Bac M1 2026, sesiunea specială — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M_mate-info, în sesiunea specială a examenului național de bacalaureat din 2026 — sesiunea organizată pentru candidații care participă la olimpiade și concursuri internaționale în perioada probelor obișnuite. Subiectul poartă mențiunea Varianta 2, singura însemnare de variantă tipărită pe el. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, pas cu pas, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din sesiunea specială 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Progresii aritmetice: termenul din mijloc ca medie aritmetică a vecinilor — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(0)$ pentru o funcție de gradul al doilea cu parametru — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: aducerea la egalitatea a doi logaritmi cu aceeași bază și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: numărarea numerelor de trei cifre distincte, cu o condiție pe cifra unităților — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică și vectori: egalitatea a doi vectori scrisă pe componente — clasa a IX-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit, teorema lui Pitagora și raza cercului circumscris — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea: determinantul unei matrice numerice și o familie de matrice închisă la înmulțire, cu legea $a⊛b=a+b-3ab$ pe parametri — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea într-un punct, restul împărțirii la $X+2$ prin teorema restului și suma cuburilor rădăcinilor, prin relațiile lui Viète — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: derivarea unui raport cu exponențială, ecuația tangentei într-un punct dat și monotonia strictă demonstrată prin semnul unei funcții ajutătoare — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită și aria: simplificarea integrandului, integrala de tipul $\int u^2{u}^{\prime }$ și aria subgraficului calculată prin părți — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea specială 2026. Subiectul I este scurt, dar are două cerințe în care se pierd puncte pe detalii: la itemul $3$ trebuie verificate condițiile de existență înainte de acceptarea soluțiilor, iar la itemul $5$ egalitatea $2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$ trebuie citită ca două ecuații pe componente, nu ca o relație între lungimi. Subiectul al II-lea este construit pe o idee unică: la problema 1, familia de matrice $A(a)$ este închisă la înmulțire, iar parametrii se compun după regula $a+b-3ab$ — o lege de compoziție ascunsă într-un exercițiu de matrice; la problema 2, un polinom de gradul al patrulea cu parametru cere suma cuburilor rădăcinilor, care nu se poate calcula direct, ci doar prin relațiile lui Viète. Subiectul al III-lea este cel mai „de manual" al probei: derivată, tangentă, monotonie la problema 1 și trei integrale la problema 2, cu observația că funcția din enunț apare mereu ciuntită de câte un termen — deci prima mișcare este întotdeauna scăderea, nu integrarea.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, radicali simpli de tipul $\sqrt{10}$ sau expresii de forma $3-\frac{6}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice scrise fără verificarea condițiilor de existență; numărarea combinatorică făcută fără să se înceapă cu cifra restricționată; concluzia „este strict crescătoare" scrisă direct din formula derivatei, fără demonstrarea semnului numărătorului; aria scrisă ca integrală fără justificarea pozitivității funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Progresii aritmetice: orice termen este media aritmetică a vecinilor, $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ f)(0)=f(f(0))$ — se calculează dinăuntru în afară. Logaritmi: $a{\log }_{b}x={\log }_b{x}^a$, iar ${\log }_{b}u={\log }_{b}v\iff u=v$, cu condițiile de existență verificate separat. Combinatorică: când o cifră are o restricție, se alege ea prima; numărul total este produsul numerelor de alegeri. Vectori: $\overrightarrow{XY}=(x_Y-x_X)\vec{i}+(y_Y-y_X)\vec{j}$, iar doi vectori sunt egali când au ambele componente egale. Triunghi dreptunghic: $\mathrm{tg}C=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$, iar raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea, prin regula lui Sarrus sau prin dezvoltare după o linie cu multe zerouri; două matrice sunt egale când toate elementele corespunzătoare coincid.
• Polinoame: teorema restului — restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$, deci la $X+2$ restul este $f(-2)$; relațiile lui Viète pentru gradul al patrulea, cu $S_1=-\frac{a_3}{a_4}$, $S_2=\frac{a_2}{a_4}$, $S_3=-\frac{a_1}{a_4}$, $S_4=\frac{a_0}{a_4}$.
• Derivate: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(x{e}^x{)}^{\prime }=(x+1)e^x$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$; o funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare acolo.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; $\int u^2{u}^{\prime }dx=\frac{u^3}{3}+\mathcal{C}$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția de gradul al doilea $f(x)=a{x}^2+2ax-1$ de la itemul $2$, polinomul $f=m{X}^4-m{X}^2+X+1$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\frac{e^x+2x+1}{x+1}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{{\ln }^{2}x}{x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat.
• Litera $a$ este parametru la itemul $2$ (coeficientul funcției) și la itemul $7$ (parametrul familiei de matrice), dar la itemul $1$ ea denumește termenii unei progresii, $a_1$, $a_2$, $a_3$. La itemul $7$, parametrii se compun după regula $a+b-3ab$ — acolo $a$ și $b$ sunt două valori oarecare ale aceluiași parametru.
• Litera $m$ este parametrul polinomului la itemul $8$ și necunoscuta cerută la itemul $10$, subpunctul c). Litera $e$ apare la itemii $9$ și $10$ și înseamnă de fiecare dată numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu există nicio lege de compoziție, deci nu apare niciun element neutru.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_2$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=6$ și $a_3=30$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+2ax-1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ f)(0)=0$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(2x^2-4x+3)=2{\log }_{2}x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{2,4,5,6\}$. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,4)$ și $B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $\mathrm{tg}C=\frac{1}{3}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $\sqrt{10}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $$A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1-2a& a& 0\\ 2a& 1-a& 0\\ 0& 0& 1-3a\end{array}\right),$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=4$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(1)\cdot A(a)+A(5)=2A(4)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=m{X}^4-m{X}^2+X+1$, unde $m$ este număr real nenul.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)=0$, pentru orice număr real nenul $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X+2$ este egal cu $11$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=1$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x+2x+1}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x{e}^x+1}{(x+1{)}^2}$, $x\in (-1,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este strict crescătoare.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{{\ln }^{2}x}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{{\ln }^{2}x}{x}\right)dx=12+\ln 3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{1}{3}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)-6}{x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ este egală cu $m\left(1-\frac{2}{e}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale din 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen este media aritmetică a vecinilor lui, pentru că distanța până la fiecare dintre ei este aceeași rație: $$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{6+30}{2}\text{(3 p)}.$$ Efectuând împărțirea, $$a_2=\frac{36}{2}=18\text{(2 p)}.$$ (Control pe rație: din $a_3=a_1+2r$ se obține $30=6+2r$, deci $r=12$, iar $a_2=a_1+r=6+12=18$ — aceeași valoare, pe alt drum. Unde se greșește de obicei: se calculează media dintre $a_1$ și $a_3$ ca $\frac{30-6}{2}$, adică semidiferența, care este rația, nu termenul din mijloc.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor.

Se calculează dinăuntru în afară. Întâi $f(0)=a\cdot 0+2a\cdot 0-1=-1$, apoi acest rezultat intră ca argument: $$(f\circ f)(0)=f(f(0))=f(-1)=a(-1{)}^2+2a(-1)-1=a-2a-1=-a-1,$$ pentru orice număr real $a$ (3 p).

Condiția din enunț devine $-a-1=0$, de unde $\mathbf{a}=-1$ (2 p).

(Verificare: pentru $a=-1$ funcția este $f(x)=-x^2-2x-1=-(x+1{)}^2$; atunci $f(0)=-1$ și $f(-1)=0$ — exact ce cere enunțul. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(0)\cdot f(0)$ sau $2f(0)$ în loc de compunere; a doua capcană este semnul lui $2a(-1)=-2a$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condiția de existență pentru membrul drept este $x>0$; expresia din stânga este oricum pozitivă, pentru că trinomul $2x^2-4x+3$ are discriminantul $16-24=-8<0$ și coeficientul dominant pozitiv. Folosind $2{\log }_{2}x={\log }_2{x}^2$, ecuația devine o egalitate de logaritmi cu aceeași bază: $${\log }_2(2x^2-4x+3)={\log }_2{x}^2,\text{ de unde obținem }2x^2-4x+3=x^2,\text{ adica˘ }{x}^2-4x+3=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $16-12=4$ și rădăcinile $\mathbf{x}=1$ sau $\mathbf{x}=3$, amândouă strict pozitive, deci convin (3 p).

(Verificare pentru $x=3$: în stânga ${\log }_2(18-12+3)={\log }_{2}9$, în dreapta $2{\log }_{2}3={\log }_{2}9$ — egale. Unde se greșește de obicei: se scrie $2{\log }_{2}x={\log }_{2}2x$, confundând coeficientul cu factorul dinăuntru; sau se acceptă soluții fără condiția $x>0$ — aici amândouă trec, dar proba trebuie scrisă.)

Itemul 4. (5 p) — numărare cu restricție pe o cifră.

Numărul căutat este par, deci se începe cu cifra care are restricție: cifra unităților trebuie să fie pară, adică una dintre $2$, $4$ sau $6$, deci se poate alege în $3$ moduri (2 p).

Cifrele fiind distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților mai rămân trei cifre din mulțimea $A$, deci cifra zecilor se poate alege în câte $3$ moduri, iar apoi cifra sutelor în câte $2$ moduri. Prin urmare se pot forma $$3\cdot 3\cdot 2=18\text{ numere}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se începe numărarea de la cifra sutelor, iar atunci restricția de paritate de la unități nu mai poate fi aplicată curat. Regula: cifra cu restricție se alege prima. Control: numerele de trei cifre distincte formate cu cifre din $A$ sunt în total $4\cdot 3\cdot 2=24$; dintre ele, cele care se termină în $5$ sunt $3\cdot 2=6$, deci rămân $24-6=18$ pare — aceeași valoare.)

Itemul 5. (5 p) — egalitate de vectori în reper cartezian.

Un vector cu capetele date se scrie cu diferențele coordonatelor: $$\overrightarrow{OA}=6\vec{i}+4\vec{j},\overrightarrow{BC}=(x_C-1)\vec{i}+(y_C-3)\vec{j}\text{(2 p)}.$$ Din $2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$ rezultă $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}$. Doi vectori sunt egali când au ambele componente egale, deci $x_C-1=3$ și $y_C-3=2$, de unde $$\mathbf{C}(4,5)\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $\overrightarrow{BC}=(4-1)\vec{i}+(5-3)\vec{j}=3\vec{i}+2\vec{j}$, iar dublul lui este $6\vec{i}+4\vec{j}=\overrightarrow{OA}$. Unde se greșește de obicei: se înmulțește cu $2$ în loc să se împartă — relația spune că $\overrightarrow{OA}$ este dublul lui $\overrightarrow{BC}$, deci $\overrightarrow{BC}$ este jumătatea lui.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie și cercul circumscris.

Unghiul drept fiind în $A$, catetele sunt $AB$ și $AC$, iar tangenta unghiului $C$ este raportul dintre cateta opusă lui $C$ și cea alăturată: $$\mathrm{tg}C=\frac{AB}{AC},\text{ deci }\frac{AB}{6}=\frac{1}{3}⟹AB=2\text{(2 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora, $BC=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ea: $$R=\frac{BC}{2}=\sqrt{10}\text{(3 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se ia $\mathrm{tg}C=\frac{AC}{AB}$, adică raportul răsturnat — controlul e imediat, tangenta fiind mai mică decât $1$, cateta opusă trebuie să fie mai mică decât cea alăturată, deci $AB<AC$. A doua capcană: se scoate greșit de sub radical, $\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$. Control numeric: $\sqrt{10}\approx 3,162$, iar ipotenuza $2\sqrt{10}\approx 6,325$ depășește ambele catete.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Pentru $a=1$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(1)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)⟹\det (A(1))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala „ascendentă" care trece prin $1$, $2$ și $-2$: $$\begin{array}{rl}\det (A(1))& =0+0+0-0-0-(-4)\\ & =4\text{(3 p)}.\end{array}$$ (Cel mai scurt drum este dezvoltarea după ultima linie, care are un singur element nenul: $\det (A(1))=-2\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=-2(0-2)=4$. Aceeași valoare — și un control gratuit. De reținut: matricea are pe ultima linie și pe ultima coloană numai zerouri în afara colțului, pentru orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Colțul din dreapta jos se calculează separat, iar blocul de sus, cu patru elemente, dă: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(b)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1-2a-2b+6ab& a+b-3ab& 0\\ 2a+2b-6ab& 1-a-b+3ab& 0\\ 0& 0& 1-3a-3b+9ab\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Notând $c=a+b-3ab$, fiecare element se recunoaște în forma din enunț: $1-2c$, $c$, $2c$, $1-c$ și $1-3c$, deci $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(b)\\ & =A(a+b-3ab),\\ & \text{ pentru orice numere reale }a\text{ și }b\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe o poziție: elementul din colțul din stânga sus este $(1-2a)(1-2b)+a\cdot 2b=1-2a-2b+4ab+2ab=1-2(a+b-3ab)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $b=0$ avem $A(0)=I_3$, iar formula prezice $A(a)\cdot I_3=A(a)$ — evident adevărat.)

c) (5 p) Membrul stâng se simplifică cu relația de la subpunctul b), luată pentru $b=a$ înlocuit cu valorile din enunț: $A(1)\cdot A(a)=A(1+a-3a)=A(1-2a)$.

Membrul drept se aduce la aceeași formă observând că matricea depinde liniar de parametru: $A(t)=I_3+tN$, unde $N$ este matricea coeficienților. Prin urmare $2A(4)-A(5)=2I_3+8N-I_3-5N=I_3+3N=A(3)$, deci ecuația devine $$A(1-2a)=A(3)\text{(2 p)}.$$ Două matrice sunt egale doar dacă toate elementele corespunzătoare coincid; comparând elementele de pe linia întâi, coloana a doua, obținem $1-2a=3$, de unde $\mathbf{a}=-1$ (3 p).

(Verificare: pentru $a=-1$, $A(1)\cdot A(-1)=A(1-1+3)=A(3)$, iar $A(3)+A(5)=2I_3+8N=2A(4)$ — egalitatea se închide. Unde se greșește de obicei: se aplică relația de la b) și membrului drept, deși acolo este o sumă de matrice, nu un produs; suma se tratează cu liniaritatea, produsul cu relația demonstrată.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu parametru.

a) (5 p) Valoarea unui polinom într-un punct se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu numărul respectiv: $$f(-1)=m(-1{)}^4-m(-1{)}^2+(-1)+1\text{(3 p)}.$$ Puterile pare ale lui $-1$ sunt egale cu $1$, deci $f(-1)=m-m-1+1=0$, oricare ar fi numărul real nenul $m$ (2 p).

(Observație folositoare: $-1$ este rădăcină a polinomului pentru orice valoare a parametrului, deci $f$ se divide cu $X+1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^4=-1$ — exponentul par face rezultatul pozitiv.)

b) (5 p) Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este chiar $f(a)$ (teorema restului); aici împărțitorul este $X+2=X-(-2)$, deci restul este $f(-2)$: $$f(-2)=m(-2{)}^4-m(-2{)}^2+(-2)+1=16m-4m-1=12m-1,$$ pentru orice număr real nenul $m$ (3 p).

Condiția din enunț devine $12m-1=11$, de unde $\mathbf{m}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $m=1$ polinomul este $X^4-X^2+X+1$, iar $f(-2)=16-4-2+1=11$. Unde se greșește de obicei: se calculează $f(2)$ în loc de $f(-2)$ — semnul din teorema restului se schimbă; a doua capcană este $(-2{)}^4=16$, nu $-16$.)

c) (5 p) Suma cuburilor nu se poate calcula direct, pentru că rădăcinile nu se pot scrie explicit. Se folosesc relațiile lui Viète pentru polinomul $m{X}^4+0\cdot X^3-m{X}^2+X+1$: $$x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=-\frac{1}{m},x_1{x}_2{x}_3{x}_4=\frac{1}{m}\ne 0,$$ pentru orice număr real nenul $m$ (3 p).

Fiecare rădăcină verifică $m{x}_k^4-m{x}_k^2+x_k+1=0$; împărțind prin $x_k$, care este nenul, se obține $m{x}_k^3=m{x}_k-1-\frac{1}{x_k}$. Adunând cele patru relații și folosind $\sum \frac{1}{x_k}=\frac{-\frac{1}{m}}{\frac{1}{m}}=-1$: $$m(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)=m(x_1+x_2+x_3+x_4)-4-\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)=0-4+1=-3,$$ deci condiția din enunț, $x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=1$, dă $m\cdot 1=-3$, adică $\mathbf{m}=-3$ (2 p).

(Același rezultat, pe drumul sumelor lui Newton: $p_3=e_1^3-3e_1{e}_2+3e_3=0-0+3\left(-\frac{1}{m}\right)=-\frac{3}{m}$, iar din $-\frac{3}{m}=1$ rezultă $m=-3$. Control numeric: rădăcinile polinomului $-3X^4+3X^2+X+1$ au suma cuburilor egală cu $1$. Unde se greșește de obicei: se caută rădăcinile efectiv; sau se uită că suma $\sum \frac{1}{x_k}$ este raportul dintre suma produselor de câte trei și produsul tuturor rădăcinilor.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, tangentă și monotonie strictă.

a) (5 p) Se derivează raportul cu formula ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, unde numărătorul are derivata $e^x+2$, iar numitorul, $1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Desfăcând paranteza de la numărător, termenii $e^x$ și $2x$ se reduc: $$f^{\prime }(x)=\frac{x{e}^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^x+1}{(x+1{)}^2},x\in (-1,+\infty )\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{e+1}{4}\approx 0,930$, iar raportul incremental $\frac{f(1,000001)-f(0,999999)}{0,000002}$ dă aceeași valoare. Unde se greșește de obicei: se derivează numitorul ca $x$, uitând că $(x+1{)}^{\prime }=1$, sau se scapă un semn la desfacerea parantezei a doua.)

b) (5 p) Ecuația tangentei cere două numere: valoarea funcției și valoarea derivatei în punctul dat. $$f(0)=\frac{e^0+0+1}{0+1}=\frac{1+1}{1}=2,f^{\prime }(0)=\frac{0\cdot e^0+1}{(0+1{)}^2}=1\text{(2 p)}.$$ Cu formula $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$, pentru $x_0=0$ se obține $y-2=1\cdot (x-0)$, adică $$\mathbf{y}=\mathbf{x}+2\text{(3 p)}.$$ (Control: dreapta trece prin punctul $(0,2)$, care este chiar punctul de tangență, iar panta ei coincide cu derivata acolo. Unde se greșește de obicei: se scrie $y=f^{\prime }(0)\cdot x$, uitând termenul $f\left(x_0\right)$; sau se inversează rolurile, folosind $f(0)$ ca pantă.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este dat de numărătorul $x{e}^x+1$, pentru că numitorul este un pătrat nenul. Se studiază funcția ajutătoare $g:[-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x{e}^x+1$, cu $$g^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x\ge 0,\text{ pentru orice }x\in [-1,+\infty ),$$ deci $g$ este crescătoare pe acest interval. Cum $g(-1)=-\frac{1}{e}+1=1-\frac{1}{e}>0$, rezultă că $g(x)>0$ pentru orice $x\in (-1,+\infty )$ (3 p).

Numitorul $(x+1{)}^2$ este strict pozitiv pe $(-1,+\infty )$, deci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ din domeniu, prin urmare funcția $f$ este strict crescătoare (2 p).

(De ce se pleacă din $-1$ și nu din interiorul intervalului: valoarea $g(-1)$ este cea mai mică de pe tot domeniul, iar ea este deja pozitivă — deci nu mai e nevoie de nicio altă verificare. Control numeric: $1-\frac{1}{e}\approx 0,632>0$, iar $g$ crește de acolo. Unde se greșește de obicei: se scrie „numărătorul este pozitiv, fiind sumă de termeni pozitivi" — fals, pentru că $x{e}^x$ este negativ pentru $x<0$; tocmai de aceea e nevoie de funcția ajutătoare.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și arie.

a) (5 p) Scăderea din enunț taie exact termenul greu al funcției: $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{{\ln }^{2}x}{x}\right)dx={\int }_1^3\left(6+\frac{1}{x}\right)dx=(6x+\ln x){|}_1^3\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, cu $\ln 1=0$: $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{{\ln }^{2}x}{x}\right)dx=18+\ln 3-6-\ln 1=12+\ln 3\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se uită scăderea valorii din capătul de jos, adică termenul $-6$. Control numeric: $12+\ln 3\approx 13,0986$, iar integrala calculată numeric pe $[1,3]$ dă aceeași valoare.)

b) (5 p) De data aceasta se scot ceilalți doi termeni și rămâne exact partea logaritmică. Recunoscând $\frac{1}{x}=(\ln x{)}^{\prime }$, integrandul este de tipul $u^2{u}^{\prime }$: $${\int }_1^e\left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx={\int }_1^e\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx={\int }_1^e(\ln x{)}^{\prime }{\ln }^{2}xdx=\frac{{\ln }^{3}x}{3}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele, cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $${\int }_1^e\left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{{\ln }^{3}e}{3}-\frac{{\ln }^{3}1}{3}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se integrează $\frac{{\ln }^{2}x}{x}$ „ca un raport", cu logaritm la numitor. Rețeta corectă este substituția ascunsă $u=\ln x$, care transformă integrala în $\int u^{2}du=\frac{u^3}{3}$. Control numeric: integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă $0,33333$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit: $f(x)-6=\frac{1}{x}+\frac{{\ln }^{2}x}{x}$, deci $$g(x)=\frac{f(x)-6}{x}=\frac{1}{x^2}+\frac{{\ln }^{2}x}{x^2},x\in (0,+\infty ).$$ Funcția $g$ este continuă și strict pozitivă pe $[1,e]$ (ambii termeni sunt pozitivi), deci aria cerută este chiar integrala, fără modul: $$\mathcal{S}={\int }_1^{e}g(x)dx=-\frac{1}{x}{|}_1^e-{\int }_1^e{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }{\ln }^{2}xdx\text{(2 p)}.$$ A doua integrală se face prin părți: $-{\int }_1^e{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }{\ln }^{2}xdx=-\frac{{\ln }^{2}x}{x}{|}_1^e+{\int }_1^e\frac{2\ln x}{x^2}dx$, iar ultima integrală, tot prin părți, dă $-\frac{2}{x}(1+\ln x){|}_1^e=2-\frac{4}{e}$. Adunând cele trei bucăți: $$\mathcal{S}=\left(1-\frac{1}{e}\right)-\frac{1}{e}+\left(2-\frac{4}{e}\right)=3-\frac{6}{e}.$$ Condiția din enunț devine $m\left(1-\frac{2}{e}\right)=3-\frac{6}{e}$, adică $m\cdot \frac{e-2}{e}=\frac{3(e-2)}{e}$, de unde $\mathbf{m}=3$ (3 p).

(Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler. Control numeric: $3-\frac{6}{e}\approx 0,79272$, iar integrala calculată numeric pe $[1,e]$ dă aceeași valoare; în plus, $3\left(1-\frac{2}{e}\right)\approx 0,79272$. Unde se greșește de obicei: se împarte doar primul termen al lui $f(x)-6$ la $x$, uitând al doilea; a doua capcană este scrierea ariei cu modul și oprirea acolo — modulul dispare, dar motivul, pozitivitatea lui $g$, trebuie scris.)