Formule: Integrala definită

De la sume Riemann la formula Leibniz–Newton: proprietăți, teorema de medie, funcția integrală și metodele de calcul. 16 formule, clasa 12.

Diviziunea unui interval și norma ei — clasa 12

Δ = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), a = x_{0} < \dots < x_{n} = b, ∥ Δ ∥ = 1 \leq i \leq n max (x_{i} - x_{i - 1})

Norma este lungimea celui mai lung subinterval; ea măsoară „finețea” diviziunii, iar toate teoremele capitolului spun ce se întâmplă când norma tinde la $0$ . O diviziune se numește echidistantă dacă $x_{i} = a + i \cdot \frac{b - a}{n}$ , și atunci $∥ Δ ∥ = \frac{b - a}{n}$ . ⚠️ Un număr mare de puncte nu înseamnă automat normă mică: dacă un singur subinterval rămâne lung, norma rămâne mare. În unitatea aceasta, $Δ$ este diviziunea — nu discriminantul și nu determinantul.

Exemplu: Pe $[0, 1]$ , diviziunea $(0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1)$ are norma $\frac{1}{2}$ ; diviziunea echidistantă cu $n = 4$ are norma $\frac{1}{4}$ .

Suma Riemann — clasa 12

σ_{Δ} (f, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}), ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]

$ξ = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ este un sistem de puncte intermediare: din fiecare subinterval se alege un punct. Pentru $f \geq 0$ , suma Riemann este suma ariilor dreptunghiurilor de baze $x_{i} - x_{i - 1}$ și înălțimi $f (ξ_{i})$ — deci o aproximare a ariei de sub grafic. Alegeri uzuale ale punctelor: capătul stâng, capătul drept sau mijlocul fiecărui subinterval; la funcțiile monotone, primele două dau margini inferioare și superioare pentru aceeași arie.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[0, 1]$ , cu diviziunea echidistantă și $ξ_{i} = \frac{i}{n}$ : $σ_{Δ} = \frac{1}{n ^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} \to \frac{1}{3} = \int_{0}^{1} x^{2} d x$ ✓.

Lema benzii — clasa 12

∣ σ_{Δ} (f, ξ) - σ_{Δ} (f, η)∣ \leq ∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))

$f$ este monotonă (aici crescătoare) pe $[a, b]$ , iar $ξ$ și $η$ sunt două sisteme oarecare de puncte intermediare pe aceeași diviziune. Lema spune că toate sumele Riemann de pe o diviziune stau într-o „bandă” a cărei lățime este $∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))$ : se strânge la zero odată cu norma, oricât de rău ar fi aleși $ξ_{i}$ . De aici se obține, fără $ε$ și $δ$ , integrabilitatea funcțiilor monotone — banda prinde toate sumele și, la limită, un singur număr.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2}$ pe $[0, 1]$ și diviziunea echidistantă cu $n = 10$ : banda are lățimea $\frac{1}{10} \cdot (1 - 0) = 0, 1$ , iar sumele cu capete stânga și dreapta sunt $0, 285$ și $0, 385$ — diferența e exact $0, 1$ .

Funcție integrabilă și integrala definită — clasa 12

∥ Δ ∥ < δ \Rightarrow ∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ < ε, I = \int_{a}^{b} f (x) d x

$f : [a, b] \to R$ este integrabilă Riemann dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $ε > 0$ , există $δ > 0$ cu proprietatea de mai sus, oricare ar fi diviziunea și oricare ar fi punctele intermediare. Numărul $I$ este integrala definită; $a$ și $b$ se numesc limite de integrare, iar $x$ este variabila de integrare și e mută: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Convențiile: $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .

Exemplu: Funcția lui Dirichlet (care ia valoarea $1$ în raționale și $0$ în iraționale) nu e integrabilă pe $[0, 1]$ : sumele Riemann pot da $0$ sau $1$ pe aceeași diviziune, oricât de fină.

Clase de funcții integrabile — clasa 12

f continu \overset{a}{˘} sau monoton \overset{a}{˘} pe [a, b] \Rightarrow f integrabil \overset{a}{˘} \Rightarrow f m \overset{a}{˘} rginit \overset{a}{˘}

Primele două implicații se admit fără demonstrație și acoperă practic toate funcțiile de la examen; a doua implicație e cea folosită invers, ca argument că o funcție nu e integrabilă: dacă e nemărginită pe $[a, b]$ , nu poate fi integrabilă. Sunt integrabile și funcțiile continue pe porțiuni, cu un număr finit de discontinuități de speța I. ⚠️ Integrabilitatea și existența primitivelor sunt noțiuni diferite: o funcție cu salt e integrabilă, dar nu admite primitive; există și funcții care admit primitive fără să fie integrabile.

Exemplu: $f (x) = ⌊ x ⌋$ (partea întreagă) e monotonă, deci integrabilă pe $[0, 3]$ , cu $\int_{0}^{3} f = 0 + 1 + 2 = 3$ , deși nu admite primitive.

Formula Leibniz–Newton — clasa 12

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x)_{a}^{b}

$f$ este integrabilă pe $[a, b]$ și admite primitiva $F$ pe acest interval. Formula este puntea dintre cele două jumătăți ale capitolului: transformă o limită de sume Riemann într-o simplă scădere. Numele se scrie Leibniz–Newton, în această ordine. Notația de calcul este $F (x)_{a}^{b}$ , cu bară verticală obținută prin \vert. ⚠️ Constanta $C$ nu se mai scrie: ea s-ar simplifica oricum la scădere. Ambele ipoteze contează — la funcțiile cu salt formula nu se aplică direct, ci pe bucăți.

Exemplu: $\int_{1}^{3} (4 x - 1) d x = (2 x^{2} - x)_{1}^{3} = (18 - 3) - (2 - 1) = 14$ .

Proprietățile integralei definite — clasa 12

\int_{a}^{b} (α f + β g) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g

În ordine: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul (valabilă pentru orice $c$ , chiar și din afara lui $[a, b]$ , cu convenția de semn) și monotonia. Li se adaugă mărginirea (o funcție integrabilă e mărginită), ereditatea (integrabilă pe $[a, b]$ înseamnă integrabilă pe orice subinterval) și stabilitatea (schimbarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea). Aditivitatea este unealta pentru funcțiile pe ramuri și pentru cele cu modul: se rupe intervalul în punctele critice.

Exemplu: $\int_{0}^{2} ∣ x - 1 ∣ d x = \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

Inegalitatea modulului — clasa 12

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x, a < b

Consecință a monotoniei, aplicată încadrării $- ∣ f ∣ \leq f \leq ∣ f ∣$ . Ordinea $a < b$ e obligatorie: pe interval întors, inegalitatea își schimbă sensul. Împreună cu încadrarea $m \leq f \leq M$ , care dă $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ , este instrumentul de bază pentru estimarea unei integrale pe care nu o poți calcula și pentru studiul șirurilor definite prin integrale.

Exemplu: $\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ , dar $\int_{0}^{2 π} ∣ sin x ∣ d x = 4$ — inegalitatea poate fi strictă cu mult.

Teorema de medie și valoarea medie — clasa 12

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a); f_{med} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$f$ este continuă pe $[a, b]$ , iar $c$ este un punct din $[a, b]$ — teorema garantează existența lui, nu unicitatea, și nu spune cum se găsește (se află rezolvând ecuația $f (c) = f_{med}$ ). Interpretarea geometrică: dreptunghiul de bază $b - a$ și înălțime $f (c)$ are aceeași arie cu subgraficul. Valoarea medie este media aritmetică „continuă” a valorilor funcției; are aceeași unitate de măsură ca $f$ , nu ca integrala.

Exemplu: Pentru $f (x) = 2 x + 3$ pe $[0, 3]$ : $\int_{0}^{3} f = 9 - 3$ , deci $f_{med} = 3 - \frac{3}{3}$ , iar din $2 c + 3 = f_{med}$ rezultă $c = \frac{19}{6} - 3 \approx 1, 435 \in [0, 3]$ ✓.

Funcția integrală — clasa 12

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \Rightarrow F^{'} (x) = f (x)

$f$ este continuă pe interval; teorema spune că $F$ este derivabilă și că derivata ei este chiar $f$ — deci orice funcție continuă admite primitive, iar $F$ este primitiva care se anulează în $a$ . ⚠️ Variabila de sub integrală se notează $t$ , întotdeauna: $x$ este capătul, nu variabila de integrare. Aplicațiile fixate: monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$ , extremele lui $F$ din zerourile cu schimbare de semn ale lui $f$ , iar limitele de tipul $x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t$ se rezolvă cu L'Hôpital.

Exemplu: $F (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 2 t - 3) d t$ are $F^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$ : $F$ crește pe $(- \infty, - 1)$ , scade pe $(- 1, 3)$ și crește apoi — maxim local în $- 1$ , minim local în $3$ .

Derivarea integralei cu capete variabile — clasa 12

(\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t)^{'} = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Se obține din regula de derivare a funcțiilor compuse aplicată lui $F \circ v$ și $F \circ u$ , după ce integrala se rupe într-un punct fix cu aditivitatea. Cazul cu un singur capăt variabil este $(\int_{a}^{u (x)} f)^{'} = f (u (x)) u^{'} (x)$ . ⚠️ Se verifică de fiecare dată că valorile $u (x)$ și $v (x)$ rămân în intervalul pe care $f$ e continuă — altfel formula nu se aplică. Semnul minus de la capătul de jos se uită des.

Exemplu: $H (x) = \int_{1}^{x^{2}} ln t d t$ pentru $x > 0$ : $H^{'} (x) = ln (x^{2}) \cdot 2 x = 4 x ln x$ . • $(\int_{x}^{x^{2}} e^{t} d t)^{'} = 2 x e^{x^{2}} - e^{x}$ .

Integrarea prin părți pentru integrala definită — clasa 12

\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x

$f$ și $g$ se cer derivabile pe $[a, b]$ , cu derivatele continue. Deosebirea față de integrala nedefinită: termenul $f g$ se evaluează între limite și dă un număr concret, care se calculează imediat — de multe ori zero, ceea ce simplifică mult. Regula de alegere a factorilor rămâne „regula descreșterii”. Este și motorul relațiilor de recurență pentru șiruri de integrale.

Exemplu: $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ .

Schimbarea de variabilă cu schimbarea limitelor — clasa 12

\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t

⚠️ Deosebirea esențială față de integrala nedefinită: se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$ . Noile limite sunt valorile lui $u$ în capetele vechi, în aceeași ordine — dacă $u$ e descrescătoare, limita de jos devine mai mare decât cea de sus, și e corect așa. Se cere ca $u$ să fie derivabilă cu derivata continuă, iar $f$ continuă pe imaginea lui $u$ .

Exemplu: $\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x$ : cu $u = x^{2}$ , limitele devin $0$ și $1$ , deci integrala este $\int_{0}^{1} e^{t} d t = e - 1$ .

Regula recurenței la șirurile de integrale — clasa 12

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x + a} d x \Rightarrow I_{n} + a I_{n - 1} = \frac{1}{n}, n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{1 + a}

Recurența vine dintr-o observație de o linie: $x^{n} + a x^{n - 1} = x^{n - 1} (x + a)$ , deci suma celor două integrale se simplifică la $\int_{0}^{1} x^{n - 1} d x$ . Regula generală, de reținut: coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul numitorului — la numitor $x^{2} + a$ se adună $I_{n}$ cu $a I_{n - 2}$ . Pentru limita $n I_{n}$ se folosește cleștele: monotonia transformă recurența în inegalitate, iar încadrarea $\frac{1}{( 1 + a ) ( n + 1 )} \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ o închide.

Exemplu: Pentru $a = 1$ : $I_{0} = ln 2$ , $I_{1} = 1 - ln 2$ , $I_{2} = ln 2 - \frac{1}{2}$ , iar $I_{1} + I_{0} = 1$ , $I_{2} + I_{1} = \frac{1}{2}$ ✓; limita lui $n I_{n}$ este $\frac{1}{2}$ .

Limite de șiruri cu sume Riemann — clasa 12

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x

Rețeta, în trei mișcări: se scrie termenul general sub forma $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ (factorul $\frac{1}{n}$ trebuie scos explicit), se recunoaște funcția $f$ și diviziunea echidistantă a lui $[0, 1]$ cu $ξ_{k} = \frac{k}{n}$ , apoi se invocă integrabilitatea funcției continue. ⚠️ Fără propoziția de justificare, exercițiul e incomplet la Bacalaureat M1. Când suma nu se poate aduce la această formă, limita nu e de tip Riemann.

Exemplu: $n \to \infty lim \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}} = lim \frac{1}{n} \sum \frac{1}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ .

Integrale de funcții pare, impare și periodice — clasa 12

\int_{- a}^{a} f = 0 (f impar \overset{a}{˘}), \int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f (f par \overset{a}{˘})

Ambele se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x = - t$ pe jumătatea negativă a intervalului. Condiția obligatorie este ca intervalul să fie simetric față de origine. Pentru funcțiile periodice de perioadă $T$ : $\int_{a}^{a + T} f = \int_{0}^{T} f$ , adică integrala pe o perioadă completă nu depinde de locul de unde începi. Verificarea parității se face înainte de orice calcul: economisește jumătate din muncă și prinde greșeli de semn.

Exemplu: $\int_{- 2}^{2} x^{3} d x = 0$ (funcție impară); $\int_{- 2}^{2} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{16}{3}$ (funcție pară).