Formule: Integrala definită

De la sume Riemann la formula Leibniz–Newton: proprietăți, teorema de medie, funcția integrală și metodele de calcul. 19 formule, clasa 12.

• Diviziunea unui interval și norma ei — clasa 12
• Suma Riemann — clasa 12
• Lema benzii — clasa 12
• Funcție integrabilă și integrala definită — clasa 12
• Clase de funcții integrabile — clasa 12
• Formula Leibniz–Newton — clasa 12
• Proprietățile integralei definite — clasa 12
• Inegalitatea modulului — clasa 12
• Teorema de medie și valoarea medie — clasa 12
• Funcția integrală — clasa 12
• Derivarea integralei cu capete variabile — clasa 12
• Integrarea prin părți pentru integrala definită — clasa 12
• Schimbarea de variabilă cu schimbarea limitelor — clasa 12
• Regula recurenței la șirurile de integrale — clasa 12
• Limite de șiruri cu sume Riemann — clasa 12
• Integrale de funcții pare, impare și periodice — clasa 12

Diviziunea unui interval și norma ei — clasa 12

Norma este lungimea celui mai lung subinterval; ea măsoară „finețea” diviziunii, iar toate teoremele capitolului spun ce se întâmplă când norma tinde la $0$. O diviziune se numește echidistantă dacă $x_i=a+i\cdot \frac{b-a}{n}$, și atunci $\Vert \Delta \Vert =\frac{b-a}{n}$. ⚠️ Un număr mare de puncte nu înseamnă automat normă mică: dacă un singur subinterval rămâne lung, norma rămâne mare. În unitatea aceasta, $\Delta$ este diviziunea — nu discriminantul și nu determinantul.

Exemplu: Pe $[0,1]$, diviziunea $\left(0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right)$ are norma $\frac{1}{2}$; diviziunea echidistantă cu $n=4$ are norma $\frac{1}{4}$.

Suma Riemann — clasa 12

$\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ este un sistem de puncte intermediare: din fiecare subinterval se alege un punct. Pentru $f\ge 0$, suma Riemann este suma ariilor dreptunghiurilor de baze $x_i-x_{i-1}$ și înălțimi $f({\xi }_i)$ — deci o aproximare a ariei de sub grafic. Alegeri uzuale ale punctelor: capătul stâng, capătul drept sau mijlocul fiecărui subinterval; la funcțiile monotone, primele două dau margini inferioare și superioare pentru aceeași arie.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, cu diviziunea echidistantă și ${\xi }_i=\frac{i}{n}$: ${\sigma }_{\Delta }=\frac{1}{n^3}{\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to \frac{1}{3}={\int }_0^1{x}^{2}dx$ ✓.

Lema benzii — clasa 12

$f$ este monotonă (aici crescătoare) pe $[a,b]$, iar $\xi$ și $\eta$ sunt două sisteme oarecare de puncte intermediare pe aceeași diviziune. Lema spune că toate sumele Riemann de pe o diviziune stau într-o „bandă” a cărei lățime este $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$: se strânge la zero odată cu norma, oricât de rău ar fi aleși ${\xi }_i$. De aici se obține, fără $\epsilon$ și $\delta$, integrabilitatea funcțiilor monotone — banda prinde toate sumele și, la limită, un singur număr.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$ și diviziunea echidistantă cu $n=10$: banda are lățimea $\frac{1}{10}\cdot (1-0)=0,1$, iar sumele cu capete stânga și dreapta sunt $0,285$ și $0,385$ — diferența e exact $0,1$.

Funcție integrabilă și integrala definită — clasa 12

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă Riemann dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$ cu proprietatea de mai sus, oricare ar fi diviziunea și oricare ar fi punctele intermediare. Numărul $I$ este integrala definită; $a$ și $b$ se numesc limite de integrare, iar $x$ este variabila de integrare și e mută: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Convențiile: ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.

Exemplu: Funcția lui Dirichlet (care ia valoarea $1$ în raționale și $0$ în iraționale) nu e integrabilă pe $[0,1]$: sumele Riemann pot da $0$ sau $1$ pe aceeași diviziune, oricât de fină.

Clase de funcții integrabile — clasa 12

Primele două implicații se admit fără demonstrație și acoperă practic toate funcțiile de la examen; a doua implicație e cea folosită invers, ca argument că o funcție nu e integrabilă: dacă e nemărginită pe $[a,b]$, nu poate fi integrabilă. Sunt integrabile și funcțiile continue pe porțiuni, cu un număr finit de discontinuități de speța I. ⚠️ Integrabilitatea și existența primitivelor sunt noțiuni diferite: o funcție cu salt e integrabilă, dar nu admite primitive; există și funcții care admit primitive fără să fie integrabile.

Exemplu: $f(x)=\lfloor x\rfloor$ (partea întreagă) e monotonă, deci integrabilă pe $[0,3]$, cu ${\int }_0^{3}f=0+1+2=3$, deși nu admite primitive.

Formula Leibniz–Newton — clasa 12

$f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite primitiva $F$ pe acest interval. Formula este puntea dintre cele două jumătăți ale capitolului: transformă o limită de sume Riemann într-o simplă scădere. Numele se scrie Leibniz–Newton, în această ordine. Notația de calcul este $F(x){|}_a^b$ și înseamnă $F(b)-F(a)$. ⚠️ Constanta $\mathcal{C}$ nu se mai scrie: ea s-ar simplifica oricum la scădere. Ambele ipoteze contează — la funcțiile cu salt formula nu se aplică direct, ci pe bucăți.

Exemplu: ${\int }_1^3(4x-1)dx=\left(2x^2-x\right){|}_1^3=(18-3)-(2-1)=14$.

Proprietățile integralei definite — clasa 12

În ordine: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul (valabilă pentru orice $c$, chiar și din afara lui $[a,b]$, cu convenția de semn) și monotonia. Li se adaugă mărginirea (o funcție integrabilă e mărginită), ereditatea (integrabilă pe $[a,b]$ înseamnă integrabilă pe orice subinterval) și stabilitatea (schimbarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea). Aditivitatea este unealta pentru funcțiile pe ramuri și pentru cele cu modul: se rupe intervalul în punctele critice.

Exemplu: ${\int }_0^2|x-1|dx={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Inegalitatea modulului — clasa 12

Consecință a monotoniei, aplicată încadrării $-|f|\le f\le |f|$. Ordinea $a<b$ e obligatorie: pe interval întors, inegalitatea își schimbă sensul. Împreună cu încadrarea $m\le f\le M$, care dă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$, este instrumentul de bază pentru estimarea unei integrale pe care nu o poți calcula și pentru studiul șirurilor definite prin integrale.

Exemplu: $\left|{\int }_0^{2\pi }\sin xdx\right|=0$, dar ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=4$ — inegalitatea poate fi strictă cu mult.

Teorema de medie și valoarea medie — clasa 12

$f$ este continuă pe $[a,b]$, iar $c$ este un punct din $[a,b]$ — teorema garantează existența lui, nu unicitatea, și nu spune cum se găsește (se află rezolvând ecuația $f(c)=f_{\text{med}}$). Interpretarea geometrică: dreptunghiul de bază $b-a$ și înălțime $f(c)$ are aceeași arie cu subgraficul. Valoarea medie este media aritmetică „continuă” a valorilor funcției; are aceeași unitate de măsură ca $f$, nu ca integrala.

Exemplu: Pentru $f(x)=\sqrt{2x+3}$ pe $[0,3]$: ${\int }_0^{3}f=9-\sqrt{3}$, deci $f_{\text{med}}=3-\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar din $\sqrt{2c+3}=f_{\text{med}}$ rezultă $c=\frac{19}{6}-\sqrt{3}\approx 1,435\in [0,3]$ ✓.

Funcția integrală — clasa 12

$f$ este continuă pe interval; teorema spune că $F$ este derivabilă și că derivata ei este chiar $f$ — deci orice funcție continuă admite primitive, iar $F$ este primitiva care se anulează în $a$. ⚠️ Variabila de sub integrală se notează $t$, întotdeauna: $x$ este capătul, nu variabila de integrare. Aplicațiile fixate: monotonia lui $F$ se citește din semnul lui $f$, extremele lui $F$ din zerourile cu schimbare de semn ale lui $f$, iar limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$ se rezolvă cu L'Hôpital.

Exemplu: $F(x)={\int }_0^x\left(t^2-2t-3\right)dt$ are $F^{\prime }(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$: $F$ crește pe $(-\infty ,-1)$, scade pe $(-1,3)$ și crește apoi — maxim local în $-1$, minim local în $3$.

Derivarea integralei cu capete variabile — clasa 12

Se obține din regula de derivare a funcțiilor compuse aplicată lui $F\circ v$ și $F\circ u$, după ce integrala se rupe într-un punct fix cu aditivitatea. Cazul cu un singur capăt variabil este $({\int }_a^{u(x)}f{)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$. ⚠️ Se verifică de fiecare dată că valorile $u(x)$ și $v(x)$ rămân în intervalul pe care $f$ e continuă — altfel formula nu se aplică. Semnul minus de la capătul de jos se uită des.

Exemplu: $H(x)={\int }_1^{x^2}\ln tdt$ pentru $x>0$: $H^{\prime }(x)=\ln \left(x^2\right)\cdot 2x=4x\ln x$. • ${\left({\int }_x^{x^2}{e}^{t}dt\right)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}-e^x$.

Integrarea prin părți pentru integrala definită — clasa 12

$f$ și $g$ se cer derivabile pe $[a,b]$, cu derivatele continue. Deosebirea față de integrala nedefinită: termenul $fg$ se evaluează între limite și dă un număr concret, care se calculează imediat — de multe ori zero, ceea ce simplifică mult. Regula de alegere a factorilor rămâne „regula descreșterii”. Este și motorul relațiilor de recurență pentru șiruri de integrale.

Exemplu: ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$.

Schimbarea de variabilă cu schimbarea limitelor — clasa 12

⚠️ Deosebirea esențială față de integrala nedefinită: se schimbă limitele și nu se mai revine la $x$. Noile limite sunt valorile lui $u$ în capetele vechi, în aceeași ordine — dacă $u$ e descrescătoare, limita de jos devine mai mare decât cea de sus, și e corect așa. Se cere ca $u$ să fie derivabilă cu derivata continuă, iar $f$ continuă pe imaginea lui $u$.

Exemplu: ${\int }_0^{1}2x{e}^{x^2}dx$: cu $u=x^2$, limitele devin $0$ și $1$, deci integrala este ${\int }_0^1{e}^{t}dt=e-1$.

Regula recurenței la șirurile de integrale — clasa 12

Recurența vine dintr-o observație de o linie: $x^n+a{x}^{n-1}=x^{n-1}(x+a)$, deci suma celor două integrale se simplifică la ${\int }_0^1{x}^{n-1}dx$. Regula generală, de reținut: coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul numitorului — la numitor $x^2+a$ se adună $I_n$ cu $a{I}_{n-2}$. Pentru $a>0$, limita lui $n{I}_n$ se află cu cleștele: șirul este descrescător, deci din recurență $(1+a)I_n\le I_n+a{I}_{n-1}=\frac{1}{n}$ și $(1+a)I_n\ge I_{n+1}+a{I}_n=\frac{1}{n+1}$, adică $\frac{1}{(1+a)(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{(1+a)n}$ pentru $n\ge 1$; înmulțind cu $n$, ambele margini tind la $\frac{1}{1+a}$.

Exemplu: Pentru $a=1$: $I_0=\ln 2$, $I_1=1-\ln 2$, $I_2=\ln 2-\frac{1}{2}$, iar $I_1+I_0=1$, $I_2+I_1=\frac{1}{2}$ ✓; limita lui $n{I}_n$ este $\frac{1}{2}$.

Limite de șiruri cu sume Riemann — clasa 12

Rețeta, în trei mișcări: se scrie termenul general sub forma $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ (factorul $\frac{1}{n}$ trebuie scos explicit), se recunoaște funcția $f$ și diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, apoi se invocă integrabilitatea funcției continue. ⚠️ Fără propoziția de justificare, exercițiul e incomplet la Bacalaureat M1. Când suma nu se poate aduce la această formă, limita nu e de tip Riemann.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\lim \frac{1}{n}\sum \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$.

Integrale de funcții pare, impare și periodice — clasa 12

Primele două se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x=-t$ pe jumătatea negativă a intervalului; condiția obligatorie este ca intervalul să fie simetric față de origine. A treia: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $T>0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ real; dacă, în plus, $f$ este continuă, atunci ${\int }_a^{a+T}f={\int }_0^{T}f$ pentru orice $a$ real, adică integrala pe un interval de lungime exact $T$ nu depinde de locul de unde începi (se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x=t+T$). Pe un interval care nu are lungimea unui număr întreg de perioade, formula nu se aplică direct: tai intervalul în perioade întregi plus un rest. Verificarea parității se face înainte de orice calcul: economisește jumătate din muncă și prinde greșeli de semn.

Exemplu: ${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$ (funcție impară); ${\int }_{-2}^2{x}^{2}dx=2{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{16}{3}$ (funcție pară); ${\int }_{100\pi }^{101\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ (funcția ${\sin }^{2}x$ e continuă și periodică de perioadă $\pi$).