Bac M1 2026, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial al probei E. c), Matematică M_mate-info, pentru examenul național de bacalaureat 2026 — documentul pe care Ministerul Educației și Cercetării, prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, îl publică înaintea anului școlar, ca să fixeze structura, nivelul și tipurile de cerințe ale probei. Modelul nu poartă număr de variantă (subiectele de sesiune poartă); pe el scrie doar „Model". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în modelul pentru 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi, sub forma mediei aritmetice — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(a)$ pentru două funcții de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: coborârea coeficientului în logaritm și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor de două cifre distincte cu o cifră impusă, prin regula produsului — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: descompunerea după $\vec{i}$ și $\vec{j}$ și o egalitate vectorială cu coeficient — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie și geometrie sintetică: bisectoarea unui unghi, triunghiul isoscel și tangenta unui unghi ascuțit — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea și sistem liniar: determinantul unei matrice numerice, inversabilitatea după parametru și un sistem compatibil nedeterminat — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție: calculul unei compuneri, o ecuație în care apare legea și o inegalitate demonstrată prin descompunerea rezultatului — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă orizontală, unicitatea soluției: derivarea unei sume cu ${\ln }^{2}x$ și $x\ln x$, condiția $f^{\prime }(a)=0$ și tabloul de monotonie folosit ca argument de unicitate — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și limită cu primitivă: simplificarea integrandului, primitiva de tipul $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ și regula lui l'Hôpital aplicată de două ori unei integrale cu capăt variabil — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2026. Subiectul I este format din șase cerințe scurte, fiecare pe alt capitol: progresii, funcții, logaritmi, combinatorică, vectori, trigonometrie — nicio cerință nu cere calcul lung, dar toate cer condițiile scrise (domeniul la logaritm, „cifre distincte" la numărare). Subiectul al II-lea anunță perechea matrice + sistem la problema 1 — determinantul decide inversabilitatea, iar pentru valoarea de parametru la care determinantul se anulează sistemul devine compatibil nedeterminat — și o lege de compoziție cu numitor la problema 2, unde toată dificultatea stă în simplificarea expresiei. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată $\to$ tangentă paralelă cu $Ox$ $\to$ unicitatea soluției citit din tabloul de monotonie, iar la problema 2 două integrale în care integrandul se simplifică înainte de orice și o limită de tip $\frac{0}{0}$ cu integrală cu capăt variabil.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $2\sqrt{3}$ și $\frac{7}{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără verificarea condițiilor de existență; numărarea care uită cuvântul „distincte"; egalitatea vectorială rezolvată fără scrierea coordonatelor; concluzia „sistemul are o infinitate de soluții" fără scrierea efectivă a mulțimii soluțiilor; „soluție unică" afirmată fără tabloul de monotonie și fără limitele la capete.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: trei numere $u$, $v$, $w$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când $v=\frac{u+w}{2}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(a)=f(g(a))$ — se calculează dinăuntru în afară. Logaritmi: $k{\log }_{b}x={\log }_b{x}^k$ și ${\log }_{b}u={\log }_{b}v⟺u=v$, dar numai după condițiile $u>0$, $v>0$. Regula produsului: dacă o alegere se face în $m$ moduri și, pentru fiecare, a doua în $n$ moduri, perechile sunt $m\cdot n$. Vectori: $\overrightarrow{OM}=x_M\vec{i}+y_M\vec{j}$, iar doi vectori sunt egali când au ambele componente egale. Triunghiul dreptunghic: $\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$; suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$.
• Matrice și sisteme: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; un sistem liniar cu determinant nul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat — se decide rezolvându-l efectiv, nu din determinant.
• Legi de compoziție: o lege dată printr-o fracție se calculează întâi ca fracție, apoi se simplifică; „$x\ast x$" înseamnă că ambele argumente sunt același număr, iar „$(x\ast 2)\ast x$" se face de la stânga la dreapta, cu paranteza rezolvată prima.
• Derivate: $({\ln }^{2}x{)}^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$, $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$; tangenta la grafic este paralelă cu axa $Ox$ exact în punctele în care $f^{\prime }(a)=0$; o funcție continuă, strict monotonă pe un interval, care își schimbă semnul pe acel interval, se anulează exact o dată.
• Integrale și limite: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$; regula lui l'Hôpital pentru $\frac{0}{0}$, plus ${\left({\int }_a^{x}F(t)dt\right)}^{\prime }=F(x)$ pentru $F$ continuă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că modelul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=x+{\ln }^{2}x-x\ln x$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este necunoscută la itemul $2$ (numărul căutat) și parametru la itemul $7$ (parametrul matricei și al sistemului). În rezolvarea itemului $9$, subpunctul b), litera $a$ mai apare o dată, ca abscisă a punctului de tangență — așa o folosește și baremul oficial.
• Litera $C$ înseamnă la itemul $5$ un punct din reperul cartezian, la itemul $6$ un vârf de triunghi, iar în formulele de primitive constanta de integrare se scrie $\mathcal{C}$, cu literă caligrafică, tocmai ca să nu se confunde cu ele.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x$, $8$ și $2x+1$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ g)(a)=-a$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2{\log }_{5}x={\log }_5(4x+5)$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,3,5,7,8\}$. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(3,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $A=\frac{\pi }{2}$, $C=\frac{\pi }{3}$ și $AE=2$, unde $E$ este punctul în care bisectoarea unghiului $C$ intersectează latura $AB$. Arătați că distanța de la punctul $B$ la dreapta $CE$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -2\\ 1& 1& 1-a\\ 2& 1& -2\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații $$\{\begin{array}{l}ax-2z=4\\ x+y+(1-a)z=3\\ 2x+y-2z=5\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=2$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Pentru $a=2$, arătați că $x_0{z}_0+y_0\ge 0$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $M=(1,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{xy-1}{(x-1)(y-1)}$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\ast 5=\frac{7}{4}$.

b) (5 puncte) Determinați $x\in M$ pentru care $x\ast x=3$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $(x\ast 2)\ast x>2$, pentru orice $x\in M$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+{\ln }^{2}x-x\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})dx=3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^2+2}dx=1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}F(t)dt=0$, unde $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului pentru 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice exact când cel din mijloc este media aritmetică a vecinilor lui. Aici mijlocul este $8$, iar vecinii sunt $x$ și $2x+1$: $$\frac{x+2x+1}{2}=8\text{(3 p)}.$$ Înmulțind cu $2$ se obține $3x+1=16$, deci $\mathbf{x}=5$ (2 p).

(Control: pentru $x=5$ cei trei termeni sunt $5$, $8$, $11$, cu rația $3$ — chiar o progresie aritmetică. Unde se greșește de obicei: se scrie $8=\sqrt{x(2x+1)}$, adică se folosește media geometrică, valabilă la progresii geometrice; sau se pune condiția „diferența primilor doi este egală cu diferența ultimilor doi" cu termenii în altă ordine.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară: întâi $g(a)=a+4$, apoi acest rezultat intră în locul lui $x$ în formula lui $f$: $$g(a)=a+4,(f\circ g)(a)=f(a+4)=2(a+4)+1=2a+9,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț devine $2a+9=-a$, adică $3a=-9$, de unde $\mathbf{a}=-3$ (2 p).

(Verificare: $g(-3)=1$ și $f(1)=3$, iar $-a=3$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se compune în ordine inversă, adică se calculează $(g\circ f)(a)=2a+5$; ordinea din $f\circ g$ înseamnă „întâi $g$, apoi $f$". A doua capcană este semnul: membrul drept este $-a$, nu $a$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condiția de existență este $x>0$ (atunci $4x+5>0$ de la sine). Coeficientul $2$ urcă în exponent, $2{\log }_{5}x={\log }_5{x}^2$, iar logaritmii cu aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor sunt egale: $${\log }_5{x}^2={\log }_5(4x+5),\text{ de unde obținem }{x}^2-4x-5=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =16+20=36$ și rădăcinile $x=-1$ și $x=5$; valoarea $x=-1$ nu convine, fiind negativă, iar $x=5$ convine (3 p).

(Verificare: $2{\log }_{5}5=2$, iar ${\log }_5(4\cdot 5+5)={\log }_{5}25=2$ — egalitate. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția de existență abia la sfârșit, sau deloc, și se dau ambele rădăcini ca soluții; la ecuațiile logaritmice domeniul face parte din rezolvare, nu din verificare.)

Itemul 4. (5 p) — combinatorică, regula produsului.

Cifra zecilor trebuie să fie impară, deci se alege dintre $1$, $3$, $5$ și $7$, adică în $4$ moduri (2 p).

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se ia tot din $A$, dar trebuie să fie diferită de cea a zecilor, deci rămân $5-1=4$ posibilități; prin regula produsului se pot forma $$4\cdot 4=16\text{ numere}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se uită cuvântul „distincte" și se numără $4\cdot 5=20$; sau se numără doar numerele cu ambele cifre impare, ignorând că unitatea poate fi $8$. Control: numerele cu zecile $1$ sunt $13$, $15$, $17$, $18$ — patru, exact cât prezice numărătoarea.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Vectorul de poziție al unui punct se scrie cu componentele lui pe axe. Pentru $A(0,5)$ și $B(3,4)$: $$\overrightarrow{OA}=5\vec{j},\overrightarrow{OB}=3\vec{i}+4\vec{j},\text{ deci }\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\vec{i}+9\vec{j}\text{(3 p)}.$$ Împărțind egalitatea din enunț la $3$ se obține $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\vec{i}+3\vec{j}$, deci $\mathbf{C}(1,3)$ (2 p).

(Control: $3\overrightarrow{OC}=3\vec{i}+9\vec{j}$, exact suma calculată mai sus. Unde se greșește de obicei: se împart doar unele componente la $3$, sau se confundă $\overrightarrow{OC}$ cu mijlocul segmentului $AB$ — mijlocul ar fi $\left(\frac{3}{2},\frac{9}{2}\right)$, cu împărțire la $2$, nu la $3$.)

Itemul 6. (5 p) — bisectoare, triunghi isoscel și tangentă.

Unghiul drept fiind în $A$, suma celorlalte două este $\frac{\pi }{2}$, deci $B=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$. Bisectoarea taie unghiul $C$ în două părți egale, deci $\widehat{ECB}=\frac{\pi }{6}=\widehat{EBC}$; triunghiul $EBC$ este isoscel, cu $EB=EC$. Scriind aria lui $EBC$ în două feluri, $\frac{EC\cdot d(B,CE)}{2}=\frac{EB\cdot d(C,BE)}{2}$, laturile egale se simplifică și rămâne $$d(B,CE)=d(C,BE)=CA\text{(3 p)},$$ ultima egalitate pentru că $E$ este pe latura $AB$, deci dreapta $BE$ este chiar $AB$, iar distanța de la $C$ la $AB$ este cateta $CA$.

În triunghiul $ACE$, dreptunghic în $A$, tangenta unghiului $\widehat{ACE}=\frac{\pi }{6}$ este raportul catetei opuse la cea alăturată: $$\mathrm{tg}\widehat{ACE}=\frac{AE}{AC},\text{ deci }\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{AC},\text{ de unde }d(B,CE)=AC=2\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se caută distanța prin formula punct-dreaptă din geometria analitică, deși figura nu are reper; sau se ia $\widehat{ACE}=\frac{\pi }{3}$, adică unghiul întreg în loc de jumătatea lui. Control numeric: $AC=2\sqrt{3}\approx 3,46$, iar $BC=\frac{AC}{\cos \frac{\pi }{3}}=4\sqrt{3}$; distanța de la $B$ la $CE$ se poate recalcula și ca $BC\cdot \sin \widehat{BCE}=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$ — aceeași valoare, pe alt drum.)

Itemul 7. (15 p) — matrice de ordinul al treilea cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=0$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(0)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& -2\end{array}\right)⟹\det (A(0))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}& \det (A(0))\\ & =0+0-2+4-0-0=2\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Drumul cel mai scurt este dezvoltarea după linia întâi, care are două zerouri: $\det (A(0))=-2\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-2(1-2)=2$ — aceeași valoare, cu un singur determinant de ordinul al doilea de calculat, și un control gratuit al calculului lung.)

b) (5 p) Se calculează determinantul cu parametrul lăsat literă, dezvoltând după linia întâi (are un zero): $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 0& -2\\ 1& 1& 1-a\\ 2& 1& -2\end{array}\right|\\ & =a(-2-(1-a))-2(1-2)\\ & =a^2-3a+2,\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$ O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Ecuația $a^2-3a+2=0$ are rădăcinile $a=1$ și $a=2$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $$a\in \mathbb{R}\setminus \{1,2\}\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $a=0$ formula dă $\det (A(0))=2$, exact valoarea de la subpunctul a). Unde se greșește de obicei: se răspunde cu mulțimea $\{1,2\}$, adică exact valorile care nu convin; sau se cere doar $\det \ne 0$ fără să se scrie mulțimea, iar mulțimea este cerută explicit.)

c) (5 p) Pentru $a=2$ determinantul este nul, deci sistemul nu mai are automat soluție unică; se rezolvă efectiv. Sistemul devine $2x-2z=4$, $x+y-z=3$ și $2x+y-2z=5$. Din prima ecuație, $x-z=2$; înlocuind în a doua, $2+y=3$, deci $y=1$, iar a treia ecuație devine identitatea $5=5$. Rămâne o singură relație între $x$ și $z$, deci sistemul este compatibil nedeterminat, cu $$(x_0,y_0,z_0)=(\alpha ,1,\alpha -2),\text{ cu }\alpha \in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind în expresia cerută și recunoscând pătratul perfect: $$\begin{array}{rl}& x_0{z}_0+y_0\\ & =\alpha (\alpha -2)+1\\ & ={\alpha }^2-2\alpha +1=(\alpha -1{)}^2\\ & \ge 0,\text{ pentru orice soluție}\text{(2 p)}.\end{array}$$

(Unde se greșește de obicei: se declară sistemul incompatibil doar pentru că determinantul este nul — determinantul nul spune numai că soluția nu mai este unică, restul se decide prin rezolvare. A doua capcană este să se caute o soluție particulară și să se verifice inegalitatea doar pe ea; enunțul cere „pentru orice soluție", deci se lucrează cu parametrul $\alpha$. Control: pentru $\alpha =0$ soluția este $(0,1,-2)$ și $x_0{z}_0+y_0=1=(0-1{)}^2$; pentru $\alpha =1$ soluția este $(1,1,-1)$ și expresia se anulează, deci marginea $0$ chiar se atinge.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție pe intervalul $(1,+\infty )$.

a) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $3$ și $y$ cu $5$ în formula legii: $$3\ast 5=\frac{3\cdot 5-1}{(3-1)(5-1)}\text{(3 p)}.$$ Efectuând calculele la numărător și la numitor: $$3\ast 5=\frac{14}{2\cdot 4}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie numitorul ca $(3-1)+(5-1)$, adică sumă în loc de produs; sau se simplifică fracția înainte de a termina numitorul. Control: $\frac{7}{4}=1,75>1$, deci rezultatul rămâne în $M$ — un semn bun, pentru că legea este definită pe $M$.)

b) (5 p) Când ambele argumente sunt același număr, numărătorul devine o diferență de pătrate, iar numitorul un pătrat: $$x\ast x=\frac{x^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x+1}{x-1},\text{ pentru orice }x\in M\text{(3 p)},$$ simplificarea fiind legitimă pentru că pe $M=(1,+\infty )$ avem $x-1\ne 0$. Ecuația devine $$\frac{x+1}{x-1}=3⟹x+1=3x-3⟹\mathbf{x}=2,\text{ care convine}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $2\ast 2=\frac{4-1}{1\cdot 1}=3$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește în cruce fără să se spună că $x-1>0$, deci fără să se justifice că sensul egalității se păstrează; și se uită verificarea apartenenței la $M$ — dacă rădăcina ar fi ieșit sub $1$, ar fi trebuit respinsă.)

c) (5 p) Se rezolvă întâi paranteza, punând $y=2$ în formula legii, apoi se compune rezultatul cu $x$: $$x\ast 2=\frac{2x-1}{(x-1)(2-1)}=\frac{2x-1}{x-1},\text{ deci }(x\ast 2)\ast x=\frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}\text{(3 p)}.$$ Împărțind cu rest numărătorul la numitor, $2x^2-2x+1=2(x^2-x)+1$, se obține $$(x\ast 2)\ast x=2+\frac{1}{x(x-1)}>2,\text{ pentru orice }x\in M\text{(2 p)},$$ pentru că pe $(1,+\infty )$ avem $x>0$ și $x-1>0$, deci fractia adăugată este strict pozitivă.

(Cum se obține numărătorul: $\frac{2x-1}{x-1}\cdot x-1=\frac{2x^2-x-x+1}{x-1}=\frac{2x^2-2x+1}{x-1}$, iar numitorul este $\left(\frac{2x-1}{x-1}-1\right)(x-1)=\frac{x}{x-1}\cdot (x-1)=x$; împărțind cele două fracții rămâne exact expresia de mai sus. Unde se greșește de obicei: se calculează $x\ast (2\ast x)$, adică se schimbă ordinea parantezelor — legea nu este declarată asociativă în enunț, deci paranteza contează. A doua capcană este să se încerce demonstrarea inegalității prin înmulțire în cruce, în loc de descompunerea „parte întreagă plus rest", care o face evidentă. Control numeric: pentru $x=2$ expresia dă $2+\frac{1}{2}=2,5>2$; pentru $x=100$ dă $2+\frac{1}{9900}\approx 2,0001$ — se apropie de $2$, dar nu îl atinge.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă paralelă cu $Ox$ și unicitatea soluției.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $({\ln }^{2}x{)}^{\prime }=2\ln x\cdot \frac{1}{x}$ și cu regula produsului la $x\ln x$: $$f^{\prime }(x)=1+\frac{2\ln x}{x}-\left(\ln x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=1+\frac{2\ln x}{x}-\ln x-1\text{(3 p)}.$$ Termenii $1$ și $-1$ se reduc, iar restul se aduce la numitorul comun $x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2\ln x-x\ln x}{x}=\frac{(2-x)\ln x}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=3$ formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{-\ln 3}{3}\approx -0,366$, iar raportul incremental $\frac{f(3,001)-f(2,999)}{0,002}$ dă tot $-0,366$. Unde se greșește de obicei: se derivează ${\ln }^{2}x$ ca $\frac{1}{x^2}$ sau ca $\frac{2}{x}$ — corect este „derivata puterii înmulțită cu derivata dinăuntru"; iar la $x\ln x$ se uită regula produsului și se scrie doar $\ln x$.)

b) (5 p) Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$ exact când panta ei este nulă, adică $$f^{\prime }(a)=0,\text{ cu }a\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Ecuația $\frac{(2-a)\ln a}{a}=0$ are numitorul nenul pe domeniu, deci se anulează numărătorul: fie $2-a=0$, fie $\ln a=0$. Rezultă $$\mathbf{a}=1\text{ sau }\mathbf{a}=2,\text{ ambele ıˆn }(0,+\infty ),\text{ deci convin}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se răspunde cu ordonatele $f(1)=1$ și $f(2)=2+{\ln }^{2}2-2\ln 2$ în loc de abscise — enunțul cere abscisele; sau se pierde rădăcina $a=1$, pentru că $\ln a=0$ se citește mai greu decât $2-a=0$. Control: în $a=1$ și în $a=2$ tangenta este orizontală, iar între ele funcția urcă — se vede și din tabloul de semn de la subpunctul c).)

c) (5 p) Semnul derivatei se citește din cei doi factori de la numărător, numitorul fiind pozitiv. Pentru orice $x\in (0,1]$ avem $\ln x\le 0$ și $2-x>0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$; pentru orice $x\in [1,2]$ avem $\ln x\ge 0$ și $2-x\ge 0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ este crescătoare pe $[1,2]$; pentru orice $x\in (2,+\infty )$ avem $\ln x>0$ și $2-x<0$, deci $f^{\prime }(x)<0$ și $f$ este strict descrescătoare pe $(2,+\infty )$ (2 p).

Așadar cea mai mică valoare pe $(0,2]$ este $f(1)=1+0-0=1>0$, deci ecuația nu are nicio soluție acolo. Pe $(2,+\infty )$ funcția este strict descrescătoare, pleacă de la $f(2)=2+{\ln }^{2}2-2\ln 2>0$, iar $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(1+\frac{{\ln }^{2}x}{x}-\ln x\right)=-\infty ;$$ funcția fiind continuă pe interval, ia toate valorile dintre cele două capete, deci ecuația $f(x)=0$ are soluție unică (3 p).

(De ce limita este $-\infty$: paranteza tinde la $-\infty$, pentru că $\frac{{\ln }^{2}x}{x}\to 0$, iar $-\ln x\to -\infty$; înmulțită cu $x\to +\infty$, dă $-\infty$. Unde se greșește de obicei: se spune „este strict descrescătoare, deci ecuația are cel mult o soluție" și se oprește acolo — „cel mult una" nu înseamnă „exact una", mai trebuie arătat că funcția chiar trece prin zero; și se uită de intervalul $(0,2]$, unde trebuie arătat că nu există soluții. Control numeric: $f(4)=4+{\ln }^{2}4-4\ln 4\approx 0,37>0$, iar $f(5)=5+{\ln }^{2}5-5\ln 5\approx -0,46<0$, deci soluția stă între $4$ și $5$; căutarea prin înjumătățire o dă la $x\approx 4,4927$.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și limită cu primitivă.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: radicalul din $f$ se reduce cu cel scăzut, deci sub integrală rămâne un polinom: $${\int }_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})dx={\int }_0^3(x^2-2)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right){|}_0^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_0^3(f(x)-\sqrt{x^2+4})dx=\left(\frac{27}{3}-6\right)-0=9-6=3\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează $f$ și radicalul separat, ceea ce ar cere o primitivă a lui $\sqrt{x^2+4}$ — o funcție care nu se cere la clasa a XII-a; enunțul e construit tocmai ca să nu fie nevoie de ea. Control numeric: integrala lui $x^2-2$ pe $[0,3]$, calculată numeric, dă $3,000$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică numitorul: $f(x)-x^2+2=\sqrt{x^2+4}$. Recunoscând la numărător jumătate din derivata expresiei de sub radical, $(x^2+4{)}^{\prime }=2x$, primitiva este chiar radicalul: $${\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^2+2}dx={\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx={\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{(x^2+4{)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+4}}dx=\sqrt{x^2+4}{|}_0^{\sqrt{5}}\text{(3 p)}.$$ Se înlocuiesc capetele, folosind $(\sqrt{5}{)}^2=5$: $${\int }_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{f(x)-x^2+2}dx=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1\text{(2 p)}.$$

(Formula folosită este $\int \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}dx=\sqrt{u}+\mathcal{C}$, cu $u(x)=x^2+4$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva ca $\ln \sqrt{x^2+4}$, confundând rețeta radicalului cu rețeta logaritmului; sau se uită factorul $\frac{1}{2}$ și rezultatul iese dublu. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[0,\sqrt{5}]$ dă $1,000000$.)

c) (5 p) Când $x$ tinde la $0$, integrala de la $0$ la $x$ tinde la zero, iar numitorul $x^2$ la fel, deci limita este de tipul $\frac{0}{0}$ și se poate aplica regula lui l'Hôpital. Derivata integralei cu capăt variabil este chiar integrandul luat în capăt, ${\left({\int }_0^{x}F(t)dt\right)}^{\prime }=F(x)$, iar $F^{\prime }(x)=f(x)$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}F(t)dt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left({\int }_0^{x}F(t)dt\right)}^{\prime }}{(x^2{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F^{\prime }(x)}{(2x{)}^{\prime }}\text{(3 p)},$$ a doua aplicare fiind legitimă pentru că $F(0)=0$, deci și raportul $\frac{F(x)}{2x}$ este de tipul $\frac{0}{0}$. Cum $F^{\prime }=f$ și $f(0)=0-2+\sqrt{4}=0$, rezultă $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}{\int }_0^{x}F(t)dt=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2}=\frac{f(0)}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scoate $\frac{1}{x^2}$ din integrală ca și cum ar fi constantă față de $t$ — este constantă față de $t$, dar limita nu se poate rupe în două, pentru că ambele bucăți tind la valori care dau nedeterminare; și se aplică l'Hôpital o singură dată, oprindu-se la $\frac{F(x)}{2x}$, care este tot $\frac{0}{0}$. Condiția $F(0)=0$ din enunț este exact ce face a doua aplicare posibilă. Control numeric: pentru $x=0,01$ raportul calculat numeric este de ordinul $10^{-3}$, iar pentru $x=0,001$ de ordinul $10^{-4}$ — chiar tinde la zero.)