Bac M1 2026, sesiunea iunie-iulie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea iunie-iulie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 3, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică și produsul a două numere conjugate, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valorile unei funcții liniare în două puncte legate între ele și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical în ambii membri: ridicarea la pătrat și verificarea soluțiilor — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea submulțimilor cu un element impus, prin reducerea la submulțimile mulțimii rămase — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte prin două puncte și condiția de paralelism — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: valorile funcțiilor trigonometrice în punctele remarcabile și identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea și sistem liniar: determinantul unei matrice numerice, determinantul cu parametru scris ca sumă de pătrat și constantă, și o condiție de proporționalitate între necunoscute — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție asociativă: calculul unei compuneri, o ecuație de gradul al doilea obținută din lege și o ecuație diofantică în numere naturale — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, asimptotă oblică, numărul soluțiilor: derivarea unui cât, limita $f(x)-x$ la $+\infty$ și discuția după parametrul $m$, citită din tabloul de variație — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și limită cu primitivă: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=\ln x$ și regula lui l'Hôpital aplicată unei integrale cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2026. Subiectul I este scurt și „de mână", dar fiecare cerință are un punct în care se pierd puncte dacă scrii direct rezultatul: conjugatul la numerele complexe, condiția $x+1\ge 0$ la ecuația irațională, reducerea la submulțimile lui $A\setminus \{5\}$ la combinatorică. Subiectul al II-lea a pus în slotul de algebră perechea matrice + sistem (problema 1), cu un determinant care nu se anulează niciodată, scris ca $(a-1{)}^2+2$, și o lege de compoziție asociativă (problema 2), al cărei ultim subpunct este de fapt o ecuație în numere naturale. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul complet derivată $\to$ asimptotă oblică $\to$ discuție după parametru, iar la problema 2 două integrale în care toată dificultatea stă în simplificarea integrandului și o limită de tip $\frac{0}{0}$ rezolvată cu regula lui l'Hôpital.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\ln 2$ și $\frac{\ln 2}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații iraționale date fără verificare; concluzia „sistemul are soluție unică" fără argumentul că determinantul este nenul pentru orice valoare a parametrului; asimptota oblică scrisă fără precizarea capătului; discuția după $m$ dată cu interval închis în loc de deschis; limita de tip $\frac{0}{0}$ calculată fără să se spună că este nedeterminare.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; produsul numerelor conjugate, $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, transformă $(3-i)(3+i)$ în $9-i^2$. Funcții: valoarea unei funcții într-un punct se obține înlocuind variabila peste tot, inclusiv în argumente compuse ca $-2a$. Ecuații iraționale: $\sqrt{u}=\sqrt{v}⟹u=v$, cu condițiile $u\ge 0$ și $v\ge 0$ și cu verificarea soluțiilor. Combinatorică: submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente sunt $C_n^k$; cele care conțin obligatoriu un element fixat sunt $C_{n-1}^{k-1}$. Geometrie analitică: panta dreptei prin $M(x_1,y_1)$ și $N(x_2,y_2)$ este $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, iar două drepte sunt paralele când au pantele egale. Trigonometrie: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; un sistem liniar cu același număr de ecuații și de necunoscute are soluție unică exact când determinantul lui este nenul, iar soluțiile se scriu cu regula lui Cramer sau prin substituție.
• Legi de compoziție: o lege de forma $x\ast y=k(x-c)(y-c)+c$ se recunoaște după „translația" $c$: scăzând $c$ din rezultat, compunerea devine un simplu produs, iar asociativitatea se citește imediat.
• Derivate și asimptote: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$; dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ exact când $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx-n)=0$; numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ se citește din tabloul de variație, comparând pe $m$ cu valorile extremelor locale.
• Integrale și limite: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$, folosită aici cu $u=\ln x$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$, plus ${\left({\int }_a^{x}g(t)dt\right)}^{\prime }=g(x)$ pentru $g$ continuă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=3x-4$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{x^2-4}{x\ln x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemii $2$ și $5$ (numărul căutat, respectiv ordonata punctului $C$) și parametru la itemul $7$ (parametrul matricei și al sistemului), unde la subpunctul c) i se cere, în plus, să fie număr natural nenul.
• Litera $m$ înseamnă la itemul $8$, subpunctul c), un număr natural dintr-o pereche căutată, iar la itemul $9$, subpunctul c), parametrul real din membrul drept al ecuației $f(x)=m$; în afara acestor două locuri, $m$ este notația obișnuită pentru panta unei drepte, folosită la itemul $5$ și la asimptotă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=3-i$. Arătați că $z(z+2i)=10$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(-2a)=a$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+7}=2\sqrt{x+1}$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,5,7\}$. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii $A$ au exact trei elemente și conțin numărul $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,6)$, $B(4,1)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră expresia $E(x)=(1+{\mathrm{tg}}^{2}x)\sin \frac{x}{2}+\cos 3x$, unde $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 3& a\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}x+ay+az=1\\ ax+3y+az=0\\ 2y+z=0\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr real $a$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $(x_0,y_0,z_0)$, cu $z_0=n{x}_0$, unde $n$ este număr natural.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\frac{2}{3}(x-3)(y-3)+3$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 2=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast \frac{3x}{2}=5x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast m\ast n=-1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2+5}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că dreapta de ecuație $y=x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x\ln x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^{3}f(x)x\ln xdx=\frac{7}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}dx=\ln 2$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{F^2(x)}{\int }_2^x(t-2)F(t)dt=\frac{\ln 2}{4}$, unde $F:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(2)=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii iunie-iulie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se calculează întâi paranteza: $z+2i=3-i+2i=3+i$, adică conjugatul lui $z$. Produsul a două numere conjugate se desface cu formula diferenței de pătrate: $$z(z+2i)=(3-i)(3+i)=9-i^2\text{(2 p)}.$$ Cum $i^2=-1$, rezultă $$z(z+2i)=9-(-1)=10\text{(3 p)}.$$

(Control prin înmulțire directă: $(3-i)(3+i)=9+3i-3i-i^2=9+1=10$ — termenii cu $i$ se reduc, exact ca la orice pereche de conjugate. Unde se greșește de obicei: se scrie $i^2=1$, sau se uită că $-i+2i=+i$, și paranteza iese $3-i$ în loc de $3+i$.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se înlocuiește variabila cu fiecare dintre cele două argumente, atenție la semnul din $-2a$: $$f(a)=3a-4,f(-2a)=3(-2a)-4=-6a-4,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $3a-4-6a-4=a$, adică $-3a-8=a$, de unde $4a=-8$ și $\mathbf{a}=-2$ (2 p).

(Verificare: $f(-2)=-10$ și $f(4)=8$, iar $-10+8=-2=a$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(-2a)$ ca $-2f(a)=-6a+8$, adică se scoate factorul $-2$ în fața funcției; o funcție de gradul întâi cu termen liber nenul nu are voie să fie „scoasă" așa.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională.

Ambii membri sunt rădăcini pătrate, deci sunt nenegativi; condiția de existență este $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$ (expresia $x^2+7$ este pozitivă oricum). Ridicând la pătrat, coeficientul $2$ din fața radicalului se ridică și el: $$x^2+7=4(x+1),\text{ de unde obținem }{x}^2-4x+3=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =16-12=4$ și rădăcinile $x=1$ și $x=3$; amândouă sunt mai mari decât $-1$ și amândouă verifică ecuația inițială, deci convin (3 p): $$\sqrt{1+7}=2\sqrt{2}=2\sqrt{1+1},\sqrt{9+7}=4=2\sqrt{3+1}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ridică la pătrat doar radicalul, nu și coeficientul $2$, și se obține $x^2+7=x+1$, adică o ecuație fără soluții reale. A doua capcană este verificarea sărită: ridicarea la pătrat poate introduce soluții străine — aici nu introduce niciuna, dar baremul cere cuvântul „convin", adică proba efectivă.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică.

O submulțime cu exact trei elemente care conține numărul $5$ se obține alegând, pe lângă $5$, încă două elemente din restul mulțimii. Prin urmare $$\text{numa˘rul lor}=\text{numa˘rul submulțimilor cu exact doua˘ elemente ale mulțimii }A\setminus \{5\}\text{(3 p)}.$$ Mulțimea $A\setminus \{5\}=\{1,2,3,7\}$ are patru elemente, deci $$C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6\text{ submulțimi cu exact doua˘ elemente}\text{(2 p)}.$$

(Lista completă, pentru control: $\{1,2,5\}$, $\{1,3,5\}$, $\{1,5,7\}$, $\{2,3,5\}$, $\{2,5,7\}$, $\{3,5,7\}$ — exact șase. Unde se greșește de obicei: se calculează $C_5^3=10$, adică toate submulțimile cu trei elemente, fără condiția ca $5$ să fie printre ele; sau se scade greșit, ca și cum ar trebui eliminate cele care conțin $5$.)

Itemul 5. (5 p) — geometrie analitică, drepte paralele.

Dreapta $OA$ trece prin origine și prin $A(3,6)$, deci panta ei este $$m_{OA}=\frac{6-0}{3-0}=2\text{(2 p)}.$$ Dreapta $BC$ trece prin $B(4,1)$ și $C(5,a)$, deci $m_{BC}=\frac{a-1}{5-4}=a-1$; două drepte sunt paralele exact când au pantele egale, deci $m_{OA}=m_{BC}$ dă $2=a-1$, de unde $\mathbf{a}=3$ (3 p).

(Control: cu $a=3$, punctele sunt $B(4,1)$ și $C(5,3)$, iar $\frac{3-1}{5-4}=2$ — chiar panta lui $OA$. Unde se greșește de obicei: se scrie panta cu diferențele în ordini diferite la numărător și la numitor, $\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$, și iese semnul schimbat; sau se pune condiția de perpendicularitate, $m_{OA}\cdot m_{BC}=-1$, în loc de paralelism.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie, valori remarcabile.

Se calculează pe rând valorile care apar, ținând minte că argumentele sunt $x$, $\frac{x}{2}$ și $3x$, deci pentru $x=\frac{\pi }{3}$ ele devin $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{6}$ și $\pi$: $$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\cos \pi =-1\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresie și folosind $(\sqrt{3}{)}^2=3$: $$E\left(\frac{\pi }{3}\right)=\left(1+(\sqrt{3}{)}^2\right)\cdot \frac{1}{2}+(-1)=4\cdot \frac{1}{2}-1=2-1=1\text{(2 p)}.$$

(Un drum mai scurt trece prin identitatea $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$: pentru $x=\frac{\pi }{3}$ avem $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci paranteza este $\frac{1}{1/4}=4$ — aceeași valoare, fără să mai ridici radicalul la pătrat. Unde se greșește de obicei: se calculează $\sin \frac{x}{2}$ ca $\frac{\sin x}{2}$, ceea ce ar da $\frac{\sqrt{3}}{4}$ în loc de $\frac{1}{2}$; argumentul se împarte, nu rezultatul.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}A(1)& =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(1))\\ & =3+2+0-0-2-1=2\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Control pe alt drum: scăzând linia întâi din linia a doua se obține $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right|$, iar dezvoltarea după prima coloană dă $1\cdot (2\cdot 1-0\cdot 2)=2$ — aceeași valoare, cu mult mai puțin calcul.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă, tot cu regula lui Sarrus: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 3& a\\ 0& 2& 1\end{array}\right|\\ & =3+0+2a^2-0-2a-a^2\\ & =a^2-2a+3,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.\end{array}$$ Trinomul se scrie ca sumă între un pătrat și o constantă pozitivă, deci nu se anulează niciodată: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =(a-1{)}^2+2\\ & \ne 0,\text{ pentru orice numa˘r real }a,\end{array}$$ prin urmare, pentru orice număr real $a$, sistemul de ecuații are soluție unică (2 p).

(Un sistem liniar cu tot atâtea ecuații cât necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei lui este nenul — este teorema lui Cramer. Control: pentru $a=1$ formula dă $1-2+3=2$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se calculează discriminantul $\Delta =4-12=-8<0$ și se spune „nu are rădăcini reale, deci e mereu pozitiv" fără să se precizeze semnul coeficientului dominant — argumentul cu forma canonică $(a-1{)}^2+2$ nu are nevoie de nicio precizare suplimentară.)

c) (5 p) Se rezolvă sistemul prin substituție. Din a treia ecuație, $z=-2y$; înlocuind în prima, $x+ay-2ay=1$, deci $x=1+ay$; înlocuind ambele în a doua, $a(1+ay)+3y-2ay=0$, de unde $y(a^2-2a+3)=-a$. Notând $d=a^2-2a+3\ne 0$, soluția unică este $x_0=\frac{3-2a}{d}$, $y_0=\frac{-a}{d}$, $z_0=\frac{2a}{d}$. Condiția $z_0=n{x}_0$ devine, după simplificarea numitorului comun, $$\begin{array}{rl}& 2a\\ & =n(3-2a),\\ & \text{ unde }a\text{ și }n\text{ sunt numere naturale},a\text{ nenul}\text{(3 p)}.\end{array}$$ Cum $a\ge 1$ și $n\ge 0$, membrul stâng este strict pozitiv, deci și cel drept: $3-2a>0$. Singurul număr natural nenul cu $a<\frac{3}{2}$ este $\mathbf{a}=1$, care convine (atunci $n=2$, într-adevăr natural) (2 p).

(Control: pentru $a=1$ avem $d=2$, deci $x_0=\frac{1}{2}$, $y_0=-\frac{1}{2}$, $z_0=1$, iar $z_0=2x_0$. Unde se greșește de obicei: se caută $n$ real, nu natural, și atunci orice $a$ „merge"; condiția care taie discuția este tocmai $n\ge 0$. Pentru $a=2$ ar ieși $n=-4$, iar pentru $a=3$ ar ieși $n=-2$ — niciunul natural.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă pe $\mathbb{R}$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x$ cu $0$ și $y$ cu $2$ în formula legii: $$0\ast 2=\frac{2}{3}(0-3)(2-3)+3\text{(3 p)}.$$ Produsul celor două paranteze este $(-3)(-1)=3$, deci $$0\ast 2=\frac{2}{3}\cdot 3+3=2+3=5\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se pierde unul dintre semnele minus și produsul iese $-3$, cu rezultatul $1$ în loc de $5$. Control util: legea se scrie $x\ast y-3=\frac{2}{3}(x-3)(y-3)$, iar aici membrul drept este $2$, deci rezultatul este $3+2=5$.)

b) (5 p) Se compune $x$ cu $\frac{3x}{2}$, scoțând factorul $\frac{3}{2}$ din a doua paranteză: $$x\ast \frac{3x}{2}=\frac{2}{3}(x-3)\left(\frac{3x}{2}-3\right)+3=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(x-3)(x-2)+3=x^2-5x+9,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $x^2-5x+9=5x$, adică $x^2-10x+9=0$, cu discriminantul $\Delta =100-36=64$; rădăcinile sunt $$\mathbf{x}=1\text{ sau }\mathbf{x}=9\text{(3 p)}.$$

(Verificare pentru $x=1$: $1\ast \frac{3}{2}=\frac{2}{3}\cdot (-2)\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+3=2+3=5=5\cdot 1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\frac{3x}{2}-3=\frac{3x-3}{2}$, uitând că $3=\frac{6}{2}$; forma corectă este $\frac{3x-6}{2}=\frac{3}{2}(x-2)$. Fără această simplificare, ecuația finală iese cu coeficienți fracționari și rădăcinile se pierd.)

c) (5 p) Legea fiind asociativă, se compune întâi $m$ cu $m$, apoi rezultatul cu $n$. Din $m\ast m=\frac{2}{3}(m-3{)}^2+3$, scăzând $3$, rămâne $\frac{2}{3}(m-3{)}^2$, deci $$m\ast m\ast n=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}(m-3{)}^2(n-3)+3=\frac{4}{9}(m-3{)}^2(n-3)+3,\text{ pentru orice numere naturale }m\text{ și }n\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $\frac{4}{9}(m-3{)}^2(n-3)+3=-1$, adică $\frac{4}{9}(m-3{)}^2(n-3)=-4$, echivalent cu $$(m-3{)}^2(n-3)=-9;$$ cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $(m-3{)}^2$ este un pătrat perfect care divide $9$ — deci $1$ sau $9$ — iar $n-3$ trebuie să fie negativ. Pentru $(m-3{)}^2=1$ ar rezulta $n-3=-9$, adică $n=-6$, care nu este natural; pentru $(m-3{)}^2=9$ rezultă $n-3=-1$, deci $n=2$ și $m\in \{0,6\}$. Se obțin perechile $$(0,2)\text{ și }(6,2)\text{(3 p)}.$$

(Verificare pentru $(0,2)$: $0\ast 0=\frac{2}{3}\cdot 9+3=9$, apoi $9\ast 2=\frac{2}{3}\cdot 6\cdot (-1)+3=-4+3=-1$. La fel pentru $(6,2)$, pentru că $(6-3{)}^2=(0-3{)}^2=9$. Unde se greșește de obicei: se uită că $0$ este număr natural și se pierde prima pereche; sau se ia $(m-3{)}^2=3$, care nu are soluții întregi. Observație de fond: scăderea lui $3$ transformă legea într-o simplă înmulțire, iar $\frac{2}{3}(x-3)$ se comportă exact ca un „logaritm" al legii — de aici vine puterea a doua de la $m$ și puterea întâi de la $n$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, asimptotă oblică și numărul soluțiilor.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2-4)(x^2+5)-(x^3-4x)\cdot 2x}{(x^2+5{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând numărătorul, $3x^4+15x^2-4x^2-20-2x^4+8x^2=x^4+19x^2-20$, iar acest polinom biquadratic se descompune (rădăcinile lui în $x^2$ sunt $1$ și $-20$): $$f^{\prime }(x)=\frac{x^4+19x^2-20}{(x^2+5{)}^2}=\frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5{)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=2$ formula dă $f^{\prime }(2)=\frac{3\cdot 24}{81}=\frac{72}{81}\approx 0,889$, iar raportul incremental $\frac{f(2,001)-f(1,999)}{0,002}$ dă tot $0,889$. Unde se greșește de obicei: se scrie regula câtului cu semnele inversate, $\frac{f{g}^{\prime }-f^{\prime }g}{g^2}$; sau numitorul se derivează și el, deși în formulă apare $g^2$ nederivat.)

b) (5 p) Panta fiind dată în enunț, rămâne de arătat că diferența dintre funcție și dreaptă tinde la zero: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-4x-x(x^2+5)}{x^2+5}\text{(2 p)}.$$ La numărător termenii de gradul al treilea se reduc și rămâne $-9x$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9x}{x^2+5}=0,$$ prin urmare dreapta de ecuație $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (3 p).

(De ce limita este zero: la numitor gradul este $2$, la numărător $1$, deci raportul se comportă ca $\frac{-9}{x}\to 0$. Unde se greșește de obicei: se calculează doar $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ și se oprește acolo — panta singură nu dă asimptota, mai trebuie și termenul liber. Aici enunțul dă dreapta gata scrisă, deci se verifică direct diferența. Control numeric: $f(1000)-1000=\frac{-9000}{1000005}\approx -0,009$, aproape de zero.)

c) (5 p) Semnul derivatei este semnul factorului $x^2-1$, ceilalți doi fiind strict pozitivi. Deci $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x=-1$ sau $x=1$; pentru orice $x\in (-\infty ,-1)$ avem $f^{\prime }(x)>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1)$; pentru orice $x\in (-1,1)$ avem $f^{\prime }(x)<0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-1,1)$; pentru orice $x\in (1,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(1,+\infty )$ (2 p).

Valorile extremelor locale și limitele la capete sunt $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,f(-1)=\frac{-1+4}{6}=\frac{1}{2},f(1)=\frac{1-4}{6}=-\frac{1}{2},\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ iar $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$. O dreaptă orizontală $y=m$ taie graficul de trei ori exact când trece strict între minimul local și maximul local, deci ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții dacă și numai dacă $$m\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\text{(3 p)}.$$

(De ce intervalul este deschis: pentru $m=\frac{1}{2}$ dreapta atinge maximul local, deci $x=-1$ este soluție dublă și rămân doar două soluții distincte; la fel pentru $m=-\frac{1}{2}$. Unde se greșește de obicei: se scrie intervalul închis, sau se inversează capetele, punând maximul local înaintea minimului. Control numeric: pentru $m=0$ ecuația $x^3-4x=0$ are soluțiile $-2$, $0$ și $2$ — chiar trei; pentru $m=0,6$ rămâne una singură.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și limită cu primitivă.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: factorul $x\ln x$ se reduce cu numitorul funcției, $${\int }_2^{3}f(x)x\ln xdx={\int }_2^3\frac{x^2-4}{x\ln x}\cdot x\ln xdx={\int }_2^3(x^2-4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right){|}_2^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_2^{3}f(x)x\ln xdx=(9-12)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}\text{(2 p)}.$$

(Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul de integrare $[2,3]$ avem $x>0$ și $\ln x\ne 0$, adică $x\ne 1$; capătul $1$, exclus din domeniu, nu intră în interval. Control numeric: integrala lui $x^2-4$ pe $[2,3]$, calculată numeric, dă $2,33333$, iar $\frac{7}{3}\approx 2,3333$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică numărătorul cu numitorul dinafară: $\frac{f(x)}{x^2-4}=\frac{1}{x\ln x}$. Recunoscând că $\frac{1}{x}$ este chiar derivata lui $\ln x$, integrandul este de tipul $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=\ln x$: $${\int }_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}dx={\int }_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}dx={\int }_e^{e^2}\frac{1}{\ln x}\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx=\ln (\ln x){|}_e^{e^2}\text{(3 p)}.$$ Pe intervalul $[e,e^2]$ avem $\ln x\ge 1>0$, deci modulul din formula primitivei dispare. Înlocuind capetele, cu $\ln e^2=2$ și $\ln e=1$: $${\int }_e^{e^2}\frac{f(x)}{x^2-4}dx=\ln 2-\ln 1=\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva ca $\ln |x\ln x|$, aplicând rețeta $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=x\ln x$, deși numărătorul nu este derivata acestui produs. Cheia este să vezi $\frac{1}{x\ln x}$ ca $\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[e,e^2]$ dă $0,693147$, iar $\ln 2\approx 0,693147$.)

c) (5 p) Când $x$ tinde la $2$, integrala de la $2$ la $x$ tinde la zero, iar $F^2(x)$ tinde la $F^2(2)=0$, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se aplică regula lui l'Hôpital. Derivata integralei cu capăt variabil este integrandul luat în capăt, iar $(F^2(x){)}^{\prime }=2F(x)F^{\prime }(x)=2F(x)f(x)$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{F^2(x)}{\int }_2^x(t-2)F(t)dt=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\left({\int }_2^x(t-2)F(t)dt\right)}^{\prime }}{(F^2(x){)}^{\prime }}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}\text{(3 p)}.$$ Factorul $F(x)$ se simplifică (este nenul în vecinătatea lui $2$, cu $x\ne 2$, pentru că $f$ își schimbă semnul în $2$, deci $F$ are acolo un minim strict). Înlocuind $f(x)=\frac{x^2-4}{x\ln x}$ și simplificând prin $x-2$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{2f(x)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)x\ln x}{2(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x\ln x}{2(x+2)}=\frac{2\ln 2}{8}=\frac{\ln 2}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se derivează $F^2(x)$ ca $2F(x)$, uitând derivata dinăuntru — exact acel $f(x)$ face ca rezultatul să nu fie $\ln 2$ ci $\frac{\ln 2}{4}$; și se scoate $\frac{1}{F^2(x)}$ din limită, deși și el depinde de $x$. Condiția $F(2)=0$ din enunț este cea care face nedeterminarea $\frac{0}{0}$; fără ea, limita ar fi pur și simplu $0$. Control numeric: pentru $x=2,0005$ raportul calculat numeric este $0,17335$, iar $\frac{\ln 2}{4}\approx 0,17329$.)