Formule: Derivate

Definiția derivatei, tangenta la grafic, tabelul derivatelor uzuale, regulile de derivare și teoremele Fermat, Rolle, Lagrange și L'Hôpital. 11 formule, clasa 11.

Definiția derivatei într-un punct — clasa 11

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}

$f : D \to R$ , iar $x_{0}$ este un punct din $D$ care este și punct de acumulare al lui $D$ . Raportul $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ se numește raportul incrementar și măsoară variația medie a funcției între $x_{0}$ și $x$ . Distincție obligatorie: $f$ are derivată în $x_{0}$ dacă limita există în $\overline{R}$ (poate fi și $\pm \infty$ ), dar este derivabilă în $x_{0}$ numai dacă limita există și este finită. Forma echivalentă cu increment, $f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ , se obține prin substituția $x = x_{0} + h$ . Interpretări: panta tangentei la grafic, viteza instantanee, rata de variație.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2}$ și $x_{0} = 2$ : $f^{'} (2) = x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ . • Pentru $f (x) = x$ și $x_{0} = 0$ : $x \to 0, x > 0 lim \frac{x}{x} = + \infty$ , deci $f$ are derivată în $0$ , dar nu este derivabilă acolo.

Derivate laterale, puncte unghiulare și puncte de întoarcere — clasa 11

f_{s}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} x < x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}, f_{d}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} x > x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}, f derivabil \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟺ f_{s}^{'} (x_{0}) = f_{d}^{'} (x_{0}) \in R

$f_{s}^{'} (x_{0})$ și $f_{d}^{'} (x_{0})$ sunt derivatele laterale; funcția este derivabilă în $x_{0}$ exact când ele există, sunt finite și egale. Când nu sunt egale, punctul primește un nume: punct unghiular dacă derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită (graficul are un „colț”, cu două semitangente); punct de întoarcere dacă sunt infinite și de semne contrare (graficul are o semitangentă verticală și se întoarce). Legătura obligatorie cu continuitatea: derivabilă în $x_{0}$ $\Rightarrow$ continuă în $x_{0}$ , reciproca fiind falsă; contrapoziția este unealta de lucru — la o funcție pe ramuri se verifică întâi continuitatea, fiindcă fără ea derivabilitatea nici nu se mai discută.

Exemplu: $f (x) = ∣ x ∣$ are $f_{s}^{'} (0) = - 1$ și $f_{d}^{'} (0) = 1$ : punct unghiular. • $f (x) = ∣ x ∣$ are $f_{s}^{'} (0) = - \infty$ și $f_{d}^{'} (0) = + \infty$ : punct de întoarcere. • $f (x) = 3 x$ are $f^{'} (0) = + \infty$ din ambele părți — tangentă verticală, dar nu punct de întoarcere.

Ecuația tangentei la graficul unei funcții — clasa 11

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Este ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de coordonate $(x_{0}, f (x_{0}))$ , scrisă sub forma „printr-un punct, cu panta dată”. Panta tangentei este $f^{'} (x_{0})$ , adică $f^{'} (x_{0}) = tg α$ , unde $α$ este unghiul făcut de tangentă cu semiaxa pozitivă $O x$ . Cazuri: $f^{'} (x_{0}) = 0$ dă tangentă orizontală $y = f (x_{0})$ ; $f^{'} (x_{0}) = \pm \infty$ dă tangentă verticală $x = x_{0}$ (aici funcția nu e derivabilă, dar are derivată). Tipuri de probleme: tangenta într-un punct dat; tangenta de pantă dată (se rezolvă $f^{'} (x_{0}) = m$ ); tangenta dintr-un punct exterior graficului (se pune condiția ca punctul să verifice ecuația tangentei, cu $x_{0}$ necunoscut).

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2}$ în $x_{0} = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (x) = 2 x$ , $f^{'} (1) = 2$ , deci tangenta este $y - 1 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x - 1$ . • Tangenta la $f (x) = x^{3}$ care are panta $3$ : din $3 x_{0}^{2} = 3$ rezultă $x_{0} = \pm 1$ , deci $y = 3 x - 2$ și $y = 3 x + 2$ .

Derivatele funcțiilor putere și radical — clasa 11

f (x) c (constant \overset{a}{˘}) x x^{n}, n \in N^{*} x^{- n}, n \in N^{*} x^{r}, r \in R x n x, n \geq 2 f derivabil \overset{a}{˘} pe R R R R^{*} (0, + \infty) (0, + \infty) (0, + \infty) f^{'} (x) 01 n x^{n - 1} - n x^{- n - 1} r x^{r - 1} \frac{1}{2 x} \frac{1}{n n x ^{n - 1}}

$c$ este o constantă, $n$ un număr natural nenul, iar $r$ un număr real oarecare. Cele trei rânduri de putere nu se contopesc, pentru că domeniile diferă: pentru exponent natural se lucrează pe $R$ , pentru exponent întreg negativ pe $R^{*}$ , iar pentru exponent real neîntreg doar pe $(0, + \infty)$ . Radicalul $x$ este continuu pe $[0, + \infty)$ , dar derivabil numai pe $(0, + \infty)$ — precizare de făcut de fiecare dată când apare într-un studiu de variație. Cusătura radicalilor: tabelul dă $(n x)^{'}$ pe $(0, + \infty)$ și nu se extinde; pentru $3 x$ pe valori negative derivabilitatea se tratează din definiție, iar în $0$ se arată tangenta verticală.

Exemplu: $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$ ; $(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ pe $R^{*}$ ; $(x^{2})^{'} = 2 x^{2 - 1}$ pe $(0, + \infty)$ . • $(3 x)^{'} = \frac{1}{3 3 x ^{2}}$ pe $(0, + \infty)$ .

Derivatele funcțiilor logaritmice, exponențiale și trigonometrice — clasa 11

f (x) ln x lo g_{a} x, a > 0, a \neq = 1 e^{x} a^{x}, a > 0, a \neq = 1 sin x cos x tg x ctg x f derivabil \overset{a}{˘} pe (0, + \infty) (0, + \infty) R R R R R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z} R ∖ {k π ∣ k \in Z} f^{'} (x) \frac{1}{x} \frac{1}{x ln a} e^{x} a^{x} ln a cos x - sin x \frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x}

$a$ este baza logaritmului, respectiv a exponențialei, cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ ; $k$ parcurge numerele întregi. Cazurile particulare $a = e$ readuc rândurile la $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ și $(e^{x})^{'} = e^{x}$ — funcția exponențială naturală este singura care coincide cu propria derivată. La $tg$ și $ctg$ , domeniul de derivabilitate este chiar domeniul de definiție: punctele scoase sunt cele în care numitorul se anulează. Se scrie \operatorname{tg} și \operatorname{ctg}, notația românească. Derivatele funcțiilor trigonometrice inverse nu fac parte din acest tabel și nu se cer la Bacalaureat M1.

Exemplu: $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ ; $(lo g_{3} x)^{'} = \frac{1}{x ln 3}$ . • Panta tangentei la $y = sin x$ în $x_{0} = 0$ este $cos 0 = 1$ , deci tangenta este chiar dreapta $y = x$ .

Regulile de derivare — clasa 11

(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}, (α f)^{'} = α f^{'}, (f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}, (\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} (g \neq = 0)

$f$ și $g$ sunt funcții derivabile pe același interval, iar $α$ este o constantă reală. Capcanele, în ordinea frecvenței: derivata produsului nu este produsul derivatelor — se derivează pe rând, câte un factor; la cât, numărătorul are minus și ordinea contează ( $f^{'} g$ înainte de $f g^{'}$ ); numitorul este $g^{2}$ , nu $g$ . Un caz special util: $(\frac{1}{g})^{'} = - \frac{g ^{'}}{g ^{2}}$ . Pentru trei factori regula se aplică de două ori: $(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$ . Înainte de a deriva o expresie complicată merită întotdeauna o simplificare algebrică — o împărțire desfăcută în sumă scutește de regula câtului.

Exemplu: $(x^{2} sin x)^{'} = 2 x sin x + x^{2} cos x$ . • $(\frac{x}{x ^{2} + 1})^{'} = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

Derivarea funcțiilor compuse — clasa 11

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) (u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}, (a^{u})^{'} = a^{u} u^{'} ln a (sin u)^{'} = u^{'} cos u, (cos u)^{'} = - u^{'} sin u, (tg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}, (ctg u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}

$u = u (x)$ este o funcție derivabilă, iar $f \circ g$ este compunerea „întâi $g$ , apoi $f$ ”. Regula spune: se derivează funcția din afară, păstrând nemodificat ce este înăuntru, apoi se înmulțește cu derivata funcției dinăuntru. Factorul $u^{'}$ este cel uitat cel mai des — el este singura diferență față de tabelul funcțiilor uzuale. Pentru compuneri pe mai multe niveluri regula se aplică repetat, de la exterior spre interior. Notația este $(f \circ g)^{'}$ ; notația lui Leibniz, cu diferențiale, nu se folosește la clasa a XI-a în acest curs.

Exemplu: $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ ; $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ; $(x^{2} + 4)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ . • $(e^{s i n x})^{'} = e^{s i n x} cos x$ .

Derivata de ordinul al doilea — clasa 11

f^{''} (x_{0}) = (f^{'})^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( x _{0} )}{x - x _{0}}

$f^{''}$ este derivata funcției $f^{'}$ , deci se calculează derivând a doua oară; condiția prealabilă este ca $f^{'}$ să existe pe o vecinătate a lui $x_{0}$ . Programa clasei a XI-a se oprește la ordinul doi, iar notația folosită este $f^{''}$ , nu $f^{(2)}$ . Semnificația principală: semnul lui $f^{''}$ dă convexitatea — $f^{''} \geq 0$ pe un interval înseamnă funcție convexă („ține apa”), $f^{''} \leq 0$ înseamnă concavă („varsă apa”). În mișcarea rectilinie, dacă $x (t)$ este poziția, atunci $v (t) = x^{'} (t)$ este viteza și $a (t) = v^{'} (t) = x^{''} (t)$ este accelerația. Capcană: $f^{''} (x_{0}) = 0$ singur nu înseamnă punct de inflexiune — trebuie și schimbarea semnului lui $f^{''}$ .

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ și $f^{''} (x) = 6 x$ , care își schimbă semnul în $0$ — deci $0$ este punct de inflexiune. • Pentru $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ : $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ și $a (t) = 6 t - 12$ .

Teorema lui Fermat — clasa 11

x_{0} punct de extrem local din INTERIORUL intervalului I, f derivabil \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟹ f^{'} (x_{0}) = 0

$f : I \to R$ , cu $I$ interval, iar $x_{0}$ un punct de maxim sau de minim local, situat în interiorul lui $I$ . Punctele în care $f^{'} (x_{0}) = 0$ se numesc puncte critice (sau staționare). Cele două capcane, ambele punctate la Bacalaureat M1: (i) reciproca este falsă — $f (x) = x^{3}$ are $f^{'} (0) = 0$ , dar $0$ nu este punct de extrem; (ii) ipoteza „din interior” este esențială — pe $[0, 1]$ , funcția $f (x) = x$ are extreme în capete, unde derivata nu se anulează. Folosirea practică: teorema restrânge căutarea extremelor la punctele critice și la punctele în care $f$ nu e derivabilă; natura lor se decide apoi din semnul lui $f^{'}$ .

Exemplu: $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ are minim în $x = 3$ , iar $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0$ ✓. • Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ , ecuația $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ dă punctele critice $- 1$ și $1$ , ambele puncte de extrem (maxim, respectiv minim).

Teoremele lui Rolle și Lagrange — clasa 11

Rolle: f continu \overset{a}{˘} pe [a, b], derivabil \overset{a}{˘} pe (a, b), f (a) = f (b) ⟹ \exists c \in (a, b) : f^{'} (c) = 0 Lagrange: f continu \overset{a}{˘} pe [a, b], derivabil \overset{a}{˘} pe (a, b) ⟹ \exists c \in (a, b) : f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)

Ipotezele se scriu complete și în această ordine — la Bacalaureat M1 se depunctează fiecare ipoteză lipsă. Continuitatea se cere pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis. Interpretare geometrică: la Rolle există un punct interior în care tangenta este orizontală; la Lagrange există un punct interior în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Rolle este cazul particular $f (a) = f (b)$ al lui Lagrange. Consecințele teoremei lui Lagrange, folosite peste tot: Consecința 1 — dacă $f^{'} = 0$ pe un interval, $f$ este constantă acolo; Consecința 2 — dacă $f^{'} > 0$ pe interval, $f$ este strict crescătoare, iar dacă $f^{'} < 0$ , strict descrescătoare.

Exemplu: $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ pe $[1, 3]$ : continuă, derivabilă, $f (1) = f (3) = 0$ ; din $f^{'} (c) = 2 c - 4 = 0$ rezultă $c = 2 \in (1, 3)$ ✓ (Rolle). • $f (x) = x^{2}$ pe $[1, 3]$ : $\frac{f ( 3 ) - f ( 1 )}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4 = 2 c$ , deci $c = 2$ ✓ (Lagrange).

Regulile lui L'Hôpital — clasa 11

x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} de forma \frac{0}{0} sau \frac{\infty}{\infty}, \exists x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = ℓ \in \overline{R} ⟹ x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = ℓ

$x_{0}$ este punct de acumulare al intervalului $I$ , iar $f$ și $g$ sunt derivabile pe $I ∖ {x_{0}}$ , cu $g^{'} (x) \neq = 0$ pe $I ∖ {x_{0}}$ . Cele trei capcane, toate punctate: (i) se verifică ÎNTÂI că este caz de nedeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ — aplicată în afara lor, regula dă rezultate false; (ii) se derivează numărătorul și numitorul separat, nu se aplică regula câtului; (iii) reciproca nu este valabilă — dacă $lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ nu există, nu rezultă nimic despre limita inițială. Regula se poate aplica de mai multe ori la rând, verificând de fiecare dată nedeterminarea. Celelalte nedeterminări se reduc la aceste două: $0 \cdot \infty$ prin scriere ca raport, $\infty - \infty$ prin aducere la același numitor sau amplificare cu conjugata, iar $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ prin logaritmare, folosind $f^{g} = e^{g l n f}$ .

Exemplu: $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}} (\frac{0}{0}) = x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{2 x} (\frac{0}{0}) = x \to 0 lim \frac{e ^{x}}{2} = \frac{1}{2}$ . • $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} (\frac{\infty}{\infty}) = x \to + \infty lim \frac{1/ x}{1} = 0$ .