Bac M1 2025, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2025 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială 2025 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Sesiunea specială este cea organizată pentru elevii care participă la competiții internaționale în perioada sesiunii obișnuite; subiectul are exact aceeași structură și aceeași greutate ca al sesiunii din iunie-iulie. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2025:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația ca raport a doi termeni consecutivi și revenirea la primul termen — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcții de gradul întâi: egalarea a două funcții și ecuația de gradul întâi care rezultă — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație exponențială: aducerea la aceeași bază și injectivitatea funcției exponențiale — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și pătrate perfecte: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu pătratele perfecte de două cifre — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și condiția de paralelism — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: raportul dintre o catetă și ipotenuză, unghiul de $45^{\circ }$ și aria — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice cu două coloane nule, o relație funcțională de tipul $M(x)\cdot M(y)-xy{I}_3=(x+y+1)M(0)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificarea coeficientului — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: compusul a două numere, elementul neutru verificat în ambele ordini și simetricul unui element — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită și imaginea funcției: derivarea unui cât, regula lui L'Hôpital pentru cazul $\frac{0}{0}$, monotonia din semnul derivatei și cel mai mare număr întreg atins de funcție — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale și șiruri de integrale: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și majorarea unui șir de integrale cu o margine a integrandului — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2025. Subiectul I este scurt și direct, dar are două cerințe în care se pierd puncte din citire, nu din calcul: la itemul $4$ se cere ca rădăcina pătrată a numărului extras să fie număr par, nu numărul însuși, iar la itemul $6$ datele sunt date printr-o relație între ipotenuză și o catetă, nu prin unghiuri. Subiectul al II-lea pune alături matricea cu parametru (problema 1) și legea de compoziție (problema 2), deci exact cele două tipuri de „obiect algebric cu formulă" din programă. Subiectul al III-lea este cel mai greu al probei: la problema 1 se cere lanțul complet derivată → limită cu L'Hôpital → discuția ecuației $f(x)=m$, iar la problema 2 un șir de integrale care se sparge printr-o identitate de tipul $x^{n+1}+4x^n=x^n(x+4)$ și se majorează cu $e^x\le e$.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $40$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $55$ de minute pentru Subiectul al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $5-\frac{6}{e}$ și $\frac{e}{n+1}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; elementul neutru verificat într-o singură ordine, nu în ambele; regula lui L'Hôpital aplicată fără verificarea cazului de nedeterminare; concluzia despre cel mai mare $m$ dată fără continuitatea funcției; majorarea unui șir de integrale făcută fără să se spună pe ce interval este adevărată inegalitatea dintre funcții.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: $b_{n+1}=b_n\cdot q$, deci $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$ și $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Ecuații exponențiale: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$; înainte se aduce totul la aceeași bază, folosind $9=3^2$ și $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; numerele naturale de două cifre sunt $90$ la număr, iar pătratele perfecte dintre ele sunt $16,25,36,49,64,81$. Paralelism în reper cartezian: două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, iar panta prin două puncte este $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Triunghiul dreptunghic: $\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}$, iar aria este semiprodusul catetelor.
• Matrice: determinantul unei matrice care are o coloană numai din zerouri este nul — se citește direct, fără calcul; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid, iar dintr-o egalitate de forma $\lambda M=\mu M$ cu $M\ne O_3$ rezultă $\lambda =\mu$.
• Legi de compoziție: elementul neutru $e$ se verifică în ambele ordini, $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; simetricul $x^{\prime }$ al lui $x$ verifică $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$. Pentru legile de forma $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$, forma factorizată dă imediat neutrul și simetricul.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; regula lui L'Hôpital se aplică numai după ce s-a constatat cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$. Discuția ecuației $f(x)=m$: se face pe imaginea funcției, citită din monotonie, din valorile extreme și din limitele la capetele domeniului.
• Integrale: integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }=fg{|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }g$; Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; monotonia integralei: dacă $u\le v$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$ — de aici vin toate majorările de șiruri de integrale.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ are în această probă două înțelesuri diferite: la itemul $8$, subpunctul b), $e$ este elementul neutru al legii de compoziție și valorează $\frac{6}{5}$; la itemul $10$, subpunctele b) și c), $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris. Regula de citire: în algebră, litera $e$ înseamnă elementul neutru; în analiză, numărul lui Euler.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=4x+3$ de la itemul $2$, $f(x)=\frac{2x-2+\ln x}{x}$ de la itemul $9$ și $f(x)=\frac{x+4}{e^x}$ de la itemul $10$. Fiecare item se citește separat; la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $m$ este necunoscută naturală la itemul $8$, subpunctul c), și număr întreg căutat la itemul $9$, subpunctul c). Litera $n$ este numărul extras la itemul $4$, număr natural la itemul $8$ și indicele șirului de integrale la itemul $10$.
• Litera $x$ este parametrul familiei de matrice la itemul $7$ (deci un număr, nu o variabilă de funcție), necunoscută la itemul $3$ și variabilă de integrare sau argument la itemii $9$ și $10$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $b_1$ al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, în care $b_2=20$ și $b_3=100$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x\cdot 3^3=3^{x+2}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\sqrt{n}$ să fie număr natural par.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(6,2)$ și $C(4,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $AC$ și $OB$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $32$ și $BC=AB\sqrt{2}$. Arătați că $AC=8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}M(x)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2x& 3x& -3\\ -x& -2x& 1\\ 0& 0& x+1\end{array}\right),\end{array}$$ unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(0))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $M(x)\cdot M(y)-xy{I}_3=(x+y+1)M(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)=2M(0)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=5(x-1)(y-1)+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 3=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=\frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $\frac{m}{25}$ este simetricul elementului $n$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$".

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-2+\ln x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3-\ln x}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=3$.

c) (5 puncte) Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)e^{x}dx=10$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=5-\frac{6}{e}$.

c) (5 puncte) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx$. Arătați că $I_{n+1}+4I_n\le \frac{e}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2025; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Într-o progresie geometrică fiecare termen se obține înmulțind termenul dinaintea lui cu rația, deci rația este raportul a doi termeni consecutivi: $$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{100}{20}=5\text{(3 p)}.$$ Din aceeași relație scrisă între primii doi termeni, $b_2=b_{1}q$, se coboară cu un pas: $$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{20}{5}=4\text{(2 p)}.$$ (Control: progresia începe cu $4,20,100,500,\dots$ — raportul a oricare doi termeni vecini este $5$. Unde se greșește de obicei: se calculează $b_3-b_2=80$ și se scade încă o dată, ca la o progresie aritmetică; la progresia geometrică se împarte, nu se scade.)

Itemul 2. (5 p) — funcții de gradul întâi.

Valoarea fiecărei funcții în $a$ se obține înlocuind $x$ cu $a$ în formula ei: $$f(a)=4a+3,g(a)=a-3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine o ecuație de gradul întâi: $$4a+3=a-3⟹3a=-6⟹\mathbf{a}=-2\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $f(-2)=-8+3=-5$ și $g(-2)=-2-3=-5$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $f(a)=g(x)$, adică se uită că argumentul este același în ambele funcții. Interpretare geometrică: cele două drepte au pante diferite, $4$ și $1$, deci se intersectează într-un singur punct, iar abscisa lui este $-2$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se aduce totul la baza $3$, folosind $9=3^2$ și regula $3^u\cdot 3^v=3^{u+v}$: $$9^x\cdot 3^3=(3^2{)}^x\cdot 3^3=3^{2x}\cdot 3^3=3^{2x+3},\text{ deci }2x+3=x+2\text{(3 p)}.$$ Trecerea de la puteri la exponenți este legitimă pentru că funcția exponențială de bază $3$ este injectivă. Rezolvând ecuația de gradul întâi: $$\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: $9^{-1}\cdot 27=\frac{27}{9}=3$, iar $3^{-1+2}=3^1=3$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $(3^2{)}^x=3^{2+x}$ în loc de $3^{2x}$; la ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Mulțimea numerelor naturale de două cifre este $\{10,11,\dots ,99\}$ și are $99-10+1=90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile (2 p).

Pentru ca $\sqrt{n}$ să fie număr natural, $n$ trebuie să fie pătrat perfect; pătratele perfecte de două cifre sunt $16,25,36,49,64,81$, adică pătratele numerelor $4,5,6,7,8,9$. Dintre aceste rădăcini sunt pare doar $4$, $6$ și $8$, deci numerele favorabile sunt $16$, $36$ și $64$ — trei cazuri favorabile, iar $$p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se citește „$n$ să fie număr par" în loc de „$\sqrt{n}$ să fie număr par" — atunci ar ieși $45$ de cazuri favorabile și $p=\frac{1}{2}$, un răspuns cu totul altul. Control: rădăcinile pătrate ale pătratelor perfecte de două cifre merg de la $4$ la $9$, iar dintre acestea exact jumătate sunt pare.)

Itemul 5. (5 p) — paralelism în reper cartezian.

Dreapta $OB$ trece prin origine și prin $B(6,2)$, deci panta ei este $$m_{OB}=\frac{2-0}{6-0}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ Dreapta $AC$ trece prin $A(1,3)$ și $C(4,a)$, deci $m_{AC}=\frac{a-3}{4-1}=\frac{a-3}{3}$. Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci $m_{OB}=m_{AC}$: $$\frac{a-3}{3}=\frac{1}{3}⟹a-3=1⟹\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$ (Control: cu $C(4,4)$, panta lui $AC$ este $\frac{4-3}{4-1}=\frac{1}{3}$, exact panta lui $OB$. Unde se greșește de obicei: se folosește condiția de perpendicularitate, $m_1{m}_2=-1$, în loc de cea de paralelism; sau se scrie panta răsturnat, ca raport al diferenței absciselor la diferența ordonatelor.)

Itemul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic cu unghi de $45^{\circ }$.

Unghiul drept este în $A$, deci $BC$ este ipotenuza, iar $AB$ și $AC$ sunt catetele. Din $BC=AB\sqrt{2}$ rezultă $$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\text{ adica˘ }\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2},\text{ deci }B=\frac{\pi }{4}\text{ și, prin urmare, }AB=AC\text{(3 p)}.$$ Într-un triunghi dreptunghic aria este semiprodusul catetelor, deci $$\frac{AB\cdot AC}{2}=32⟹\frac{A{C}^2}{2}=32⟹A{C}^2=64⟹\mathbf{AC}=8\text{(2 p)}.$$ (Același drum, fără trigonometrie: din teorema lui Pitagora, $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2=2A{B}^2$, de unde $A{C}^2=A{B}^2$, adică $AC=AB$ — triunghiul este dreptunghic isoscel. Control: cu $AB=AC=8$, ipotenuza este $8\sqrt{2}\approx 11,31$, iar aria $\frac{8\cdot 8}{2}=32$. Unde se greșește de obicei: se ia $AC$ drept ipotenuză, deși ipotenuza este întotdeauna latura opusă unghiului drept, aici opusă lui $A$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ toate elementele care conțin parametrul se anulează, iar matricea devine: $$\begin{array}{rl}& M(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)⟹\det (M(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, toate cele șase produse conțin măcar un factor din primele două coloane, care sunt numai din zerouri, deci $$\begin{array}{rl}& \det (M(0))\\ & =0+0+0-0-0-0=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Drumul instantaneu: un determinant care are o linie sau o coloană numai din zerouri este nul — aici sunt chiar două astfel de coloane. Aceeași concluzie se citește și din faptul că prima și a doua coloană sunt egale între ele. De reținut pentru subpunctul c): matricea $M(0)$ nu este matricea nulă, deci dintr-o egalitate $\lambda M(0)=\mu M(0)$ se poate deduce $\lambda =\mu$.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Pe diagonală apar termeni în $xy$, iar în rest ei se reduc: $$\begin{array}{rl}& M(x)\cdot M(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}xy& 0& -3x-3y-3\\ 0& xy& x+y+1\\ 0& 0& xy+x+y+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Scăzând $xy{I}_3$ dispar exact cele trei elemente de pe diagonală care conțin $xy$, iar ce rămâne are factor comun $x+y+1$: $$\begin{array}{rl}& M(x)\cdot M(y)-xy{I}_3\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -3(x+y+1)\\ 0& 0& x+y+1\\ 0& 0& x+y+1\end{array}\right)\\ & =(x+y+1)M(0)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $2x\cdot 2y+3x\cdot (-y)+(-3)\cdot 0=4xy-3xy=xy$, iar cel din dreapta sus este $2x\cdot (-3)+3x\cdot 1+(-3)(y+1)=-3x-3y-3$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare, sau se scade $xy$ din toate cele nouă elemente în loc de numai din cele de pe diagonală — $xy{I}_3$ are zerouri în afara diagonalei.)

c) (5 p) Relația de la subpunctul b) se rescrie ca $M(u)\cdot M(v)=uv{I}_3+(u+v+1)M(0)$ și se aplică de două ori: $$\begin{array}{rl}& M(1)\cdot M(x)-M(2)\cdot M\left(\frac{x}{2}\right)\\ & =x{I}_3+(x+2)M(0)-x{I}_3-\left(\frac{x}{2}+3\right)M(0)\\ & =\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0),\end{array}$$ $$\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Cei doi termeni $x{I}_3$ se reduc pentru că $1\cdot x=2\cdot \frac{x}{2}$. Ecuația devine $\left(\frac{x}{2}-1\right)M(0)=2M(0)$; cum $M(0)$ nu este matricea nulă, coeficienții trebuie să fie egali: $$\frac{x}{2}-1=2⟹\frac{x}{2}=3⟹\mathbf{x}=6\text{(2 p)}.$$ (Verificare directă: pentru $x=6$ avem $M(1)\cdot M(6)=6I_3+8M(0)$ și $M(2)\cdot M(3)=6I_3+6M(0)$, iar diferența este $2M(0)$ — exact ce cere enunțul. Unde se greșește de obicei: se compară elementele fără să se observe că cele două matrice de pe diagonală sunt identice, sau se „simplifică" prin $M(0)$ ca și cum matricele s-ar putea împărți; corect este să se identifice coeficienții unei matrice nenule.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe mulțimea numerelor reale.

a) (5 p) Se înlocuiesc direct cele două numere în formula legii: $$1\ast 3=5(1-1)(3-1)+1=5\cdot 0\cdot 2+1\text{(3 p)}.$$ Primul factor fiind nul, tot produsul se anulează, deci $$1\ast 3=0+1=1\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: numărul $1$ „înghite" orice partener, adică $1\ast y=1$ pentru orice $y$ real — el este element absorbant, nu element neutru. Unde se greșește de obicei: se calculează $5\cdot 1\cdot 3$, adică se uită scăderile din paranteze.)

b) (5 p) Un număr $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ real; se verifică ambele ordini, pentru că legea nu a fost declarată comutativă. Întâi compunerea la dreapta: $$x\ast \frac{6}{5}=5(x-1)\left(\frac{6}{5}-1\right)+1=5(x-1)\cdot \frac{1}{5}+1=x-1+1=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Apoi compunerea la stânga, care se face la fel, pentru că factorii se pot rearanja: $$\frac{6}{5}\ast x=5\left(\frac{6}{5}-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)},$$ deci $e=\frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$". (De unde vine $\frac{6}{5}$: scriind legea sub forma $x\ast y=5(x-1)(y-1)+1$ se vede că neutrul trebuie să facă paranteza a doua egală cu $\frac{1}{5}$, adică $e-1=\frac{1}{5}$. Unde se greșește de obicei: se verifică o singură ordine — la o lege care nu a fost demonstrată comutativă, asta nu ajunge; aici legea chiar este comutativă, dar afirmația trebuie scrisă, nu presupusă.)

c) (5 p) Prin definiție, $\frac{m}{25}$ este simetricul lui $n$ dacă cele două se compun, în ambele ordini, până la elementul neutru: $$\frac{m}{25}\ast n=n\ast \frac{m}{25}=\frac{6}{5}⟹5\left(\frac{m}{25}-1\right)(n-1)+1=\frac{6}{5}\text{(3 p)}.$$ Se trece $1$ în dreapta, se împarte la $5$ și se scot numitorii: $$\left(\frac{m-25}{25}\right)(n-1)=\frac{1}{25}⟹(m-25)(n-1)=1.$$ Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, factorii $m-25$ și $n-1$ sunt numere întregi cu produsul $1$, deci sunt sau amândoi $1$, sau amândoi $-1$; obținem perechile $(24,0)$ și $(26,2)$ (2 p).

(Verificare pe amândouă: $\frac{24}{25}\ast 0=5\left(-\frac{1}{25}\right)(-1)+1=\frac{1}{5}+1=\frac{6}{5}$, iar $\frac{26}{25}\ast 2=5\cdot \frac{1}{25}\cdot 1+1=\frac{6}{5}$ — în ambele cazuri se ajunge la elementul neutru. Unde se greșește de obicei: se caută soluții cu factori raționali, deși $m$ și $n$ fiind naturale, $m-25$ și $n-1$ sunt obligatoriu întregi; sau se uită cazul cu doi factori negativi, care dă tocmai perechea cu $n=0$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită cu L'Hôpital și imaginea funcției.

a) (5 p) Funcția este un cât, deci se derivează cu formula ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u(x)=2x-2+\ln x$ are derivata $2+\frac{1}{x}$, iar $v(x)=x$ are derivata $1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{\left(2+\frac{1}{x}\right)\cdot x-(2x-2+\ln x)}{x^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $\left(2+\frac{1}{x}\right)x=2x+1$, iar termenii în $x$ se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x+1-2x+2-\ln x}{x^2}=\frac{3-\ln x}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$, formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{3-0}{1}=3$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $3,000$. Unde se greșește de obicei: se scade în ordinea greșită la numărător, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$; sau se derivează $\ln x$ ca ${\ln }^{\prime }$, uitând că derivata este $\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Se aduce raportul la o singură fracție și se constată cazul de nedeterminare: în $x=1$, numărătorul $2x-2+\ln x$ dă $0$, iar numitorul $x\ln x$ dă tot $0$. Fiind cazul $\frac{0}{0}$, se poate aplica regula lui L'Hôpital: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-2+\ln x}{x\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(2x-2+\ln x{)}^{\prime }}{(x\ln x{)}^{\prime }}\text{(3 p)}.$$ Cele două derivate sunt $2+\frac{1}{x}$ și $\ln x+1$, iar în $x=1$ ele valorează $3$, respectiv $1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{\ln x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{\ln x+1}=\frac{3}{1}=3\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=1,000001$, raportul $\frac{f(x)}{\ln x}$ dă $3,0000$. Unde se greșește de obicei: se aplică L'Hôpital fără să se verifice nedeterminarea — regula nu are voie să fie folosită când limita nu este $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; a doua capcană este derivarea produsului $x\ln x$ ca $1\cdot \frac{1}{x}$ în loc de $\ln x+1$.)

c) (5 p) Din subpunctul a), semnul lui $f^{\prime }$ este dat numai de numărătorul $3-\ln x$, pentru că $x^2>0$. Avem $f^{\prime }(x)=0$ exact pentru $\ln x=3$, adică $x=e^3$; pe $(0,e^3]$ derivata este pozitivă, iar pe $[e^3,+\infty )$ este negativă, deci $f$ este crescătoare pe primul interval și descrescătoare pe al doilea (2 p).

Prin urmare $f$ are în $x=e^3$ un maxim global. Valorile de care depinde imaginea sunt $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,f\left(e^3\right)=\frac{2e^3-2+3}{e^3}=2+\frac{1}{e^3}\in (2,3),$$ iar $f$ este continuă pe $(0,+\infty )$. O funcție continuă pe un interval ia toate valorile dintre limita de la un capăt și maximul ei, deci ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție exact pentru $m\le 2+\frac{1}{e^3}$; cel mai mare număr întreg cu această proprietate este $\mathbf{m}=2$ (3 p).

(Control numeric: $2+e^{-3}\approx 2,0498$, deci $3>f\left(e^3\right)$ și ecuația $f(x)=3$ chiar nu are soluție, în timp ce $f(x)=2$ are — de pildă $f(1)=0$ și $f\left(e^3\right)\approx 2,05$, iar funcția continuă trece prin $2$ între cele două. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu valoarea maximului, $2+\frac{1}{e^3}$, deși se cere cel mai mare număr întreg; sau se sare peste continuitate, fără de care „ia toate valorile intermediare" nu are temei.)

Itemul 10. (15 p) — integrale și un șir de integrale.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $e^x$ se reduce cu numitorul funcției, $$f(x)e^x=\frac{x+4}{e^x}\cdot e^x=x+4,\text{deci}{\int }_0^{2}f(x)e^{x}dx={\int }_0^2(x+4)dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^{2}f(x)e^{x}dx=\left(\frac{4}{2}+8\right)-0=2+8=10\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $e^x>0$ pentru orice $x$. Control numeric: aria de sub dreapta $y=x+4$ pe $[0,2]$ este aria unui trapez cu bazele $4$ și $6$ și înălțimea $2$, adică $\frac{(4+6)\cdot 2}{2}=10$.)

b) (5 p) Aici nu mai există nicio simplificare: se integrează prin părți, scriind $e^{-x}$ ca derivata lui $-e^{-x}$: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x+4)e^{-x}dx={\int }_0^1(x+4)(-e^{-x}{)}^{\prime }dx=(x+4)(-e^{-x}){|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx\text{(3 p)}.$$ Primul termen dă $-\frac{5}{e}+4$, iar ${\int }_0^1{e}^{-x}dx=(-e^{-x}){|}_0^1=-\frac{1}{e}+1$, deci $${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{5}{e}+4-\frac{1}{e}+1=5-\frac{6}{\mathbf{e}}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se pierde semnul la integrarea prin părți — primitiva lui $e^{-x}$ este $-e^{-x}$, nu $e^{-x}$, iar minusul se propagă în ambii termeni. A doua capcană este să se integreze „pe bucăți", ca și cum integrala produsului ar fi produsul integralelor. Control numeric: $5-\frac{6}{e}\approx 2,7927$, iar integrala calculată numeric dă $2,79272$.)

c) (5 p) Se scrie mai întâi $I_n$ explicit, inversând fracția din numitor: $$I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx={\int }_0^1\frac{x^n{e}^x}{x+4}dx,\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n.$$ Suma cerută se calculează dând factor comun $x^n$ la numărător, ceea ce face să apară chiar numitorul: $$I_{n+1}+4I_n={\int }_0^1\frac{(x^{n+1}+4x^n)e^x}{x+4}dx={\int }_0^1\frac{x^n(x+4)e^x}{x+4}dx={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\text{(2 p)}.$$ Pe intervalul de integrare $[0,1]$ avem $e^x\le e$ și $x^n\ge 0$, deci $x^n{e}^x\le e{x}^n$; integrala păstrează inegalitatea dintre funcții: $$I_{n+1}+4I_n\le e{\int }_0^1{x}^{n}dx=e\cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{n}+1},\text{ pentru orice numa˘r natural nenul }n\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se majorează $e^x$ cu $e$ fără să se spună pe ce interval — inegalitatea $e^x\le e$ este falsă pentru $x>1$, deci menționarea intervalului $[0,1]$ face parte din demonstrație. A doua capcană este semnul: monotonia integralei se poate folosi numai pentru că $x^n\ge 0$ pe $[0,1]$. Control numeric: pentru $n=1$, membrul stâng calculat numeric dă $1,00000$, iar $\frac{e}{2}\approx 1,35914$ — inegalitatea este confortabilă, dar nu banală.)