Formule: Funcția liniară și reperul cartezian

Funcția de gradul I f(x) = ax + b: valoarea într-un punct, graficul, intersecțiile cu axele și formulele din reperul cartezian. 9 formule, clasele 7–9.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Valoarea funcției într-un punct — clasa 8
Graficul funcției liniare — clasa 8
Intersecția cu axa Oy — clasa 8
Intersecția cu axa Ox — clasa 8
Apartenența unui punct la grafic — clasa 8
Distanța dintre două puncte — clasa 7
Mijlocul unui segment — clasa 7

Valoarea funcției într-un punct — clasa 8

f (x) = a x + b \Rightarrow f (x_{0}) = a \cdot x_{0} + b

$f$ este funcția de gradul I, $a$ și $b$ sunt numere fixe ( $a$ se numește pantă, $b$ termen liber), iar $x_{0}$ este numărul în care calculăm valoarea funcției. Înlocuiești $x$ cu $x_{0}$ peste tot și efectuezi calculele. Capcană: dacă $x_{0}$ e negativ, pune-l între paranteze ca să nu greșești semnul.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 1$ : $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ . • Tot pentru $f (x) = 2 x + 1$ : $f (- 4) = 2 \cdot (- 4) + 1 = - 8 + 1 = - 7$ .

Graficul funcției liniare — clasa 8

G_{f} = {(x, f (x))} — o dreapt \overset{a}{˘}

$G_{f}$ este mulțimea tuturor punctelor $(x, f (x))$ din reperul cartezian; pentru $f (x) = a x + b$ graficul este o dreaptă. Numărul $a$ este panta: dacă $a > 0$ dreapta urcă de la stânga la dreapta, dacă $a < 0$ coboară. Pentru trasare ajung două puncte — cel mai comod, intersecțiile cu axele.

Exemplu: Pentru $f (x) = x - 2$ : calculăm $f (0) = 0 - 2 = - 2$ , deci punctul $(0, - 2)$ , apoi $f (2) = 2 - 2 = 0$ , deci punctul $(2, 0)$ . Unim cele două puncte cu rigla și obținem graficul. • Panta este $a = 1 > 0$ , deci dreapta urcă.

Intersecția cu axa Oy — clasa 8

G_{f} \cap O y = {(0, b)}

$G_{f}$ este graficul funcției $f (x) = a x + b$ , iar $O y$ este axa verticală. Orice punct de pe $O y$ are $x = 0$ , deci pui $x = 0$ și obții $f (0) = b$ : graficul taie axa $O y$ exact în punctul $(0, b)$ , fără niciun calcul greu. Capcană: nu confunda cu intersecția cu $O x$ , unde rezolvi ecuația $f (x) = 0$ .

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 6$ : $f (0) = 2 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$ , deci $G_{f} \cap O y = {(0, 6)}$ . • Pentru $f (x) = 3 x - 5$ : $f (0) = - 5$ , deci punctul de intersecție este $(0, - 5)$ .

Intersecția cu axa Ox — clasa 8

G_{f} \cap O x = {(- \frac{b}{a}, 0)} (a \neq = 0)

$O x$ este axa orizontală, pe care orice punct are $y = 0$ , deci rezolvi ecuația $f (x) = 0$ , adică $a x + b = 0$ , cu soluția $x = - \frac{b}{a}$ . Condiția $a \neq = 0$ este necesară ca să putem împărți la $a$ . Capcană: nu uita semnul minus din $- \frac{b}{a}$ și scrie punctul cu $0$ pe locul al doilea: $(- \frac{b}{a}, 0)$ .

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 6$ : rezolvăm $2 x + 6 = 0 \Rightarrow 2 x = - 6 \Rightarrow x = - \frac{6}{2} = - 3$ , deci graficul taie $O x$ în $(- 3, 0)$ . Verificare: $f (- 3) = 2 \cdot (- 3) + 6 = - 6 + 6 = 0$ .

Apartenența unui punct la grafic — clasa 8

A (x_{A}, y_{A}) \in G_{f} ⟺ f (x_{A}) = y_{A}

$A (x_{A}, y_{A})$ este un punct dat prin coordonatele lui, iar $G_{f}$ este graficul funcției $f$ . Punctul aparține graficului exact atunci când, înlocuind prima coordonată $x_{A}$ în funcție, obții a doua coordonată $y_{A}$ . Capcană: înlocuiești mereu abscisa $x_{A}$ și compari rezultatul cu ordonata $y_{A}$ — nu invers.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $A (2, 5)$ : $f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 = y_{A}$ , deci $A \in G_{f}$ . • Pentru $B (3, 10)$ : $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq = 10$ , deci $B \in / G_{f}$ .

Distanța dintre două puncte — clasa 7

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

$A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ sunt două puncte din reperul cartezian, iar $A B$ este lungimea segmentului dintre ele. Formula vine din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate sunt catetele, iar $A B$ este ipotenuza. Capcană: mai întâi ridici fiecare diferență la pătrat și abia apoi aduni — nu aduna diferențele între ele.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ : $x_{B} - x_{A} = 4 - 1 = 3$ și $y_{B} - y_{A} = 6 - 2 = 4$ , deci $A B = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Mijlocul unui segment — clasa 7

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

$M$ este mijlocul segmentului $A B$ : coordonatele lui sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor — aduni abscisele între ele, aduni ordonatele între ele, apoi împarți fiecare sumă la $2$ . Capcană: aici coordonatele se adună; scăderea apare la formula distanței, nu la mijloc.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (5, 8)$ : $x_{M} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ și $y_{M} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ , deci $M (3, 5)$ .

Pentru științe ale naturii (M2)

Formula de mai jos e folosită de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a IX-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a IX-a.

Semnul funcției de gradul I M2 — clasa 9

Semnul funcției de gradul I M2 — clasa 9

f (x) = a x + b = a (x - x_{0}), x_{0} = - \frac{b}{a} : semn f = {- semn a, semn a, x < x_{0} x > x_{0}

Înainte de rădăcină funcția are semn contrar lui $a$ , după rădăcină semnul lui $a$ — regula iese din scrierea $f (x) = a (x - x_{0})$ și nu trebuie memorată. În tabelul de semn, la inegalități stricte rădăcina se exclude din interval, la cele nestricte se include.

Exemplu: Pentru $f (x) = - 2 x + 6$ avem $x_{0} = 3$ și $a < 0$ , deci $f (x) > 0$ pentru $x < 3$ și $f (x) < 0$ pentru $x > 3$ .

Pentru filiera tehnologică (M3)

Formula de mai jos e scrisă pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a IX-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a IX-a.

Funcția de gradul I M3 — clasa 9

Funcția de gradul I — clasa 9

f (x) = a x + b, a = \frac{varia ț ia lui f ( x )}{varia ț ia lui x}, pe O y : (0; b) pe O x : (- \frac{b}{a}; 0), a \neq = 0

$f (x) = a x + b$ descrie o mărime care se schimbă uniform: $a$ arată cu cât se schimbă $f (x)$ când $x$ crește cu $1$ , iar $b$ este valoarea la $x = 0$ . Variația lui $f (x)$ și variația lui $x$ se iau între aceleași două puncte, în aceeași ordine. Graficul este o dreaptă: urcă pentru $a > 0$ și coboară pentru $a < 0$ . El taie $O y$ în $(0; b)$ , iar $O x$ în $(- \frac{b}{a}; 0)$ ; la $a = 0$ nu există a doua intersecție. Capcană: zeroul funcției este $- \frac{b}{a}$ , nu $b$ . Control: valorile măsurate se regăsesc, pe rând, în formula obținută.

Exemplu: La o telecabină, altitudinea cabinei, în metri, la $x$ minute după plecare este $f (x) = a x + b$ . Senzorul dă $f (2) = 1398$ și $f (6) = 1434$ . Variația lui $f (x)$ este $1434 - 1398 = 36$ , a lui $x$ este $6 - 2 = 4$ , deci $a = \frac{36}{4} = 9$ m pe minut, iar $b = 1398 - 9 \cdot 2 = 1380$ . Graficul taie $O y$ în $(0; 1380)$ , altitudinea stației de jos. Pe $O x$ ar tăia în $(- \frac{1380}{9}; 0) \approx (- 153, 3; 0)$ , adică înainte de plecare: aici nu are sens. Stația de sus e la $1650$ m: $9 x + 1380 = 1650$ dă $x = 30$ minute. Verificare: $f (30) = 9 \cdot 30 + 1380 = 1650$ .