Bac M1 2025, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect publicat pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, la examenul național de bacalaureat din 2025 — documentul pe care ministerul îl dă la începutul anului școlar, ca să arate elevilor și profesorilor exact ce structură și ce nivel vor avea subiectele din sesiunile propriu-zise. El poartă mențiunea „Model" și nu are număr de variantă. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: condiția ca un punct să aparțină graficului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: schimbarea bazei, $\frac{1}{{\log }_{x}6}={\log }_{6}x$, adunarea logaritmilor și respingerea soluțiilor care încalcă condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și divizibilitate: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu multiplii impari ai lui $9$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte și condiția de paralelism $m_1=m_2$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghi oarecare: formula fundamentală și aria cu două laturi și unghiul dintre ele — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice de permutare, o identitate matriceală de forma $A-B(x)A=x{I}_3$ și inversa folosită pentru a exprima o matrice necunoscută — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, o ecuație cu fracție și factorizarea $m\ast n=(m+n)(mn+1)$, care transformă o ecuație în numere întregi într-o descompunere a lui $1$ — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea raportului $\frac{\ln x}{x^3}$, asimptota orizontală spre $+\infty$ și imaginea funcției, citită din tabelul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și inegalități: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ și majorarea unei integrale prin compararea integranzilor — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2025. Subiectul I arată nivelul obișnuit al primei părți: calcule scurte, dar cu câte o capcană fiecare — la itemul $3$ trebuie recunoscută schimbarea bazei și respinsă o rădăcină care încalcă o condiție de existență, iar la itemul $4$ trebuie citită corect condiția dublă „multiplu impar al lui $9$". Subiectul al II-lea nu cere formule speciale, ci manevrarea matricelor ca obiecte: o identitate demonstrată prin calcul direct la problema 1, subpunctul b), și folosirea inversei pentru a exprima o matrice necunoscută la subpunctul c). Problema 2 se sprijină pe o singură idee — factorizarea legii — care transformă subpunctul c) dintr-o căutare oarbă într-o descompunere a lui $1$ în doi factori întregi. Subiectul al III-lea este perechea clasică studiu de funcție plus integrale, cu un final mai rar: o inegalitate cu integrale, demonstrată nu prin calcul, ci prin compararea a doi integranzi.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln (e+1)$ și $1-\frac{2}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; ecuația asimptotei orizontale scrisă fără calculul limitei; imaginea funcției dată fără limitele la capete și fără continuitate; inegalitatea cu integrale „demonstrată" prin calculul aproximativ al integralei din stânga.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; înmulțirea se face ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Grafice: un punct $A(x_A,y_A)$ aparține graficului lui $f$ exact când $f\left(x_A\right)=y_A$. Logaritmi: $\frac{1}{{\log }_{x}6}={\log }_{6}x$ (schimbarea bazei) și ${\log }_{b}u+{\log }_{b}v={\log }_b(uv)$, cu condițiile de existență verificate separat. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Pante: două drepte sunt paralele când $m_1=m_2$. Aria unui triunghi: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin B}{2}$, cu ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; $A\cdot X=B\Rightarrow X=A^{-1}\cdot B$, valabil când $\det A\ne 0$; matricea unitate $I_3$ se comportă la înmulțire ca numărul $1$.
• Legi de compoziție: înainte de orice ecuație, legea se factorizează — aici $x\ast y=xy(x+y)+(x+y)=(x+y)(xy+1)$; o ecuație în numere întregi de forma „produs de doi factori $=1$" are numai două cazuri, $1\cdot 1$ și $(-1)\cdot (-1)$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finită. Imaginea funcției: se citește din tabelul de variație — limite la capete, extreme, continuitate.
• Integrale și inegalități: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$; monotonia integralei — dacă $u(x)\le v(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-3x+5$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{\ln x}{x^3}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=e^x+x^2-1$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $A$ denumește punctul $A(a,5)$ la itemul $2$, punctul $A(2,0)$ la itemul $5$, un vârf de triunghi la itemul $6$ și matricea $A$ la itemul $7$. Contextul le separă complet.
• Literele $x$ și $y$ sunt parametri la itemul $7$ (matricele $B(x)$ și $C(x)$, apoi $C(x)-C(y)$) și elemente compuse la itemul $8$; la itemii $9$ și $10$ ele sunt variabila și, respectiv, ordonata. Litera $m$ este un număr întreg la itemul $8$, subpunctul c), și un număr real la itemul $9$, subpunctul c). Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă de fiecare dată numărul lui Euler.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=4+i$ și $z_2=2-4i$. Arătați că $i\cdot z_1+z_2=1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+5$. Determinați numerele reale $a$ pentru care punctul $A(a,5)$ aparține graficului funcției $f$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_6(7x-5)={\log }_6(x+1)+\frac{1}{{\log }_{x}6}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui $9$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(2,4)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OB$ și $AC$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=6$, $BC=10$ și $\cos B=\frac{4}{5}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\\ A& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\text{și}B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& x& 0\\ 0& 1& x\\ -x& 0& 1\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $A-B(x)\cdot A=x{I}_3$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $C(x)$ astfel încât $A\cdot C(x)=B(x)$. Arătați că $C(x)-C(y)=(y-x)A$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^{2}y+x{y}^2+x+y$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=16$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x\ast \frac{2}{x}=9x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m\le n$, pentru care $m\ast n=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x^3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+x^2-1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^4(f(x)-e^x)dx=18$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\frac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\ln (e+1)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\int }_0^1\frac{x}{f(x)+1}dx\le 1-\frac{2}{e}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului din 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se înmulțește $i$ cu ambii termeni ai lui $z_1$ și se adună $z_2$: $$i\cdot z_1+z_2=i(4+i)+2-4i=4i+i^2+2-4i\text{(3 p)}.$$ Termenii $4i$ și $-4i$ se reduc, iar $i^2=-1$, deci $$i\cdot z_1+z_2=-1+2=1\text{(2 p)}.$$ (Control pe părți: partea imaginară este $4-4=0$, iar partea reală $-1+2=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $i\cdot i=1$ sau se uită să se distribuie $i$ peste ambii termeni din $4+i$.)

Itemul 2. (5 p) — punct pe graficul unei funcții.

Un punct aparține graficului exact când coordonatele lui verifică formula funcției, deci $f(a)=5$: $$a^2-3a+5=5,\text{ de unde obținem }{a}^2-3a=0\text{(3 p)}.$$ Dând factor comun, $a(a-3)=0$, deci $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Verificare: $f(0)=5$ și $f(3)=9-9+5=5$ — amândouă puncte sunt pe grafic, la aceeași înălțime. Unde se greșește de obicei: se împarte ecuația prin $a$ și se pierde soluția $a=0$. Observație: cele două puncte sunt simetrice față de axa de simetrie a parabolei, $x=\frac{3}{2}$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență sunt $7x-5>0$, $x+1>0$, plus $x>0$ și $x\ne 1$, pentru că $x$ apare ca bază de logaritm. Prin schimbarea bazei, $\frac{1}{{\log }_{x}6}={\log }_{6}x$, iar suma a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul produsului: $${\log }_6(7x-5)={\log }_6(x(x+1)),\text{ deci }7x-5=x^2+x,\text{ de unde obținem }{x}^2-6x+5=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația are rădăcinile $x=1$, care nu convine, pentru că baza unui logaritm nu poate fi $1$, sau $\mathbf{x}=5$, care convine (2 p).

(Verificare pentru $x=5$: în stânga ${\log }_{6}30$, în dreapta ${\log }_{6}6+{\log }_{6}5={\log }_{6}30$ — egale. Unde se greșește de obicei: se acceptă și $x=1$, pentru că verifică ecuația algebrică; condiția de existență a bazei o elimină. A doua capcană: se scrie $\frac{1}{{\log }_{x}6}={\log }_x\frac{1}{6}$, confundând inversul cu logaritmul inversului.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $9$ de două cifre sunt $18,27,36,\dots ,99$; dintre ei sunt impari cei care se obțin înmulțind $9$ cu un număr impar, adică $27$, $45$, $63$, $81$ și $99$ — deci sunt $5$ cazuri favorabile, iar $$p=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se numără toți multiplii lui $9$, uitând condiția „impar", sau se iau $100$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele de o cifră. Control: un multiplu $9k$ este impar exact când $k$ este impar, iar $k$ merge de la $2$ la $11$, deci valorile impare sunt $3,5,7,9,11$ — cinci la număr.)

Itemul 5. (5 p) — drepte paralele în reper cartezian.

Dreapta $OB$ trece prin origine și prin $B(2,4)$, deci panta ei este $$m_{OB}=\frac{4-0}{2-0}=2\text{(2 p)}.$$ Dreapta $AC$ trece prin $A(2,0)$ și $C(5,a)$, deci are panta $m_{AC}=\frac{a-0}{5-2}=\frac{a}{3}$. Două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, deci $\frac{a}{3}=2$, de unde $\mathbf{a}=6$ (3 p).

(Control: pentru $a=6$, vectorii directori $\overrightarrow{OB}(2,4)$ și $\overrightarrow{AC}(3,6)$ sunt coliniari, pentru că $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$. Unde se greșește de obicei: se calculează panta lui $AC$ ca $\frac{5-2}{a-0}$, adică răsturnat, sau se folosește condiția de perpendicularitate în locul celei de paralelism.)

Itemul 6. (5 p) — aria unui triunghi cu două laturi și unghiul dintre ele.

Din formula fundamentală a trigonometriei, ${\sin }^{2}B=1-{\cos }^{2}B=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$; unghiul unui triunghi având sinusul pozitiv, $$\sin B=\frac{3}{5}\text{(3 p)}.$$ Aria se calculează cu cele două laturi care pornesc din $B$ și cu unghiul dintre ele: $$\mathcal{S}=\frac{AB\cdot BC\cdot \sin B}{2}=\frac{6\cdot 10\cdot \frac{3}{5}}{2}=\frac{36}{2}=18\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se folosește $\cos B$ în formula ariei — acolo intră sinusul; a doua capcană este alegerea laturilor, care trebuie să fie exact cele două care au capătul comun în $B$. Control: triunghiul cu $\cos B=\frac{4}{5}$ este „aproape lipit", unghiul $B$ având aproximativ $36,87^{\circ }$, deci aria este mult mai mică decât $\frac{6\cdot 10}{2}=30$, valoarea maximă posibilă.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea și inversa.

a) (5 p) Determinantul se scrie și se dezvoltă cu regula lui Sarrus; matricea având multe zerouri, aproape toate produsele se anulează: $$\begin{array}{rl}& \det A\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right|\\ & =0+0+1\cdot (-1)(-1)-0-0-0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Singurul produs nenul este cel de pe diagonala care trece prin colțul din dreapta sus, deci $$\det A=1\text{(2 p)}.$$ (Control prin dezvoltare după prima linie: $\det A=1\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right|=1\cdot 1=1$. Aceeași valoare, pe alt drum. Observație folositoare: determinantul fiind nenul, matricea $A$ este inversabilă — de asta subpunctul c) are sens.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele după regula „linie pe coloană". Matricea $A$ mută coloanele și le schimbă semnul, deci produsul iese repede: $$B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}-x& 0& 1\\ -1& -x& 0\\ 0& -1& -x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăzând acest produs din $A$, elementele de pe diagonala principală devin toate $x$, iar restul se anulează: $$\begin{array}{rl}& A-B(x)\cdot A\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0-(-x)& 0-0& 1-1\\ -1-(-1)& 0-(-x)& 0-0\\ 0-0& -1-(-1)& 0-(-x)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}x& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& x\end{array}\right)=x{I}_3\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus al produsului este $1\cdot 0+x\cdot (-1)+0\cdot 0=-x$, iar $0-(-x)=x$. Control numeric: pentru $x=0$ avem $B(0)=I_3$, deci $A-I_3\cdot A$ este matricea nulă, exact ce prezice formula. Unde se greșește de obicei: se calculează $A\cdot B(x)$ în loc de $B(x)\cdot A$ — înmulțirea matricelor nu este comutativă.)

c) (5 p) Din $A\cdot C(x)=B(x)$ și $\det A\ne 0$ rezultă $C(x)=A^{-1}\cdot B(x)$. Inversa lui $A$ se verifică imediat prin înmulțire: $$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& =\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\text{deci}C(x)\\ & =A^{-1}\cdot B(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -x\\ x& 0& -1\\ 1& x& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scăzând două astfel de matrice, tot ce nu conține parametrul se anulează: $$\begin{array}{rl}& C(x)-C(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& y-x\\ x-y& 0& 0\\ 0& x-y& 0\end{array}\right)=(y-x)A,\\ & \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y\text{(2 p)}.\end{array}$$ (De ce ultima egalitate: $(y-x)A$ înmulțește fiecare element al lui $A$ cu $y-x$, iar $A$ are $1$ în colțul din dreapta sus și $-1$ pe celelalte două poziții nenule — exact tiparul obținut. Control numeric: pentru $x=1$ și $y=2$, diferența are $1$ în colțul din dreapta sus și $-1$ pe celelalte două poziții, adică este chiar $A$. Unde se greșește de obicei: se scrie $C(x)=B(x)\cdot A^{-1}$ — inversa se înmulțește din partea în care stă $A$, adică la stânga. La aceste două matrice produsele ies, întâmplător, egale, pentru că $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$; coincidența nu face regula corectă.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție polinomială.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în formula legii: $$1\ast 3=1^2\cdot 3+1\cdot 3^2+1+3\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculele, $$1\ast 3=3+9+4=16\text{(2 p)}.$$ (Control cu forma factorizată, folositoare la subpunctul c): $x\ast y=xy(x+y)+(x+y)=(x+y)(xy+1)$, deci $1\ast 3=4\cdot 4=16$ — aceeași valoare, cu un calcul de două ori mai scurt.)

b) (5 p) Se compune $x$ cu $\frac{2}{x}$ și se aduce totul la același numitor: $$x\ast \frac{2}{x}=x^2\cdot \frac{2}{x}+x\cdot \frac{4}{x^2}+x+\frac{2}{x}=2x+\frac{4}{x}+x+\frac{2}{x}=\frac{3x^2+6}{x},$$ pentru orice număr real nenul $x$ (3 p).

Ecuația din enunț devine $\frac{3x^2+6}{x}=9x$; înmulțind cu $x$, care este nenul, se obține $3x^2+6=9x^2$, adică $6x^2=6$, deci $x^2=1$ și $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$, valori care convin, fiind nenule (2 p).

(Verificare pentru $x=1$: $1\ast 2=1\cdot 2+1\cdot 4+1+2=9=9\cdot 1$. Unde se greșește de obicei: se calculează $x\cdot {\left(\frac{2}{x}\right)}^2$ ca $\frac{2}{x}$ în loc de $\frac{4}{x^2}\cdot x=\frac{4}{x}$; a doua capcană este pierderea soluției negative.)

c) (5 p) Legea se factorizează, dând factor comun $x+y$: $$m\ast n=m^{2}n+m{n}^2+m+n=mn(m+n)+(m+n)=(m+n)(mn+1),$$ pentru orice numere întregi $m$ și $n$ (2 p).

Ecuația devine $(m+n)(mn+1)=1$, iar cei doi factori sunt numere întregi, deci ori amândoi sunt $1$, ori amândoi sunt $-1$. În primul caz, $m+n=1$ și $mn=0$, de unde perechea $(0,1)$; în al doilea, $m+n=-1$ și $mn=-2$, adică $m$ și $n$ sunt rădăcinile ecuației $t^2+t-2=0$, deci $\{-2,1\}$. Cu condiția $m\le n$, perechile căutate sunt $$(0,1)\text{ și }(-2,1)\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $0\ast 1=0+0+0+1=1$, iar $(-2)\ast 1=4\cdot 1+(-2)\cdot 1+(-2)+1=4-2-1=1$ — amândouă trec. Unde se greșește de obicei: se caută soluții „prin încercări", fără factorizare; sau se uită cazul cu ambii factori negativi, care aduce a doua pereche.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și imaginea funcției.

a) (5 p) Se derivează raportul cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul are derivata $\frac{1}{x}$, iar numitorul, $3x^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^3-3x^2\ln x}{x^6}\text{(3 p)}.$$ Se simplifică cu $x^2$, care este nenul pe $(0,+\infty )$: $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}=\frac{1-3\ln x}{x^4},x\\ & \in (0,+\infty )\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=1$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $x^3$ ca $x^2$, sau se uită simplificarea și rămâne un numitor $x^6$, formă corectă dar nefinalizată — baremul cere forma din enunț.)

b) (5 p) Asimptota orizontală cere o limită finită la $+\infty$. Raportul este de tipul $\frac{\infty }{\infty }$, deci se aplică regula lui l'Hospital: $$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)& =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{3x^3}=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=0$ — adică axa $Ox$ — este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(De ce se poate și fără l'Hospital: logaritmul crește mai încet decât orice putere pozitivă a lui $x$, deci raportul tinde la zero. Control numeric: $f(1000)=\frac{\ln 1000}{10^9}\approx 6,9\cdot 10^{-9}$, foarte aproape de zero. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$, sau se confundă asimptota orizontală cu cea verticală, care aici este axa $Oy$.)

c) (5 p) Mulțimea căutată este exact imaginea funcției, deci se face tabelul de variație. Derivata se anulează când $1-3\ln x=0$, adică $\ln x=\frac{1}{3}$: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =0\iff x\\ & =\sqrt[3]{e};\text{ pentru orice }x\in \left(0,\sqrt[3]{e}\right]\text{ avem }{f}^{\prime }(x)\\ & \ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare, iar pentru orice }x\\ & \in \left[\sqrt[3]{e},+\infty \right)\text{ avem }{f}^{\prime }(x)\\ & \le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare}\text{(2 p)}.\end{array}$$ Limitele la capete sunt $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }f(x)=-\infty$ (numărătorul tinde la $-\infty$, numitorul la zero prin valori pozitive) și, de la subpunctul b), $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$. Maximul este $$f\left(\sqrt[3]{e}\right)=\frac{\frac{1}{3}}{e}=\frac{1}{3e},$$ iar $f$ fiind continuă, ea ia toate valorile dintre $-\infty$ și acest maxim. Prin urmare mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție este $$\left(-\infty ,\frac{1}{3e}\right]\text{(3 p)}.$$ (De ce capătul din dreapta este închis: maximul este chiar atins, în $x=\sqrt[3]{e}$. De ce ramura descrescătoare nu adaugă nimic nou: ea coboară de la $\frac{1}{3e}$ spre $0$, deci valorile ei sunt deja acoperite de prima ramură. Control numeric: $\frac{1}{3e}\approx 0,1226$, iar $f(1,4)\approx 0,1226$ — chiar în vârf. Unde se greșește de obicei: se scrie imaginea ca $\left(0,\frac{1}{3e}\right]$, uitând ramura care coboară spre $-\infty$ lângă zero.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și o inegalitate cu integrale.

a) (5 p) Scăderea din enunț taie exact exponențiala și rămâne un polinom: $${\int }_1^4(f(x)-e^x)dx={\int }_1^4(x^2-1)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_1^4\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^4(f(x)-e^x)dx=\left(\frac{64}{3}-4\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{63}{3}-3=21-3=18\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită parantezele la capătul de jos și se scade doar $\frac{1}{3}$, nu și $-1$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,4]$ dă $18,0000$.)

b) (5 p) La numitor, scăderea lasă $f(x)-x^2=e^x-1$, iar la numărător stă chiar derivata acestei expresii — deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$: $${\int }_1^2\frac{e^x}{f(x)-x^2}dx={\int }_1^2\frac{e^x}{e^x-1}dx={\int }_1^2\frac{(e^x-1{)}^{\prime }}{e^x-1}dx=\ln (e^x-1){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Modulul nu este necesar, pentru că pe $[1,2]$ avem $e^x-1>0$. Înlocuind capetele și folosind $e^2-1=(e-1)(e+1)$: $${\int }_1^2\frac{e^x}{f(x)-x^2}dx=\ln (e^2-1)-\ln (e-1)=\ln \frac{(e-1)(e+1)}{e-1}=\ln (\mathbf{e}+1)\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln (e^2-1)-\ln (e-1)=\ln (e^2-1-e+1)$ — diferența de logaritmi este logaritmul câtului, nu al diferenței. Control numeric: $\ln (e+1)\approx 1,3133$, iar integrala calculată numeric pe $[1,2]$ dă aceeași valoare.)

c) (5 p) Numitorul devine $f(x)+1=e^x+x^2$. Cerința este o inegalitate, deci nu se calculează integrala din stânga, ci se compară integranzii. Pe intervalul $[0,1]$ avem $x^2\ge 0$, deci $e^x+x^2\ge e^x$; un numitor mai mare face fracția mai mică, iar numărătorul $x$ este nenegativ, deci $${\int }_0^1\frac{x}{f(x)+1}dx={\int }_0^1\frac{x}{e^x+x^2}dx\le {\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx\text{(3 p)}.$$ Integrala din dreapta se calculează prin părți, cu $(-e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}$: $${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx={\int }_0^{1}x(-e^{-x}{)}^{\prime }dx=-e^{-x}(x+1){|}_0^1=-\frac{2}{e}+1=1-\frac{2}{e},$$ deci ${\int }_0^1\frac{x}{f(x)+1}dx\le 1-\frac{2}{\mathbf{e}}$ (2 p).

(Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler. Cum s-a găsit primitiva $-e^{-x}(x+1)$: prin părți o dată, $\int x(-e^{-x}{)}^{\prime }=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}=-x{e}^{-x}-e^{-x}$. Control numeric: $1-\frac{2}{e}\approx 0,2642$, iar integrala din stânga, calculată numeric, dă $0,22145$ — mai mică, cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul exact al integralei din stânga, care nu are primitivă elementară; sau se inversează sensul inegalității când numitorul crește — o fracție cu numărător pozitiv scade când numitorul crește.)