Formule: Funcția liniară și reperul cartezian

Funcția de gradul I f(x) = ax + b: valoarea într-un punct, graficul, intersecțiile cu axele și formulele din reperul cartezian. 7 formule, clasele 7–8.

Valoarea funcției într-un punct — clasa 8
Graficul funcției liniare — clasa 8
Intersecția cu axa Oy — clasa 8
Intersecția cu axa Ox — clasa 8
Apartenența unui punct la grafic — clasa 8
Distanța dintre două puncte — clasa 7
Mijlocul unui segment — clasa 7

Valoarea funcției într-un punct — clasa 8

f (x) = a x + b \Rightarrow f (x_{0}) = a \cdot x_{0} + b

$f$ este funcția de gradul I, $a$ și $b$ sunt numere fixe ( $a$ se numește pantă, $b$ termen liber), iar $x_{0}$ este numărul în care calculăm valoarea funcției. Înlocuiești $x$ cu $x_{0}$ peste tot și efectuezi calculele. Capcană: dacă $x_{0}$ e negativ, pune-l între paranteze ca să nu greșești semnul.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 1$ : $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$ . • Tot pentru $f (x) = 2 x + 1$ : $f (- 4) = 2 \cdot (- 4) + 1 = - 8 + 1 = - 7$ .

Graficul funcției liniare — clasa 8

G_{f} = {(x, f (x))} — o dreapt \overset{a}{˘}

$G_{f}$ este mulțimea tuturor punctelor $(x, f (x))$ din reperul cartezian; pentru $f (x) = a x + b$ graficul este o dreaptă. Numărul $a$ este panta: dacă $a > 0$ dreapta urcă de la stânga la dreapta, dacă $a < 0$ coboară. Pentru trasare ajung două puncte — cel mai comod, intersecțiile cu axele.

Exemplu: Pentru $f (x) = x - 2$ : calculăm $f (0) = 0 - 2 = - 2$ , deci punctul $(0, - 2)$ , apoi $f (2) = 2 - 2 = 0$ , deci punctul $(2, 0)$ . Unim cele două puncte cu rigla și obținem graficul. • Panta este $a = 1 > 0$ , deci dreapta urcă.

Intersecția cu axa Oy — clasa 8

G_{f} \cap O y = {(0, b)}

$G_{f}$ este graficul funcției $f (x) = a x + b$ , iar $O y$ este axa verticală. Orice punct de pe $O y$ are $x = 0$ , deci pui $x = 0$ și obții $f (0) = b$ : graficul taie axa $O y$ exact în punctul $(0, b)$ , fără niciun calcul greu. Capcană: nu confunda cu intersecția cu $O x$ , unde rezolvi ecuația $f (x) = 0$ .

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 6$ : $f (0) = 2 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$ , deci $G_{f} \cap O y = {(0, 6)}$ . • Pentru $f (x) = 3 x - 5$ : $f (0) = - 5$ , deci punctul de intersecție este $(0, - 5)$ .

Intersecția cu axa Ox — clasa 8

G_{f} \cap O x = {(- \frac{b}{a}, 0)} (a \neq = 0)

$O x$ este axa orizontală, pe care orice punct are $y = 0$ , deci rezolvi ecuația $f (x) = 0$ , adică $a x + b = 0$ , cu soluția $x = - \frac{b}{a}$ . Condiția $a \neq = 0$ este necesară ca să putem împărți la $a$ . Capcană: nu uita semnul minus din $- \frac{b}{a}$ și scrie punctul cu $0$ pe locul al doilea: $(- \frac{b}{a}, 0)$ .

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 6$ : rezolvăm $2 x + 6 = 0 \Rightarrow 2 x = - 6 \Rightarrow x = - \frac{6}{2} = - 3$ , deci graficul taie $O x$ în $(- 3, 0)$ . Verificare: $f (- 3) = 2 \cdot (- 3) + 6 = - 6 + 6 = 0$ .

Apartenența unui punct la grafic — clasa 8

A (x_{A}, y_{A}) \in G_{f} ⟺ f (x_{A}) = y_{A}

$A (x_{A}, y_{A})$ este un punct dat prin coordonatele lui, iar $G_{f}$ este graficul funcției $f$ . Punctul aparține graficului exact atunci când, înlocuind prima coordonată $x_{A}$ în funcție, obții a doua coordonată $y_{A}$ . Capcană: înlocuiești mereu abscisa $x_{A}$ și compari rezultatul cu ordonata $y_{A}$ — nu invers.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 1$ și $A (2, 5)$ : $f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 = y_{A}$ , deci $A \in G_{f}$ . • Pentru $B (3, 10)$ : $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq = 10$ , deci $B \in / G_{f}$ .

Distanța dintre două puncte — clasa 7

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

$A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ sunt două puncte din reperul cartezian, iar $A B$ este lungimea segmentului dintre ele. Formula vine din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate sunt catetele, iar $A B$ este ipotenuza. Capcană: mai întâi ridici fiecare diferență la pătrat și abia apoi aduni — nu aduna diferențele între ele.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ : $x_{B} - x_{A} = 4 - 1 = 3$ și $y_{B} - y_{A} = 6 - 2 = 4$ , deci $A B = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Mijlocul unui segment — clasa 7

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

$M$ este mijlocul segmentului $A B$ : coordonatele lui sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor — aduni abscisele între ele, aduni ordonatele între ele, apoi împarți fiecare sumă la $2$ . Capcană: aici coordonatele se adună; scăderea apare la formula distanței, nu la mijloc.

Exemplu: Pentru $A (1, 2)$ și $B (5, 8)$ : $x_{M} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ și $y_{M} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ , deci $M (3, 5)$ .