Formule: Aplicații ale integralei definite

Arii de sub grafic și între grafice, volume de rotație, centrul de greutate al plăcii plane și modelările din fizică. 16 formule, clasa 12.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Aria subgraficului — clasa 12
Aria dintre două grafice — clasa 12
Aria când funcția schimbă semnul — clasa 12
Aria discului și a elipsei — clasa 12
Volumul corpului de rotație — clasa 12
Volumele corpurilor rotunde — clasa 12
Corpul cu gaură (rotația regiunii dintre două grafice) — clasa 12
Elipsoidul și paraboloidul de rotație — clasa 12
Centrul de greutate al plăcii de sub un grafic — clasa 12
Centrul de greutate al plăcii dintre două grafice — clasa 12
Lucrul mecanic al unei forțe variabile — clasa 12
Debit, volum și energie — clasa 12
Estimarea numerică: metoda trapezelor — clasa 12

Aria subgraficului — clasa 12

S (Γ_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x, f continu \overset{a}{˘}, f \geq 0

Subgraficul este mulțimea $Γ_{f} = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)}$ , adică regiunea dintre grafic și axa $O x$ . Aria se notează $S$ — niciodată $A$ și niciodată $A$ . Ambele ipoteze contează: continuitatea asigură integrabilitatea, iar pozitivitatea face ca integrala să fie chiar aria. ⚠️ Când $f$ ia și valori negative, integrala nu mai este aria: părțile de sub axă se scad.

Exemplu: Aria de sub $f (x) = x^{2}$ pe $[0, 3]$ : $S = \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{3} = 9$ .

Aria dintre două grafice — clasa 12

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x

În practică nu se lucrează cu modulul: se află punctele de intersecție (rezolvând $f (x) = g (x)$ ), se stabilește pe fiecare interval cine e deasupra și se scrie diferența fără modul, cu semnul potrivit. Capetele $a$ și $b$ sunt de obicei chiar abscisele punctelor de intersecție. Formula nu cere ca funcțiile să fie pozitive: o translație verticală comună nu schimbă aria, fiindcă se simplifică în diferență.

Exemplu: Între $f (x) = 2 x$ și $g (x) = x^{2}$ : din $2 x = x^{2}$ rezultă $x \in {0, 2}$ , iar pe $[0, 2]$ avem $f \geq g$ , deci $S = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ .

Aria când funcția schimbă semnul — clasa 12

S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x = \int_{a}^{c} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x

Scrierea din dreapta e pentru cazul $f \geq 0$ pe $[a, c]$ și $f \leq 0$ pe $[c, b]$ ; în general se rupe intervalul în toate zerourile lui $f$ din interior și se schimbă semnul pe intervalele unde funcția e negativă. ⚠️ Greșeala care costă cel mai des puncte: se calculează $\int_{a}^{b} f$ și se anunță drept arie. Controlul de bun-simț: o arie este întotdeauna pozitivă; dacă rezultatul iese negativ sau suspect de mic, semnele n-au fost tratate.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2} - 1$ pe $[0, 2]$ : $\int_{0}^{2} f = \frac{2}{3}$ , dar aria este $\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ .

Aria discului și a elipsei — clasa 12

\int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} d x = \frac{π r ^{2}}{2}, S_{elips \overset{a}{˘}} = π ab

Amândouă sunt demonstrații, nu formule date: se calculează cu substituția $x = r sin t$ (respectiv $x = a sin t$ ), care duce integrala în $\int cos^{2} t d t$ . Prima este „formula de buzunar” a capitolului — se recunoaște ori de câte ori sub radical apare $r^{2} - x^{2}$ și scutește de tot calculul. Aria elipsei se reduce la aria discului prin factorul $\frac{b}{a}$ : elipsa e un disc turtit. Controlul: pentru $a = b = r$ se regăsește $π r^{2}$ .

Exemplu: $\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x = \frac{9 π}{2}$ . • Aria elipsei $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ este $π \cdot 5 \cdot 4 = 20 π$ .

Volumul corpului de rotație — clasa 12

V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

$C_{f}$ este corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției continue $f \geq 0$ în jurul axei $O x$ . Se deduce din volumul cilindrului, cu sume Riemann: fiecare fâșie verticală devine un disc de rază $f (x)$ și grosime $d x$ , deci de volum $π f^{2} (x) d x$ . ⚠️ Se integrează pătratul funcției, nu funcția — și nu se uită factorul $π$ . Rotația în jurul altei axe nu se cere la Bacalaureat M1.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 3$ pe $[0, 3]$ : $V = π \int_{0}^{3} (2 x + 3) d x = π (x^{2} + 3 x)_{0}^{3} = 18 π$ .

Volumele corpurilor rotunde — clasa 12

cilindru con trunchi de con sfer \overset{a}{˘} π r^{2} h \frac{π r ^{2} h}{3} \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2}) \frac{4 π r ^{3}}{3}

Toate patru se deduc din formula volumului de rotație, cu funcțiile: $f (x) = r$ (cilindrul), $f (x) = \frac{r}{h} x$ (conul), $f (x) = r + \frac{R - r}{h} x$ (trunchiul, cu $R$ raza mare și $r$ raza mică) și $f (x) = r^{2} - x^{2}$ pe $[- r, r]$ (sfera). De aici și calota sferică de înălțime $h$ : $\frac{π h ^{2} ( 3 r - h )}{3}$ . Controlul de coerență la trunchi: pentru $r = R$ se obține cilindrul, pentru $r = 0$ conul.

Exemplu: Trunchi de con cu $R = 5$ , $r = 2$ , $h = 3$ : $V = \frac{3 π}{3} (25 + 10 + 4) = 39 π$ ; control: trunchiul este un con de rază $5$ și înălțime $5$ din care s-a tăiat, la vârf, conul de rază $2$ și înălțime $2$ , iar $\frac{125 π}{3} - \frac{8 π}{3} = 39 π$ .

Corpul cu gaură (rotația regiunii dintre două grafice) — clasa 12

V = π \int_{a}^{b} (f^{2} (x) - g^{2} (x)) d x, 0 \leq g \leq f

Se obține ca diferență de două volume cunoscute; secțiunea perpendiculară pe axă este o coroană circulară de raze $g (x)$ și $f (x)$ , cu aria $π f^{2} (x) - π g^{2} (x)$ . ⚠️ Se integrează diferența pătratelor, nu pătratul diferenței: $f^{2} - g^{2} \neq = (f - g)^{2}$ . Condiția $g \geq 0$ e necesară pentru ca „gaura” să aibă sens ca rotație a unui subgrafic; o gaură care străbate corpul dintr-un capăt în celălalt cere $g > 0$ pe tot intervalul.

Exemplu: Țeava dintre $f (x) = 2$ și $g (x) = 1$ pe $[0, 3]$ : $V = π \int_{0}^{3} (4 - 1) d x = 9 π$ , adică $12 π - 3 π$ ✓.

Elipsoidul și paraboloidul de rotație — clasa 12

V_{elipsoid} = \frac{4 π a b ^{2}}{3}, V_{paraboloid} = π p h^{2} = \frac{π R ^{2} h}{2}

Elipsoidul se obține rotind semielipsa superioară a lui $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ în jurul axei $O x$ : $a$ este semiaxa de pe axa de rotație, iar $b$ raza secțiunii maxime, care apare la pătrat — inversarea lor e greșeala clasică. Pentru $a = b = r$ se regăsește sfera. Paraboloidul vine din rotirea ramurii $y^{2} = 2 p x$ pe $[0, h]$ , iar rezultatul spune ceva elegant: volumul lui este jumătate din al cilindrului circumscris, de rază $R = 2 p h$ și aceeași înălțime.

Exemplu: Elipsa $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ rotită în jurul lui $O x$ dă $V = \frac{4 π \cdot 3 \cdot 4}{3} = 16 π$ — un corp lung de $6$ și lat de $4$ .

Centrul de greutate al plăcii de sub un grafic — clasa 12

x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x f (x) d x, y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

$f$ e continuă, $f \geq 0$ și $f \neq \equiv 0$ , iar $S = \int_{a}^{b} f$ este aria plăcii — se calculează întotdeauna prima, fiindcă apare la ambii numitori. Factorul $\frac{1}{2}$ stă numai la $y_{G}$ și vine din faptul că fiecare fâșie verticală își are centrul la jumătatea înălțimii ei. ⚠️ La $x_{G}$ integrandul este $x f (x)$ , la $y_{G}$ este $f^{2} (x)$ — nu $x^{2} f (x)$ și nu $x f^{2} (x)$ . Când $f$ e pară pe un interval simetric, $x_{G} = 0$ fără niciun calcul.

Exemplu: Pentru dreptunghiul dat de $f (x) = h$ pe $[0, b]$ : $x_{G} = \frac{b}{2}$ și $y_{G} = \frac{h}{2}$ ✓, adică centrul dreptunghiului.

Centrul de greutate al plăcii dintre două grafice — clasa 12

x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x (f - g), y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} (f^{2} - g^{2}), S = \int_{a}^{b} (f - g)

Extinderea naturală, pentru $g \leq f$ continue pe $[a, b]$ : fâșia din dreptul lui $x$ are înălțimea $f (x) - g (x)$ , iar mijlocul ei se află la $\frac{f ( x ) + g ( x )}{2}$ ; produsul celor două dă exact $\frac{f ^{2} - g ^{2}}{2}$ , integrandul lui $y_{G}$ . Cazul $g \equiv 0$ redă formulele de la subgrafic. ⚠️ La numărătorul lui $y_{G}$ se scrie diferența pătratelor, nu pătratul diferenței.

Exemplu: Între $f (x) = 2 x$ și $g (x) = x^{2}$ : $S = \frac{4}{3}$ , $\int_{0}^{2} x (2 x - x^{2}) d x = \frac{4}{3}$ deci $x_{G} = 1$ , iar $\int_{0}^{2} (4 x^{2} - x^{4}) d x = \frac{64}{15}$ dă $y_{G} = \frac{8}{5}$ .

Lucrul mecanic al unei forțe variabile — clasa 12

L = \int_{a}^{b} F (x) d x

$F$ este forța care acționează pe direcția deplasării, iar $[a, b]$ este intervalul pe care se deplasează punctul material. ⚠️ Aici $F$ nu este primitivă, ci forța — se spune explicit, ca să nu se confunde notațiile. Când forța e constantă, formula redă $L = F \cdot (b - a)$ din fizica de gimnaziu. Cazul clasic este forța elastică $F (x) = k x$ , care dă $L = \frac{k x ^{2}}{2}$ — energia potențială a resortului. Unitățile de măsură se scriu la rezultat (jouli, dacă forța e în newtoni și distanța în metri).

Exemplu: Un resort cu $k = 200 N/m$ întins de la $0$ la $0, 1 m$ : $L = \int_{0}^{0, 1} 200 x d x = 100 \cdot 0, 01 = 1 J$ .

Debit, volum și energie — clasa 12

V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t, E = \int_{t_{1}}^{t_{2}} P (t) d t

Același tipar în toate modelările: integrala unei rate dă mărimea acumulată. $Q$ este debitul (volum pe unitatea de timp), deci integrala lui dă volumul de lichid scurs; $P$ este puterea instantanee, deci integrala ei dă energia consumată. Tot așa, integrala vitezei dă spațiul parcurs, iar integrala accelerației dă variația vitezei. Unitățile se scriu la rezultat și se verifică: debit în litri pe minut, integrat pe minute, dă litri.

Exemplu: Un rezervor primește apă cu debitul $Q (t) = 4 t + 1$ litri pe minut, timp de $5$ minute: $V = \int_{0}^{5} (4 t + 1) d t = (2 t^{2} + t)_{0}^{5} = 55$ litri.

Estimarea numerică: metoda trapezelor — clasa 12

T_{n} h = \frac{h}{2} (f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + \dots + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})), = \frac{b - a}{n}

Se deduce în trei rânduri din aria trapezului: pe fiecare bucată, arcul de grafic se înlocuiește cu coarda care unește capetele, iar figura de deasupra devine un trapez dreptunghic. $T_{n}$ este media aritmetică a sumelor Riemann cu capete stânga și dreapta. Pentru o funcție de gradul întâi metoda dă valoarea exactă, oricare ar fi $n$ . ⚠️ Metoda trapezelor nu face parte din programa de examen; se învață ca instrument de control numeric al unui rezultat obținut prin calcul.

Exemplu: Pentru $f (x) = \frac{1}{x}$ pe $[1, 2]$ cu $n = 4$ : $T_{4} \approx 0, 6970$ , față de valoarea exactă $ln 2 \approx 0, 6931$ — o eroare de circa $0, 004$ , adică sub $0, 6%$ .

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 2 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a XII-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a XII-a.

Lungimea graficului unei funcții M2 — clasa 12
Aria suprafeței de rotație M2 — clasa 12

Lungimea graficului unei funcții M2 — clasa 12

L = \int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x \geq b - a

Radicalul iese din teorema lui Pitagora: o porțiune mică de grafic se apropie de ipotenuza unui triunghi ale cărui catete sunt pasul orizontal și creșterea funcției. De aici și marginea de jos — nicio curbă nu coboară sub umbra ei, iar egalitatea are loc numai pentru un grafic de dreaptă orizontală. Se cere $f$ derivabilă, cu derivata continuă pe $[a, b]$ . Formula se cere la bacalaureatul M2 abia din $2030$ , pe programa nouă de examen (proba MAT_P2); în sesiunile $2027$ – $2029$ nu intră în probă.

Exemplu: Pentru $f (x) = \frac{2}{3} x x$ pe $[0, 3]$ se obține $f^{'} (x) = x$ , deci sub radical rămâne $1 + x$ : $L = \int_{0}^{3} 1 + x d x = \frac{2}{3} (1 + x) 1 + x_{0}^{3} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}$ , mai mult decât $b - a = 3$ , cum cere formula.

Aria suprafeței de rotație M2 — clasa 12

S_{lat} = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + (f^{'} (x))^{2} d x, f \geq 0

Este pânza măturată de grafic la o rotație completă în jurul axei, nu suprafața corpului plin: capacele se adaugă separat, dacă problema le cere. Sub radical stă aceeași expresie ca la lungimea graficului, fiindcă fâșia care se rotește are lungimea unui arc, nu a proiecției lui — la conul obținut prin rotirea unui segment socoteala cere generatoarea, iar înălțimea pusă în locul ei dă mereu o valoare prea mică. Formula se cere la bacalaureatul M2 abia din $2030$ , pe programa nouă de examen (proba MAT_P2); în sesiunile $2027$ – $2029$ nu intră în probă.

Exemplu: Pentru o funcție constantă $f \equiv r$ derivata este nulă, radicalul devine $1$ și rămâne $2 π r (b - a)$ — aria laterală a cilindrului.

Pentru filiera tehnologică (M3)

Formula de mai jos e scrisă pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a XII-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a.

Aria și volumul cu integrale M3 — clasa 12

Aria și volumul cu integrale — clasa 12

A = \int_{a}^{b} f (x) d x la f \geq 0, A = - \int_{a}^{b} f (x) d x la f \leq 0 A = \int_{a}^{c} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x la f \geq 0 pe [a; c] ș i f \leq 0 pe [c; b] V = π \int_{a}^{b} g (x)^{2} d x π m^{2} (b - a) \leq V \leq π M^{2} (b - a)

$A$ e aria dintre grafic și axa $O x$ , pe $[a; b]$ , iar $c$ este punctul unde graficul taie axa. Primul rând se folosește când $f$ nu schimbă semnul, al doilea când îl schimbă o singură dată. $V$ este volumul corpului obținut când graficul lui $g$ se rotește în jurul axei $O x$ ; $m$ și $M$ sunt minimul și maximul lui $∣ g ∣$ pe $[a; b]$ . Aria are unitatea ariei, volumul pe cea a volumului. Capcană: la volum, $g^{2}$ e pozitiv chiar dacă $g$ e negativ, deci rândurile 1 și 2 nu intră; volumul nu schimbă semnul. Control: volumul e mai mare decât al cilindrului de rază $m$ și mai mic decât al celui de rază $M$ .

Exemplu: Debitul net al unei pompe de bazin este $f (x) = 7, 5 x - 1, 5 x^{2}$ m³/h, cu $x$ în ore: pozitiv pe $[0; 5]$ (bazinul se umple), negativ pe $[5; 6]$ (bazinul se golește). Cu $F (x) = 3, 75 x^{2} - 0, 5 x^{3}$ , aria de deasupra axei este $\int_{0}^{5} f = 31, 25$ m³, iar cea de dedesubt $- \int_{5}^{6} f = 4, 25$ m³, împreună $35, 5$ m³ trecuți prin pompă. Un vas decorativ din beton are raza $g (x) = 0, 5 + 0, 1 x^{2}$ m, pe $[0; 2]$ : $V = π \int_{0}^{2} g^{2} d x = π [0, 25 x + \frac{x ^{3}}{30} + \frac{x ^{5}}{500}]_{0}^{2} \approx 2, 61$ m³, între $π \cdot 0, 5^{2} \cdot 2 \approx 1, 57$ și $π \cdot 0, 9^{2} \cdot 2 \approx 5, 09$ m³.