Formule: Unghiuri

Perechile de unghiuri și proprietățile lor — de la opuse la vârf până la unghiurile dintre paralele. 8 formule, clasa 6.

• Unghiuri complementare — clasa 6
• Unghiuri suplementare — clasa 6
• Unghiuri opuse la vârf — clasa 6
• Unghiuri în jurul unui punct — clasa 6
• Unghiuri alterne interne (paralele) — clasa 6
• Unghiuri interne de aceeași parte — clasa 6
• Bisectoarea — clasa 6
• Transformarea grade – minute — clasa 6

Unghiuri complementare — clasa 6

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90^{\circ }$; $\alpha$ și $\beta$ sunt măsurile celor două unghiuri. Complementul unui unghi de măsură $\alpha$ se calculează prin $90^{\circ }-\alpha$. Capcană: nu le confunda cu unghiurile suplementare, la care suma este $180^{\circ }$!

Exemplu: Complementul unghiului de $35^{\circ }$: $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$; verificare: $35^{\circ }+55^{\circ }=90^{\circ }$. • Complementul lui $62^{\circ }$ este $90^{\circ }-62^{\circ }=28^{\circ }$.

Unghiuri suplementare — clasa 6

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este $180^{\circ }$. Suplementul unui unghi de măsură $\alpha$ este $180^{\circ }-\alpha$. Două unghiuri adiacente cu laturile exterioare în prelungire (așezate de-a lungul unei drepte) sunt întotdeauna suplementare. Ține minte: „suplementar” înseamnă $180^{\circ }$, „complementar” înseamnă $90^{\circ }$.

Exemplu: Suplementul unghiului de $70^{\circ }$: $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$; verificare: $70^{\circ }+110^{\circ }=180^{\circ }$. • Suplementul lui $47^{\circ }$ este $180^{\circ }-47^{\circ }=133^{\circ }$.

Unghiuri opuse la vârf — clasa 6

Când două drepte se intersectează, se formează patru unghiuri. Cele care stau „față în față” — au același vârf, iar laturile unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt — se numesc opuse la vârf și sunt congruente: $\alpha =\beta$. Unghiurile vecine nu sunt egale, ci suplementare. E adesea primul pas în problemele cu drepte concurente.

Exemplu: Două drepte se taie și un unghi are $40^{\circ }$. Unghiul opus la vârf are tot $40^{\circ }$, iar cele două unghiuri vecine au fiecare $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$. Verificare: $40^{\circ }+140^{\circ }+40^{\circ }+140^{\circ }=360^{\circ }$.

Unghiuri în jurul unui punct — clasa 6

${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ sunt măsurile unghiurilor formate în jurul unui punct de mai multe semidrepte cu originea în acel punct. Împreună, unghiurile acoperă tot planul, deci suma lor este $360^{\circ }$. Formula te ajută să afli un unghi necunoscut atunci când le cunoști pe toate celelalte.

Exemplu: În jurul punctului $O$ se formează trei unghiuri: $150^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $x$. Atunci $x=360^{\circ }-150^{\circ }-120^{\circ }=90^{\circ }$. Verificare: $150^{\circ }+120^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }$.

Unghiuri alterne interne (paralele) — clasa 6

$a$ și $b$ sunt două drepte paralele tăiate de o secantă; $\alpha$ și $\beta$ sunt unghiuri alterne interne — stau între paralele, de o parte și de alta a secantei. Dacă dreptele sunt paralele, aceste unghiuri sunt congruente; la fel sunt și unghiurile alterne externe și cele corespondente. Proprietatea merge și invers: dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, dreptele sunt paralele.

Exemplu: $a\parallel b$ și un unghi altern intern are $65^{\circ }$; atunci perechea lui are tot $65^{\circ }$. • Unghiul intern de aceeași parte cu el are $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.

Unghiuri interne de aceeași parte — clasa 6

$\alpha$ și $\beta$ stau amândouă între paralelele $a$ și $b$, de aceeași parte a secantei. Când dreptele sunt paralele, aceste unghiuri nu sunt egale, ci suplementare: suma lor este $180^{\circ }$. Capcană: nu le confunda cu unghiurile alterne interne, care sunt congruente!

Exemplu: $a\parallel b$ și $\alpha =75^{\circ }$; atunci $\beta =180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Verificare: $75^{\circ }+105^{\circ }=180^{\circ }$.

Bisectoarea — clasa 6

Bisectoarea unghiului $\angle AOB$ este semidreapta $OM$ care pornește din vârful $O$ și împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare cu jumătate din măsura unghiului întreg. Orice punct de pe bisectoare se află la distanțe egale de laturile unghiului — de aceea apare des în construcții și demonstrații.

Exemplu: Bisectoarea unui unghi de $80^{\circ }$ formează două unghiuri de $80^{\circ }:2=40^{\circ }$. • Invers: dacă bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri de câte $36^{\circ }$, unghiul întreg are $2\cdot 36^{\circ }=72^{\circ }$.

Transformarea grade – minute — clasa 6

Gradul se împarte exact ca ora: $1^{\circ }=60^{\prime }$ (un grad are 60 de minute de arc), iar $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$ (un minut are 60 de secunde de arc). Transformarea e necesară când aduni sau scazi măsuri de unghiuri: dacă minutele trec de $60$, transformi $60^{\prime }$ într-un grad. Capcană: un grad NU are 100 de minute!

Exemplu: $30^{\prime }=30:60=0,5^{\circ }$, deci $36^{\circ }30^{\prime }=36,5^{\circ }$. • $42^{\circ }50^{\prime }+15^{\circ }20^{\prime }=57^{\circ }70^{\prime }=58^{\circ }10^{\prime }$, pentru că $70^{\prime }=1^{\circ }10^{\prime }$.