Bac M1 2025, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2025, organizată în toate liceele înainte de sesiunea de examen. Subiectul oficial este tipărit cu mențiunea „Simulare" și nu poartă număr de variantă, spre deosebire de subiectele din sesiunile propriu-zise. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea la simularea din 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația ca raport a doi termeni consecutivi și întoarcerea la primul termen — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția graficului cu axa $Ox$ în două puncte distincte, adică $\Delta >0$ — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: scoaterea factorului comun $3^x$ și revenirea la exponent — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și inegalități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu încadrarea $10^2\le n^2\le 31^2$ — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: relația $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$, mijlocul unui segment și egalitatea a doi vectori — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: înălțimea într-un triunghi dreptunghic, distanța de la un punct la o dreaptă și aria — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant de ordinul al treilea cu parametru, condiția de soluție unică și un sistem compatibil nedeterminat rezolvat cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, o ecuație cu radical adusă la gradul al doilea și demonstrarea unei părți stabile prin rescrierea legii ca sumă de termeni pozitivi — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unei sume „raport plus logaritm de raport", asimptota orizontală spre $+\infty$ și imaginea funcției, din care se citește pentru ce numere naturale ecuația nu are soluții — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și șirurile de integrale: simplificarea integrandului, radicalul dintr-un pătrat perfect și o relație de recurență obținută prin integrare prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea 2025. Subiectul I este de tip „recapitulare rapidă", dar cu două cerințe în care se pierd puncte pe citire: la itemul $4$ trebuie tradusă condiția „$n^2$ are trei cifre" în încadrarea $10^2\le n^2\le 31^2$, iar la itemul $6$ trebuie observat că distanța de la $D$ la $AC$ este chiar înălțimea din $D$ a unui al doilea triunghi dreptunghic. Subiectul al II-lea leagă, ca și la celelalte sesiuni recente, matricea cu parametru de sistemul liniar — determinantul devine criteriul de soluție unică — iar la problema 2 cere o parte stabilă, adică o proprietate care trebuie demonstrată pentru orice pereche de elemente, nu verificată pe exemple. Subiectul al III-lea are partea cea mai grea la final: un șir de integrale $\left(I_n\right)$ pentru care se cere o relație de recurență, obținută nu prin calculul lui $I_n$, ci prin recunoașterea derivatei unui produs.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac{1}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: condiția $\Delta >0$ scrisă ca $\Delta \ge 0$, care ar include și cazul cu o singură intersecție; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; mulțimea parametrilor cu soluție unică dată fără rezolvarea ecuației $\det (A(a))=0$; partea stabilă „verificată" pe câteva perechi; radicalul scos de sub un pătrat fără justificarea semnului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: rația este $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$, iar $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Funcția de gradul al doilea: graficul taie axa $Ox$ în două puncte distincte exact când $\Delta >0$. Ecuații exponențiale: $a^{x+1}=a\cdot a^x$, deci se dă factor comun $a^x$; apoi $a^u=a^v\iff u=v$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr. Vectori: $\overrightarrow{XY}=(x_Y-x_X)\vec{i}+(y_Y-y_X)\vec{j}$; doi vectori sunt egali când au ambele componente egale. Aria unui triunghi: $\mathcal{S}=\frac{\text{baza}\times \text{ıˆna˘lțimea}}{2}$; într-un triunghi dreptunghic, distanța de la vârful unghiului drept la ipotenuză este $\frac{\text{produsul catetelor}}{\text{ipotenuza}}$.
• Matrice și sisteme: un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul lui este nenul; când determinantul se anulează, sistemul este incompatibil sau are o infinitate de soluții, scrise cu un parametru.
• Legi de compoziție: parte stabilă înseamnă că, pentru orice două elemente ale submulțimii, rezultatul compunerii rămâne în submulțime — se demonstrează pentru orice pereche, nu se verifică pe exemple; trucul obișnuit este rescrierea legii ca sumă în care un termen este vizibil nenegativ, de pildă $\frac{(\sqrt{xy}-1{)}^2}{\sqrt{xy}}$.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finită. Imaginea funcției se citește din tabelul de variație.
• Integrale și șiruri de integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\sqrt{u^2}=|u|$, cu modulul eliminat numai după stabilirea semnului; integrarea prin părți, folosită la șiruri de integrale în forma „recunosc derivata unui produs": $(x^{n+1}{e}^{-x}{)}^{\prime }=[(n+1)x^n-x^{n+1}]e^{-x}$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=x^2-2x+m$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{2x-2}{x+2}+\ln \frac{x+2}{x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $n$ are trei roluri: indice al unui șir la itemul $1$ (termenii $b_n$), numărul ales la itemul $4$ (cel de două cifre, cu $n^2$ de trei cifre) și numărul natural de la itemii $9$, subpunctul c), și $10$, subpunctul c) — la ultimul, indice al șirului de integrale $\left(I_n\right)$. Litera $m$ este parametrul funcției la itemul $2$ și nu mai apare nicăieri altundeva.
• Literele $x$, $y$ și $z$ sunt necunoscutele sistemului la itemul $7$, unde apar indexate — $(x_1,y_1,z_1)$ și $(x_2,y_2,z_2)$ sunt două soluții diferite ale aceluiași sistem, nu componentele unei singure soluții. La itemul $8$ ele sunt elemente compuse, iar la itemii $9$ și $10$, variabila. Litera $e$ apare o singură dată, la itemul $10$, subpunctul c), și înseamnă acolo numărul lui Euler.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $b_1$ al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, în care $b_3=40$ și $b_4=80$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$ intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x+2\cdot 3^{x+1}=63$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $n^2$ să fie număr natural de trei cifre.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(7,4)$ și $C$, astfel încât $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$. Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB=10$, înălțimea $AD=8$ și distanța de la punctul $D$ la dreapta $AC$ egală cu $4\sqrt{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $56$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -a\\ 3& 1& -2\\ 1& -3& a\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax+y-az=1\\ 3x+y-2z=1\\ x-3y+az=-3\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-2$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) (5 puncte) Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_1,y_1,z_1)$ și $(x_2,y_2,z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $y_1=x_2$ și $z_1=y_2$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(0,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 4=3$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că mulțimea $[1,+\infty )$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-2}{x+2}+\ln \frac{x+2}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4(x-1)}{x(x+2{)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care ecuația $f(x)=n$ nu are soluții.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{2x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^2(2x^2+1)f(x)dx=3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\sqrt{f(x)}dx=1$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}dx$. Arătați că $(n+1)I_n-I_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac{1}{e}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Rația unei progresii geometrice este raportul dintre un termen și cel dinaintea lui: $$q=\frac{b_4}{b_3}=\frac{80}{40}=2,\text{ unde }q\text{ este rația progresiei geometrice}\text{(2 p)}.$$ Din $b_3=b_1{q}^2$ se scoate primul termen: $$b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{40}{4}=10\text{(3 p)}.$$ (Control mergând înainte: $b_1=10$, $b_2=20$, $b_3=40$, $b_4=80$ — exact valorile din enunț. Unde se greșește de obicei: se împarte o singură dată la rație, obținând $b_2=20$ în loc de $b_1$; de la $b_3$ până la $b_1$ sunt doi pași înapoi, deci se împarte la $q^2$.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția cu axa absciselor.

Punctele de intersecție cu axa $Ox$ au ordonata nulă, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$. Graficul taie axa în două puncte distincte exact când această ecuație are două soluții reale distincte, adică $$\Delta >0,\text{ iar }\Delta =(-2{)}^2-4m=4-4m,\text{ deci }4-4m>0\text{(3 p)}.$$ Din $4m<4$ rezultă $m<1$, adică $$m\in (-\infty ,1)\text{(2 p)}.$$ (Verificare la capăt: pentru $m=1$ ecuația devine $(x-1{)}^2=0$, cu o singură soluție — graficul atinge axa, nu o taie; de asta capătul este exclus. Pentru $m=0$ soluțiile sunt $0$ și $2$, două puncte distincte. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta \ge 0$, ceea ce ar include și tangența.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Puterea cu exponent mărit se desface, $3^{x+1}=3\cdot 3^x$, deci se poate da factor comun: $$3^x+6\cdot 3^x=63,\text{ adica˘ }7\cdot 3^x=63,\text{ deci }{3}^x=9\text{(3 p)}.$$ Cum $9=3^2$, iar funcția exponențială este injectivă, rezultă $$\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $3^2+2\cdot 3^3=9+54=63$. Unde se greșește de obicei: se scrie $2\cdot 3^{x+1}=6^{x+1}$ — coeficientul din față nu intră în bază; a doua capcană este $3^x+6\cdot 3^x=6\cdot 3^{2x}$, adică adunarea tratată ca înmulțire.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități și pătrate perfecte.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Condiția „$n^2$ este număr de trei cifre" înseamnă $100\le n^2\le 999$. Cum $10^2=100$ și $31^2=961$, iar $32^2=1024$ are patru cifre, condiția revine la $10\le n\le 31$, deci sunt $31-10+1=22$ cazuri favorabile și $$p=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se rezolvă $n^2\le 999$ prin $n\le \sqrt{999}\approx 31,6$ și se rotunjește în sus, la $32$ — dar $32^2=1024$ are deja patru cifre, deci ultimul număr bun este $31$. Control: toate numerele de la $10$ la $31$ sunt de două cifre, deci intră toate în mulțimea de plecare.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Din $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$ rezultă că $C$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vectorul $\overrightarrow{AB}$ se scrie cu diferențele coordonatelor: $$\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\text{ și }\overrightarrow{AB}=6\vec{i}+2\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}=3\vec{i}+\vec{j}$; cum $O$ este originea, componentele acestui vector sunt chiar coordonatele lui $D$: $$\mathbf{D}(3,1)\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: $C$ este mijlocul lui $AB$, deci $C(4,3)$, iar $\overrightarrow{CB}=(7-4)\vec{i}+(4-3)\vec{j}=3\vec{i}+\vec{j}$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se ia $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$, uitând că $C$ este la jumătatea drumului; sau se confundă $\overrightarrow{OD}$ cu $\overrightarrow{DO}$, care are semnele schimbate.)

Itemul 6. (5 p) — înălțimi și arie într-un triunghi.

Punctul $D$ este piciorul înălțimii din $A$, deci triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$, iar din teorema lui Pitagora $BD=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$. Triunghiul $ADC$ este și el dreptunghic în $D$, iar distanța de la $D$ la ipotenuza $AC$ este $\frac{AD\cdot DC}{AC}$; egalând cu $4\sqrt{2}$ și ridicând la pătrat se obține $2D{C}^2=128$, deci $$DC=8,BD=6\text{(3 p)}.$$ Triunghiul fiind ascuțitunghic, piciorul înălțimii cade între $B$ și $C$, deci $BC=BD+DC=14$ și $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{14\cdot 8}{2}=56\text{(2 p)}.$$ (Cum se scoate $DC$, pas cu pas: $AC=\sqrt{64+D{C}^2}$, deci $\frac{8\cdot DC}{\sqrt{64+D{C}^2}}=4\sqrt{2}$; ridicând la pătrat, $\frac{64D{C}^2}{64+D{C}^2}=32$, adică $2D{C}^2=64+D{C}^2$, deci $D{C}^2=64$. Control: cu $DC=8$, ipotenuza $AC=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$, iar $\frac{8\cdot 8}{8\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$ — exact valoarea din enunț. Unde se greșește de obicei: se ia $BC=DC-BD$, ceea ce s-ar întâmpla doar dacă triunghiul ar fi obtuzunghic — enunțul spune ascuțitunghic tocmai ca să excludă acest caz.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ se înlocuiește parametrul în fiecare element și se scrie determinantul: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 3& 1& -2\\ 1& -3& 0\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 3& 1& -2\\ 1& -3& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Ultima coloană are un singur element nenul, deci cu regula lui Sarrus rămâne un singur produs: $$\begin{array}{rl}\det (A(0))& =0-2+0-0-0-0\\ & =-2\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control prin dezvoltare după coloana a treia: $\det (A(0))=(-2)\cdot (-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -3\end{array}\right|=2\cdot (0-1)=-2$. Aceeași valoare, pe alt drum.)

b) (5 p) Determinantul se calculează cu parametru, prin dezvoltare după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& -a\\ 3& 1& -2\\ 1& -3& a\end{array}\right|\\ & =a(a-6)-(3a+2)-a(-9-1)\\ & =a^2+a-2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câte necunoscute are soluție unică exact când determinantul lui este nenul. Ecuația $a^2+a-2=0$ are soluțiile $a=-2$ sau $a=1$, deci sistemul are soluție unică dacă și numai dacă $$a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}\text{(3 p)}.$$ (Control: pentru $a=0$ formula dă $-2$, exact valoarea de la subpunctul a) — deci calculul cu parametru este bun. Unde se greșește de obicei: se dă ca răspuns mulțimea $\{-2,1\}$, adică exact pe dos; valorile care anulează determinantul sunt cele scoase.)

c) (5 p) Pentru $a=1$ determinantul este zero, deci sistemul nu are soluție unică. Scăzând prima ecuație din a doua se obține $2x-z=0$, deci $z=2x$; înlocuind în prima, $y=x+1$; a treia ecuație este atunci verificată identic. Notând $x=\alpha$, soluțiile sistemului sunt $$(\alpha ,\alpha +1,2\alpha ),\text{ cu }\alpha \text{ numa˘r real}\text{(2 p)}.$$ Fie ${\alpha }_1$ și ${\alpha }_2$ parametrii celor două soluții cerute. Condițiile $y_1=x_2$ și $z_1=y_2$ devin ${\alpha }_1+1={\alpha }_2$ și $2{\alpha }_1={\alpha }_2+1$; înlocuind prima în a doua, $2{\alpha }_1={\alpha }_1+2$, de unde ${\alpha }_1=2$ și ${\alpha }_2=3$. Soluțiile sunt deci $$(2,3,4)\text{ și }(3,4,6)\text{(3 p)}.$$ (Verificare pe a doua ecuație a sistemului: $3\cdot 2+3-2\cdot 4=1$ și $3\cdot 3+4-2\cdot 6=1$ — amândouă trec; la fel și celelalte două ecuații. Unde se greșește de obicei: se caută o soluție unică și pentru $a=1$, deși acolo determinantul este zero. Notă de citire a baremului oficial: el scrie familia de soluții „cu $\alpha \in \mathbb{C}$"; sistemul are coeficienți reali și se rezolvă în numere reale, deci noi scriem $\alpha$ număr real.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical.

a) (5 p) Se înlocuiește direct în formula legii, cu $x=1$ și $y=4$: $$1\ast 4=\sqrt{1\cdot 4}+\frac{1}{\sqrt{1\cdot 4}}+\frac{1+4}{2}-2\text{(3 p)}.$$ Cum $\sqrt{4}=2$, se obține $$1\ast 4=2+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-2=3\text{(2 p)}.$$ (Control pe grupe: $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$, iar $2-2=0$, deci rezultatul este $3$. Unde se greșește de obicei: se calculează $\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$ separat și se uită că radicalul acoperă întregul produs — aici iese la fel, dar la valori neconvenabile diferența se vede.)

b) (5 p) Pentru $y=x$ radicalul se simplifică, pentru că $x$ este strict pozitiv, deci $\sqrt{x^2}=x$: $$x\ast x=x+\frac{1}{x}+\frac{2x}{2}-2=2x+\frac{1}{x}-2=\frac{2x^2-2x+1}{x},\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)}.$$ Ecuația $\frac{2x^2-2x+1}{x}=1$, înmulțită cu $x$, care este nenul, devine $2x^2-3x+1=0$, cu discriminantul $9-8=1$ și soluțiile $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ sau $\mathbf{x}=1$, care convin, fiind amândouă în $M$ (3 p).

(Verificare pentru $x=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}-2=1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{x^2}=x$ fără să se spună de ce — pe $M=(0,+\infty )$ motivul este chiar pozitivitatea; a doua capcană este pierderea soluției $\frac{1}{2}$, prin simplificarea grăbită a ecuației.)

c) (5 p) Legea se rescrie astfel încât primul grup să fie vizibil nenegativ. Adunând și scăzând convenabil, se recunoaște un pătrat perfect la numărător: $$x\ast y=\frac{(\sqrt{xy}-1{)}^2}{\sqrt{xy}}+\frac{x+y}{2}\ge \frac{x+y}{2},\text{ pentru orice }x,y\in M\text{(3 p)}.$$ Pentru $x$ și $y$ din $[1,+\infty )$ avem $x\ge 1$ și $y\ge 1$, deci $\frac{x+y}{2}\ge 1$; prin urmare $x\ast y\ge 1$, adică $x\ast y\in [1,+\infty )$. Așadar mulțimea $[1,+\infty )$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu legea „$\ast$" (2 p).

(De unde vine rescrierea: $\frac{(\sqrt{xy}-1{)}^2}{\sqrt{xy}}=\frac{xy-2\sqrt{xy}+1}{\sqrt{xy}}=\sqrt{xy}-2+\frac{1}{\sqrt{xy}}$, adică exact primii trei termeni ai legii, cu tot cu $-2$. Control numeric: $1\ast 1=1$, iar $7\ast 9=\sqrt{63}+\frac{1}{\sqrt{63}}+8-2\approx 14,06$ — amândouă în interval. Unde se greșește de obicei: se verifică proprietatea pe câteva perechi — asta nu demonstrează nimic; sau se uită de ce $x\ast y$ rămâne în $M$, adică strict pozitiv.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă orizontală și imaginea funcției.

a) (5 p) Primul termen se derivează cu formula raportului, al doilea cu $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, unde $u(x)=\frac{x+2}{x}$: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =\frac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2{)}^2}+\frac{x}{x+2}\cdot \frac{x-(x+2)}{x^2}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Primul termen se reduce la $\frac{6}{(x+2{)}^2}$, al doilea la $-\frac{2}{x(x+2)}$; aducând la același numitor: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =\frac{6}{(x+2{)}^2}-\frac{2}{x(x+2)}\\ & =\frac{6x-2(x+2)}{x(x+2{)}^2}\\ & =\frac{4(x-1)}{x(x+2{)}^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{4}{2\cdot 16}=0,125$, iar raportul incremental $\frac{f(2,000001)-f(1,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln \frac{x+2}{x}$ ca $\frac{x}{x+2}$, adică se uită factorul $u^{\prime }$; scrierea prealabilă $\ln (x+2)-\ln x$ este un drum la fel de corect și mai scurt.)

b) (5 p) Se calculează limita la $+\infty$, termen cu termen. Raportul de gradul întâi tinde la raportul coeficienților dominanți, iar argumentul logaritmului tinde la $1$: $$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x-2}{x+2}+\ln \frac{x+2}{x}\right)\\ & =2+\ln 1=2+0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$ Limita fiind finită, dreapta de ecuație $\mathbf{y}=2$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (2 p).

(Control numeric: $f(1000)=\frac{1998}{1002}+\ln \frac{1002}{1000}\approx 1,9940+0,0020=1,9960$, apropiat de $2$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația fără să se precizeze capătul $+\infty$; sau se calculează greșit limita logaritmului, uitând că raportul dinăuntru tinde la $1$, nu la $0$.)

c) (5 p) Ecuația $f(x)=n$ nu are soluții exact când $n$ nu este în imaginea funcției, deci se face tabelul de variație. Derivata se anulează în $x=1$: $$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)\\ & =0\iff x=1;\text{ pentru orice }x\in (0,1]\text{ avem }{f}^{\prime }(x)\\ & \le 0,\text{ deci }f\text{ este descresca˘toare pe }(0,1],\text{ iar pentru orice }x\\ & \in [1,+\infty )\text{ avem }{f}^{\prime }(x)\\ & \ge 0,\text{ deci }f\text{ este cresca˘toare pe }[1,+\infty )\text{(2 p)}.\end{array}$$ Limita spre $0$ la dreapta este $+\infty$ (primul termen tinde la $-1$, iar logaritmul la $+\infty$), minimul este $f(1)=\frac{0}{3}+\ln 3=\ln 3$, iar spre $+\infty$ funcția urcă înapoi până la $2$, fără să atingă această valoare. Funcția fiind continuă, imaginea ei este $[\ln 3,+\infty )$; cum $1<\ln 3<2$, singurele numere naturale care rămân în afara imaginii sunt $$\mathbf{n}=0\text{ sau }\mathbf{n}=1\text{(3 p)}.$$ (De ce $1<\ln 3<2$: $\ln 3\approx 1,0986$, iar încadrarea se justifică prin $e<3<e^2$. De ce $n=2$ are soluție: valoarea $2$ este atinsă pe ramura descrescătoare, care coboară de la $+\infty$ până la $\ln 3$, deci trece prin $2$. Unde se greșește de obicei: se privește numai ramura crescătoare, care se oprește sub $2$, și se conchide greșit că nici $n=2$ nu are soluție.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și un șir de integrale.

a) (5 p) Înmulțirea cu $2x^2+1$ șterge exact numitorul funcției: $${\int }_{-1}^2(2x^2+1)f(x)dx={\int }_{-1}^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_{-1}^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, ținând minte că la capătul de jos cubul unui număr negativ rămâne negativ: $${\int }_{-1}^2(2x^2+1)f(x)dx=\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{3}=3\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $2x^2+1\ge 1>0$. Unde se greșește de obicei: se ia capătul de jos ca fiind $1$ în loc de $-1$, sau se scrie $\frac{(-1{)}^3}{3}=\frac{1}{3}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[-1,2]$ dă $3,0000$.)

b) (5 p) Sub radical apare un pătrat perfect, iar pe intervalul $[0,2]$ numărul $x$ este nenegativ, deci modulul dispare: $${\int }_0^2\sqrt{f(x)}dx={\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^2\frac{(2x^2+1{)}^{\prime }}{2\sqrt{2x^2+1}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\sqrt{9}=3$ și $\sqrt{1}=1$: $${\int }_0^2\sqrt{f(x)}dx=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$ (De ce dispare modulul: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{\frac{x^2}{2x^2+1}}=\frac{|x|}{\sqrt{2x^2+1}}$, iar pe $[0,2]$ avem $|x|=x$ — motivul trebuie scris, chiar dacă rezultatul pare evident. Unde se greșește de obicei: se sare peste modul; a doua capcană este uitarea factorului $\frac{1}{2}$ din formula $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,2]$ dă $1,0000$.)

c) (5 p) Se scrie întâi integrandul explicit. Cum $\sqrt{e^x}=e^{\frac{x}{2}}$, iar ${\left(e^{\frac{x}{2}}\right)}^2=e^x$, obținem $f\left(\sqrt{e^x}\right)=\frac{e^x}{2e^x+1}$, deci $$I_n={\int }_0^1{x}^n\cdot \frac{2e^x+1}{e^x}dx={\int }_0^1{x}^n(2+e^{-x})dx,(n+1)I_n-I_{n+1}={\int }_0^1((n+1)x^n-x^{n+1})(2+e^{-x})dx\text{(2 p)}.$$ Integrala se desface în două. Prima parte se calculează direct, iar la a doua se recunoaște derivata unui produs, $(x^{n+1}{e}^{-x}{)}^{\prime }=[(n+1)x^n-x^{n+1}]e^{-x}$: $$(n+1)I_n-I_{n+1}=2x^{n+1}{|}_0^1-\frac{2x^{n+2}}{n+2}{|}_0^1+{\int }_0^1(x^{n+1}{e}^{-x}{)}^{\prime }dx=2-\frac{2}{n+2}+x^{n+1}{e}^{-x}{|}_0^1=\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac{1}{e},$$ pentru orice număr natural nenul $n$ (3 p).

(Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler. De ce $2-\frac{2}{n+2}=\frac{2(n+1)}{n+2}$: aducând la același numitor, $\frac{2(n+2)-2}{n+2}=\frac{2n+2}{n+2}$. Control numeric pentru $n=1$: membrul stâng, calculat numeric, dă $1,7012$, iar membrul drept $\frac{4}{3}+\frac{1}{e}\approx 1,7012$ — egale. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul explicit al lui $I_n$, care nu se poate face în formă închisă pentru orice $n$; cheia este că paranteza $(n+1)x^n-x^{n+1}$ este exact ce apare la derivarea produsului $x^{n+1}{e}^{-x}$.)