Formule: Asimptote și reprezentarea grafică

Cele trei tipuri de asimptote, schema în patru pași, schema în nouă pași a reprezentării grafice și discuția ecuației f(x) = m. 11 formule, clasa 12.

Ce este o asimptotă — clasa 12

x \to + \infty lim (f (x) - (m x + n)) = 0

O dreaptă este asimptotă a graficului lui $f$ dacă distanța de la punctul $M (x, f (x))$ la dreaptă tinde la $0$ când $x$ se duce spre un capăt al domeniului; pentru drepte neverticale, condiția se scrie ca mai sus. Graficul poate intersecta o asimptotă — apropierea se cere doar la infinit. Un grafic are cel mult două asimptote neverticale (una spre $- \infty$ și una spre $+ \infty$ ), dar poate avea oricâte verticale. Numele „asimptotă” nu se folosește retroactiv despre limitele calculate în clasa a XI-a: acolo s-au calculat limite, aici ele primesc nume.

Exemplu: Pentru $f (x) = \frac{1}{x}$ , dreapta $y = 0$ este asimptotă spre ambele capete, iar $x = 0$ este asimptotă verticală. • $f (x) = \frac{sin x}{x}$ are $y = 0$ asimptotă, deși graficul o taie de o infinitate de ori.

Asimptota orizontală — clasa 12

y = ℓ, ℓ = x \to + \infty lim f (x) \in R

Se spune spre $+ \infty$ (nu „la”), iar cele două capete se studiază separat: o funcție poate avea asimptote orizontale diferite spre $- \infty$ și spre $+ \infty$ , sau una singură. Condiția esențială este ca limita să fie finită; dacă limita e infinită sau nu există, asimptotă orizontală nu există spre acel capăt. Capătul se studiază numai dacă domeniul e nemărginit în acea direcție.

Exemplu: $f (x) = \frac{5 x - 2}{x + 4}$ are $x \to \pm \infty lim f (x) = 5$ , deci $y = 5$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. • $f (x) = arctg x$ are $y = \frac{π}{2}$ spre $+ \infty$ și $y = - \frac{π}{2}$ spre $- \infty$ .

Asimptota oblică — procedura în trei pași — clasa 12

y = m x + n, m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}, n = x \to + \infty lim (f (x) - m x) \in R

Ordinea este obligatorie: întâi $m$ , apoi $n$ — al doilea calcul îl folosește pe primul. Dacă $m = 0$ , $m = \pm \infty$ sau $n$ nu e finit, asimptotă oblică nu există spre acel capăt. ⚠️ Orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc: se caută întâi orizontala și abia dacă nu există se trece la oblică. La funcțiile raționale, împărțirea cu rest dă ambele numere deodată și e drumul cel mai scurt.

Exemplu: $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 1}{x + 1} = 2 x + 3 - \frac{4}{x + 1}$ : cum restul tinde la $0$ , avem $m = 2$ , $n = 3$ , deci $y = 2 x + 3$ este asimptotă oblică spre ambele capete.

Asimptota verticală — clasa 12

x = a, x \to a x < a lim f (x) = \pm \infty sau x \to a x > a lim f (x) = \pm \infty

Este de ajuns ca una dintre limitele laterale să fie infinită; se precizează apoi dacă asimptota e la stânga, la dreapta sau bilaterală. Candidații sunt doar capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate — niciodată un punct interior în care $f$ e continuă. La funcțiile raționale, candidații sunt rădăcinile numitorului; dacă o astfel de rădăcină anulează și numărătorul, se simplifică întâi și se recalculează limita.

Exemplu: $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 1}{x + 1}$ are $x = - 1$ asimptotă verticală bilaterală. • $f (x) = ln x$ are $x = 0$ asimptotă verticală la dreapta.

Schema asimptotelor în patru pași — clasa 12

1) domeniul 2) verticalele 3) cap \overset{a}{˘} tul - \infty 4) cap \overset{a}{˘} tul + \infty

Schema completă, obligatorie în toate studiile de funcție: (1) se scrie domeniul; (2) se iau candidații la verticală (capete finite deschise și puncte de discontinuitate) și se calculează limitele laterale; (3) și (4) la fiecare capăt infinit se caută întâi orizontala, apoi, dacă nu există, oblica. Rezultatul se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor, nu ca „funcția are asimptote”.

Exemplu: $f (x) = \frac{3 x ^{2} + x - 2}{x + 3} = 3 x - 8 + \frac{22}{x + 3}$ : domeniul $R ∖ {- 3}$ , verticala $x = - 3$ (numărătorul dă $22 \neq = 0$ ), oblica $y = 3 x - 8$ spre ambele capete, orizontală nu există.

Asimptotele funcțiilor raționale — clasa 12

\frac{P}{Q} : grad P \leq grad Q \Rightarrow orizontal \overset{a}{˘}; grad P = grad Q + 1 \Rightarrow oblic \overset{a}{˘}

Este o consecință a schemei, nu o regulă de bază: se deduce comparând gradele. Când $grad P < grad Q$ , asimptota orizontală este $y = 0$ ; când gradele sunt egale, este $y = \frac{a _{p}}{b _{q}}$ , raportul coeficienților dominanți. Când $grad P \geq grad Q + 2$ , graficul nu are nici orizontală, nici oblică. Asimptotele oblice se citesc cel mai repede din împărțirea cu rest: câtul dă dreapta, restul tinde la zero.

Exemplu: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$ are $y = 1$ ; $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ are $y = x$ ; $\frac{x ^{3}}{x + 1}$ nu are nici orizontală, nici oblică.

Asimptota oblică la funcțiile cu radical — clasa 12

a x^{2} + b x + c : y = a x + \frac{b}{2 a} (x \to + \infty), y = - a x - \frac{b}{2 a} (x \to - \infty)

$a > 0$ ; cele două asimptote sunt diferite și simetrice față de axa $O y$ , fiindcă $x^{2} = ∣ x ∣$ schimbă semnul la trecerea spre $- \infty$ . ⚠️ Greșeala clasică este să se scrie aceeași dreaptă la ambele capete. Formulele nu se memorează: se obțin din procedura în trei pași, cu $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ și $n = lim (f (x) - m x)$ , ultima limită fiind de tipul $\infty - \infty$ și rezolvându-se prin amplificare cu conjugata.

Exemplu: $f (x) = x^{2} + 4 x + 13$ are $y = x + 2$ spre $+ \infty$ și $y = - x - 2$ spre $- \infty$ .

Schema reprezentării grafice în nouă pași — clasa 12

1) D, intersec ț ii, paritate 2) continuitate 3) limite ș i asimptote 4) f^{'} 5) f^{''} 6) valori 7) tabel 8) citire 9) graficul

Sunt cei opt pași ai studiului variației din clasa a XI-a, completați: pasul 1 primește intersecțiile cu axele și paritatea sau periodicitatea (la funcțiile pare se studiază pe $[0, + \infty)$ și se simetrizează), pasul 3 primește asimptotele, iar pasul 9 este nou — trasarea graficului: asimptotele se desenează punctat, se marchează extremele, inflexiunile și intersecțiile cu axele, se unesc respectând săgețile și simbolurile $\cup$ și $\cap$ din tabel.

Exemplu: Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ : $D = R^{*}$ , funcție impară, $x = 0$ verticală, $y = x$ oblică, $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ cu extreme în $\pm 1$ (valorile $\pm 2$ ), graficul are două ramuri simetrice față de origine.

Punctul de inflexiune al funcției de gradul al treilea — clasa 12

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, f^{''} (x) = 6 a x + 2 b = 0 \Rightarrow x_{I} = - \frac{b}{3 a}

Orice funcție polinomială de gradul al treilea are exact un punct de inflexiune, iar graficul ei este simetric față de el — de aceea $x_{I}$ merită calculat de la început: el este și mijlocul intervalului dintre cele două puncte de extrem, când acestea există. Extremele apar exact când $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ are discriminantul strict pozitiv; când $Δ \leq 0$ , funcția e strict monotonă pe $R$ , dar inflexiunea rămâne.

Exemplu: $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{''} (x) = 6 x$ , deci inflexiunea e în $x_{I} = 0$ , iar punctul $(0, 0)$ este centrul de simetrie al graficului; extremele sunt în $x = \pm 1$ , simetrice față de el.

Discuția grafică a ecuației f(x) = m — clasa 12

f (x) = m ⟺ G_{f} \cap d_{m}, d_{m} : y = m

Numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ este numărul punctelor în care dreapta orizontală $y = m$ taie graficul. Valorile-prag — cele care despart cazurile — sunt extremele locale ale funcției și limitele finite de la capetele domeniului. Regula capătului deschis: dacă $m$ este ordonata unei asimptote orizontale, ramura respectivă nu aduce soluție. Răspunsul se scrie ca tabel cu exact două coloane: intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ (maxim $2$ în $x = - 1$ , minim $- 2$ în $x = 1$ ): trei soluții pentru $m \in (- 2, 2)$ , două pentru $m = \pm 2$ , una pentru $∣ m ∣ > 2$ .

Ecuația f(x) = g(x) și șirul lui Rolle — clasa 12

f (x) = g (x) ⟺ h (x) = 0, h = f - g

Numărul soluțiilor se poate afla pe două drumuri: grafic (se intersectează cele două grafice) sau riguros, cu șirul lui Rolle aplicat funcției auxiliare $h$ — se calculează rădăcinile lui $h^{'}$ , se scriu valorile lui $h$ în ele și la capetele domeniului, iar fiecare schimbare de semn din șir dă exact o rădăcină. Cele două drumuri dau aceleași concluzii; la Bacalaureat M1 se cere de obicei al doilea, fiindcă graficul singur nu este demonstrație.

Exemplu: $e^{x} = x + 2$ : cu $h (x) = e^{x} - x - 2$ avem $h^{'} (x) = e^{x} - 1$ , deci $h$ are minimul $h (0) = - 1 < 0$ , iar la ambele capete $h \to + \infty$ — două soluții reale.