Formule: Triunghiul

Unghiuri, linii importante, perimetru și arie — tot ce ține de triunghi. 12 formule, clasele 5–7.

• Suma unghiurilor — clasa 6
• Unghiul exterior — clasa 6
• Inegalitatea triunghiului — clasa 6
• Perimetrul — clasa 5
• Aria (bază și înălțime) — clasa 5
• Aria triunghiului dreptunghic — clasa 6
• Triunghiul echilateral: înălțimea — clasa 7
• Triunghiul echilateral: aria — clasa 7
• Linia mijlocie — clasa 7
• Centrul de greutate — clasa 7
• Mediana în triunghiul dreptunghic — clasa 7
• Teorema unghiului de 30° — clasa 7

Suma unghiurilor — clasa 6

$\hat{A}$, $\hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt măsurile celor trei unghiuri din vârfurile triunghiului. În orice triunghi, oricât de mare sau de turtit, ele adunate dau mereu $180^{\circ }$. Folosești formula ca să afli al treilea unghi când le cunoști pe celelalte două. Capcană: $180^{\circ }$ e suma pentru triunghi — la patrulatere suma este $360^{\circ }$.

Exemplu: $\hat{A}=60^{\circ }$ și $\hat{B}=70^{\circ }$. Pasul 1: adun unghiurile cunoscute: $60^{\circ }+70^{\circ }=130^{\circ }$. Pasul 2: scad din $180^{\circ }$: $\hat{C}=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. • Verificare: $60^{\circ }+70^{\circ }+50^{\circ }=180^{\circ }$.

Unghiul exterior — clasa 6

Unghiul exterior ${\hat{A}}_{\text{ext}}$ este unghiul „de afară” al vârfului $A$: se formează între o latură și prelungirea celeilalte laturi din același vârf. El este egal cu suma celor două unghiuri interioare nealăturate, $\hat{B}$ și $\hat{C}$ (cele din celelalte două vârfuri). Capcană: cu unghiul interior de lângă el nu se adună — cu acela formează împreună $180^{\circ }$.

Exemplu: Două unghiuri ale unui triunghi au $40^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Pasul 1: unghiul exterior din al treilea vârf $=40^{\circ }+60^{\circ }=100^{\circ }$. Pasul 2 (verificare): unghiul interior din acel vârf are $180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$, iar $80^{\circ }+100^{\circ }=180^{\circ }$, exact un unghi alungit.

Inegalitatea triunghiului — clasa 6

$a$, $b$, $c$ sunt lungimile laturilor. Ca triunghiul să existe, fiecare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor. Practic, verifici doar atât: cele două laturi mai scurte, adunate, depășesc latura cea mai lungă? Capcană: nici egalitatea nu este permisă — dacă $b+c=a$, „triunghiul” se turtește pe o linie dreaptă.

Exemplu: Pot fi $3$, $4$ și $8$ laturile unui triunghi? Verific laturile scurte: $3+4=7$, iar $7<8$, deci NU — brațele de $3$ și $4$ nu se pot întâlni. • Dar $3$, $4$ și $6$? $3+4=7>6$, $3+6=9>4$ și $4+6=10>3$, deci DA, triunghiul există.

Perimetrul — clasa 5

$a$, $b$ și $c$ sunt lungimile celor trei laturi. Perimetrul este drumul complet de jur împrejurul triunghiului: aduni toate cele trei laturi. Atenție: înainte de adunare, toate laturile trebuie să fie în aceeași unitate de măsură (toate în cm, de exemplu).

Exemplu: Un triunghi are laturile de $6$ cm, $5$ cm și $4$ cm. Pasul 1: $6+5=11$. Pasul 2: $11+4=15$. Perimetrul este $P=15$ cm.

Aria (bază și înălțime) — clasa 5

$b$ este baza (o latură a triunghiului), iar $h$ este înălțimea corespunzătoare ei — segmentul care coboară perpendicular pe bază din vârful opus. Înmulțești baza cu înălțimea și împarți la $2$, pentru că triunghiul este jumătate dintr-un dreptunghi. Capcană: $h$ trebuie să fie înălțimea dusă exact pe baza aleasă, nu o altă latură a triunghiului.

Exemplu: $b=8$ cm și $h=5$ cm. Pasul 1: înmulțesc baza cu înălțimea: $8\cdot 5=40$. Pasul 2: împart la $2$: $A=40:2=20{\text{cm}}^2$.

Aria triunghiului dreptunghic — clasa 6

$c_1$ și $c_2$ sunt catetele — laturile care formează unghiul drept. Ele sunt una pentru cealaltă bază și înălțime, de aceea aria este jumătate din produsul lor. Capcană: ipotenuza (latura cea mai lungă) nu apare în această formulă — nu o înmulți cu nimic.

Exemplu: Catetele au $6$ cm și $8$ cm. Pasul 1: înmulțesc catetele: $6\cdot 8=48$. Pasul 2: împart la $2$: $A=48:2=24{\text{cm}}^2$.

Triunghiul echilateral: înălțimea — clasa 7

$l$ este latura triunghiului echilateral (toate cele trei laturi sunt egale), iar $h$ este înălțimea, care aici este în același timp și mediană, și bisectoare. Formula vine din teorema lui Pitagora: înălțimea taie triunghiul în două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza $l$ și o catetă $\frac{l}{2}$. Lasă rezultatul cu $\sqrt{3}$ — nu-l transforma în număr zecimal decât dacă ți se cere.

Exemplu: $l=6$ cm. Pasul 1: înlocuiesc în formulă: $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}$. Pasul 2: simplific $6:2=3$, deci $h=3\sqrt{3}$ cm $\approx 5,2$ cm. • Verificare cu Pitagora: $3^2+(3\sqrt{3}{)}^2=9+27=36=6^2$.

Triunghiul echilateral: aria — clasa 7

$l$ este latura triunghiului echilateral. Formula adună într-un singur pas $A=\frac{b\cdot h}{2}$ și $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$, ca să nu mai calculezi înălțimea separat. Capcană: mai întâi ridici latura la pătrat și abia apoi împarți la $4$.

Exemplu: $l=6$ cm. Pasul 1: ridic latura la pătrat: $l^2=6^2=36$. Pasul 2: $A=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2\approx 15,6{\text{cm}}^2$.

Linia mijlocie — clasa 7

$M$ și $N$ sunt mijloacele a două laturi ale triunghiului (de exemplu $AB$ și $AC$), iar $BC$ este a treia latură. Segmentul $MN$ se numește linie mijlocie: este mereu paralel cu $BC$ și exact jumătate din ea. Capcană: proprietatea funcționează doar dacă $M$ și $N$ sunt cu adevărat mijloacele laturilor, nu puncte oarecare.

Exemplu: $BC=14$ cm. Linia mijlocie: $MN=\frac{14}{2}=7$ cm. • Și invers: dacă știu că $MN=9$ cm, atunci $BC=2\cdot 9=18$ cm.

Centrul de greutate — clasa 7

$G$ este centrul de greutate — punctul în care se întâlnesc cele trei mediane ($m_a$ = mediana din $A$, segmentul care unește vârful $A$ cu mijlocul $M$ al laturii opuse). Pe fiecare mediană, bucata dinspre vârf ($GA$) este de două ori mai lungă decât bucata dinspre mijloc ($GM$). Capcană: partea de $\frac{2}{3}$ se măsoară mereu dinspre vârf, nu dinspre latură.

Exemplu: Mediana $AM=12$ cm. Pasul 1: $GA=\frac{2}{3}\cdot 12=8$ cm. Pasul 2: $GM=\frac{1}{3}\cdot 12=4$ cm. • Verificare: $8+4=12$ și $8=2\cdot 4$.

Mediana în triunghiul dreptunghic — clasa 7

$m$ este mediana dusă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept). Ea este mereu jumătate din ipotenuză, pentru că mijlocul ipotenuzei se află la distanțe egale de toate cele trei vârfuri. Capcană: proprietatea este valabilă doar pentru mediana din unghiul drept, nu și pentru celelalte două mediane.

Exemplu: Ipotenuza are $10$ cm. Mediana din unghiul drept: $m=\frac{10}{2}=5$ cm. • Și invers: dacă mediana din unghiul drept are $7$ cm, atunci ipotenuza are $2\cdot 7=14$ cm.

Teorema unghiului de 30° — clasa 7

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiurile ascuțite de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$, laturile păstrează ordinea unghiurilor: cateta cea mai scurtă stă în fața unghiului celui mai mic ($30^{\circ }$) și este exact jumătate din ipotenuză, iar cateta din fața lui $60^{\circ }$ este de $\sqrt{3}$ ori mai mare decât cea scurtă. Capcană: jumătatea de ipotenuză este cateta opusă lui $30^{\circ }$, nu cea opusă lui $60^{\circ }$.

Exemplu: Ipotenuza are $8$ cm. Pasul 1: cateta opusă lui $30^{\circ }$ este $\frac{8}{2}=4$ cm. Pasul 2: cateta opusă lui $60^{\circ }$ este $\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ cm $\approx 6,9$ cm. • Verificare cu Pitagora: $4^2+(4\sqrt{3}{)}^2=16+48=64=8^2$.