Formule: Limite de funcții și continuitate

Limita definită cu șiruri, limitele laterale, cele cinci limite fundamentale și funcțiile continue, cu proprietatea valorilor intermediare. 9 formule, clasa 11.

Limita unei funcții într-un punct (definiția cu șiruri) — clasa 11

x \to x_{0} lim f (x) = ℓ ⟺ \forall (x_{n}) \subseteq D ∖ {x_{0}} cu x_{n} \to x_{0} avem f (x_{n}) \to ℓ

$f : D \to R$ , iar $x_{0}$ trebuie să fie punct de acumulare al lui $D$ — adică orice vecinătate a lui $x_{0}$ să conțină puncte din $D$ diferite de $x_{0}$ ; altfel limita nici nu se definește. Valoarea $ℓ$ poate fi finită sau $\pm \infty$ . Esențial: șirurile se iau din $D$ fără punctul $x_{0}$ , deci limita nu depinde de $f (x_{0})$ — funcția poate nici să nu fie definită acolo. Definiția este și unealta prin care se arată că o limită nu există: se găsesc două șiruri $x_{n} \to x_{0}$ și $y_{n} \to x_{0}$ pentru care $f (x_{n})$ și $f (y_{n})$ au limite diferite. Limita, dacă există, este unică.

Exemplu: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$ , deși funcția nu este definită în $2$ . • $x \to 0 lim sin \frac{1}{x}$ nu există: pentru $x_{n} = \frac{1}{nπ}$ valorile sunt $0$ , iar pentru $y_{n} = \frac{1}{\frac{π}{2} + 2 nπ}$ sunt $1$ .

Limite laterale și criteriul de existență a limitei — clasa 11

x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x) = l_{s} (x_{0}), x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x) = l_{d} (x_{0}), \exists x \to x_{0} lim f (x) ⟺ l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0})

Limita la stânga $l_{s} (x_{0})$ se calculează folosind numai valori $x < x_{0}$ , **limita la dreapta** $l_{d} (x_{0})$ numai valori $x > x_{0}$ ; notațiile scurte $l_{s}$ și $l_{d}$ se folosesc în tabele și în enunțuri scurte, forma completă, cu condiția scrisă sub semnul limitei, în definiții și rezolvări. Criteriul, valabil în puncte de acumulare bilaterale: limita există dacă și numai dacă ambele limite laterale există și sunt egale, iar atunci valoarea comună este limita. Se folosește la funcțiile definite pe ramuri, în punctele de racord, și la funcțiile cu modul sau cu parte întreagă. Când numitorul tinde la $0$ , semnul lui se studiază pe fiecare parte și se scrie $\frac{a}{0 ^{+}} = + \infty$ sau $\frac{a}{0 ^{-}} = - \infty$ , după caz.

Exemplu: Pentru $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ : $l_{s} (0) = - 1$ și $l_{d} (0) = 1$ , deci $x \to 0 lim f (x)$ nu există. • Pentru $f (x) = \frac{1}{x}$ : $l_{s} (0) = - \infty$ , $l_{d} (0) = + \infty$ .

Operații cu limite de funcții — clasa 11

lim (f \pm g) = ℓ_{1} \pm ℓ_{2}, lim (f g) = ℓ_{1} ℓ_{2}, lim \frac{f}{g} = \frac{ℓ _{1}}{ℓ _{2}} (ℓ_{2} \neq = 0), lim f^{g} = ℓ_{1}^{ℓ_{2}} (ℓ_{1} > 0)

Toate limitele sunt pentru $x \to x_{0}$ , cu $lim f = ℓ_{1}$ și $lim g = ℓ_{2}$ finite. Regulile rămân valabile și în $\overline{R}$ , atât timp cât rezultatul este o operație permisă: $a + (+ \infty) = + \infty$ , $a \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$ după semnul lui $a \neq = 0$ , $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ . Când operația nu e permisă se ajunge la una dintre cele șapte nedeterminări. Consecință practică de reținut: funcțiile elementare (polinomiale, raționale, radicali, exponențiale, logaritmi, trigonometrice) sunt continue pe domeniul lor, deci în punctele domeniului limita se calculează pur și simplu înlocuind $x$ cu $x_{0}$ .

Exemplu: $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ , prin înlocuire directă. • $x \to 0 lim (e^{x} + cos x) = 1 + 1 = 2$ .

Limita unei funcții raționale la infinit — clasa 11

x \to \pm \infty lim \frac{a _{p} x ^{p} + \dots + a _{0}}{b _{q} x ^{q} + \dots + b _{0}} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a _{p}}{b _{q}}, 0, \pm \infty, p = q p < q p > q

$p$ și $q$ sunt gradele celor două polinoame, iar $a_{p} \neq = 0$ , $b_{q} \neq = 0$ coeficienții dominanți. Este rețeta pentru nedeterminarea $\frac{\infty}{\infty}$ : se dă factor comun forțat $x^{q}$ și se folosește $\frac{1}{x ^{k}} \to 0$ . În cazul $p > q$ semnul rezultatului se stabilește din semnul lui $\frac{a _{p}}{b _{q}}$ și din paritatea lui $p - q$ , când $x \to - \infty$ . Legătura cu graficul: $p = q$ dă o asimptotă orizontală $y = \frac{a _{p}}{b _{q}}$ , iar $p < q$ dă asimptota $y = 0$ . Atenție la radicali: $x^{2} = ∣ x ∣$ , deci la $x \to - \infty$ se scoate $- x$ de sub radical, nu $x$ — aici se pierd cele mai multe puncte.

Exemplu: $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x}{5 x ^{2} + 7} = \frac{3}{5}$ . • $x \to - \infty lim \frac{4 x ^{2} + 1}{x} = x \to - \infty lim \frac{∣ x ∣ 4 + \frac{1}{x ^{2}}}{x} = - 2$ .

Cele cinci limite fundamentale — clasa 11

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1; x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e; x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a (a > 0); x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1; x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ^{r} - 1}{x} = r (r \in R) .

Toate cinci sunt limite în $0$ și toate rezolvă nedeterminarea $\frac{0}{0}$ (a doua, pe $1^{\infty}$ ). A treia are valoarea $ln a$ , nu $1$ — pentru $a = e$ se obține $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$ , cazul particular ușor de confundat cu regula generală. Corolarele primei: $x \to 0 lim \frac{tg x}{x} = 1$ și $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ . Forma compusă, cea folosită la aproape toate exercițiile: dacă $u (x) \to 0$ și $u (x) \neq = 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_{0}$ , atunci $x \to x_{0} lim \frac{sin u ( x )}{u ( x )} = 1$ și analoagele. Substituția se justifică de fiecare dată: „notăm $t = u (x)$ ; cum $u (x) \to 0$ când $x \to x_{0}$ , obținem…”.

Exemplu: $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x} = x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{5 x} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$ . • $x \to 0 lim \frac{2 ^{x} - 1}{x} = ln 2$ . • $x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x} = \frac{1}{2}$ , cazul $r = \frac{1}{2}$ .

Continuitatea într-un punct — clasa 11

f continu \overset{a}{˘} \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟺ x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) ⟺ l_{s} (x_{0}) = l_{d} (x_{0}) = f (x_{0})

$f : D \to R$ și $x_{0} \in D$ — spre deosebire de limită, continuitatea se discută numai în puncte ale domeniului. Egalitatea cere trei lucruri deodată: $f$ să fie definită în $x_{0}$ , limita să existe și cele două să coincidă. Dacă $x_{0}$ este punct izolat, $f$ este continuă în $x_{0}$ prin convenție. A doua formă, cu limite laterale, este cea de lucru la funcțiile pe ramuri: în punctul de racord se calculează $l_{s}$ , $l_{d}$ și $f (x_{0})$ , apoi se pun egale — de aici se determină parametrii. $f$ este continuă pe o mulțime dacă este continuă în fiecare punct al ei; la capetele închise ale unui interval se cere continuitatea laterală dinspre interior.

Exemplu: Pentru $f (x) = {x + a, 3 x - 1, x \leq 1 x > 1$ : $f (1) = 1 + a$ , $l_{s} (1) = 1 + a$ și $l_{d} (1) = 2$ , deci $f$ este continuă în $1$ exact pentru $a = 1$ . • Orice funcție polinomială este continuă pe $R$ .

Puncte de discontinuitate — clasa 11

spe ț a I: l_{s} (x_{0}), l_{d} (x_{0}) exist \overset{a}{˘} ș i sunt FINITE; salt = l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0}); spe ț a a II-a: \overset{ı}{ˆ} n rest

Un punct de discontinuitate este un punct din domeniu în care $f$ nu este continuă. Clasificarea: speța I — ambele limite laterale există și sunt finite (dar cel puțin una diferă de $f (x_{0})$ , sau diferă între ele); speța a II-a — orice alt caz, adică măcar una dintre limitele laterale nu există sau este infinită. Cuvântul finite este esențial: formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există” este incompletă și greșită — este exact greșeala care se face cel mai des. Diferența $l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$ se numește saltul funcției în $x_{0}$ ; el este $0$ la o discontinuitate care se repară schimbând doar valoarea $f (x_{0})$ .

Exemplu: $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0$ are în $0$ discontinuitate de speța I, cu $l_{s} = - 1$ , $l_{d} = 1$ și saltul $2$ . • $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0$ are în $0$ discontinuitate de speța a II-a, fiindcă limitele laterale sunt infinite.

Proprietatea valorilor intermediare (Darboux) și consecința de semn — clasa 11

f continu \overset{a}{˘} pe I, a, b \in I, a < b, λ \overset{ı}{ˆ} ntre f (a) ș i f (b) ⟹ \exists c \in (a, b) : f (c) = λ f continu \overset{a}{˘} pe [a, b], f (a) \cdot f (b) < 0 ⟹ \exists c \in (a, b) : f (c) = 0

Prima afirmație este proprietatea valorilor intermediare (numită și proprietatea lui Darboux), a doua este consecința ei de semn (teorema lui Bolzano); ambele se admit fără demonstrație. $I$ trebuie să fie un interval, iar $f$ continuă pe el — pe o reuniune de intervale concluzia este falsă. În cuvinte: o funcție continuă nu poate trece de la o valoare la alta fără să ia toate valorile intermediare, deci graficul ei se desenează „fără să ridici creionul”. Consecința de semn este metoda standard pentru a arăta că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval: se calculează $f$ în capete și se constată semne contrare. Ea nu spune câte soluții sunt — numărul lor se stabilește adăugând monotonia sau șirul lui Rolle.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} + x - 1$ , continuă pe $[0, 1]$ : $f (0) = - 1 < 0$ și $f (1) = 1 > 0$ , deci ecuația $x^{3} + x - 1 = 0$ are cel puțin o soluție în $(0, 1)$ . Cum $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ , $f$ e strict crescătoare, deci soluția este unică.

Semnul unei funcții continue — clasa 11

f continu \overset{a}{˘} pe intervalul I, f (x) \neq = 0 pentru orice x \in I ⟹ f p \overset{a}{˘} streaz \overset{a}{˘} semn constant pe I

Rezultatul decurge din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare: dacă $f$ ar lua și valori pozitive, și negative, s-ar anula undeva între ele. De aici metoda tabelului de semn, folosită în toată clasa a XI-a: se determină domeniul, se rezolvă $f (x) = 0$ , se împart intervalele domeniului prin zerourile găsite și prin punctele în care $f$ nu e definită, iar pe fiecare interval se testează un singur punct — semnul lui dă semnul întregului interval. În tabel se scrie $0$ în zerourile funcției și $∣$ acolo unde funcția nu este definită; la $\pm \infty$ coloana rămâne goală. Aceeași metodă se aplică lui $f^{'}$ pentru monotonie și lui $f^{''}$ pentru convexitate.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{2} - 4$ , continuă pe $R$ , cu zerourile $- 2$ și $2$ : testând $f (- 3) = 5 > 0$ , $f (0) = - 4 < 0$ și $f (3) = 5 > 0$ , rezultă $f > 0$ pe $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ și $f < 0$ pe $(- 2, 2)$ .