Formule: Grupuri

Definiția grupului în patru pași, ordinul unui element, criteriul de subgrup, teorema lui Lagrange, morfisme și izomorfisme. 14 formule, clasa 12.

Definiția grupului — clasa 12

$(G,\cdot )$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru $e$ și orice element are simetric. Ordinea de verificare la examen — cei patru pași: (0) legea e bine definită pe $G$ (stabilitate), (1) asociativitate, (2) $e\in G$, (3) $x^{-1}\in G$ pentru orice $x$. Pasul 0 se sare cel mai des și costă cel mai mult. „Grup comutativ” (abelian) înseamnă că, în plus, $xy=yx$. La grupurile aditive se scriu $0$ și $-x$ în locul lui $e$ și $x^{-1}$.

Exemplu: $(\mathbb{Z},+)$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{Z}}_n,+)$ sunt grupuri comutative; $(S_3,\circ )$ și $G{L}_2(\mathbb{R})$ sunt grupuri necomutative. • $(\mathbb{N},+)$ nu e grup: lipsesc simetricele.

Reguli de calcul și puterile unui element — clasa 12

Într-un grup se simplifică liber: din $xa=xb$ rezultă $a=b$ (se înmulțește cu $x^{-1}$), iar ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au soluție unică, $x=a^{-1}b$, respectiv $x=b{a}^{-1}$ — atenție, cele două pot fi diferite într-un grup necomutativ. ⚠️ Ordinea se inversează la $(xy{)}^{-1}$; egalitatea $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ e adevărată doar în grupurile comutative. Convențiile de exponent: $x^0=e$ și $x^{-n}=(x^{-1}{)}^n$. În notație aditivă, puterile devin multipli: $mx+nx=(m+n)x$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, „puterea a treia” a lui $\hat{5}$ este $\hat{5}+\hat{5}+\hat{5}=\widehat{15}=\hat{3}$. • În $G{L}_2(\mathbb{R})$: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

Ordinul grupului și ordinul unui element — clasa 12

Ordinul grupului este numărul elementelor lui, scris $\mathrm{card}G$ — nu $|G|$ și nu $\mathrm{ord}G$, ca să nu se confunde cu ordinul unui element. Ordinul elementului $x$ este cel mai mic exponent natural nenul pentru care $x^k=e$; dacă un astfel de exponent nu există, se scrie $\mathrm{ord}(x)=\infty$. Întotdeauna $\mathrm{ord}(e)=1$, și numai pentru $e$. Într-un grup finit orice element are ordin finit, iar $x^k=e$ are loc exact pentru multiplii lui $\mathrm{ord}(x)$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_6,+)$: $\mathrm{ord}(\hat{2})=3$, fiindcă $\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{2}\ne \hat{0}$ și $\hat{4}\ne \hat{0}$.

Ordinul unei clase de resturi — clasa 12

Formula scutește de încercarea tuturor multiplilor: se calculează c.m.m.d.c. dintre reprezentant și modul și se împarte. Convenția pentru clasa nulă este $(0,n)=n$, deci $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$. Rezultatul e mereu un divizor al lui $n$, ceea ce confirmă Consecința 1 a teoremei lui Lagrange și spune în plus care divizor. Generatorii lui $({\mathbb{Z}}_n,+)$ sunt exact clasele $\hat{a}$ cu $(a,n)=1$, adică cele de ordin $n$.

Exemplu: $\mathrm{ord}\left(\widehat{12}\right)$ în $({\mathbb{Z}}_{18},+)$: $(12,18)=6$, deci ordinul este $\frac{18}{6}=3$ ✓, fiindcă $\widehat{12}+\widehat{12}+\widehat{12}=\widehat{36}=\hat{0}$.

Criteriul de subgrup — clasa 12

$H\subseteq G$; cele trei condiții sunt suficiente ca $H$, cu legea indusă, să fie el însuși grup — asociativitatea se moștenește, iar $e\in H$ rezultă din primele două condiții. Se scrie „$H$ este subgrup al lui $G$”, nu $H\le G$. Forma comprimată „$x,y\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H$” e o observație utilă, nu definiția. ⚠️ Prima condiție se verifică arătând un element concret din $H$ (de obicei $e$), nu spunând „evident”.

Exemplu: $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_9,+)$: suma oricăror două elemente rămâne în $H$, iar $-\hat{3}=\hat{6}\in H$.

Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi — clasa 12

Este unul dintre puținele rezultate de clasificare completă din programă: subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ sunt exact multiplii unui număr natural. Demonstrația folosește teorema împărțirii cu rest — se ia $n$ cel mai mic element strict pozitiv al lui $H$ și se arată că orice alt element e multiplu de $n$. Cazurile extreme: $n=0$ dă subgrupul nul $\{0\}$, iar $n=1$ dă $\mathbb{Z}$ însuși. Analogul pentru subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$: ele sunt exact grupurile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității.

Exemplu: $2\mathbb{Z}$ = numerele pare este subgrup; mulțimea numerelor impare nu este, fiindcă $3+5=8$ nu e impar (și îi lipsește și $0$).

Subgrupul generat de un element. Grupuri ciclice — clasa 12

$⟨x⟩$ este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$; egalitatea cu ordinul are loc când ordinul e finit, și atunci $⟨x⟩=\{e,x,x^2,\dots ,x^{\mathrm{ord}(x)-1}\}$. Un grup se numește ciclic dacă există $x$ cu $G=⟨x⟩$; un asemenea $x$ se numește generator. Orice grup ciclic este comutativ (reciproca e falsă: grupul lui Klein e comutativ, dar nu ciclic). În notație aditivă, $⟨x⟩=\{kx\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$: $⟨\hat{4}⟩=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$, cu $\mathrm{ord}(\hat{4})=\frac{12}{4}=3$ ✓, iar $⟨\hat{5}⟩={\mathbb{Z}}_{12}$, fiindcă $(5,12)=1$.

Teorema lui Lagrange și cele trei consecințe — clasa 12

$G$ este grup finit, iar $H$ un subgrup al lui. Consecința 1: ordinul oricărui element divide ordinul grupului. Consecința 2: ridicat la puterea $\mathrm{card}G$, orice element dă $e$ — instrumentul de calcul al puterilor mari. Consecința 3: un grup cu un număr prim de elemente e ciclic (și deci comutativ). ⚠️ Reciproca teoremei este falsă: faptul că un număr divide $\mathrm{card}G$ nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente.

Exemplu: Un grup cu $15$ elemente nu poate avea un subgrup cu $6$ elemente, fiindcă $6\nmid 15$. • Un grup cu $7$ elemente e obligatoriu ciclic.

Mica teoremă a lui Fermat pentru clase de resturi — clasa 12

Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange aplicată grupului $U({\mathbb{Z}}_p,\cdot )$, care are $p-1$ elemente. Rețeta pentru puteri mari: se împarte exponentul la $p-1$ și se păstrează restul, fiindcă ${\hat{a}}^{k(p-1)+r}={\left({\hat{a}}^{p-1}\right)}^k{\hat{a}}^r={\hat{a}}^r$. ⚠️ Ipoteza $p$ prim e esențială: în ${\mathbb{Z}}_{10}$, clasa $\hat{2}$ nu e inversabilă și nicio putere a ei nu dă $\hat{1}$.

Exemplu: ${\hat{7}}^{23}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$: cum ${\hat{7}}^{10}=\hat{1}$, rămâne ${\hat{7}}^3=\widehat{343}=\hat{2}$, fiindcă $343=31\cdot 11+2$.

Grupuri de matrice cu un parametru — clasa 12

Este tiparul clasic de Subiectul al II-lea: $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, cu o familie de matrice depinzând de un parametru. Rețeta în patru pași: stabilitate (se calculează produsul și se arată că are aceeași formă), asociativitate (moștenită de la înmulțirea matricelor, nu se reface), neutru ($A(0)$, care trebuie să fie chiar în $G$ — de obicei $I_2$), invers ($A(-x)$, obținut rezolvând $A(x)A(y)=A(0)$). Relația $A(x)A(y)=A(x+y)$ arată că $(G,\cdot )\simeq (\mathbb{R},+)$, prin $A(x)\mapsto x$.

Exemplu: $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$: $A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y)$, $e=A(0)=I_2$, $A(x{)}^{-1}=A(-x)$.

Cele șase permutări ale grupului S3 — clasa 12

Numirea fixată a elementelor lui $S_3$, folosită în toate tablele și exercițiile: ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$ sunt transpozițiile (fiecare este propriul simetric), iar ${\sigma }_4$ și ${\sigma }_5$ sunt cele două cicluri de lungime $3$, cu ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$. Compunerea se citește „întâi $\tau$, apoi $\sigma$” în $\sigma \circ \tau$. În general $\mathrm{card}{S}_n=n!$, deci $S_3$ are $6$ elemente; $S_n$ este necomutativ pentru orice $n\ge 3$, iar $S_3$ este cel mai mic grup necomutativ. Ordinul unei permutări se calculează direct, prin puteri succesive.

Exemplu: ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3={\sigma }_2$, dar ${\sigma }_3\circ {\sigma }_4={\sigma }_1$ — de aici necomutativitatea. • $\mathrm{ord}({\sigma }_4)=3$, fiindcă ${\sigma }_4^2={\sigma }_5$ și ${\sigma }_4^3=e$.

Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității — clasa 12

$k=0,1,\dots ,n-1$; notațiile sunt cele din clasa a X-a. $(U_n,\cdot )$ este grup ciclic cu $n$ elemente, generat de ${\epsilon }_1$, iar izomorfismul cu $({\mathbb{Z}}_n,+)$ se realizează prin ${\epsilon }_k\mapsto \hat{k}$ — înmulțirea rădăcinilor corespunde adunării exponenților modulo $n$. Geometric, elementele lui $U_n$ sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, iar grupul lor este izomorf și cu grupul rotațiilor acelui poligon.

Exemplu: $U_4=\{1,i,-1,-i\}$, generat de ${\epsilon }_1=i$: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. • $U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$.

Grupul lui Klein — clasa 12

Grupul lui Klein este grupul cu patru elemente în care fiecare element este propriul simetric; e comutativ, dar nu ciclic, fiindcă niciun element nu are ordinul $4$. Este exemplul standard care arată că două grupuri cu același număr de elemente pot să nu fie izomorfe: în $({\mathbb{Z}}_4,+)$ există elemente de ordin $4$ (anume $\hat{1}$ și $\hat{3}$), în $K$ nu. Realizarea concretă cerută de programă este grupul de funcții de mai jos, față de compunere.

Exemplu: $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: $f_2\circ f_3=f_4$ și fiecare funcție e propria inversă.

Morfisme și izomorfisme de grupuri — clasa 12

$f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism dacă duce compusul în compus; cele două proprietăți din dreapta se demonstrează, nu se cer în definiție. Izomorfismul este un morfism bijectiv, iar $G\simeq G^{\prime }$ se citește „grupurile sunt izomorfe”. Pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe se folosesc invarianții: numărul de elemente, comutativitatea, profilul ordinelor (câte elemente de fiecare ordin) și ciclicitatea — un izomorfism păstrează ordinele. Rețeta „arată că $(G,\ast )$ e izomorf cu $(H,\cdot )$”: se propune $f$, se verifică morfismul, apoi bijectivitatea, cu inversa scrisă explicit.

Exemplu: $f:((2,+\infty ),\ast )\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=x-2$, pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$: $f(x\ast y)=(x-2)(y-2)=f(x)f(y)$ ✓.