Formule: Limite de șiruri

Ce se întâmplă cu un șir la infinit: definiția cu epsilon, limitele-etalon, criteriile de convergență, teorema lui Weierstrass și numărul e. 9 formule, clasa 11.

Definiția limitei unui șir — clasa 11

n \to \infty lim a_{n} = ℓ ⟺ \forall ε > 0 \exists N (ε) \in N astfel \overset{ı}{ˆ} nc \overset{a}{ˆ} t ∣ a_{n} - ℓ ∣ < ε pentru orice n \geq N (ε)

$(a_{n})$ este șirul, $ℓ \in R$ limita lui finită, iar $ε$ o marjă de eroare oricât de mică, aleasă de „adversar”. În cuvinte: oricât de îngustă ar fi banda $(ℓ - ε, ℓ + ε)$ din jurul lui $ℓ$ , toți termenii de la un rang încolo intră în ea; în afara benzii rămân cel mult primii $N (ε) - 1$ termeni. Rangul $N (ε)$ depinde de $ε$ — cu cât $ε$ e mai mic, cu atât $N$ e mai mare. Un șir cu limită finită se numește convergent; unul care nu e convergent se numește divergent. Limita, dacă există, este unică.

Exemplu: Pentru $a_{n} = \frac{1}{n}$ și $ℓ = 0$ : $\frac{1}{n} - 0 < ε ⟺ n > \frac{1}{ε}$ , deci se poate lua $N (ε) = ⌊ \frac{1}{ε} ⌋ + 1$ . Pentru $ε = 0, 01$ rezultă $N = 101$ : de la al $101$ -lea termen încolo, toți sunt în banda $(- 0, 01; 0, 01)$ .

Limitele-etalon: șirul geometric și șirul putere — clasa 11

n \to \infty lim q^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1, + \infty, nu exist \overset{a}{˘}, ∣ q ∣ < 1 q = 1 q > 1 q \leq - 1 n \to \infty lim n^{a} = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty, 1, 0, a > 0 a = 0 a < 0

$q$ este rația șirului geometric, iar $a$ un număr real fixat. Cele două tabele sunt cărămizile din care se construiește aproape orice limită de șir. Cazul $q \leq - 1$ este singurul din acest capitol în care limita chiar nu există: termenii sar între valori pozitive și negative, fără să se apropie de nimic (pentru $q = - 1$ șirul este $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ ). Atenție la distincție: $lim a_{n} = + \infty$ înseamnă că limita există în $\overline{R}$ , dar șirul nu este convergent; „nu există limită” se spune numai când e adevărat. Ierarhia de creștere, utilă la nedeterminări: $ln n ≪ n^{a} ≪ q^{n} ≪ n!$ pentru $a > 0$ și $q > 1$ .

Exemplu: $n \to \infty lim (\frac{2}{3})^{n} = 0$ , $n \to \infty lim 2^{n} = + \infty$ , iar $n \to \infty lim (- 2)^{n}$ nu există. • $n \to \infty lim \frac{1}{n} = n \to \infty lim n^{- 1/2} = 0$ .

Operații cu șiruri convergente — clasa 11

lim (a_{n} \pm b_{n}) = ℓ_{1} \pm ℓ_{2}, lim (a_{n} b_{n}) = ℓ_{1} ℓ_{2}, lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{ℓ _{1}}{ℓ _{2}} (ℓ_{2} \neq = 0), lim a_{n}^{b_{n}} = ℓ_{1}^{ℓ_{2}} (ℓ_{1} > 0)

$lim a_{n} = ℓ_{1}$ și $lim b_{n} = ℓ_{2}$ , ambele finite; toate limitele sunt pentru $n \to \infty$ . Pe scurt: limita trece prin operațiile obișnuite. Regulile rămân valabile și pentru limite infinite, atât timp cât rezultatul este o operație permisă în $\overline{R}$ (de exemplu $a + (+ \infty) = + \infty$ , $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ ). Când operația nu este permisă, se ajunge la o nedeterminare și se prelucrează expresia. Capcană frecventă: existența limitei sumei nu garantează existența limitelor termenilor — $a_{n} = (- 1)^{n}$ și $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ au suma constant $0$ , deși niciunul nu are limită.

Exemplu: $n \to \infty lim (3 + \frac{2}{n}) (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = 3 \cdot 1 = 3$ . • $n \to \infty lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{5 - \frac{3}{n}} = \frac{2}{5}$ .

Limita unui raport de expresii polinomiale în n — clasa 11

n \to \infty lim \frac{a _{p} n ^{p} + \dots + a _{0}}{b _{q} n ^{q} + \dots + b _{0}} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a _{p}}{b _{q}}, 0, \pm \infty (dup \overset{a}{˘} semnul lui \frac{a _{p}}{b _{q}}), p = q p < q p > q

$p$ și $q$ sunt gradele celor două expresii, iar $a_{p} \neq = 0$ , $b_{q} \neq = 0$ coeficienții dominanți. Este rețeta standard pentru nedeterminarea $\frac{\infty}{\infty}$ : se dă factor comun forțat $n$ la puterea cea mai mare de la numitor, se simplifică și se folosește $\frac{1}{n ^{k}} \to 0$ . Se scrie întotdeauna pasul cu factorul comun — răspunsul „se compară gradele” nu se punctează la Bacalaureat M1. Extindere folosită des: la expresii cu radicali, $k n^{s}$ contează ca $n^{s / k}$ , deci $n \to \infty lim \frac{4 n ^{2} + 1}{n + 3} = 2$ .

Exemplu: $n \to \infty lim \frac{3 n ^{2} + 2 n - 1}{5 n ^{2} - n + 4} = n \to \infty lim \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n ^{2}}}{5 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n ^{2}}} = \frac{3}{5}$ . • $n \to \infty lim \frac{n + 7}{n ^{2} + 1} = 0$ , iar $n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} - 1}{n ^{2} + 5} = + \infty$ .

Criteriul majorării — clasa 11

∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq b_{n} pentru n \geq n_{0} ș i n \to \infty lim b_{n} = 0 ⟹ n \to \infty lim a_{n} = ℓ

$(a_{n})$ este șirul studiat, $ℓ$ limita bănuită, iar $(b_{n})$ un șir auxiliar, cu termeni pozitivi, care se stinge. Ideea: dacă abaterea lui $a_{n}$ față de $ℓ$ este strivită de un șir care tinde la $0$ , atunci și abaterea tinde la $0$ . Se folosește exact acolo unde operațiile cu limite nu ajung: la șiruri care conțin $sin n$ , $cos n$ , $(- 1)^{n}$ sau părți întregi — mărimi fără limită, dar mărginite. Consecință des invocată: mărginit ori tinzând la zero dă zero, adică dacă $(u_{n})$ e mărginit și $v_{n} \to 0$ , atunci $u_{n} v_{n} \to 0$ . Rangul $n_{0}$ contează: primii termeni pot încălca inegalitatea, fără nicio consecință asupra limitei.

Exemplu: Pentru $a_{n} = \frac{2 n + cos n}{n + 3}$ și $ℓ = 2$ : $∣ a_{n} - 2 ∣ = \frac{∣ cos n - 6 ∣}{n + 3} \leq \frac{7}{n + 3} \to 0$ , deci $lim a_{n} = 2$ . • $n \to \infty lim \frac{sin n}{n} = 0$ , pentru că $\frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ .

Criteriul cleștelui — clasa 11

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n} pentru n \geq n_{0} ș i n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim c_{n} = ℓ ⟹ n \to \infty lim a_{n} = ℓ

$(b_{n})$ și $(c_{n})$ sunt șirurile care încadrează șirul studiat $(a_{n})$ , iar $ℓ$ este valoarea comună a limitelor lor. Cele două margini trebuie să aibă aceeași limită — dacă diferă, criteriul nu spune nimic. Se folosește mai ales la sume cu număr variabil de termeni, unde nu se poate aplica regula sumei (numărul termenilor crește o dată cu $n$ ): se majorează toți termenii cu cel mai mare și se minorează cu cel mai mic. Criteriul rămâne valabil și pentru $ℓ = \pm \infty$ , cu o singură margine: din $a_{n} \geq b_{n}$ și $b_{n} \to + \infty$ rezultă $a_{n} \to + \infty$ .

Exemplu: Pentru $a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}$ : cei $n$ termeni sunt cuprinși între $\frac{1}{n ^{2} + n}$ și $\frac{1}{n ^{2} + 1}$ , deci $\frac{n}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$ . Cum ambele margini tind la $0$ , rezultă $lim a_{n} = 0$ .

Teorema lui Weierstrass — clasa 11

(a_{n}) monoton ș i m \overset{a}{˘} rginit ⟹ (a_{n}) convergent

Un șir este monoton dacă este crescător ( $a_{n + 1} \geq a_{n}$ pentru orice $n$ ) sau descrescător, și mărginit dacă există $m$ și $M$ cu $m \leq a_{n} \leq M$ . Teorema garantează existența limitei fără să o calculeze — de aceea este unealta de bază la șirurile date prin recurență. De fapt este de ajuns: crescător și majorat, sau descrescător și minorat. Rețeta completă are trei pași: se demonstrează monotonia (prin inducție sau prin semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ ), se demonstrează mărginirea (tot prin inducție), apoi se află limita $ℓ$ trecând la limită în relația de recurență și alegând dintre soluții pe cea compatibilă cu marginile. Capcană: trecerea la limită fără a fi demonstrat întâi că limita există nu se punctează.

Exemplu: Șirul $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ este crescător și majorat de $2$ , deci convergent. Trecând la limită în $a_{n + 1}^{2} = 2 + a_{n}$ : $ℓ^{2} = 2 + ℓ$ , cu soluțiile $2$ și $- 1$ ; cum $ℓ \geq 1$ , rezultă $ℓ = 2$ .

Numărul e ca limită de șir — clasa 11

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} \approx 2, 718, n \to \infty lim (1 + \frac{1}{y _{n}})^{y_{n}} = e (∣ y_{n} ∣ \to \infty), n \to \infty lim (1 + x_{n})^{\frac{1}{x _{n}}} = e (x_{n} \to 0, x_{n} \neq = 0)

Șirul $e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ este crescător și mărginit (între $2$ și $3$ ), deci convergent prin teorema lui Weierstrass; limita lui definește numărul $e$ , baza logaritmului natural. Ultimele două forme sunt cele de lucru: important este ca exponentul să fie inversul cantității adunate la $1$ . Ele rezolvă nedeterminarea $1^{\infty}$ : se aduce paranteza la forma $1 + x_{n}$ , se completează exponentul la $\frac{1}{x _{n}}$ și se corectează înmulțind cu ce lipsește. Capcană: fără nedeterminare nu se aplică — dacă baza tinde la un număr diferit de $1$ , se calculează direct.

Exemplu: $n \to \infty lim (1 + \frac{3}{n})^{n} = n \to \infty lim [(1 + \frac{3}{n})^{\frac{n}{3}}]^{3} = e^{3}$ . • $n \to \infty lim (\frac{n + 1}{n + 2})^{n} = n \to \infty lim (1 - \frac{1}{n + 2})^{n} = e^{- 1}$ .

Cele șapte nedeterminări — clasa 11

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty, 1^{\infty}, \infty^{0}, 0^{0}

Acestea nu sunt rezultate, ci cazuri în care rezultatul nu se poate decide fără o prelucrare a expresiei: două șiruri cu aceeași formă de nedeterminare pot avea limite complet diferite. Rețetele standard: la $\frac{\infty}{\infty}$ se dă factor comun puterea dominantă; la $\infty - \infty$ se aduce la același numitor sau se amplifică cu conjugata (când apar radicali); la $0 \cdot \infty$ se scrie produsul ca raport; la $1^{\infty}$ se folosește limita care definește numărul $e$ ; la $\infty^{0}$ și $0^{0}$ se logaritmează, folosind $u^{v} = e^{v l n u}$ . Toate celelalte combinații (de exemplu $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ sau $a + \infty = \infty$ ) nu sunt nedeterminări și se calculează direct.

Exemplu: $n \to \infty lim (n^{2} + n - n)$ este $\infty - \infty$ ; amplificând cu conjugata: $\frac{n}{n ^{2} + n + n} \to \frac{1}{2}$ . • $n \to \infty lim n (3 1 + \frac{1}{n} - 1)$ este $0 \cdot \infty$ și are valoarea $\frac{1}{3}$ .