Bac M1 2026, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea august-septembrie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 4, cea extrasă în ziua examenului. Este sesiunea a doua a anului, cea la care se prezintă elevii care nu au promovat în iunie-iulie sau care nu s-au putut înscrie atunci. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii geometrice: rația ca raport a doi termeni consecutivi și formula termenului general — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(2)$ pentru două funcții de gradul întâi, una cu parametru — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: suma a doi logaritmi ca logaritm al produsului și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor pare de două cifre prin regula produsului, cu cifre care se pot repeta — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte, condiția de paralelism și ecuația dreptei printr-un punct dat — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în punctele remarcabile, cu trei argumente diferite în aceeași expresie — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare cu parametru: determinantul unei matrice numerice, discuția unui sistem cu determinant nul prin minor principal și determinant caracteristic, și rezolvarea cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, divizibilitatea prin $X+2$ și relațiile lui Viète folosite pentru o condiție de proporționalitate între rădăcini — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată cu exponențială, limită, unicitatea soluției: derivarea unui produs cu $e^{2x}$, regula lui l'Hôpital și tabloul de monotonie folosit ca argument de unicitate — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și volum de rotație: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ și formula volumului corpului de rotație, cu o primitivă de tip arctangentă — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august-septembrie 2026. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, dar niciuna „gratis": la logaritmi domeniul este un interval, nu o simplă condiție de pozitivitate; la combinatorică lipsește cuvântul „distincte", deci cifrele se pot repeta; la trigonometrie aceeași expresie are trei argumente diferite, $\frac{x}{3}$, $x$ și $\frac{2x}{3}$. Subiectul al II-lea a pus în slotul de algebră discuția completă a unui sistem după parametru (problema 1) — un caz cu o infinitate de soluții, tratat cu minor principal și determinant caracteristic, și un caz general cu soluție unică — și un polinom de gradul al treilea (problema 2), al cărui ultim subpunct cere relațiile lui Viète plus un argument de realitate a rădăcinilor. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată $\to$ limită de tip $\frac{0}{0}$ $\to$ unicitatea soluției, iar la problema 2 două integrale cu același radical și, la final, volumul unui corp de rotație — singura formulă din probă care aduce $\pi$ în rezultat.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right)$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără condițiile de existență; „o infinitate de soluții" afirmată doar din determinantul nul, fără minorul principal și determinantul caracteristic; limita de tip $\frac{0}{0}$ calculată fără să se spună că este nedeterminare; „soluție unică" afirmată fără tabloul de monotonie și fără limitele la capete; volumul scris fără $\pi$ sau cu $f$ în loc de $f^2$ sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii geometrice: rația este $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$, iar termenul general $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(2)=f(g(2))$ — se calculează dinăuntru în afară. Logaritmi: ${\log }_{b}u+{\log }_{b}v={\log }_b(uv)$, valabilă numai când $u>0$ și $v>0$; condițiile de existență se scriu întâi. Regula produsului: dacă enunțul nu spune „cifre distincte", cifrele se pot repeta. Geometrie analitică: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$; drepte paralele au pantele egale; dreapta prin $M(x_0,y_0)$ cu panta $m$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$. Trigonometrie: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; când determinantul sistemului este nul, se alege un minor principal nenul și se calculează determinantul caracteristic — dacă acesta este nul, sistemul are o infinitate de soluții, dacă nu, este incompatibil.
• Polinoame: $g=X-c$ divide pe $f$ exact când $f(c)=0$ (teorema lui Bézout); relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$.
• Derivate și limite: $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$, plus limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$; o funcție continuă, strict monotonă pe un interval, care își schimbă semnul, se anulează exact o dată.
• Integrale și volume: $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$; $\int \frac{1}{t^2+1}dt=\mathrm{arctg}t+\mathcal{C}$; volumul corpului de rotație al graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$, pe $[a,b]$: $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$ — cu funcția la pătrat și cu $\pi$ în față.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=x-5$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ (coeficientul lui $g$), parametru la itemul $7$ (parametrul matricei și al sistemului) și coeficient la itemul $8$.
• Litera $g$ denumește o funcție de gradul întâi la itemul $2$, un polinom de gradul întâi la itemul $8$, subpunctul b), și funcția care se rotește la itemul $10$, subpunctul c). Litera $m$ este panta unei drepte la itemul $5$ și numărul real căutat la itemul $10$, subpunctul c).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $b_3$ al progresiei geometrice $(b_n{)}_{n\ge 1}$, în care $b_1=2$ și $b_2=10$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=ax-1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ g)(2)=2$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_{8}x+{\log }_8(8-x)={\log }_8(6+x)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1,2,4,6,8\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(2,2)$ și $C(4,6)$. Determinați ecuația dreptei $d$ ce trece prin punctul $B$ și este paralelă cu dreapta $AC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=3\mathrm{tg}\frac{x}{3}+\sin x-2\sin \frac{2x}{3}$, unde $x\in \left(0,\frac{3\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& -2a\\ 2& -1& -a\\ 1& -a& 0\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x+ay-2az=-1\\ 2x-y-az=a\\ x-ay=a\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=4$.

b) (5 puncte) Pentru $a=1$, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

c) (5 puncte) Arătați că, pentru orice $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$, sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ și $4x_0{z}_0=1$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2+aX+8$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=8$, pentru orice număr real $a$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X+2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului $f$ este egal cu $2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=4(x-1)(1-e^{2x})$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=4$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)+n=0$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x^2-4x+5}dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{3}f(x)dx=0$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g:[2,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, în jurul axei $Ox$ este egal cu $\pi \left(1-\frac{\pi }{m}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie geometrică.

Rația unei progresii geometrice este raportul dintre un termen și cel dinaintea lui: $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{2}=5,\text{ unde }q\text{ este rația progresiei geometrice}\text{(3 p)}.$$ Cu formula termenului general, $b_n=b_1{q}^{n-1}$, pentru $n=3$: $$b_3=b_1{q}^2=2\cdot 25=50\text{(2 p)}.$$

(Control: primii trei termeni sunt $2$, $10$, $50$, iar raportul fiecăruia la precedentul este $5$. Un al doilea drum, mai scurt: $b_3=b_2\cdot q=10\cdot 5=50$. Unde se greșește de obicei: se calculează rația ca DIFERENȚĂ, $10-2=8$, ca la progresiile aritmetice, și se răspunde $18$.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară: întâi valoarea lui $g$ în $2$, apoi ea intră în formula lui $f$: $$g(2)=2a-1,(f\circ g)(2)=f(2a-1)=2a-1-5=2a-6,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $2a-6=2$, de unde $2a=8$ și $\mathbf{a}=4$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=4$, $g(2)=7$ și $f(7)=2$. Unde se greșește de obicei: se compune în ordine inversă, adică se calculează $(g\circ f)(2)=g(-3)=-3a-1$, care ar duce la $a=-1$; ordinea din $f\circ g$ înseamnă „întâi $g$, apoi $f$".)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență sunt $x>0$, $8-x>0$ și $6+x>0$, adică $x\in (0,8)$. Suma a doi logaritmi cu aceeași bază este logaritmul produsului, iar doi logaritmi egali au argumentele egale: $${\log }_8(8x-x^2)={\log }_8(6+x),\text{ de unde obținem }{x}^2-7x+6=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =49-24=25$ și rădăcinile $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=6,\text{ amaˆndoua˘ ıˆn intervalul }(0,8),\text{ deci convin}\text{(3 p)}.$$

(Verificare pentru $x=6$: ${\log }_{8}6+{\log }_{8}2={\log }_{8}12={\log }_8(6+6)$. Unde se greșește de obicei: se aplică formula sumei fără condițiile de existență — ele sunt cele care ar tăia o rădăcină în afara intervalului $(0,8)$; și se trece de la $8x-x^2=6+x$ la $x^2-7x+6=0$ cu semne greșite, uitând că toți termenii își schimbă semnul când se mută.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Un număr este par exact când cifra unităților este pară, iar cifrele pare din $A$ sunt $2$, $4$, $6$ și $8$; cifra unităților se poate alege deci în $4$ moduri (2 p).

Enunțul nu cere cifre distincte, deci cifra zecilor se poate alege liber din toate cele cinci elemente ale lui $A$. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în $5$ moduri, deci se pot forma $$4\cdot 5=20\text{ de numere}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se presupune „cifre distincte" și se numără $4\cdot 4=16$ — enunțul nu spune asta, deci $22$, $44$, $66$ și $88$ intră și ele la socoteală. A doua capcană este cifra zecilor: ea nu are voie să fie zero, dar aici zero nici nu apare în mulțime, deci restricția nu taie nimic. Control: numerele cu unitatea $2$ sunt $12$, $22$, $42$, $62$, $82$ — cinci, exact cât prezice numărătoarea.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică, dreaptă paralelă printr-un punct.

Panta dreptei $AC$, cu $A(1,3)$ și $C(4,6)$, este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor; două drepte paralele au pantele egale, deci $$m_{AC}=\frac{6-3}{4-1}=1,\text{ deci }{m}_d=1\text{(3 p)}.$$ Dreapta care trece prin $M(x_0,y_0)$ și are panta $m$ are ecuația $y-y_0=m(x-x_0)$; cu $B(2,2)$ și $m_d=1$: $$y-2=x-2,\text{ adica˘ }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(2 p)}.$$

(Control: punctul $B(2,2)$ chiar verifică ecuația $y=x$, iar panta dreptei $y=x$ este $1$, egală cu $m_{AC}$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația dreptei $AC$ în loc de a dreptei $d$ — ele sunt paralele, dar distincte, pentru că $B$ nu este pe $AC$ (ar cere $2=1\cdot 2+2$, fals); sau se pune condiția de perpendicularitate, $m_{AC}\cdot m_d=-1$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie, valori remarcabile.

Expresia are trei argumente diferite, $\frac{x}{3}$, $x$ și $\frac{2x}{3}$; pentru $x=\frac{\pi }{2}$ ele devin $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{3}$: $$\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},\sin \frac{\pi }{2}=1,\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresie și raționalizând primul termen, $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$: $$E\left(\frac{\pi }{2}\right)=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+1-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează toate cele trei funcții în același argument $\frac{\pi }{2}$, deși doar sinusul din mijloc are argumentul $x$; și se lasă $\frac{3}{\sqrt{3}}$ neraționalizat, ratând reducerea cu $-\sqrt{3}$. Control numeric: $\sqrt{3}\approx 1,732$, iar $1,732+1-1,732=1$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice și sistem liniar discutat după parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 2& -1& -2\\ 1& -2& 0\end{array}\right)⟹\det (A(2))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 2& -1& -2\\ 1& -2& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(2))& =0+16-4-4-4-0\\ & =4\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Control pe alt drum: dezvoltând după linia a treia, $\det (A(2))=1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& -4\\ -1& -2\end{array}\right|-(-2)\cdot \left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& -2\end{array}\right|=(-4-4)+2(-2+8)=-8+12=4$ — aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: la Sarrus se uită un semn minus dintre cele trei ale matricei.)

b) (5 p) Pentru $a=1$ sistemul devine $x+y-2z=-1$, $2x-y-z=1$ și $x-y=1$, iar determinantul lui este nul: $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 2& -1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=0\text{(2 p)}.$$ Determinantul fiind nul, sistemul nu are soluție unică; se alege un minor principal nenul și se calculează determinantul caracteristic care îi corespunde, bordându-l cu coloana termenilor liberi: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|\\ & =-3\ne 0\text{și}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0,\\ & \text{ deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții}\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Regula, pe scurt: determinant nul plus determinant caracteristic nul înseamnă sistem compatibil nedeterminat; determinant nul plus determinant caracteristic nenul înseamnă sistem incompatibil. Control: rezolvând sistemul, $y=x-1$ din a treia ecuație, iar prima dă $2x-1-2z=-1$, adică $z=x$; a doua devine identitate. Soluțiile sunt $(\alpha ,\alpha -1,\alpha )$, cu $\alpha$ real — chiar o infinitate. Unde se greșește de obicei: se declară sistemul incompatibil doar pentru că determinantul este nul.)

c) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă, tot cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =0-a^2+4a^2-2a-a^2-0\\ & =2a^2-2a=2a(a-1);\end{array}$$ cum $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$, obținem că $\det (A(a))\ne 0$, deci sistemul de ecuații are soluție unică (2 p).

Se rezolvă prin substituție: din a treia ecuație $ay=x-a$; înlocuind în prima, $x+(x-a)-2az=-1$, deci $2x-2az=a-1$, adică $x-az=\frac{a-1}{2}$. Înmulțind a doua ecuație cu $a$ și folosind $ay=x-a$ se obține $2ax-x+a-a^{2}z=a^2$, adică $x(2a-1)-a^{2}z=a^2-a$; scoțând $az=x-\frac{a-1}{2}$ și înlocuind, rămâne $x(a-1)=\frac{a(a-1)}{2}$, de unde, pentru $a\ne 1$, $$\begin{array}{rl}{x}_0& =\frac{a}{2},z_0=\frac{1}{2a},\text{ deci }4x_0{z}_0\\ & =4\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{2a}=1,\text{ pentru orice }a\\ & \in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Control numeric pentru $a=2$: sistemul $x+2y-4z=-1$, $2x-y-2z=2$, $x-2y=2$ are soluția $x_0=1$, $y_0=-\frac{1}{2}$, $z_0=\frac{1}{4}$, iar $4\cdot 1\cdot \frac{1}{4}=1$. Unde se greșește de obicei: se aplică regula lui Cramer pe toate trei necunoscutele, deși enunțul cere doar produsul $x_0{z}_0$ — substituția este mult mai scurtă. A doua capcană este simplificarea prin $a-1$ fără să se spună că $a\ne 1$, condiție care este chiar în enunț.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom în $0$ se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu $0$: $$f(0)=0^3+0^2+a\cdot 0+8\text{(3 p)}.$$ Toți termenii care conțin $X$ se anulează, deci $$f(0)=0+0+0+8=8,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$

(Observație folositoare mai departe: $f(0)$ este chiar termenul liber al polinomului, iar produsul rădăcinilor este $-\frac{8}{1}=-8$ — exact ce se va folosi la subpunctul c). Unde se greșește de obicei: se crede că parametrul $a$ influențează rezultatul, deși el este înmulțit cu $0$.)

b) (5 p) Polinomul $f$ este divizibil cu $g=X+2$ exact când $f(-2)=0$ — teorema lui Bézout. Calculăm valoarea: $$f(-2)=(-2{)}^3+(-2{)}^2+a(-2)+8=-8+4-2a+8=4-2a,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția de divizibilitate devine $4-2a=0$, de unde $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=2$, $f=X^3+X^2+2X+8=(X+2)(X^2-X+4)$. Unde se greșește de obicei: se cere $f(2)=0$ în loc de $f(-2)=0$ — rădăcina lui $X+2$ este $-2$, nu $2$; sau se face împărțirea lungă, corect dar de trei ori mai lungă.)

c) (5 p) Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile, cu $\frac{x_2}{x_1}=2$, adică $x_2=2x_1$. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2+x_3=-1$ și $x_1{x}_2{x}_3=-8$, deci $x_3=-1-3x_1$ și $x_1\cdot 2x_1\cdot (-1-3x_1)=-8$; desfăcând și împărțind la $2$, obținem $$3x_1^3+x_1^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Se observă că $x_1=1$ este rădăcină a acestei ecuații, deci se descompune: $$(x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4)=0;$$ al doilea factor are discriminantul $16-48=-32<0$, deci nu se anulează pentru niciun număr real. Cum $f$ este polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali și $x_2=2x_1$, rezultă că $x_1$ este număr real, deci $x_1=1$ și $f(1)=0$, de unde $1+1+a+8=0$ și $\mathbf{a}=-10$, care convine (2 p).

(De ce $x_1$ este real: dacă ar fi nereal, atunci și conjugatul lui ar fi rădăcină, la fel și $2x_1$ și conjugatul acestuia — patru rădăcini pentru un polinom de gradul al treilea, imposibil, în afară de cazul $x_1=0$, exclus de $x_1{x}_2{x}_3=-8$. Verificare: pentru $a=-10$, $f=X^3+X^2-10X+8=(X-1)(X-2)(X+4)$, cu rădăcinile $1$, $2$ și $-4$; raportul primelor două este chiar $2$. Unde se greșește de obicei: se folosește și a doua relație a lui Viète, care nu e necesară și încarcă inutil calculul; sau se acceptă rădăcinile complexe ale factorului de gradul al doilea ca valori posibile pentru $x_1$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu exponențială, limită și unicitatea soluției.

a) (5 p) Primul grup se derivează termen cu termen, iar al doilea cu regula produsului, folosind $(e^{2x}{)}^{\prime }=2e^{2x}$: $$f^{\prime }(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}\text{(3 p)}.$$ Se grupează: primii doi termeni dau $4(x-1)$, iar ceilalți doi, cu factorul comun $e^{2x}$, dau $-e^{2x}(2+4x-6)=-4(x-1)e^{2x}$; prin urmare $$f^{\prime }(x)=4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)(1-e^{2x}),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=4(1-e^4)\approx -214,4$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $-214,4$. Unde se greșește de obicei: se derivează $e^{2x}$ ca $e^{2x}$, uitând factorul $2$ adus de derivata exponentului; sau se aplică regula produsului doar la un factor.)

b) (5 p) În $x=0$ avem $f(0)=-3-(-3)\cdot 1=0$, iar numitorul se anulează și el, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se aplică regula lui l'Hôpital: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{(x^2{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4(x-1)(1-e^{2x})}{2x}\text{(3 p)}.$$ Al doilea factor se recunoaște ca limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-e^{2x}}{2x}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{2x}=-1$, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=4\cdot (-1)\cdot (-1)=4\text{(2 p)}.$$

(Limita fundamentală folosită este $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$, cu $t=2x$; ea se poate obține și cu încă o aplicare a regulii lui l'Hôpital. Unde se greșește de obicei: se simplifică prin $x$ înainte de derivare, ceea ce nu se poate face pentru că numărătorul nu are factorul $x$ la vedere; sau se pierde unul dintre cele două semne minus și rezultatul iese $-4$. Control numeric: pentru $x=0,001$ raportul $\frac{f(x)}{x^2}$ calculat numeric dă $3,995$, aproape de $4$.)

c) (5 p) Semnul derivatei se citește din cei doi factori: $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x=0$ sau $x=1$. Pentru orice $x\in (-\infty ,0]$ avem $x-1<0$ și $1-e^{2x}\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,0]$; pentru orice $x\in [0,1]$ ambii factori sunt negativi sau nuli, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ este crescătoare pe $[0,1]$; pentru orice $x\in (1,+\infty )$ avem $x-1>0$ și $1-e^{2x}<0$, deci $f^{\prime }(x)<0$ și $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$ (3 p).

Ecuația se rescrie $f(x)=-n$, cu $-n<0$. Cea mai mică valoare a lui $f$ pe $(-\infty ,1]$ este $f(0)=0$, deci acolo funcția nu coboară sub zero și ecuația nu are soluții. Pe $(1,+\infty )$ funcția este strict descrescătoare, pleacă de la $f(1)=e^2-5>0$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$; fiind continuă, ea ia o singură dată valoarea $-n$. Prin urmare ecuația $f(x)+n=0$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $n$ (2 p).

(De ce limita este $-\infty$: termenul $-(2x-3)e^{2x}$ domină polinomul de gradul al doilea, iar pentru $x$ mare paranteza este pozitivă, deci termenul este negativ și crește în modul mult mai repede. Unde se greșește de obicei: se lucrează cu $f(x)+n$ ca și cum ar fi altă funcție și se recalculează derivata — adunarea unei constante nu schimbă derivata, deci tabloul de monotonie rămâne același; și se uită jumătatea de demonstrație de pe $(-\infty ,1]$, unde trebuie arătat că nu există soluții. Control numeric: pentru $n=1$ soluția este $x\approx 1,3836$, iar pentru $n=5$ este $x\approx 1,5128$.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și volumul unui corp de rotație.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: radicalul de la numitorul lui $f$ se reduce cu cel din produs, $${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x^2-4x+5}dx={\int }_2^4(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^4\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_2^{4}f(x)\sqrt{x^2-4x+5}dx=(8-8)-(2-4)=0-(-2)=2\text{(2 p)}.$$

(Simplificarea este legitimă pentru că $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci radicalul nu se anulează niciodată. Control numeric: integrala lui $x-2$ pe $[2,4]$ este aria unui triunghi dreptunghic cu catetele $2$ și $2$, adică $2$.)

b) (5 p) De data aceasta se recunoaște la numărător jumătate din derivata expresiei de sub radical: $(x^2-4x+5{)}^{\prime }=2x-4=2(x-2)$, deci integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: $${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^3\frac{(x^2-4x+5{)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2-4x+5}}dx=\sqrt{x^2-4x+5}{|}_1^3\text{(3 p)}.$$ În ambele capete expresia de sub radical valorează $2$, căci $9-12+5=2$ și $1-4+5=2$, deci $${\int }_1^{3}f(x)dx=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Rezultatul nul se putea prevedea din simetrie: funcția $f$ este impară față de punctul $x=2$, adică $f(2+t)=-f(2-t)$, iar intervalul $[1,3]$ este simetric față de $2$ — cele două jumătăți de arie se anulează reciproc. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva ca $\ln \sqrt{x^2-4x+5}$, confundând rețeta radicalului cu cea a logaritmului; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$ și rezultatul iese dublu — aici, tot zero, deci greșeala trece neobservată.)

c) (5 p) Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ este $V=\pi {\int }_2^3{g}^2(x)dx$, cu funcția la pătrat. Pătratul lui $f$ scapă de radical, iar apoi se împarte cu rest, folosind $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$: $$V=\pi {\int }_2^3{f}^2(x)dx=\pi {\int }_2^3\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}dx=\pi {\int }_2^3\left(1-\frac{1}{(x-2{)}^2+1}\right)dx=\pi (x-\mathrm{arctg}(x-2)){|}_2^3\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ și $\mathrm{arctg}0=0$, se obține $V=\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right)$; egalând cu valoarea din enunț, $$\pi \left(1-\frac{\pi }{m}\right)=\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right),\text{ de unde obținem }\mathbf{m}=4\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie volumul fără $\pi$, sau cu $f$ în loc de $f^2$ sub integrală — atunci s-ar calcula o arie, nu un volum. A doua capcană este împărțirea cu rest: numărătorul $x^2-4x+4$ este cu exact $1$ mai mic decât numitorul, deci fracția este $1-\frac{1}{x^2-4x+5}$, iar forma canonică $(x-2{)}^2+1$ arată imediat că primitiva este o arctangentă. Control numeric: $\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,6742$, iar volumul calculat numeric dă $0,67419$.)