $$2({\log }_{5}10-{\log }_{5}2)+{\log }_{5}25=2{\log }_5\frac{10}{2}+{\log }_5{5}^2=2{\log }_{5}5+{\log }_5{5}^2\text{(3 p)}.$$ Logaritmul bazei este $1$, iar exponentul iese în față, deci $$2({\log }_{5}10-{\log }_{5}2)+{\log }_{5}25=2\cdot 1+2=4\text{(2 p)}.$$ (Control cu valori aproximative: ${\log }_{5}10\approx 1,431$ și ${\log }_{5}2\approx 0,431$, deci paranteza este $1$, iar ${\log }_{5}25=2$; suma dă $2+2=4$. Unde se greșește de obicei: se scrie ${\log }_{5}10-{\log }_{5}2={\log }_{5}8$, adică se scad argumentele în loc să fie împărțite.)

Itemul 2. (5 p) — valoarea unei funcții de gradul întâi într-o expresie.

Se înlocuiește $x$ cu întreaga expresie $2+m$ în formula funcției: $$f(2+m)=(2+m)-4=m-2,\text{ pentru orice numa˘r real }m\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$m-2=2-m⟹2m=4⟹\mathbf{m}=2\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $f(2+2)=f(4)=0$, iar $2-2=0$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)+m$ în loc de $f(2+m)$; argumentul funcției este tot ce stă în paranteză.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduce membrul stâng la baza $2$, folosind $8=2^3$ și regula $2^u\cdot 2^v=2^{u+v}$: $$8^x\cdot 2^{1-x}=(2^3{)}^x\cdot 2^{1-x}=2^{3x}\cdot 2^{1-x}=2^{2x+1},\text{ deci }2x+1=7\text{(3 p)}.$$ Trecerea de la puteri la exponenți este legitimă pentru că funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, deci $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $8^3\cdot 2^{-2}=512:4=128=2^7$. Unde se greșește de obicei: se adună greșit exponenții, $3x+1-x=2x+1$, nu $4x+1$; sau se scrie $(2^3{)}^x=2^{3+x}$, deși la ridicarea unei puteri la o putere exponenții se înmulțesc.)

Itemul 4. (5 p) — numărare pe poziții, cu regula produsului.

Un număr este divizibil cu $5$ exact când se termină în $0$ sau în $5$; cum cifra $0$ nu este în mulțimea $A$, cifra unităților poate fi numai $5$, deci se poate alege într-un singur mod (2 p).

Cifrele trebuie să fie distincte, deci pentru celelalte două poziții rămân cifrele $1,2,3,4,6$. Cifra sutelor se poate alege în $5$ moduri, iar pentru fiecare alegere a ei cifra zecilor se poate alege în câte $4$ moduri, deci $$1\cdot 5\cdot 4=20\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Regula de aur a numărării: se începe cu poziția cea mai constrânsă — aici unitățile. Unde se greșește de obicei: se numără $6\cdot 5\cdot 1=30$, uitând că cifra $5$ a fost deja folosită la unități, sau se acceptă și terminația $0$, deși $0\notin A$. Control: numerele sunt $125,135,\dots ,465$ — pentru fiecare din cele $5$ cifre ale sutelor, câte $4$ cifre ale zecilor.)

Itemul 5. (5 p) — ecuația unei drepte paralele cu o dreaptă dată.

Panta dreptei $BC$, cu $B(2,0)$ și $C(4,6)$, este $$m_{BC}=\frac{6-0}{4-2}=3,\text{ iar dreapta }d\text{ fiind paralela˘ cu }BC,m_d=3\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $A(0,1)$, deci ecuația ei se scrie cu formula dreptei printr-un punct de pantă dată: $$y-1=3(x-0)⟹\mathbf{y}=3x+1\text{(2 p)}.$$ (Control: pentru $x=0$ ecuația dă $y=1$, deci $A$ chiar este pe dreaptă; panta $3$ coincide cu a lui $BC$, iar $B(2,0)$ nu verifică ecuația, $3\cdot 2+1=7\ne 0$ — deci dreptele sunt paralele, nu confundate. Unde se greșește de obicei: se folosește panta răsturnată, $\frac{4-2}{6-0}$, sau se scrie ecuația trecând prin $B$ în loc de $A$.)

Itemul 6. (5 p) — valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri remarcabile.

Pentru $x=\frac{\pi }{3}$, argumentele din expresie devin $\frac{3x}{4}=\frac{\pi }{4}$ și $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$, iar valorile necesare sunt $$\begin{array}{rl}\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}& =\sqrt{3},\cos \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Înlocuind în expresie și ținând cont că pătratul lui $\frac{\sqrt{2}}{2}$ este $\frac{1}{2}$: $$\begin{array}{rl}E\left(\frac{\pi }{3}\right)& =\sqrt{3}\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}\approx 1,7321$, iar $1,7321\cdot 0,5-0,8660=0,0000$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\cos \frac{3x}{4}$ ca $\frac{3}{4}\cos x$ — funcțiile trigonometrice nu sunt liniare; sau se ridică la pătrat doar numărătorul lui $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Observație: $\frac{\pi }{3}$ chiar aparține intervalului $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\mathrm{tg}$ este definită acolo.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 1& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 1& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =1+2+0-(-4)-4-0\\ & =3\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul mai scurt este dezvoltarea după prima coloană, care are un zero: $1\cdot (1-4)-0+2\cdot (1+2)=-3+6=3$ — aceeași valoare și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Se calculează determinantul pentru un parametru oarecare, dezvoltând după prima coloană: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& -2\\ 0& a& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right|=a(a-4)+2(1+2a)\\ & =a^2-4a+2+4a\\ & =a^2+2,\text{ pentru orice }a\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un pătrat este nenegativ, deci $a^2+2\ge 2>0$ pentru orice număr real $a$; determinantul sistemului fiind nenul, sistemul este de tip Cramer și are soluție unică, oricare ar fi $a$ (2 p).

(Control: pentru $a=1$ formula dă $1+2=3$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se scrie „determinantul poate fi nul dacă $a^2=-2$" — ecuația nu are soluții reale, deci concluzia este că determinantul nu se anulează niciodată. Discuția pe cazuri nu are ce să discute aici.)

c) (5 p) Sistemul fiind de tip Cramer, necunoscuta $y_0$ se obține înlocuind în determinantul sistemului coloana lui $y$ cu coloana termenilor liberi: $$\begin{array}{rl}{y}_0& =\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& 4& -2\\ 0& 1& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right|}{a^2+2}=\frac{12-3a}{a^2+2},\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Numitorul fiind strict pozitiv, inecuația $y_0\ge 1$ se poate înmulți cu el fără să schimbe sensul: $$\begin{array}{rl}12-3a& \ge a^2+2⟹a^2+3a-10\\ & \le 0⟹(a+5)(a-2)\\ & \le 0⟹\mathbf{a}\in [-5,2]\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $a=0$, $y_0=\frac{12}{2}=6\ge 1$, iar $0\in [-5,2]$; pentru $a=3$, $y_0=\frac{3}{11}<1$, iar $3\notin [-5,2]$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu numitorul fără să se spună de ce este pozitiv — la o inecuație, semnul factorului cu care înmulțim decide sensul; a doua capcană este semnul trinomului, care este negativ între rădăcini, nu în afara lor.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiesc direct cele două numere în formula legii: $$\begin{array}{rl}6\ast 7& =4-\frac{1}{2}(6-4)(7-4)\\ & =4-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\text{(3 p)}.\end{array}$$ Produsul din dreapta valorează $3$, deci $$6\ast 7=4-3=1\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se calculează $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 7$, adică se uită scăderile din paranteze. Observație folositoare mai departe: forma $x\ast y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4)$ este deja factorizată în jurul lui $4$ — de aceea toate calculele se fac cu diferențele față de $4$.)

b) (5 p) Se scrie compusul lăsând ambele paranteze nedesfăcute; a doua devine $(x+4)-4=x$: $$\begin{array}{rl}& x\ast (x+4)\\ & =4-\frac{1}{2}(x-4)x,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.\end{array}$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul al doilea: $$\begin{array}{rl}& 4-\frac{1}{2}(x^2-4x)\\ & =6⟹x^2-4x=-4\\ & ⟹x^2-4x+4=0⟹(x-2{)}^2\\ & =0⟹\mathbf{x}=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Verificare: $2\ast 6=4-\frac{1}{2}(-2)(2)=4+2=6$. Unde se greșește de obicei: se pierde semnul la înmulțirea cu $-\frac{1}{2}$; controlul rapid este discriminantul, $\Delta =16-16=0$, deci rădăcină dublă — ecuația are o singură soluție, iar enunțul cere într-adevăr „numărul real $x$", la singular.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, compusul a trei elemente se calculează într-o singură formulă. Scăzând $4$ din ambii membri ai definiției se vede că fiecare compunere înmulțește diferențele față de $4$ cu $-\frac{1}{2}$, deci $$\begin{array}{rl}& m\ast n\ast p\\ & =4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4),\\ & \text{ pentru orice numere naturale }m,n\text{ și }p\text{(3 p)}.\end{array}$$ Condiția $m\ast n\ast p=3$ devine astfel o ecuație cu produs de întregi: $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)\\ & =-1\\ & ⟺(m-4)(n-4)(p-4)=-4;\end{array}$$ $m$, $n$ și $p$ fiind numere naturale cu $m<n<p$, cei trei factori sunt întregi distincți, iar descompunerile lui $-4$ în trei factori întregi distincți dau tripletele $(2,5,6)$ și $(3,5,8)$ (2 p).

(Cum se caută: factorii sunt $m-4<n-4<p-4$, cu produsul $-4$; perechile posibile de factori distincți sunt $\{-2,1,2\}$ și $\{-1,1,4\}$, care dau exact cele două triplete. Verificare directă: $2\ast 5=4-\frac{1}{2}(-2)(1)=5$, apoi $5\ast 6=4-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=3$; la fel, $3\ast 5=\frac{9}{2}$, apoi $\frac{9}{2}\ast 8=4-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4=3$. Unde se greșește de obicei: se uită factorul $\frac{1}{4}$, care apare pentru că legea se aplică de două ori, fiecare aplicare aducând câte un $-\frac{1}{2}$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu radical, monotonie și o limită de tipul $1^{\infty }$.

a) (5 p) Funcția este un produs, deci se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, unde $v(x)=\sqrt{x^2+2}$ are derivata $\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}$: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =\sqrt{x^2+2}+(x-5)\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Aducând la același numitor și desfăcând paranteza de la numărător: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(x^2+2)+x^2-5x}{\sqrt{x^2+2}}\\ & =\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: în $x=3$, formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{18-15+2}{\sqrt{11}}\approx 1,5076$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $1,5076$. Unde se greșește de obicei: se uită $2$ de la numitorul derivatei radicalului, sau se derivează produsul ca produs al derivatelor. Observație: radicalul este bine definit pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+2\ge 2>0$.)

b) (5 p) Numitorul $\sqrt{x^2+2}$ este strict pozitiv, deci semnul derivatei este dat numai de trinomul de la numărător. Rădăcinile lui sunt $$\begin{array}{rl}& 2x^2-5x+2\\ & =0⟹\Delta =25-16\\ & =9⟹x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Un trinom cu coeficientul dominant pozitiv este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele, deci: $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$, unde $f$ este crescătoare; $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $\left[\frac{1}{2},2\right]$, unde $f$ este descrescătoare; $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $[2,+\infty )$, unde $f$ este din nou crescătoare (3 p).

(Control numeric: $f(0)=-5\sqrt{2}\approx -7,07$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=-4,5\sqrt{2,25}=-6,75$, $f(2)=-3\sqrt{6}\approx -7,35$ și $f(3)=-2\sqrt{11}\approx -6,63$ — valorile urcă, coboară, apoi urcă din nou, exact ca în tabel. Unde se greșește de obicei: se dau intervalele fără să se spună semnul derivatei pe fiecare, sau se uită că un trinom cu $a>0$ are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor.)

c) (5 p) Se simplifică întâi baza. Pentru $x$ mare avem $x\ne 5$, deci $$\begin{array}{rl}& \frac{x^2-5x}{f(x)}\\ & =\frac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\\ & =\sqrt{\frac{x^2}{x^2+2}}={\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)}^{\frac{1}{2}}.\end{array}$$ Baza tinde la $1$ și exponentul la $+\infty$, deci limita este de tipul $1^{\infty }$; se folosește limita fundamentală, scriind exponentul ca produs între $-\frac{x^2+2}{2}$ și inversul lui: $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)}^x\\ & ={\left[{\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)}^{-\frac{x^2+2}{2}}\right]}^{-\frac{x}{x^2+2}}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Paranteza mare tinde la $e$, iar exponentul rămas tinde la zero, pentru că numitorul crește ca $x^2$ și numărătorul doar ca $x$: $$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)}^x\\ & =e^{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)}\\ & =e^0=1\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: pentru $x=1000$ expresia dă $0,99900$, iar pentru $x=100000$ dă $0,99999$ — se apropie de $1$, dar încet, ca $e^{-1/x}$. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „baza tinde la $1$, deci limita este $1$" — la $1^{\infty }$ această înlocuire este interzisă, cazul fiind de nedeterminare; contraexemplul clasic este ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e\ne 1$. A doua capcană este simplificarea: factorul $x-5$ se reduce doar pentru $x\ne 5$, ceea ce la $+\infty$ este oricum adevărat.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale cu logaritm.

a) (5 p) Din integrand dispare exact termenul scăzut, deci rămâne un polinom: $$f(x)-{\ln }^{2}x=8x^3+1,\text{deci}{\int }_1^2(f(x)-{\ln }^{2}x)dx={\int }_1^2(8x^3+1)dx=(2x^4+x){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2(f(x)-{\ln }^{2}x)dx=(32+2)-(2+1)=34-3=31\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită scăderea valorii din capătul de jos, care aici nu este zero, ci $3$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă $31,000$.)

b) (5 p) De data aceasta rămâne exact pătratul logaritmului, iar $\frac{1}{x}$ este chiar derivata lui $\ln x$ — deci integrandul are forma $u^2{u}^{\prime }$: $$\frac{f(x)-8x^3-1}{x}=\frac{{\ln }^{2}x}{x}={\ln }^{2}x\cdot (\ln x{)}^{\prime },\text{deci}{\int }_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\frac{{\ln }^{3}x}{3}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Cum $\ln e=1$ și $\ln 1=0$, $${\int }_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\frac{1}{3}-\frac{0}{3}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{{\ln }^{2}x}{x}$ ca și cum ar fi un raport oarecare, cu logaritm la numitor. Rețeta corectă este recunoașterea formei $u^2{u}^{\prime }$, cu $u=\ln x$, a cărei primitivă este $\frac{u^3}{3}$. Control numeric: integrala calculată numeric dă $0,33333$.)

c) (5 p) Se scrie mai întâi $I_n$ explicit: numitorul se simplifică la $f(x)-8x^3=1+{\ln }^{2}x$. Suma cerută se calculează dând factor comun $(\ln x{)}^n$ la numărător, ceea ce face să apară chiar numitorul: $$I_{n+2}+I_n={\int }_1^{e^2}\frac{x(\ln x{)}^n\left((\ln x{)}^2+1\right)}{1+{\ln }^{2}x}dx={\int }_1^{e^2}x(\ln x{)}^{n}dx\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul de integrare $[1,e^2]$ avem $0\le \ln x\le 2$, deci $(\ln x{)}^n\le 2^n$ și $x>0$; integrala păstrează inegalitatea dintre funcții: $$I_{n+2}+I_n\le 2^n{\int }_1^{e^2}xdx=2^n\cdot \frac{x^2}{2}{|}_1^{e^2}=2^n\cdot \frac{e^4-1}{2}=2^{\mathbf{n}-1}({\mathbf{e}}^4-1)\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se majorează $(\ln x{)}^n$ cu $2^n$ fără să se spună pe ce interval — inegalitatea $\ln x\le 2$ este falsă pentru $x>e^2$, deci menționarea capătului face parte din demonstrație. A doua capcană este trecerea de la $2^n\cdot \frac{e^4-1}{2}$ la $2^{n-1}(e^4-1)$: împărțirea la $2$ scade exponentul cu unu. Control numeric: pentru $n=1$, membrul stâng dă $41,20$, iar $2^0(e^4-1)\approx 53,60$.)