Formule: Ecuații și sisteme

Ecuația de gradul I, ecuația x²=a, o privire spre gradul II și sistemele de două ecuații cu două necunoscute. 7 formule, clasele 7–9.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Ecuația de gradul I — clasa 7

a x + b = 0 (a \neq = 0) \Rightarrow x = - \frac{b}{a}

$x$ este necunoscuta, iar $a$ și $b$ sunt numere date, cu $a \neq = 0$ . Rezolvi în doi pași: muți $b$ în membrul drept cu semn schimbat, apoi împarți la $a$ . Capcana clasică: la mutarea unui termen dintr-un membru în celălalt, semnul lui SE SCHIMBĂ.

Exemplu: $3 x - 12 = 0$ : mut $- 12$ în dreapta cu semn schimbat → $3 x = 12$ ; împart la $3$ → $x = 12 : 3 = 4$ . Verificare: $3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0$ ✓

Transformări echivalente — clasa 7

a = b \Rightarrow a + c = b + c, a \cdot c = b \cdot c (c \neq = 0)

$a = b$ înseamnă că cei doi membri ai ecuației sunt în echilibru, ca o balanță. Poți aduna sau scădea același număr $c$ în ambii membri și poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul $c$ — soluția nu se schimbă. Atenție: împărțirea cu $0$ este interzisă, iar orice operație se face în AMBII membri, nu doar într-unul.

Exemplu: $x - 5 = 2$ : adun $5$ în ambii membri → $x - 5 + 5 = 2 + 5$ → $x = 7$ . Verificare: $7 - 5 = 2$ ✓ • $4 x = 20$ : împart ambii membri la $4$ → $x = 5$

Ecuația x² = a — clasa 7

x^{2} = a (a > 0) \Rightarrow x = \pm a

$a$ este un număr pozitiv, iar $a$ este rădăcina lui pătrată. Ecuația are DOUĂ soluții opuse, pentru că atât $a$ cât și $- a$ dau $a$ la pătrat. Capcana: mulți uită soluția negativă! Dacă $a = 0$ , singura soluție este $x = 0$ ; dacă $a < 0$ , ecuația nu are soluții reale, căci un pătrat nu poate fi negativ.

Exemplu: $x^{2} = 16$ : $x = \pm 16 = \pm 4$ , deci $x \in {- 4, 4}$ . Verificare: $4^{2} = 16$ ✓ și $(- 4)^{2} = 16$ ✓

Ecuația de gradul II — clasa 9

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0) : Δ = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} (Δ \geq 0)

$a$ , $b$ , $c$ sunt coeficienții ecuației ( $a \neq = 0$ ), iar $Δ$ (delta) se numește discriminant și decide câte soluții există: dacă $Δ > 0$ — două soluții diferite, dacă $Δ = 0$ — o singură soluție (dublă), $x = - \frac{b}{2 a}$ , iar dacă $Δ < 0$ — nicio soluție reală. În clasa a VIII-a rezolvi de obicei prin descompunere în factori; formula generală cu $Δ$ se învață la liceu.

Exemplu: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : prin descompunere, caut două numere cu suma $5$ și produsul $6$ → $2$ și $3$ , deci $(x - 2) (x - 3) = 0$ → $x \in {2, 3}$ • Cu discriminantul: $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ , $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ , adică $x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ și $x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ — două soluții, cum anunța $Δ > 0$

Sistem: metoda substituției — clasa 7

{x + y = 7 x - y = 1 \Rightarrow x = 1 + y \Rightarrow (1 + y) + y = 7

Pasul 1: scoți o necunoscută dintr-o ecuație (din a doua: $x = 1 + y$ ). Pasul 2: o înlocuiești („substitui”) în cealaltă ecuație. Pasul 3: rezolvi ecuația rămasă, care are o singură necunoscută, apoi te întorci și afli și cealaltă. Capcana: nu substitui înapoi în aceeași ecuație din care ai scos necunoscuta — nu afli nimic nou.

Exemplu: $(1 + y) + y = 7$ → $1 + 2 y = 7$ → $2 y = 6$ → $y = 3$ , apoi $x = 1 + 3 = 4$ . Verificare în ambele ecuații: $4 + 3 = 7$ ✓ și $4 - 3 = 1$ ✓

Sistem: metoda reducerii — clasa 7

{x + y = 7 x - y = 1 adunate membru cu membru: 2 x = 8 \Rightarrow x = 4

Aduni ecuațiile membru cu membru, astfel încât o necunoscută să dispară: $+ y$ și $- y$ se „reduc” (se anulează). Dacă coeficienții necunoscutei nu sunt opuși, înmulțești mai întâi una dintre ecuații (sau ambele) cu un număr potrivit ca să devină. Metoda este cea mai rapidă când opusul se obține ușor.

Exemplu: Adun cele două ecuații: $(x + y) + (x - y) = 7 + 1$ → $2 x = 8$ → $x = 4$ . Apoi din prima ecuație: $4 + y = 7$ → $y = 3$ . Verificare: $4 - 3 = 1$ ✓

Pentru științe ale naturii (M2)

Formula de mai jos e folosită de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a IX-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a IX-a.

Sisteme de gradul I: numărul de soluții M2 — clasa 9

Sisteme de gradul I: numărul de soluții M2 — clasa 9

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2} : a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0 \Rightarrow solu ț ie unic \overset{a}{˘} (drepte secante)

Când numărul $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ este nenul, dreptele au pante diferite și se taie într-un singur punct. Când el se anulează, dreptele nu mai sunt secante, dar asta încă nu alege între paralele distincte (fără soluții) și confundate (o infinitate): o infinitate apare numai când o ecuație este cealaltă înmulțită cu un număr nenul, termen liber cu tot.

Exemplu: La $m x + 2 y = 1$ și $3 x + y = 4$ : $m \cdot 1 - 3 \cdot 2 = m - 6$ , deci pentru $m = 6$ sistemul nu mai are soluție unică (aici: nicio soluție).