Formule: Determinanți și matrice inversabile

Numărul care decide totul despre o matrice pătratică: Sarrus, dezvoltarea după o linie, cele opt proprietăți, inversa și ecuațiile matriceale. 12 formule, clasa 11.

Determinantul de ordinul al doilea — clasa 11

det A = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

$A \in M_{2} (C)$ ; determinantul se definește numai pentru matrice pătratice și este un număr, nu o matrice. Regula: produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară. Notația implicită, în text și în teoreme, este $det A$ ; tabloul cu bare verticale $∣ ∣$ se folosește doar când se afișează efectiv numerele. Scrierea determinantului cu bare de modul este interzisă în acest curs — se confundă cu modulul. Semnificația geometrică: $∣ det A ∣$ este aria paralelogramului construit pe cele două linii ale matricei, privite ca perechi de coordonate.

Exemplu: $43 - 1 2 = 4 \cdot 2 - (- 1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11$ . • $2163 = 6 - 6 = 0$ — liniile sunt proporționale.

Regula lui Sarrus (determinantul de ordinul al treilea) — clasa 11

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

$A \in M_{3} (C)$ . Practic: se copiază primele două linii sub determinant, se adună cele trei produse de pe diagonalele descendente și se scad cele trei produse de pe diagonalele ascendente. Regula triunghiului dă aceleași șase produse, într-o altă așezare. Atenție — greșeala clasică de la Bacalaureat M1: regula lui Sarrus se aplică EXCLUSIV la ordinul $3$ . La ordinul $4$ ea dă un rezultat fals; acolo se dezvoltă după o linie sau o coloană, după ce se creează zerouri cu transformări elementare. Verificare rapidă: dacă două linii sunt egale sau proporționale, rezultatul trebuie să fie $0$ .

Exemplu: Pentru $A = 210 - 1 35 04 - 2$ : $det A = 2 \cdot 3 \cdot (- 2) + (- 1) \cdot 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 5 - (0 \cdot 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + (- 1) \cdot 1 \cdot (- 2)) = - 12 - 42 = - 54$ .

Minorul, complementul algebric și dezvoltarea determinantului — clasa 11

δ_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}, det A = j = 1 \sum n a_{ij} δ_{ij} (dup \overset{a}{˘} linia i), det A = i = 1 \sum n a_{ij} δ_{ij} (dup \overset{a}{˘} coloana j)

$Δ_{ij}$ este minorul elementului $a_{ij}$ : determinantul de ordin $n - 1$ obținut din $A$ ștergând linia $i$ și coloana $j$ . $δ_{ij}$ este complementul algebric (cofactorul) al lui $a_{ij}$ — minorul cu semnul dat de tabla în șah: $+$ când $i + j$ este par, $-$ când este impar. Dezvoltarea (teorema lui Laplace, forma de clasă) reduce un determinant de ordin $n$ la $n$ determinanți de ordin $n - 1$ și este singura metodă generală de la ordinul $4$ în sus. Strategia: se alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, iar dacă nu există, se creează cu $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , operație care nu schimbă determinantul.

Exemplu: Dezvoltând $210 - 1 35 04 - 2$ după prima coloană: $det A = 2 \cdot 35 4 - 2 - 1 \cdot - 1 5 0 - 2 + 0 = 2 \cdot (- 26) - 1 \cdot 2 = - 54$ ✓ — aceeași valoare ca prin Sarrus.

Proprietățile determinanților (1–4) — clasa 11

P1: det (^{t} A) = det A P2: o linie (sau coloan \overset{a}{˘}) nul \overset{a}{˘} \Rightarrow det A = 0 P3: o linie \overset{ı}{ˆ} nmul ț it \overset{a}{˘} cu α \Rightarrow det A se \overset{ı}{ˆ} nmul ț e ș te cu α P4: det (B_{1}, \dots, B_{i}^{'} + B_{i}^{''}, \dots, B_{n}) = det (B_{1}, \dots, B_{i}^{'}, \dots, B_{n}) + det (B_{1}, \dots, B_{i}^{''}, \dots, B_{n})

$A \in M_{n} (C)$ , iar $B_{1}, \dots, B_{n}$ sunt liniile matricei. P1 este proprietatea-cheie: tot ce se spune despre linii rămâne valabil pentru coloane. P3, citită invers, este scoaterea factorului comun dintr-o linie — factorul se scoate dintr-o singură linie o singură dată. P4 este liniaritatea pe o linie: se descompune o singură linie, celelalte rămânând identice. Capcana numărul unu: $det (A + B) \neq = det A + det B$ , pentru că la $A + B$ se schimbă toate liniile deodată. A doua capcană: $det (α A) = α^{n} det A$ , nu $α det A$ .

Exemplu: $4165 = 22135 = 2 \cdot 7 = 14$ — factorul $2$ scos din prima linie (P3). • $1020 = 0$ prin P2. • $1001 + 1001 = 2$ , dar $det (I_{2} + I_{2}) = det (2 I_{2}) = 4$ .

Proprietățile determinanților (5–8) — clasa 11

P5: L_{i} \leftrightarrow L_{j} \Rightarrow det A \overset{ı}{ˆ} ș i schimb \overset{a}{˘} semnul P6: dou \overset{a}{˘} linii identice \Rightarrow det A = 0 P7: dou \overset{a}{˘} linii propor ț ionale \Rightarrow det A = 0 P8: L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j} (i \neq = j) \Rightarrow det A r \overset{a}{˘} m \overset{a}{ˆ} ne neschimbat

Notațiile operațiilor elementare: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ — schimbarea a două linii; $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ , $α \neq = 0$ — înmulțirea unei linii cu un scalar nenul; $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ — adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar. Condiția $i \neq = j$ din P8 este obligatorie: pentru $i = j$ și $α = - 1$ linia s-ar anula. Analoagele pe coloane se notează $C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ , $C_{i} \leftarrow α C_{i}$ , $C_{i} \leftarrow C_{i} + α C_{j}$ și au aceleași efecte, prin P1. P8 este unealta de lucru a întregului capitol: cu ea se fac zerouri într-o linie sau coloană, fără să se schimbe valoarea, iar apoi se dezvoltă. Consecință: dacă o linie este combinație a celorlalte, determinantul este $0$ .

Exemplu: $120241365 = 0$ , pentru că $L_{2} = 2 L_{1}$ (P7). • $1327 = L_{2} \leftarrow L_{2} - 3 L_{1} 1021 = 1$ — aceeași valoare, calcul mai simplu (P8).

Determinantul unei matrice înmulțite cu un scalar — clasa 11

det (α A) = α^{n} det A, A \in M_{n} (C), α \in C

$n$ este ordinul matricei, nu un exponent oarecare. Explicația: înmulțind toată matricea cu $α$ se înmulțește cu $α$ fiecare dintre cele $n$ linii, iar factorul comun se scoate de $n$ ori (Proprietatea 3 din lecția proprietăților). În particular $det (- A) = (- 1)^{n} det A$ — deci $det (- A) = det A$ la ordin par și $det (- A) = - det A$ la ordin impar. Capcană: la ordinul $3$ , înmulțirea matricei cu $2$ înmulțește determinantul cu $8$ , nu cu $2$ .

Exemplu: Dacă $A \in M_{3} (R)$ are $det A = 5$ , atunci $det (2 A) = 2^{3} \cdot 5 = 40$ și $det (- A) = - 5$ . • Pentru $A \in M_{4}$ cu $det A = 3$ : $det (- A) = (- 1)^{4} \cdot 3 = 3$ .

Determinantul produsului a două matrice — clasa 11

det (A \cdot B) = det A \cdot det B, det (A^{k}) = (det A)^{k}

$A, B \in M_{n} (C)$ — de același ordin. Aceasta este cea mai folosită proprietate a capitolului: transformă o întrebare despre un produs de matrice într-una despre două numere. Consecințe imediate: $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ pentru orice $k \in N$ ; dacă $A$ este inversabilă, $det (A^{- 1}) = \frac{1}{det A}$ ; iar $det (A B) = det (B A)$ , chiar dacă $A B \neq = B A$ . Capcană: nu există nicio formulă analogă pentru sumă — $det (A + B)$ nu se poate calcula din $det A$ și $det B$ .

Exemplu: Pentru $A = (23 - 1 4)$ ( $det A = 11$ ) și $B = (1025)$ ( $det B = 5$ ): $A \cdot B = (23 - 1 26)$ , cu $det (A B) = 52 + 3 = 55 = 11 \cdot 5$ ✓. • Dacă $det A = 2$ și $A \in M_{3}$ , atunci $det (A^{3}) = 8$ .

Matrice inversabilă și matricea adjunctă — clasa 11

A inversabil \overset{a}{˘} ⟺ det A \neq = 0, A \cdot A^{*} = A^{*} \cdot A = (det A) I_{n}, A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}

$A \in M_{n} (C)$ se numește inversabilă (sau nesingulară) dacă există $A^{- 1}$ cu $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I_{n}$ ; criteriul este $det A \neq = 0$ . $A^{*}$ este matricea adjunctă: transpusa matricei complemenților algebrici, adică elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui $A^{*}$ este $δ_{j i}$ — indicii se schimbă între ei, aici se greșește cel mai des. Rețeta în patru pași: se calculează $det A$ și se verifică $det A \neq = 0$ ; se scrie $^{t} A$ ; se înlocuiește fiecare element cu complementul lui algebric, obținând $A^{*}$ ; se împarte la $det A$ . Verificarea obligatorie: $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ .

Exemplu: Pentru $A = 105216340$ avem $det A = 1$ și $A^{*} = - 24 20 - 5 18 - 15 4 5 - 4 1$ , deci $A^{- 1} = A^{*}$ , iar $A \cdot A^{- 1} = I_{3}$ ✓.

Inversa unei matrice de ordinul al doilea — clasa 11

A = (a c b d), a d - b c \neq = 0 ⟹ A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt elementele matricei, iar $a d - b c = det A$ . Regula de memorat: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală, se schimbă semnul celor de pe diagonala secundară și se împarte totul la determinant. Este cazul particular al formulei cu adjuncta, dar merită învățat separat: apare în aproape orice subiect de Bacalaureat M1 cu ecuații matriceale. Capcană: dacă $a d - b c = 0$ , matricea nu are inversă — nu se scrie nimic „prin analogie”. Verificare de $10$ secunde: $A \cdot A^{- 1}$ trebuie să dea $I_{2}$ .

Exemplu: Pentru $A = (4273)$ : $det A = 12 - 14 = - 2$ , deci $A^{- 1} = - \frac{1}{2} (3 - 2 - 7 4) = (- \frac{3}{2} 1 \frac{7}{2} - 2)$ . • $(2312)^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)$ , pentru că determinantul este $1$ .

Inversa prin metoda Gauss-Jordan — clasa 11

a_{11} ⋮ a_{n 1} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{nn} 1 ⋮ 0 \dots ⋱ \dots 0 ⋮ 1 opera ț ii elementare pe linii 1 ⋮ 0 \dots ⋱ \dots 0 ⋮ 1 b_{11} ⋮ b_{n 1} \dots \dots b_{1 n} ⋮ b_{nn}

Se scrie un singur tablou cu $n$ linii și $2 n$ coloane: în primele $n$ coloane matricea $A$ , în ultimele $n$ matricea unitate $I_{n}$ . Se aplică numai operații elementare pe linii ( $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ cu $α \neq = 0$ , $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ ), aceleași pe tot rândul, până când în primele $n$ coloane apare $I_{n}$ ; atunci ultimele $n$ coloane conțin exact $A^{- 1}$ , adică $b_{ij}$ sunt elementele inversei. Dacă pe parcurs apare o linie nulă în partea stângă, matricea nu este inversabilă și calculul se oprește. Metoda este de preferat de la ordinul $3$ în sus: nu cere niciun determinant. Notă: bara despărțitoare nu se desenează — despărțirea se spune în cuvinte.

Exemplu: Pentru $A = (2111)$ : $(21111001) L_{1} \leftrightarrow L_{2} (12110110) L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} (10 1 - 1 01 1 - 2) L_{2} \leftarrow (- 1) L_{2} (1011 0 - 1 12) L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2} (1001 1 - 1 - 1 2)$ , deci $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ ✓.

Ecuații matriceale — clasa 11

A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B, X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}, A X B = C \Rightarrow X = A^{- 1} C B^{- 1}

$A$ , $B$ , $C$ sunt matrice date, $X$ este necunoscuta. Pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă, contează de care parte se înmulțește: la $A X = B$ se înmulțește cu $A^{- 1}$ la stânga, la $X A = B$ la dreapta. Condiția de aplicare: matricele cu care se înmulțește trebuie să fie inversabile — se verifică întâi $det A \neq = 0$ (respectiv $det B \neq = 0$ ). Tipurile trebuie să se potrivească: dacă $A \in M_{n}$ și $B \in M_{n, p}$ , atunci $X \in M_{n, p}$ . Când $det A = 0$ , ecuația nu se rezolvă așa: se scrie $X$ cu elemente necunoscute și se ajunge la un sistem liniar, care poate fi incompatibil sau nedeterminat. Verificarea finală, prin înlocuire, este obligatorie.

Exemplu: Fie $A = (2312)$ și $B = (1243)$ . Cum $det A = 1 \neq = 0$ , $A^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)$ , deci ecuația $A X = B$ dă $X = A^{- 1} B = (01 5 - 6)$ . Probă: $A \cdot (01 5 - 6) = (1243) = B$ ✓.

Relația Hamilton-Cayley — clasa 11

A^{2} - tr (A) A + (det A) I_{2} = O_{2}, tr (A) = a_{11} + a_{22}

$A \in M_{2} (C)$ , iar $tr (A)$ este urma matricei — suma elementelor de pe diagonala principală. Relația se verifică prin calcul direct și este a cincea metodă de ridicare la putere: scrisă ca $A^{2} = tr (A) A - (det A) I_{2}$ , ea coboară orice putere a lui $A$ la o expresie de forma $x_{n} A + y_{n} I_{2}$ , cu $x_{n}$ și $y_{n}$ date de un șir recurent. A doua folosință: dacă $det A \neq = 0$ , din ea se obține $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (tr (A) I_{2} - A)$ , fără adjunctă. Capcană: relația se scrie pentru ordinul $2$ ; la ordin mai mare forma este alta și nu se cere la Bacalaureat M1.

Exemplu: Pentru $A = (32 - 1 0)$ : $tr (A) = 3$ , $det A = 2$ , deci $A^{2} = 3 A - 2 I_{2} = (76 - 3 - 2)$ ✓ (calculul direct dă același rezultat). • De aici $A^{- 1} = \frac{1}{2} (3 I_{2} - A) = \frac{1}{2} (0 - 2 13)$ .