Formule de calcul prescurtat

Formulele care scurtează calculele algebrice și descompunerile în factori — instrumentele de bază ale clasei a VIII-a. 9 formule, clasele 8–9.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Pătratul sumei — clasa 8
Pătratul diferenței — clasa 8
Produsul sumei cu diferența — clasa 8
Descompunere: factorul comun — clasa 8
Descompunere: diferența de pătrate — clasa 8
Descompunere: restrângerea pătratului — clasa 8
Descompunere: suma și produsul — clasa 8

Pătratul sumei — clasa 8

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Aici $a$ și $b$ sunt orice numere sau expresii; $2 ab$ este dublul produsului lor. Formula te ajută să ridici o sumă la pătrat fără să mai înmulțești paranteză cu paranteză. Capcana clasică: $(a + b)^{2}$ NU este $a^{2} + b^{2}$ — termenul din mijloc, $2 ab$ , nu are voie să lipsească!

Exemplu: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ • Calcul rapid: $2 1^{2} = (20 + 1)^{2} = 400 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1 = 400 + 40 + 1 = 441$

Pătratul diferenței — clasa 8

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

$a$ și $b$ pot fi numere sau expresii; semnul minus apare doar la termenul din mijloc, $- 2 ab$ . Atenție: ultimul termen este $+ b^{2}$ , cu plus, pentru că un pătrat nu poate fi negativ. Formula scurtează ridicarea la pătrat a unei diferențe.

Exemplu: $(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ • Calcul rapid: $1 9^{2} = (20 - 1)^{2} = 400 - 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1 = 400 - 40 + 1 = 361$

Produsul sumei cu diferența — clasa 8

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Când înmulțești suma $a + b$ cu diferența $a - b$ , termenii $+ ab$ și $- ab$ se anulează și rămâne doar diferența pătratelor, $a^{2} - b^{2}$ . Este formula preferată pentru calcul mental cu numere apropiate de zeci sau sute rotunde. Rezultatul nu are termen „din mijloc” — dacă îți apare unul, ai greșit undeva.

Exemplu: $(x - 4) (x + 4) = x^{2} - 4^{2} = x^{2} - 16$ • Calcul rapid: $101 \cdot 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10 0^{2} - 1^{2} = 10000 - 1 = 9999$

Descompunere: factorul comun — clasa 8

ab + a c = a (b + c)

$a$ este factorul comun — apare în fiecare termen și „iese” în fața parantezei. Scoaterea factorului comun este mereu PRIMUL pas într-o descompunere în factori. Verificarea e simplă: desfaci paranteza înapoi și trebuie să obții exact expresia inițială.

Exemplu: $- 8 x^{2} - 20 x$ : factorul comun este $- 4 x$ , pentru că $- 8 x^{2} = - 4 x \cdot 2 x$ și $- 20 x = - 4 x \cdot 5$ . Deci $- 8 x^{2} - 20 x = - 4 x (2 x + 5)$ . Verificare: $- 4 x \cdot 2 x - 4 x \cdot 5 = - 8 x^{2} - 20 x$ ✓ • $6 x^{2} + 15 x = 3 x (2 x + 5)$

Descompunere: diferența de pătrate — clasa 8

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Este formula produsului sumei cu diferența, citită invers: orice diferență de două pătrate se desface în produsul $(a - b) (a + b)$ . Recunoști tiparul când ambii termeni sunt pătrate perfecte, legați prin minus. Capcana: suma de pătrate $a^{2} + b^{2}$ NU se descompune așa!

Exemplu: $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x - 3) (x + 3)$ • $4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)$

Descompunere: restrângerea pătratului — clasa 8

a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}

Este pătratul sumei/diferenței citit invers: un trinom se „restrânge” într-un pătrat. Verifici trei lucruri: primul termen este un pătrat ( $a^{2}$ ), ultimul este un pătrat ( $b^{2}$ ), iar termenul din mijloc este exact $2 ab$ . Semnul termenului din mijloc dă semnul din paranteză.

Exemplu: $x^{2} + 6 x + 9$ : aici $a = x$ , $b = 3$ și verific mijlocul: $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ ✓, deci $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ • $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ , căci $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$

Descompunere: suma și produsul — clasa 8

x^{2} + S x + P = (x + m) (x + n), m + n = S, m \cdot n = P

Cauți două numere $m$ și $n$ care adunate dau $S$ (coeficientul lui $x$ ) și înmulțite dau $P$ (termenul liber). Pornește de la perechile care dau produsul $P$ și alege-o pe cea cu suma potrivită. Atenție la semne: dacă $P$ este negativ, $m$ și $n$ au semne diferite.

Exemplu: $x^{2} + 7 x + 12$ : caut două numere cu suma $7$ și produsul $12$ → $3$ și $4$ ( $3 + 4 = 7$ , $3 \cdot 4 = 12$ ), deci $x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)$ • $x^{2} + 2 x - 15 = (x - 3) (x + 5)$ , căci $- 3 + 5 = 2$ și $- 3 \cdot 5 = - 15$

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 2 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a IX-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a IX-a.

Cubul sumei și cubul diferenței M2 — clasa 9
Suma și diferența de cuburi M2 — clasa 9

Cubul sumei și cubul diferenței M2 — clasa 9

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

Cubul unei sume sau al unei diferențe are patru termeni, nu doi. Semnele se citesc de sus în jos: la sumă toate sunt plus, la diferență alternează, începând cu plus. Controlul de o secundă: în fiecare termen exponenții lui $a$ și $b$ dau împreună $3$ . Scrierea $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}$ este falsă — la $a = b = 1$ ar da $8 = 2$ .

Exemplu: $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

Suma și diferența de cuburi M2 — clasa 9

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Paranteza mare poartă semnul dintre cuburi, iar semnul din mijlocul parantezei mici este invers lui. Paranteza $a^{2} \pm ab + b^{2}$ nu este pătrat perfect: la mijloc coeficientul e $1$ , nu $2$ . Formula se aplică doar când amândoi termenii sunt cuburi perfecte — $x^{3} - 5$ nu se descompune așa.

Exemplu: $x^{3} - 27 = x^{3} - 3^{3} = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ ; iar $8 x^{3} + 27 = (2 x)^{3} + 3^{3} = (2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ .