Formule: Conice

Cercul, elipsa, hiperbola și parabola: ecuații canonice, focare, excentricitate, dedublare. Conicele intră la Bacalaureat odată cu programa nouă. 14 formule, clasa 12.

Cercul — ecuația canonică — clasa 12

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Este ecuația cercului de centru $C (a, b)$ și rază $r > 0$ , scrisă direct din definiție cu formula distanței dintre două puncte: un punct $M (x, y)$ e pe cerc exact când $C M = r$ . Cazul particular $C (0, 0)$ dă $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Din ecuație se citesc imediat centrul (cu semnele schimbate față de paranteze) și raza; reciproc, centrul și raza determină complet cercul. Ramurile de sus și de jos sunt graficele funcțiilor $y = b \pm r^{2} - (x - a)^{2}$ , definite pe $[a - r, a + r]$ .

Exemplu: Cercul de centru $C (3, - 2)$ și rază $5$ : $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . Punctul $T (7, 1)$ îi aparține: $16 + 9 = 25$ ✓.

Ecuația generală a cercului — clasa 12

x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0, C (- m, - n), r^{2} = m^{2} + n^{2} - p > 0

Se obține din ecuația canonică desfăcând pătratele; drumul invers se face restrângând pătratele (formarea pătratului perfect pentru $x$ și pentru $y$ ). Semnul cantității $m^{2} + n^{2} - p$ decide: strict pozitiv — cerc adevărat; zero — un singur punct (cerc de rază nulă); negativ — mulțimea vidă. ⚠️ Coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ trebuie să fie egali și nu poate exista termen în $x y$ ; dacă ecuația e înmulțită cu o constantă, se împarte întâi la ea.

Exemplu: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ : $m = - 3$ , $n = 2$ , $p = - 12$ , deci $C (3, - 2)$ și $r^{2} = 9 + 4 + 12 = 25$ , adică $r = 5$ .

Dreapta față de cerc: distanța de la centru — clasa 12

dist (C, d) = \frac{∣ u a + v b + w ∣}{u ^{2} + v ^{2}} ≶ r

$C (a, b)$ este centrul, iar $d : ux + v y + w = 0$ . Comparația cu raza decide poziția: distanța mai mică decât $r$ — dreaptă secantă (două puncte comune); egală cu $r$ — tangentă; mai mare — exterioară. Este drumul cel mai scurt, mai rapid decât rezolvarea sistemului; sistemul rămâne necesar doar când se cer efectiv punctele de intersecție. Lungimea coardei tăiate de o secantă este $2 r^{2} - dist^{2} (C, d)$ . Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculara pe rază în acel punct.

Exemplu: Pentru $C (3, - 2)$ , $r = 5$ și $d : 4 x + 3 y - 19 = 0$ : $dist = \frac{∣ 12 - 6 - 19 ∣}{5} = \frac{13}{5} < 5$ , deci dreapta e secantă, iar coarda are lungimea $2 25 - \frac{169}{25} = \frac{4 114}{5}$ .

Elipsa — definiția și ecuația canonică — clasa 12

M F + M F^{'} = 2 a, \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a > b > 0

Elipsa este locul geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe $F$ și $F^{'}$ (focarele) este constantă, egală cu $2 a > F F^{'} = 2 c$ . Ecuația canonică este o rescriere echivalentă a definiției, obținută prin două ridicări la pătrat, cu $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ . Curba este mărginită: $∣ x ∣ \leq a$ și $∣ y ∣ \leq b$ . Ea este reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1, 2} : [- a, a] \to R$ , $f_{1, 2} (x) = \pm \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ .

Exemplu: Pentru $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ : $a = 5$ , $b = 4$ , deci $c = 3$ și suma distanțelor la focare este $10$ pentru orice punct al elipsei.

Elementele elipsei — clasa 12

c = a^{2} - b^{2}, F (\pm c, 0), e = \frac{c}{a} \in (0, 1)

Vârfurile sunt $A (\pm a, 0)$ și $B (0, \pm b)$ , semiaxa mare este $a$ , semiaxa mică $b$ , distanța focală $F F^{'} = 2 c$ . Excentricitatea $e$ măsoară turtirea: aproape de $0$ elipsa seamănă cu un cerc, aproape de $1$ e foarte alungită; legătura cu semiaxele este $\frac{b}{a} = 1 - e^{2}$ . ⚠️ În toată unitatea, litera $e$ înseamnă excentricitate și nimic altceva. Coarda focală (perpendiculara pe axa mare prin focar) are lungimea $\frac{2 b ^{2}}{a}$ .

Exemplu: Pentru $\frac{x ^{2}}{400} + \frac{y ^{2}}{144} = 1$ : $a = 20$ , $b = 12$ , $c = 400 - 144 = 16$ , focarele $F (\pm 16, 0)$ și $e = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ .

Razele focale ale elipsei — clasa 12

M F = a - e x, M F^{'} = a + e x, x \in [- a, a]

Razele focale sunt distanțele de la un punct $M (x, y)$ al elipsei la cele două focare; ele depind numai de abscisa punctului, nu și de ordonată. Suma lor este $2 a$ , ceea ce reconfirmă definiția. Valorile extreme se ating în vârfurile de pe axa mare: distanța minimă la un focar este $a - c = a (1 - e)$ , iar cea maximă $a + c = a (1 + e)$ — la orbitele planetare acestea sunt punctele cele mai apropiate și cele mai depărtate de Soare. Formulele scutesc de radicali în orice problemă în care apar distanțe la focare.

Exemplu: Pentru $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ (deci $a = 5$ , $e = \frac{3}{5}$ ) și $M (3, \frac{16}{5})$ : $M F = 5 - \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{16}{5}$ , $M F^{'} = 5 + \frac{9}{5} = \frac{34}{5}$ , cu suma $10 = 2 a$ ✓.

Hiperbola — definiția și ecuația canonică — clasa 12

∣ M F - M F^{'} ∣ = 2 a, \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, c = a^{2} + b^{2}

Hiperbola este locul geometric al punctelor pentru care diferența în modul a distanțelor la focare este constantă, egală cu $2 a$ , cu condiția $0 < a < c$ — exact pe dos față de elipsă, unde se cerea $a > c$ . Modulul e necesar fiindcă punctele curbei se împart în două ramuri: pe una $M F^{'} > M F$ , pe cealaltă invers. Vârfurile sunt $A (\pm a, 0)$ ; $a$ se numește semiaxa reală, $b$ semiaxa imaginară, iar excentricitatea $e = \frac{c}{a}$ este acum supraunitară.

Exemplu: Pentru $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ : $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ , focarele $F (\pm 5, 0)$ și $e = \frac{5}{3} > 1$ .

Asimptotele și razele focale ale hiperbolei — clasa 12

y = \pm \frac{b}{a} x; M F = ∣ e x - a ∣, M F^{'} = ∣ e x + a ∣

Cele două drepte prin origine sunt asimptotele hiperbolei: ramurile sunt grafice de funcții cu asimptote oblice, exact în sensul unității precedente. Ele se rețin ușor din dreptunghiul fundamental de laturi $2 a$ și $2 b$ , centrat în origine: asimptotele sunt diagonalele lui. Razele focale se scriu cu modul, fiindcă $e x$ poate fi mai mic sau mai mare decât $a$ , după ramura pe care se află punctul. ⚠️ Asimptotele nu ating niciodată curba, dar ramurile se apropie oricât de mult de ele.

Exemplu: Pentru $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ : asimptotele sunt $y = \pm \frac{4}{3} x$ ; pentru $M (5, \frac{16}{3})$ avem $M F = \frac{5}{3} \cdot 5 - 3 = \frac{16}{3}$ și $M F^{'} = \frac{34}{3}$ , cu diferența $6 = 2 a$ ✓.

Hiperbola echilateră raportată la asimptote — clasa 12

x^{2} - y^{2} = a^{2} rota ț ie cu \frac{π}{4} x y = \frac{a ^{2}}{2}

Hiperbola echilateră este cea cu $a = b$ ; asimptotele ei sunt $y = \pm x$ , deci perpendiculare, iar excentricitatea este $2$ pentru toate. Rotind reperul cu $\frac{π}{4}$ , adică luând chiar asimptotele drept axe, ecuația devine $x y = k$ — este exact graficul funcției $x \mapsto \frac{k}{x}$ , cunoscut din clasa a IX-a. Aceasta este puntea dintre „funcția de proporționalitate inversă” și conice: hiperbola nu e o curbă nouă, ci una veche, privită din alt reper.

Exemplu: $x y = 8$ este hiperbola echilateră cu $\frac{a ^{2}}{2} = 8$ , deci $a = 4$ ; vârfurile ei sunt $(\pm 22, \pm 22)$ , iar asimptotele sunt chiar axele de coordonate.

Parabola — ecuația canonică și elementele ei — clasa 12

y^{2} = 2 p x, p > 0, F (\frac{p}{2}, 0), d : x = - \frac{p}{2}, M F = x + \frac{p}{2}

Parabola este locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix $F$ (focarul) și de o dreaptă fixă $d$ (directoarea); numărul $p$ se numește parametrul parabolei și este distanța de la focar la directoare. Vârful este originea, iar axa de simetrie este $O x$ . Raza focală $M F = x + \frac{p}{2}$ arată că distanța la focar crește liniar cu abscisa. ⚠️ Greșeala clasică: în $y^{2} = 48 x$ avem $2 p = 48$ , deci $p = 24$ , iar focarul este la $\frac{p}{2} = 12$ de vârf — nu la $48$ și nici la $24$ .

Exemplu: $y^{2} = 48 x$ : $p = 24$ , focarul $F (12, 0)$ , directoarea $x = - 12$ ; pentru $M (3, 12)$ avem $M F = 3 + 12 = 15$ , cât și distanța la directoare.

Orientările parabolei — clasa 12

y^{2} = \pm 2 p x (axa O x), x^{2} = \pm 2 p y (axa O y)

Regula de citire, fixată: pătratul spune axa, semnul spune sensul. Variabila care apare la pătrat arată axa de simetrie (dacă $y$ e la pătrat, axa e $O x$ ), iar semnul din dreapta arată încotro se deschide ramura. Forma $x^{2} = 2 p y$ este exact parabola „de gimnaziu” $y = \frac{x ^{2}}{2 p}$ , adică aceeași curbă privită ca grafic de funcție; toate parabolele $y = a x^{2} + b x + c$ se aduc la forma canonică printr-o translație a reperului în vârf.

Exemplu: $x^{2} = 24 y$ se deschide în sus, cu $p = 12$ , focarul $F (0, 6)$ și directoarea $y = - 6$ ; este graficul funcției $y = \frac{x ^{2}}{24}$ .

Intersecția conicei cu o dreaptă — clasa 12

Δ > 0 secant \overset{a}{˘}, Δ = 0 tangent \overset{a}{˘}, Δ < 0 exterioar \overset{a}{˘}

Se substituie $y = m x + n$ în ecuația conicei și se obține o ecuație de gradul al doilea în $x$ ; discriminantul ei decide poziția dreptei. ⚠️ Se verifică întâi coeficientul lui $x^{2}$ : dacă se anulează, ecuația e de gradul întâi și dreapta taie conica într-un singur punct fără să fie tangentă (cazul dreptei paralele cu axa parabolei sau cu o asimptotă a hiperbolei). ⚠️ Dreptele verticale $x = x_{0}$ nu au pantă și se tratează separat, prin înlocuire directă.

Exemplu: Dreapta $y = 2 x + 6$ și parabola $y^{2} = 48 x$ : din $(2 x + 6)^{2} = 48 x$ rezultă $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , cu $Δ = 0$ și rădăcina dublă $x = 3$ — dreapta e tangentă în $(3, 12)$ .

Condițiile de tangență ale unei drepte — clasa 12

cerc x^{2} + y^{2} = r^{2} elips \overset{a}{˘} hiperbol \overset{a}{˘} parabol \overset{a}{˘} y^{2} = 2 p x n^{2} = r^{2} (1 + m^{2}) n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2} n^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2} 2 mn = p

Fiecare relație se obține punând $Δ = 0$ în ecuația de gradul al doilea a intersecției; ele leagă panta de ordonata la origine și sunt unealta discuțiilor după parametru. Se folosesc în două feluri: pantă dată — se rezolvă în $n$ și se obțin două tangente paralele; punct exterior dat — se scrie $n$ în funcție de $m$ din condiția ca dreapta să treacă prin punct și se rezolvă în $m$ . ⚠️ Aceste ecuații presupun conica în poziție canonică, cu centrul (respectiv vârful) în origine.

Exemplu: Pentru elipsa $\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ și $m = \frac{2}{3}$ : pragul este $n^{2} = 36 \cdot \frac{4}{9} + 9 = 25$ . Dreapta cu $n = 5$ e tangentă, cea cu $n = 10$ e exterioară.

Tangenta prin dedublare — clasa 12

cerc elips \overset{a}{˘} hiperbol \overset{a}{˘} parabol \overset{a}{˘} x x_{0} + y y_{0} = r^{2} \frac{x x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1 \frac{x x _{0}}{a ^{2}} - \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1 y y_{0} = p (x + x_{0})

Dedublarea dă ecuația tangentei într-un punct $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ care aparține conicei — apartenența se verifică întotdeauna înainte. Regula de memorat: $x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$ ; pentru cercul cu centrul $C (a, b)$ formula devine $(x - a) (x_{0} - a) + (y - b) (y_{0} - b) = r^{2}$ . ⚠️ Dacă punctul nu e pe conică, dedublarea nu se aplică: se scrie fasciculul de drepte prin punct și se folosește condiția de tangență.

Exemplu: Tangenta la $y^{2} = 48 x$ în $M (3, 12)$ : $12 y = 24 (x + 3)$ , adică $y = 2 x + 6$ . • Tangenta la $x^{2} + y^{2} = 29$ în $A (2, 5)$ : $2 x + 5 y = 29$ .