Bac M1 2026, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, la simularea națională a examenului de bacalaureat din 2026, organizată în toate liceele înainte de sesiunea de examen. Subiectul oficial este tipărit cu mențiunea „Simulare" și nu poartă număr de variantă, spre deosebire de subiectele din sesiunile propriu-zise. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea la simularea din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: conjugatul, suma cu conjugatul și modulul la pătrat, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: intersecția a două grafice ca ecuație de gradul al doilea și rolul discriminantului — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică cu schimbarea bazei: ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități și numărare: cazuri favorabile pe cazuri posibile, pe mulțimea numerelor de două cifre cu cifre nenule — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: panta unei drepte și condiția de perpendicularitate $m_1\cdot m_2=-1$ — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Geometrie plană: mediana din unghiul drept, aria unui triunghi calculată în două feluri și distanța de la un punct la o dreaptă — clasele a VII-a – a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și sisteme liniare: determinant de ordinul al treilea cu parametru, condiția de inversabilitate și un sistem compatibil nedeterminat rezolvat cu parametru — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Legi de compoziție: calculul unei compuneri, o ecuație adusă la formă bipătrată și caracterizarea asociativității printr-o identitate în trei variabile — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unui raport cu radical, limita de tip $1^{\infty }$ scrisă prin numărul $e$ și numărul de soluții ale ecuației $f(x)=mx$ prin funcția ajutătoare $\frac{f(x)}{x}$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și primitivele: simplificarea integrandului, integrarea prin părți și determinarea primitivei tangente la axa $Ox$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, simularea 2026. Subiectul I nu are nicio cerință lungă, dar are două în care rezultatul se scrie greșit dacă sari peste un pas: la itemul $3$ trebuie recunoscută relația dintre ${\log }_{x}2$ și ${\log }_{2}x$, iar la itemul $6$ trebuie observat că mediana din unghiul drept are aceeași lungime ca jumătatea ipotenuzei. Subiectul al II-lea leagă matricea cu parametru de sistemul liniar (problema 1) — deci determinantul nu mai e un exercițiu izolat, ci criteriul care spune dacă sistemul are soluție unică — și cere, la problema 2, o lege de compoziție cu radical, unde asociativitatea se transformă într-o identitate ce trebuie adevărată pentru orice trei numere. Subiectul al III-lea este cel mai greu al probei: problema 1 cere o limită de tip $1^{\infty }$ readusă la definiția numărului $e$ și o discuție completă de monotonie, iar problema 2 se încheie cu o primitivă determinată dintr-o condiție geometrică — tangența la axa $Ox$ — nu dintr-o valoare dată.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\sqrt{e}$ și $\left(2x^2-\frac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\frac{6}{x}+7$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluția unei ecuații logaritmice scrisă fără verificarea condițiilor de existență; condiția de perpendicularitate folosită fără calculul ambelor pante; mulțimea de inversabilitate scrisă fără rezolvarea ecuației $\det (A(a))=0$; asociativitatea „verificată" pe niște valori particulare, în loc să fie demonstrată pentru orice trei numere; primitiva scrisă fără constanta determinată din condiția de tangență.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: pentru $z=a+bi$, conjugatul este $\bar{z}=a-bi$, iar $z+\bar{z}=2a$ și $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$ — amândouă numere reale. Funcția de gradul al doilea: două grafice au exact un punct comun când ecuația $f(x)=g(x)$ are soluție unică, adică $\Delta =0$. Logaritmi: schimbarea bazei, ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$, valabilă pentru $x>0$, $x\ne 1$. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$. Pante: două drepte sunt perpendiculare când $m_1\cdot m_2=-1$. Triunghi dreptunghic: mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză, iar înălțimea din unghiul drept se scoate din egalitatea celor două formule ale ariei.
• Matrice și sisteme: o matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul; un sistem liniar cu determinant nenul are soluție unică, iar când determinantul se anulează sistemul este incompatibil sau are o infinitate de soluții, scrise cu un parametru.
• Legi de compoziție: asociativitatea, $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, se verifică prin calculul celor doi membri și se cere pentru orice trei elemente — o egalitate care rămâne cu parametru se transformă într-o condiție asupra parametrului.
• Derivate și limite: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; limita de tip $1^{\infty }$ se scrie $\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)\left(u(x)-1\right)}$, iar când exponentul este chiar $\frac{1}{x-x_0}$ limita devine $e^{f^{\prime }(x_0)}$. Numărul de soluții ale ecuației $f(x)=mx$ se citește din tabelul de variație al funcției $\frac{f(x)}{x}$.
• Integrale și primitive: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }v=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$; axa $Ox$ este tangentă graficului lui $F$ în punctul de abscisă $a$ exact când $F(a)=0$ și $F^{\prime }(a)=0$.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă trei funcții diferite: funcția de gradul întâi $f(x)=2x-1$ de la itemul $2$, funcția $f(x)=\frac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $m$ are trei roluri: parametrul funcției $g$ de la itemul $2$, parametrul legii de compoziție de la itemul $8$ și panta dreptei $y=mx$ de la itemul $9$, subpunctul c). La itemul $5$ apare, în plus, notația $m_{OB}$ și $m_d$ pentru pantele a două drepte — acolo litera $m$ nu e necunoscută, ci prescurtarea cuvântului „pantă".
• Litera $A$ denumește mulțimea numerelor de două cifre cu cifre nenule la itemul $4$, punctul $A(0,5)$ la itemul $5$, vârful unghiului drept la itemul $6$ și matricea $A(a)$ la itemul $7$. Contextul le separă complet: o mulțime, un punct, un vârf de triunghi și o matrice nu se pot confunda.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z+\bar{z}+z\cdot \bar{z}=9$, unde $\bar{z}$ este conjugatul numărului complex $z$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-4x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(1+{\log }_{x}2){\log }_{2}x=5$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră $A$, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(4,2)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $OB$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ și $AC=12$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Arătați că distanța de la punctul $C$ la dreapta $AM$ este egală cu $7,2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -1& a\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$$ și sistemul de ecuații liniare $$\{\begin{array}{l}ax+y+z=2a\\ x-y+az=-4\\ 3x+2y+z=8\end{array},$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=4$.

b) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Considerăm $(x_1,y_1,z_1)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a=1$. Pentru $a=2$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $x_0{y}_0=y_1$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}$, unde $m\in [-4,+\infty )$.

a) (5 puncte) Pentru $m=3$, arătați că $0\ast 1=3$.

b) (5 puncte) Pentru $m=7$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (2x)=5$.

c) (5 puncte) Determinați $m\in [-4,+\infty )$ pentru care legea de compoziție „$\ast$" este asociativă.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $x\in (1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }(f(x){)}^{\frac{1}{x-2}}=\sqrt{e}$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=mx$ are exact două soluții.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^3\frac{f(x)}{\ln x}dx=11$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^{e}x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

c) (5 puncte) Determinați primitiva $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ a funcției $f$, pentru care axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $F$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al simulării naționale din 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe și conjugatul.

Conjugatul lui $z=2+i$ este $\bar{z}=2-i$: se schimbă semnul părții imaginare. Se scriu cei trei termeni: $$z+\bar{z}+z\cdot \bar{z}=2+i+2-i+(2+i)(2-i)\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni dau $4$, iar produsul este o diferență de pătrate, în care $i^2=-1$: $$z+\bar{z}+z\cdot \bar{z}=4+4-i^2=4+4+1=9\text{(3 p)}.$$ (Control pe formule generale: pentru $z=a+bi$ avem $z+\bar{z}=2a$ și $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$; aici $2\cdot 2+(2^2+1^2)=4+5=9$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se calculează $(2+i)(2-i)$ ca $4+i^2=3$, adică se uită că produsul sumei cu diferența dă $a^2-b^2$, iar aici $b^2=i^2=-1$.)

Itemul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Un punct comun al celor două grafice are aceeași abscisă și aceeași ordonată, deci verifică $f(x)=g(x)$: $$2x-1=x^2-4x+m,\text{ de unde }{x}^2-6x+m+1=0\text{(2 p)}.$$ Graficele au exact un punct comun exact când această ecuație are soluție unică, adică $\Delta =0$. Cum $$\Delta =(-6{)}^2-4(m+1)=36-4m-4=32-4m,$$ condiția $32-4m=0$ dă $\mathbf{m}=8$ (3 p).

(Verificare: pentru $m=8$ ecuația devine $x^2-6x+9=0$, adică $(x-3{)}^2=0$, cu soluția dublă $x=3$; punctul comun este $(3,5)$, iar $f(3)=g(3)=5$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\Delta =36-4m$, uitând că termenul liber al ecuației este $m+1$, nu $m$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică cu schimbarea bazei.

Condițiile de existență sunt $x>0$ și $x\ne 1$. Desfăcând paranteza și folosind ${\log }_{x}2\cdot {\log }_{2}x=1$ (schimbarea bazei): $${\log }_{2}x+{\log }_{x}2\cdot {\log }_{2}x=5,\text{ de unde obținem }{\log }_{2}x=4\text{(3 p)}.$$ Prin urmare $x=2^4$, adică $\mathbf{x}=16$, care convine, fiind pozitiv și diferit de $1$ (2 p).

(Verificare directă: ${\log }_{16}2=\frac{1}{4}$ și ${\log }_{2}16=4$, deci $\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot 4=5$. Unde se greșește de obicei: se tratează ${\log }_{x}2$ ca pe o constantă și se ajunge la o ecuație cu două logaritmi diferiți; drumul corect este relația ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$, care face ca produsul din al doilea termen să fie chiar $1$.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de numere.

Un număr din mulțimea $A$ se scrie $\overline{ab}$, cu $a$ și $b$ cifre nenule, deci fiecare dintre ele are nouă valori posibile. Așadar mulțimea $A$ are $9\cdot 9=81$ de elemente, adică sunt $81$ de cazuri posibile (2 p).

Produsul $a\cdot b$ este divizibil cu $5$ exact când una dintre cifre este $5$, pentru că $5$ este număr prim, iar cifrele nenule mai mici decât $10$ nu au alt multiplu al lui $5$ în afară de $5$. Numerele cu cifra zecilor $5$ sunt nouă, cele cu cifra unităților $5$ sunt tot nouă, iar numărul $55$ a fost numărat de două ori, deci sunt $9+9-1=17$ cazuri favorabile și $$p=\frac{17}{81}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se iau $90$ de cazuri posibile, ca și cum ar intra și numerele cu cifra unităților $0$ — enunțul cere cifre nenule, deci $10,20,\dots ,90$ nu fac parte din $A$. A doua capcană este numărarea de două ori a lui $55$. Control: fracția $\frac{17}{81}$ este ireductibilă, pentru că $81=3^4$, iar $17$ este prim.)

Itemul 5. (5 p) — dreaptă perpendiculară în reper cartezian.

Dreapta $OB$ trece prin origine și prin $B(4,2)$, deci panta ei este $m_{OB}=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$. Notând cu $d$ dreapta căutată, condiția de perpendicularitate este $m_{OB}\cdot m_d=-1$, de unde $$m_d=-\frac{1}{m_{OB}}=-2\text{(3 p)}.$$ Dreapta $d$ trece prin $A(0,5)$, deci ecuația ei este $y-5=-2(x-0)$, adică $\mathbf{y}=-2x+5$ (2 p).

(Control: vectorii directori $\overrightarrow{OB}(4,2)$ și $\vec{v}(1,-2)$ au produsul scalar $4\cdot 1+2\cdot (-2)=0$, deci sunt perpendiculari. Unde se greșește de obicei: se ia $m_d=-m_{OB}=-\frac{1}{2}$, adică se schimbă doar semnul, fără să se răstoarne fracția.)

Itemul 6. (5 p) — mediana din unghiul drept și distanța la o dreaptă.

Punctul $M$ fiind mijlocul ipotenuzei $BC$, mediana din unghiul drept are lungimea $AM=BM=CM$ — este raza cercului circumscris. Triunghiul $ACM$ este deci isoscel, cu $AM=CM$, iar aria lui se scrie în două feluri: $\frac{AM\cdot d(C,AM)}{2}$ și $\frac{CM\cdot d(A,CM)}{2}$. Cum $AM=CM$, cele două distanțe sunt egale, iar dreapta $CM$ este chiar dreapta $BC$: $$d(C,AM)=d(A,CM)=AD,\text{ unde }AD\text{ este ıˆna˘lțimea din }A\text{ a triunghiului }ABC\text{(3 p)}.$$ Din teorema lui Pitagora, $BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$, iar aria triunghiului $ABC$ se scrie tot în două feluri, cu ipotenuza și înălțimea sau cu cele două catete: $$\frac{15\cdot AD}{2}=\frac{9\cdot 12}{2}⟹AD=\frac{108}{15}=7,2,\text{ deci }d(C,AM)=7,2\text{(2 p)}.$$ (Control în coordonate: cu $A(0,0)$, $B(9,0)$, $C(0,12)$, mijlocul ipotenuzei este $M(4,5;6)$, dreapta $AM$ are ecuația $4x-3y=0$, iar distanța de la $C$ la ea este $\frac{|4\cdot 0-3\cdot 12|}{\sqrt{16+9}}=\frac{36}{5}=7,2$. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul direct cu formula distanței, fără să se observe că $M$ fiind mijloc, punctele $B$ și $C$ sunt la aceeași distanță de dreapta $AM$.)

Itemul 7. (15 p) — matrice cu parametru și sistem liniar.

a) (5 p) Pentru $a=1$ se înlocuiește parametrul în fiecare element și se scrie determinantul: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$

Cu regula lui Sarrus, produsele de pe cele trei diagonale „descendente" minus cele de pe cele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =-1+2+3+3-2-1\\ & =4\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Control prin dezvoltare după prima linie: $1\cdot (-1-2)-1\cdot (1-3)+1\cdot (2+3)=-3+2+5=4$. Aceeași valoare, pe alt drum.)

b) (5 p) Determinantul se calculează cu parametru, prin dezvoltare după prima linie: $$\begin{array}{rl}& \det (A(a))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& -1& a\\ 3& 2& 1\end{array}\right|\\ & =a(-1-2a)-(1-3a)+(2+3)\\ & =-2a^2+2a+4\text{(3 p)},\end{array}$$ pentru orice număr real $a$.

O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci se rezolvă întâi ecuația $\det (A(a))=0$. Împărțind prin $-2$, ea devine $a^2-a-2=0$, cu soluțiile $a=-1$ sau $a=2$; prin urmare mulțimea căutată este $$\mathbb{R}\setminus \{-1,2\}\text{(2 p)}.$$ (Control: $\det (A(1))=-2+2+4=4$, exact valoarea de la subpunctul a) — formula trece proba. Unde se greșește de obicei: se scrie mulțimea inversabilității ca fiind $\{-1,2\}$, adică exact pe dos; valorile care anulează determinantul sunt cele scoase.)

c) (5 p) Pentru $a=1$ determinantul este $4\ne 0$, deci sistemul are soluție unică. Scăzând a doua ecuație din prima se obține $2y=6$, deci $y_1=3$ (iar $x_1=\frac{3}{2}$ și $z_1=-\frac{5}{2}$).

Pentru $a=2$ determinantul se anulează, iar sistemul devine compatibil nedeterminat: din primele două ecuații se obține $x+y=4$, deci $y=4-x$, iar apoi $z=-x$; a treia ecuație este verificată identic. Notând $x_0=\alpha$, soluțiile sistemului sunt $$(\alpha ,4-\alpha ,-\alpha ),\text{ cu }\alpha \text{ numa˘r real}\text{(2 p)}.$$

Condiția $x_0{y}_0=y_1$ devine $\alpha (4-\alpha )=3$, adică ${\alpha }^2-4\alpha +3=0$, cu soluțiile $\alpha =1$ sau $\alpha =3$. Soluțiile cerute sunt deci $$(1,3,-1)\text{ și }(3,1,-3)\text{(3 p)}.$$ (Verificare pe prima ecuație a sistemului pentru $a=2$: $2\cdot 1+3+(-1)=4=2a$ și $2\cdot 3+1+(-3)=4$ — amândouă trec; la fel și celelalte două ecuații. Unde se greșește de obicei: se caută o soluție unică și pentru $a=2$, deși acolo determinantul este zero; sau se uită că $\alpha$ parcurge toate valorile reale, deci sistemul are o infinitate de soluții, dintre care condiția din enunț selectează două. Notă de citire a baremului oficial: el scrie familia de soluții „cu $\alpha \in \mathbb{C}$"; enunțul spune că $a$ este număr real, iar necunoscutele sunt reale, deci noi scriem $\alpha$ număr real.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție cu radical.

a) (5 p) Pentru $m=3$ se înlocuiește direct în formula legii: $$0\ast 1=\sqrt{(0^2+2)(1^2+2)+3}=\sqrt{2\cdot 3+3}\text{(3 p)}.$$ Sub radical rămâne $9$, deci $$0\ast 1=\sqrt{9}=3\text{(2 p)}.$$ (Observație folositoare mai departe: expresia de sub radical este mereu cel puțin $(x^2+2)(y^2+2)\ge 4$, iar $m\ge -4$, deci radicalul are întotdeauna sens — de aici vine condiția $m\in [-4,+\infty )$ din enunț.)

b) (5 p) Pentru $m=7$ și $y=2x$: $$x\ast (2x)=\sqrt{(x^2+2)(4x^2+2)+7},\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

Ecuația $\sqrt{(x^2+2)(4x^2+2)+7}=5$ se ridică la pătrat (membrul drept fiind pozitiv) și dă $(x^2+2)(4x^2+2)+7=25$, adică $4x^4+10x^2+4=18$, deci $$2x^4+5x^2-7=0.$$ Cu notația $t=x^2\ge 0$ se obține $2t^2+5t-7=0$, adică $(t-1)(2t+7)=0$; cum $t$ este nenegativ, rămâne $t=1$, deci $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Verificare: pentru $x=1$, $(1+2)(4+2)+7=25$, iar $\sqrt{25}=5$; pentru $x=-1$ ies aceleași valori, pentru că în formulă apar doar pătrate. Unde se greșește de obicei: se pierde soluția negativă, deși legea depinde numai de $x^2$; sau se acceptă și rădăcina $t=-\frac{7}{2}$, care nu poate fi pătratul unui număr real.)

c) (5 p) Asociativitatea înseamnă $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$. Ridicând la pătrat ambele compuneri exterioare, egalitatea devine $$\left(\right(x^2+2\left)\right(y^2+2)+m+2)(z^2+2)+m=(x^2+2)\left(\right(y^2+2\left)\right(z^2+2)+m+2)+m\text{(3 p)}.$$

Termenul $(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)$ apare în ambii membri și se reduce, la fel și $m$, deci egalitatea se simplifică la $$(m+2)(z^2+2)=(x^2+2)(m+2),$$ care este adevărată pentru orice numere reale $x$ și $z$ dacă și numai dacă $m+2=0$, adică $\mathbf{m}=-2$, valoare care convine, fiind în intervalul $[-4,+\infty )$ (2 p).

(De ce „dacă și numai dacă": pentru $m+2\ne 0$ am putea simplifica prin $m+2$ și am obține $z^2=x^2$ pentru orice $x$ și $z$, ceea ce este fals — de pildă pentru $x=0$ și $z=1$. Control numeric: pentru $m=-2$ și $x=0,3$, $y=1,7$, $z=-2$, ambii membri dau aceeași valoare, iar pentru $m=1$ ei diferă. Unde se greșește de obicei: se „verifică" asociativitatea pe câteva valori particulare — asta nu demonstrează nimic; sau se uită să se compare $m$ găsit cu intervalul din enunț.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită de tip $1^{\infty }$ și numărul de soluții.

a) (5 p) Se derivează raportul, ținând minte că $(\sqrt{x-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}\text{(3 p)}.$$

Se dă factor comun $e^{x-2}$ la numărător și se aduce paranteza la același numitor: $\sqrt{x-1}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{2(x-1)-1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{2x-3}{2\sqrt{x-1}}$. Împărțind apoi la $x-1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}},x\in (1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=3$ formula dă $f^{\prime }(3)=\frac{e\cdot 3}{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}}=\frac{3e}{4\sqrt{2}}\approx 1,442$, iar raportul incremental $\frac{f(3,000001)-f(2,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se scrie $(\sqrt{x-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot (x-1{)}^{\prime }$ și se uită că $(x-1{)}^{\prime }=1$, sau se derivează $e^{x-2}$ ca $e^{x-2}\cdot (x-2)$ în loc de $e^{x-2}\cdot 1$.)

b) (5 p) În $x=2$ avem $f(2)=\frac{e^0}{\sqrt{1}}=1$, iar exponentul $\frac{1}{x-2}$ tinde la infinit: limita este de tipul $1^{\infty }$. Se scrie baza ca $1+(f(x)-1)$ și se aduce la definiția numărului $e$: $$\underset{x\to 2}{\lim }(f(x){)}^{\frac{1}{x-2}}=\underset{x\to 2}{\lim }{\left((1+(f(x)-1){)}^{\frac{1}{f(x)-1}}\right)}^{\frac{f(x)-1}{x-2}}\text{(3 p)}.$$

Paranteza mare tinde la $e$, iar exponentul este chiar raportul incremental al lui $f$ în punctul $2$, pentru că $f(2)=1$: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)=\frac{e^0\cdot (4-3)}{2\cdot 1\cdot 1}=\frac{1}{2},$$ deci limita cerută este $e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathbf{e}}$ (2 p).

(Control numeric: pentru $x=2,001$ expresia dă $1,64826$, iar $\sqrt{e}\approx 1,64872$ — se apropie, cum trebuie. Unde se greșește de obicei: se scrie direct limita $1$, ca și cum baza ar fi constantă; formele $1^{\infty }$ sunt nedeterminate tocmai pentru că baza se apropie de $1$ „cu viteză finită".)

c) (5 p) Ecuația $f(x)=mx$ se împarte la $x$, care este strict pozitiv pe $(1,+\infty )$, și devine $\frac{f(x)}{x}=m$. Se studiază deci funcția ajutătoare $g:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, cu derivata $g^{\prime }(x)=\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}$, adică $$g^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(2x^2-5x+2)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}},x\in (1,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Trinomul $2x^2-5x+2$ are rădăcinile $\frac{1}{2}$ și $2$, dintre care numai $2$ este în domeniu, deci $g^{\prime }(x)=0\iff x=2$; pentru orice $x\in (1,2)$ avem $g^{\prime }(x)<0$, deci $g$ este strict descrescătoare pe $(1,2)$, iar pentru orice $x\in (2,+\infty )$ avem $g^{\prime }(x)>0$, deci $g$ este strict crescătoare pe $(2,+\infty )$.

Limitele la capete sunt $\underset{x\to 1,x>1}{\lim }g(x)=+\infty$ (numitorul $x\sqrt{x-1}$ tinde la zero prin valori pozitive) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$, iar minimul este $g(2)=\frac{1}{2}$. Funcția $g$ fiind continuă, ecuația $g(x)=m$ — deci și ecuația $f(x)=mx$ — are exact două soluții dacă și numai dacă $$m\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$ (Pentru $m=\frac{1}{2}$ ecuația are o singură soluție, $x=2$, iar pentru $m<\frac{1}{2}$ nu are niciuna — dreapta trece pe sub minimul graficului. Unde se greșește de obicei: se studiază direct $f$ în loc de $\frac{f(x)}{x}$, deși parametrul înmulțește pe $x$; sau se scrie intervalul închis în $\frac{1}{2}$, ceea ce ar adăuga cazul cu soluție unică.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și primitivă determinată geometric.

a) (5 p) Împărțind funcția la $\ln x$ dispare tocmai factorul care ar fi cerut integrare prin părți: $${\int }_2^3\frac{f(x)}{\ln x}dx={\int }_2^3\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)dx=2x^2{|}_2^3-\frac{6}{x}{|}_2^3\text{(3 p)}.$$

Cu formula Leibniz–Newton, primul termen dă $18-8=10$, iar al doilea $-2+3=1$, deci $${\int }_2^3\frac{f(x)}{\ln x}dx=10+1=11\text{(2 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că pe intervalul $[2,3]$ avem $\ln x\ne 0$; punctul $x=1$, unde logaritmul se anulează, nu intră în interval. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[2,3]$ dă $11,0000$.)

b) (5 p) Se desface întâi paranteza: $f(x)-4x\ln x=\frac{6\ln x}{x^2}$, deci integrandul devine $x\cdot \frac{6\ln x}{x^2}=\frac{6\ln x}{x}$. Recunoscând că $\frac{1}{x}=(\ln x{)}^{\prime }$, integrala este de tipul $\int u\cdot u^{\prime }$: $${\int }_1^{e}x(f(x)-4x\ln x)dx={\int }_1^e\frac{6\ln x}{x}dx=6{\int }_1^e\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx=3{\ln }^{2}x{|}_1^e\text{(3 p)}.$$

Înlocuind capetele, cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $${\int }_1^{e}x(f(x)-4x\ln x)dx=3{\ln }^{2}e-3{\ln }^{2}1=3-0=3\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{\ln x}{x}$ „ca un raport", cu logaritm la numitor. Rețeta corectă este substituția ascunsă $u=\ln x$, care transformă integrala în $\int udu=\frac{u^2}{2}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $3,0000$.)

c) (5 p) Axa $Ox$ este tangentă graficului lui $F$ într-un punct $A(a,F(a))$ exact când graficul atinge axa și are acolo tangenta orizontală, adică $F(a)=0$ și $F^{\prime }(a)=0$, cu $a\in (0,+\infty )$. Cum $F$ este primitivă a lui $f$, avem $F^{\prime }(x)=f(x)$, deci condiția a doua devine $f(a)=0$: $$\left(4a+\frac{6}{a^2}\right)\ln a=0.$$ Prima paranteză este strict pozitivă pe $(0,+\infty )$, deci rămâne $\ln a=0$, adică $a=1$; condiția de tangență se rezumă la $F(1)=0$ (2 p).

Primitiva se calculează prin părți, luând ca factor derivat pe $2x^2-\frac{6}{x}$, a cărui derivată este exact $4x+\frac{6}{x^2}$: $$F(x)={\int }_1^{x}f(t)dt={\int }_1^x{\left(2t^2-\frac{6}{t}\right)}^{\prime }\ln tdt=\left(2t^2-\frac{6}{t}\right)\ln t{|}_1^x-\left(t^2+\frac{6}{t}\right){|}_1^x,$$ adică $$F(x)=\left(2x^2-\frac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\frac{6}{x}+7,x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ (Control prin derivare înapoi: $F^{\prime }(x)=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x+\left(2x^2-\frac{6}{x}\right)\frac{1}{x}-2x+\frac{6}{x^2}=\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x=f(x)$ — termenii care nu conțin logaritm se anulează între ei. Al doilea control: $F(1)=(2-6)\cdot 0-1-6+7=0$, iar $F^{\prime }(1)=f(1)=0$, deci axa $Ox$ chiar este tangentă în $(1,0)$. Unde se greșește de obicei: se scrie primitiva cu o constantă nedeterminată și se oprește acolo — condiția din enunț fixează constanta la $7$; a doua capcană este confundarea tangenței cu simpla intersecție, care ar cere numai $F(a)=0$.)