Formule: Inele, corpuri și polinoame

Inelul și corpul, divizorii lui zero, polinoame peste un corp și ireductibilitate. Supliment: se dă la examen până în 2029, nu e în programa nouă. 15 formule, clasa 12.

Definiția inelului — clasa 12

$(A,+,\cdot )$ se numește inel. În manualele românești, ca aici, orice inel are element unitate — de aceea $(A,\cdot )$ e cerut monoid, nu doar semigrup. Elementele remarcabile se notează $0$ (zeroul, neutrul adunării) și $1$ (unitatea, neutrul înmulțirii), cu $1\ne 0$ pentru inelele nenule. Inel comutativ înseamnă că înmulțirea e comutativă; adunarea e comutativă întotdeauna, prin definiție. Distributivitatea se cere pe ambele părți, fiindcă înmulțirea poate fi necomutativă.

Exemplu: $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ și $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ sunt inele comutative; $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot )$ este inel necomutativ, cu unitatea $I_2$.

Reguli de calcul într-un inel — clasa 12

Toate se demonstrează din axiome, nu se presupun: prima din $a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$, celelalte din prima. Ele arată că regulile semnelor, știute din gimnaziu pentru numere, funcționează în orice inel. ⚠️ Ce nu se transferă: din $ab=0$ nu rezultă $a=0$ sau $b=0$ decât în inelele fără divizori ai lui zero, iar $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ cere comutativitatea — în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ formula corectă este $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_6$: $(-\hat{2})\cdot \hat{5}=\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}$, iar $-(\hat{2}\cdot \hat{5})=-\widehat{10}=-\hat{4}=\hat{2}$ ✓ — aceeași valoare.

Divizori ai lui zero. Inel integru — clasa 12

Inel integru (domeniu de integritate) = inel comutativ, nenul, fără divizori ai lui zero. Într-un asemenea inel se poate simplifica: din $ax=ay$ și $a\ne 0$ rezultă $x=y$ — proprietatea care face ca ecuațiile să se rezolve ca la numere. În ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus, divizorii lui zero sunt exact clasele $\hat{a}$ cu $(a,n)\ne 1$, adică tocmai cele neinversabile.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_6$: $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, deci $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt divizori ai lui zero. • $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=O_2$.

Grupul unităților unui inel — clasa 12

$U(A)$ strânge elementele inversabile ale inelului; ele se numesc unitățile lui $A$ (a nu se confunda cu elementul unitate $1$, care e mereu în $U(A)$). Faptul că $U(A)$ e grup se demonstrează cu criteriul de subgrup aplicat monoidului $(A,\cdot )$. ⚠️ Un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero: din $ab=0$ și $a$ inversabil rezultă $b=0$.

Exemplu: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$; $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$; $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$.

Corpul: definiție și criteriul pentru clasele de resturi — clasa 12

Un corp este un inel în care orice element nenul este inversabil; se notează $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$, iar $(K^{\ast },\cdot )$ este grup. Toate corpurile din programă sunt comutative. Orice corp este inel integru (un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero), dar reciproca e falsă: $\mathbb{Z}$ e integru fără să fie corp. Teorema de clasă „${\mathbb{Z}}_n$ e corp $⟺n$ prim” se demonstrează cu criteriul $(a,n)=1$.

Exemplu: ${\mathbb{Z}}_5$ este corp: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. • ${\mathbb{Z}}_6$ nu este: $\hat{2}$ nu e inversabilă, fiindcă $(2,6)=2$.

Morfisme de inele și de corpuri — clasa 12

Toate trei condițiile fac parte din definiție: a treia nu se deduce din primele două și e cea uitată cel mai des la examen. Din ele rezultă $f(0)=0^{\prime }$, $f(-x)=-f(x)$ și, pentru elementele inversabile, $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$. Un izomorfism de inele este un morfism bijectiv, iar atunci cele două inele au aceleași proprietăți structurale: comutativitate, divizori ai lui zero, unități. Orice morfism de corpuri este injectiv.

Exemplu: $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$, $f(a)=\hat{a}$, este morfism de inele: $f(1)=\hat{1}$ ✓, $f(a+b)=\widehat{a+b}$, $f(ab)=\widehat{ab}$.

Transportul de structură — clasa 12

Este tipul de Bacalaureat M1 „arătați că $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este corp izomorf cu $(\mathbb{R},+,\cdot )$”. Rețeta: se caută funcția $f(x)=x-a$, se verifică cele trei condiții de morfism și bijectivitatea, apoi axiomele se transferă — nu se reverifică una câte una. Elementele remarcabile se citesc direct: zeroul noii structuri este $a$ (fiindcă $f(a)=0$), iar unitatea este $a+1$ (fiindcă $f(a+1)=1$). Simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $2a-x$, iar inversul față de $\otimes$ este $a+\frac{1}{x-a}$.

Exemplu: Pentru $a=3$: $x\oplus y=x+y-3$ și $x\otimes y=xy-3x-3y+12$; zeroul e $3$, unitatea e $4$, iar $f(x)=x-3$ este izomorfismul cu $(\mathbb{R},+,\cdot )$.

Inele de matrice remarcabile — clasa 12

Rețeta în trei pași pentru mulțimile de matrice cu doi parametri: (1) scrii elementul generic sub forma $a{I}_2+bJ$; (2) calculezi $J^2$ și îl exprimi prin $I_2$; (3) dacă $J^2=d{I}_2$, mulțimea se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$, unde „$\sqrt{d}$” este $i$ atunci când $d=-1$. Criteriul pentru corp: mulțimea e corp exact când $\det (a{I}_2+bJ)=0$ numai pentru $a=b=0$. Când $J^2=O_2$ apar divizori ai lui zero și structura nu mai e corp.

Exemplu: $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ are $J^2=-I_2$, deci $\{a{I}_2+bJ\}$ se comportă ca numerele $a+bi$ și este corp, fiindcă $\det =a^2+b^2$ se anulează doar în origine.

Gradul produsului de polinoame — clasa 12

$K$ este un corp ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim), iar $f,g\ne 0$. Egalitatea gradelor la produs se sprijină pe faptul că, într-un corp, produsul coeficienților dominanți nu poate fi zero — peste ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus ea se strică. Nedeterminata se notează cu majusculă, $X$, gradul cu $\mathrm{grad}f$, iar polinomul nul nu are grad. Consecință directă: $K[X]$ este inel integru, iar $U(K[X])=K^{\ast }$ — singurele polinoame inversabile sunt constantele nenule.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_6[X]$: $(\hat{2}X+\hat{1})(\hat{3}X+\hat{1})=\hat{6}{X}^2+\hat{5}X+\hat{1}=\hat{5}X+\hat{1}$ — gradul scade, fiindcă ${\mathbb{Z}}_6$ nu e corp.

Împărțirea cu rest a polinoamelor — clasa 12

Teorema împărțirii cu rest peste un corp: câtul $c$ și restul $r$ există și sunt unice. Ipoteza „peste un corp” e necesară, ca să se poată împărți la coeficientul dominant al lui $g$. Când $\mathrm{grad}f<\mathrm{grad}g$, împărțirea dă $c=0$ și $r=f$. Pentru împărțirea la $X-a$ se folosește schema lui Horner, mai rapidă decât algoritmul complet.

Exemplu: $X^3-2X+5$ împărțit la $X^2+1$: câtul este $X$ și restul $-3X+5$, fiindcă $(X^2+1)X+(-3X+5)=X^3-2X+5$ ✓.

Teorema restului și teorema lui Bézout — clasa 12

Prima spune că restul împărțirii unui polinom la $X-a$ se obține înlocuind $X$ cu $a$ — deci fără să efectuezi împărțirea. A doua, teorema lui Bézout, e cazul $r=0$ și transformă orice problemă de divizibilitate prin $X-a$ într-o simplă evaluare. Generalizare folosită des: dacă $a_1,\dots ,a_k$ sunt rădăcini distincte, atunci $(X-a_1)\cdots (X-a_k)$ divide $f$. Amândouă rămân valabile peste orice corp, inclusiv ${\mathbb{Z}}_p$.

Exemplu: Restul împărțirii lui $f=X^4-3X+5$ la $X-2$ este $f(2)=16-6+5=15$. • $X-1$ divide $X^5-1$, fiindcă $1^5-1=0$.

Numărul de rădăcini și funcția polinomială — clasa 12

Rezultatul se demonstrează prin inducție, folosind teorema lui Bézout, și e valabil peste orice corp — rădăcinile se numără în $K$, nu într-o extindere a lui. ⚠️ Deosebirea esențială față de clasa a X-a: peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială. Numărul rădăcinilor rămâne mărginit de grad, dar identitatea polinoamelor nu se mai poate verifica prin valori.

Exemplu: $X^3-X$ are funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_3$: ${\hat{0}}^3=\hat{0}$, ${\hat{1}}^3=\hat{1}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$ — deci toate trei clasele sunt rădăcini, deși polinomul nu e nul.

C.m.m.d.c. și algoritmul lui Euclid — clasa 12

Se notează $\mathrm{cmmdc}(f,g)$ — nu $(f,g)$, care s-ar confunda cu perechea — și se ia monic (coeficientul dominant $1$), ca să fie unic. Algoritmul lui Euclid împarte succesiv, fiecare rest devenind noul împărțitor; procedeul se oprește obligatoriu, fiindcă gradele scad strict. Faptul folosit în probleme: rădăcinile comune ale lui $f$ și $g$ sunt exact rădăcinile lui $\mathrm{cmmdc}(f,g)$, iar $\mathrm{cmmdc}(f,g)=1$ înseamnă că polinoamele nu au nicio rădăcină comună.

Exemplu: $f=X^3-1$, $g=X^2-1$: din $X^3-1=(X^2-1)X+(X-1)$ și $X^2-1=(X-1)(X+1)$ rezultă $\mathrm{cmmdc}(f,g)=X-1$.

Derivata formală și rădăcinile multiple — clasa 12

Derivata polinoamelor se definește algebric, termen cu termen, fără limite — de aceea are sens și peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde noțiunea de limită nu există. Regulile $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ și $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ se păstrează. Criteriul rădăcinilor multiple este echivalență peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$; peste ${\mathbb{Z}}_p$ implicația inversă poate să cadă, fiindcă $n{X}^{n-1}$ se poate anula identic (de pildă ${\left(X^p\right)}^{\prime }=\hat{0}$).

Exemplu: $f=\hat{2}{X}^3+\hat{4}{X}^2+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ are $f^{\prime }=\hat{6}{X}^2+\hat{8}X=X^2+\hat{3}X$, fiindcă $\hat{6}=\hat{1}$ și $\hat{8}=\hat{3}$.

Polinoame ireductibile — clasa 12

$f$ cu $\mathrm{grad}f\ge 1$ e ireductibil peste $K$ dacă nu se scrie ca produs de două polinoame din $K[X]$ de grad cel puțin $1$. Peste $\mathbb{Q}$ și peste ${\mathbb{Z}}_p$ există ireductibile de orice grad. Criteriul de lucru: un polinom de gradul $2$ sau $3$ este reductibil peste $K$ exact atunci când are o rădăcină în $K$. ⚠️ La gradul $4$ criteriul NU se mai aplică: un polinom fără rădăcini se poate descompune în doi factori de gradul al doilea.

Exemplu: $X^4+1=(X^2+1{)}^2-2X^2=\left(X^2-\sqrt{2}X+1\right)\left(X^2+\sqrt{2}X+1\right)$ e reductibil peste $\mathbb{R}$, deși nu are nicio rădăcină reală.