Formule: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Pitagora, teorema înălțimii, teorema catetei și trigonometria — arsenalul complet al clasei a VII-a. 10 formule, clasa 7.

• Teorema lui Pitagora — clasa 7
• Reciproca teoremei lui Pitagora — clasa 7
• Teorema înălțimii — clasa 7
• Înălțimea din catete și ipotenuză — clasa 7
• Teorema catetei — clasa 7
• Sinusul — clasa 7
• Cosinusul — clasa 7
• Tangenta și cotangenta — clasa 7
• Valorile pentru 30°, 45°, 60° — clasa 7
• Identitatea fundamentală — clasa 7

Teorema lui Pitagora — clasa 7

$a$ = ipotenuza (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept), iar $b$ și $c$ = catetele (laturile care formează unghiul drept). Se folosește doar în triunghiul dreptunghic, ca să afli o latură când le cunoști pe celelalte două. Capcană: ipotenuza stă singură în formulă — nu aduna niciodată ipotenuza cu o catetă!

Exemplu: Catetele sunt $b=3$ și $c=4$. Atunci $a^2=3^2+4^2=9+16=25$, deci ipotenuza $a=\sqrt{25}=5$. • Dacă știi ipotenuza $10$ și o catetă $6$, cealaltă catetă iese prin scădere: $b^2=10^2-6^2=100-36=64$, deci $b=8$.

Reciproca teoremei lui Pitagora — clasa 7

$a$ = latura cea mai lungă a triunghiului, $b$ și $c$ = celelalte două laturi. Dacă egalitatea se verifică, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept se află în fața laturii $a$. Capcană: pune mereu latura cea mai mare singură, la pătrat, în stânga — altfel verificarea iese greșit.

Exemplu: Laturile $5$, $12$, $13$: cea mai mare este $13$, deci calculăm $13^2=169$ și $5^2+12^2=25+144=169$. Sunt egale, așadar triunghiul este dreptunghic. • Laturile $4$, $5$, $6$: $6^2=36$, dar $4^2+5^2=16+25=41\ne 36$, deci acest triunghi nu este dreptunghic.

Teorema înălțimii — clasa 7

$h$ = înălțimea dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză; piciorul ei taie ipotenuza în două bucăți, $m$ și $n$ — „umbrele” (proiecțiile) celor două catete pe ipotenuză. Formula spune că înălțimea este media geometrică a celor două bucăți. Capcană: merge doar pentru înălțimea din unghiul drept, nu pentru înălțimile din celelalte vârfuri!

Exemplu: Proiecțiile sunt $m=4$ și $n=9$ (deci ipotenuza are $4+9=13$). Atunci $h^2=4\cdot 9=36$, de unde $h=\sqrt{36}=6$. • Invers: dacă știi $h=6$ și $m=4$, afli $n=h^2:m=36:4=9$.

Înălțimea din catete și ipotenuză — clasa 7

$c_1$ și $c_2$ = catetele, $a$ = ipotenuza, $h$ = înălțimea dusă pe ipotenuză. De unde vine: aria triunghiului scrisă în două feluri — $\frac{c_1\cdot c_2}{2}$ și $\frac{a\cdot h}{2}$ — deci $c_1\cdot c_2=a\cdot h$. E cea mai rapidă cale de a afla înălțimea când cunoști toate laturile.

Exemplu: Catetele sunt $6$ și $8$. Mai întâi ipotenuza, cu Pitagora: $a=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Apoi $h=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4,8$.

Teorema catetei — clasa 7

$c$ = o catetă, $a$ = ipotenuza (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept), $m$ = proiecția acelei catete pe ipotenuză — „umbra” ei: bucata de ipotenuză aflată chiar sub catetă. Capcană: fiecare catetă merge cu propria ei proiecție, nu cu a celeilalte!

Exemplu: $a=25$ și $m=9$: $c^2=25\cdot 9=225$, deci $c=\sqrt{225}=15$. • Cealaltă catetă are proiecția $n=25-9=16$, deci $c^{\prime 2}=25\cdot 16=400$ și $c^{\prime }=20$. Verificare cu Pitagora: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$. ✓

Sinusul — clasa 7

$\alpha$ = un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic; cateta opusă = cateta „din fața” unghiului $\alpha$, cea care nu îl atinge. Sinusul leagă un unghi de laturile triunghiului. Fiindcă o catetă e mereu mai scurtă decât ipotenuza, $\sin \alpha$ este întotdeauna mai mic decât $1$.

Exemplu: Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$ și ipotenuza $5$, fie $\alpha$ unghiul opus catetei de $3$. Atunci $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{3}{5}=0,6$.

Cosinusul — clasa 7

$\alpha$ = un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic; cateta alăturată = cateta lipită de unghiul $\alpha$ (unul dintre brațele lui). Capcană: nu confunda cu sinusul — la cosinus iei cateta de lângă unghi, nu pe cea din fața lui.

Exemplu: Triunghi dreptunghic cu catetele $6$ și $8$ și ipotenuza $10$ (verificare: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$). Dacă $\alpha$ este unghiul lipit de cateta de $8$, atunci $\cos \alpha =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8$.

Tangenta și cotangenta — clasa 7

$\text{tg}\alpha$ compară cele două catete: cea opusă (din fața unghiului) împărțită la cea alăturată (de lângă unghi), iar $\text{ctg}\alpha$ este exact raportul invers. Le folosești când problema leagă doar catetele între ele, fără ipotenuză. De reținut și legătura $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

Exemplu: Catetele sunt $5$ și $12$, ipotenuza $13$. Pentru unghiul $\alpha$ opus catetei de $5$: $\text{tg}\alpha =\frac{5}{12}$ și $\text{ctg}\alpha =\frac{12}{5}$. Verificare: $\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{5}=1$. ✓

Valorile pentru 30°, 45°, 60° — clasa 7

Tabelul dă valorile exacte ale lui $\sin$, $\cos$ și $\text{tg}$ pentru unghiurile „de aur” ale clasei a VII-a. Truc de memorare: pe linia sinusului valorile cresc de la $30^{\circ }$ la $60^{\circ }$, iar cosinusul are exact aceleași valori, dar în oglindă. Cotangenta se obține ca invers al tangentei: $\text{ctg}30^{\circ }=\sqrt{3}$, $\text{ctg}45^{\circ }=1$, $\text{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Exemplu: Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $10$ și un unghi de $30^{\circ }$. Cateta opusă unghiului $=10\cdot \sin 30^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$, iar cateta alăturată $=10\cdot \cos 30^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Identitatea fundamentală — clasa 7

$\alpha$ = orice unghi ascuțit, iar ${\sin }^2\alpha$ înseamnă $(\sin \alpha {)}^2$. Formula vine direct din teorema lui Pitagora, împărțită la pătratul ipotenuzei, și te lasă să afli cosinusul când știi sinusul (sau invers), fără să cunoști laturile triunghiului.

Exemplu: Dacă $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, atunci ${\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ (luăm valoarea pozitivă, unghiul fiind ascuțit). Verificare: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$. ✓