Formule: Legi de compoziție și clase de resturi

Legea de compoziție, partea stabilă, neutrul și simetricul, forma factorizată care le dă pe toate deodată, plus clasele de resturi modulo n. 13 formule, clasa 12.

Legea de compoziție și compusul a două elemente — clasa 12

$M$ este o mulțime nevidă, iar $x\ast y$ se numește compusul lui $x$ cu $y$. O lege de compoziție (operație algebrică binară) este, așadar, o funcție definită pe $M\times M$ cu valori tot în $M$ — condiția aceasta din urmă se verifică prima: dacă $x\ast y$ iese din $M$ măcar pentru o pereche, $\ast$ nu este lege de compoziție pe $M$. Notațiile fixate: o lege oarecare se scrie $\ast$; când apar două legi pe aceeași mulțime, a doua se scrie $\circ$; legile „de tip inel” se scriu $\oplus$ și $\otimes$; compunerea funcțiilor rămâne $\circ$.

Exemplu: $x\ast y=x+y-3$ este lege pe $\mathbb{R}$: $2\ast 5=4$. • $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ nu este lege pe $\mathbb{Z}$, fiindcă $1\ast 2=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$.

Parte stabilă și legea indusă — clasa 12

$H$ se numește parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$ (nu „parte închisă”), iar restricția lui $\ast$ la $H\times H$ se numește legea indusă. Verificarea se face cu elemente generice: se scriu $x$ și $y$ în forma care descrie mulțimea și se arată că $x\ast y$ are aceeași formă. Pentru a arăta că $H$ nu este parte stabilă e de ajuns o singură pereche care iese din $H$. Partea stabilă moștenește automat asociativitatea și comutativitatea de la legea de pe $M$, dar nu moștenește elementul neutru: el trebuie să fie în $H$.

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$, mulțimea $H=(2,+\infty )$ este parte stabilă: din $x>2$ și $y>2$ rezultă $(x-2)(y-2)>0$, deci $x\ast y>2$.

Tabla legii de compoziție — clasa 12

Tabla se scrie cu simbolul legii în colț și cu elementele mulțimii pe prima linie și pe prima coloană, în aceeași ordine; în celula de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă $x\ast y$. Din tablă se citesc, fără niciun calcul: stabilitatea (în interior nu apare niciun element din afara mulțimii), comutativitatea (simetrie față de diagonala principală), elementul neutru (linia și coloana lui reproduc capul de tabel) și simetricele (pozițiile în care apare $e$). Asociativitatea, în schimb, nu se citește din tablă. Tabla se scrie pentru mulțimi cu cel mult opt elemente; peste, se lucrează cu formule.

Exemplu: În tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$ de mai sus: neutrul este $\hat{0}$, iar $\hat{1}$ și $\hat{3}$ sunt simetrice între ele, fiindcă $\hat{1}+\hat{3}=\hat{0}$. Tabla este simetrică, deci legea e comutativă.

Forma factorizată a legii de compoziție — clasa 12

Este rețeta care rezolvă aproape toate problemele de Bacalaureat M1 cu legi de compoziție: caută $a$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$. Numărul $a$ se citește direct din coeficientul lui $x$ (luat cu semn schimbat), iar criteriul $b=a^2+a$ spune dacă factorizarea chiar există. Din forma factorizată se obțin, fiecare într-o linie: partea stabilă $(a,+\infty )$, elementul neutru $e=a+1$, simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$ și izomorfismul $f(x)=x-a$ cu înmulțirea obișnuită. Când $b\ne a^2+a$, legea nu se factorizează și se lucrează direct cu definiția.

Exemplu: $x\ast y=xy-17x-17y+306$: cu $a=17$ avem $a^2+a=289+17=306$ ✓, deci $x\ast y=(x-17)(y-17)+17$, cu $e=18$.

Asociativitatea și comutativitatea — clasa 12

Ambele se verifică pentru orice $x,y,z\in M$: se calculează separat cei doi membri și se compară expresiile finale. Pentru a infirma una dintre ele e suficient un singur contraexemplu numeric. Asociativitatea este proprietatea care permite scrierea $x\ast y\ast z$ fără paranteze și fără de care puterile $x^n$ nu au sens; comutativitatea se citește pe tablă ca simetrie. ⚠️ Ordinea de lucru la examen: întâi stabilitatea, apoi asociativitatea, apoi neutrul — o lege care nu e stabilă nu mai are ce proprietăți să aibă.

Exemplu: $x\ast y=x+y-3$ este asociativă: ambii membri dau $x+y+z-6$. • $x\ast y=x+2y$ nu e comutativă: $1\ast 2=5$, dar $2\ast 1=4$.

Elementul neutru — clasa 12

Elementul neutru, dacă există, este unic (dacă $e$ și $e^{\prime }$ ar fi amândouă neutre, $e=e\ast e^{\prime }=e^{\prime }$). ⚠️ Cea mai scumpă condiție a capitolului: $e$ trebuie să fie în mulțimea dată, nu doar să existe ca număr real — pe $(2,+\infty )$ legea $(x-2)(y-2)+2$ are $e=3\in (2,+\infty )$ ✓, dar aceeași lege pe $(3,+\infty )$ nu mai are element neutru. La legile scrise cu ambele variabile se rezolvă ecuația $x\ast e=x$ și se verifică apoi și $e\ast x=x$ (la legile comutative, a doua verificare e automată).

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$: $e=3$, fiindcă $x\ast 3=(x-2)\cdot 1+2=x$ ✓. • Pentru $x\ast y=x+y-3$: $e=3$.

Elemente simetrizabile și simetricul — clasa 12

$x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$; se notează $x^{-1}$ („inversul”) când legea e multiplicativă și $-x$ („opusul”) când e aditivă. Simetricul, când există, este unic. La legea factorizată $(x-a)(y-a)+a$, relația $x\ast x^{\prime }=a+1$ se reduce la $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$, de unde formula de mai sus — deci niciun element nu e simetrizabil dacă $x=a$, iar pe $(a,+\infty )$ toate celelalte sunt. ⚠️ Ca și neutrul, simetricul trebuie să aparțină mulțimii pe care lucrezi.

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ pe $(2,+\infty )$: simetricul lui $4$ este $x^{\prime }=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$, iar $4\ast \frac{5}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+2=3=e$ ✓.

Semigrup, monoid și mulțimea elementelor simetrizabile — clasa 12

Ierarhia fixată: semigrup = mulțime nevidă cu lege asociativă; monoid = semigrup cu element neutru; grup = monoid în care orice element e simetrizabil. $U(M,\ast )$ este mulțimea elementelor simetrizabile ale monoidului $(M,\ast )$ — se numesc și unitățile monoidului. Faptul important, folosit tot anul: $U(M,\ast )$ este parte stabilă și $(U(M,\ast ),\ast )$ este grup, oricare ar fi monoidul de la care ai plecat.

Exemplu: $U(\mathbb{Z},\cdot )=\{-1,1\}$; $U(\mathbb{Q},\cdot )={\mathbb{Q}}^{\ast }$; $U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )=G{L}_2(\mathbb{R})$.

Clasele de resturi modulo n — clasa 12

$\hat{a}=\{a+kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este mulțimea întregilor care dau restul $a$ la împărțirea cu $n$; se citește „clasa lui $a$ modulo $n$”. Notația fixată este $\hat{a}$, cu $\widehat{n-1}$ sau $\widehat{a+b}$ pentru expresii lungi — nu $\bar{a}$ (bara e rezervată conjugatului) și nu $[a]$. Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ are exact $n$ elemente, oricare ar fi $n\ge 2$, iar orice clasă se reduce la reprezentantul ei din $\{0,1,\dots ,n-1\}$.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_5$: $\widehat{13}=\hat{3}$, fiindcă $5\mid (13-3)$. • ${\mathbb{Z}}_5=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$.

Adunarea și înmulțirea claselor de resturi — clasa 12

Ambele operații sunt bine definite: rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși (dacă $\hat{a}=\widehat{a_1}$ și $\hat{b}=\widehat{b_1}$, atunci $\widehat{a+b}=\widehat{a_1+b_1}$ și $\widehat{ab}=\widehat{a_1{b}_1}$) — se demonstrează, nu se presupune. $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ cu neutrul $\hat{0}$ și cu $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ este doar monoid comutativ, cu unitatea $\hat{1}$. În practică se calculează cu reprezentanții cei mai mici și se reduce la final.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_7$: $\hat{5}+\hat{4}=\hat{9}=\hat{2}$ și $\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{6}$. • În ${\mathbb{Z}}_{12}$: $-\hat{5}=\hat{7}$.

Elementele inversabile modulo n — clasa 12

$(a,n)$ este c.m.m.d.c. al numerelor întregi $a$ și $n$, ca în gimnaziu. Criteriul spune că o clasă e inversabilă exact când reprezentantul ei e prim cu modulul; inversul se găsește fie încercând cele $n$ clase, fie din relația $au+nv=1$. Consecința folosită tot anul: dacă $p$ este prim, toate clasele nenule din ${\mathbb{Z}}_p$ sunt inversabile — de aceea ${\mathbb{Z}}_p$ va fi corp. Numărul claselor inversabile se notează $\phi (n)$ (indicatorul lui Euler); funcția se menționează, nu se predă.

Exemplu: $U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{14}\}$ — opt clase, adică $\phi (15)=8$. • În ${\mathbb{Z}}_7$: ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, fiindcă $15=2\cdot 7+1$.

Ecuația de gradul întâi în clase de resturi — clasa 12

Când $d=1$, clasa $\hat{a}$ e inversabilă și soluția e unică: $\hat{x}={\hat{a}}^{-1}\hat{b}$. Când $d>1$ nu se poate înmulți cu inversul; se simplifică relația $n\mid (ax-b)$ prin $d$ și se rezolvă ecuația mai mică obținută în ${\mathbb{Z}}_{n/d}$, apoi se ridică soluția înapoi în ${\mathbb{Z}}_n$ adunând multiplii lui $\frac{n}{d}$. ⚠️ Greșeala clasică de barem: se dă o singură soluție acolo unde se cereau $d$ — răspunsul complet cere numărul lor, nu doar una dintre ele.

Exemplu: $\hat{6}\hat{x}=\widehat{10}$ în ${\mathbb{Z}}_{14}$: $d=(6,14)=2$ și $2\mid 10$, deci exact două soluții, $\hat{x}\in \{\hat{4},\widehat{11}\}$ (într-adevăr $6\cdot 4=24=14+10$ și $6\cdot 11=66=4\cdot 14+10$).

Familia de legi cu parametri — clasa 12

$a\ne 0$; este familia din care provin aproape toate legile cu parametru de la Bacalaureat M1. Cheia calculului este identitatea $a(x\ast y)+b=(ax+b)(ay+b)$, valabilă exact când $ac+b=b^2$: ea transformă legea într-o înmulțire deghizată și dă imediat asociativitatea, neutrul și simetricul. Elementul neutru $e=\frac{1-b}{a}$ se obține punând $ax+b$ în locul lui $x$; simetricul lui $x$ există când $ax+b\ne 0$.

Exemplu: $x\ast y=2xy+2(x+y)+1$: $a=2$, $b=2$, $c=1$, iar $ac+b=4=b^2$ ✓, deci legea e asociativă, cu $e=\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$ (verificare: $x\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=-x+2x-1+1=x$ ✓).